一、單選題
1．已知集合 ， 集合 ， 則 （ ）
A．B．
C．D．
2．在復(fù)平面內(nèi)， 復(fù)數(shù) 滿足 ， 則 的虛部為（ ）
A．B．
C．3D．-3
3．下列函數(shù)中， 既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知雙曲線經(jīng)過點， 離心率為2，則的標準方程為（ ）
A．B．
C．D．
5．已知等差數(shù)列的前項和為 ，若，則（ ）
A．54B．63
C．72D．135
6．設(shè) ， 則 “ ” 是 “ ” 的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
7．在中，，則的面積為（ ）
A．B．
C．D．
8．在中，，， 且， 則（ ）
A．B．C．D．
9．在平面直角坐標系中， 記 為點 到直線 的距離， 則當 變化時， 的最大值與最小值之差為（ ）
A．2B．3C．4D．6
10．如圖， 正方體 中， 點 為線段 上的動點， 則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）
（1）三棱錐的體積為定值；
（2）直線與平面所成的角的大小不變；
（3）直線與所成的仍的大小不變，
（4）．
A．1B．2C．3D．4
二、填空題
11．的展開式中常數(shù)項為 (用數(shù)字作答)
12．已知拋物線的焦點為，點在上，若，則到直線的距離為： ．
13．若函數(shù) 的最大值為 ， 則 ， ．
14．已知數(shù)列 是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列， 為其前 項和， ， 則 ； 記 ， 若存在 使得 最大， 則 的值為 ．
15．設(shè)，函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①當時，的最小值為；
②存在， 使得只有一個零點；
③存在， 使得有三個不同零點；
④，在上是單調(diào)遞增函數(shù)．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
三、解答題
16．如圖，在四棱錐中，平面，， 為棱的中點．
(1)求證：//平面；
(2)當 時，求直線與平面所成角的正弦值．
17．設(shè)函數(shù)，已知，，在區(qū)間上單調(diào)，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在．
(1)求的值；
(2)當時，若曲線與直線恰有一個公共點， 求的取值范圍．
條件①：為函數(shù)的圖象的一個對稱中心；
條件②：直線為函數(shù)的圖象的一條對稱軸；
條件③：函數(shù)的圖象可由的圖象平移得到．
注：如果選擇的條件不符合要求，得 0 分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
18．2024年1月11日，記者從門頭溝區(qū)兩會上獲悉，目前國道109新線高速公路（簡稱新高速)全線35坐橋梁主體結(jié)構(gòu)已全部完成，項目整體進度已達到，預(yù)計今年上半年開始通車，通車后從西六環(huán)到門頭溝區(qū)清水鎮(zhèn)車程將縮短到40分鐘。新高速全線設(shè)頎主線收費站兩處（分別位于安家莊和西臺子)和匝道收費站四處 (分別位于雁翅、火村、消水和齋堂)。新高速的建成為市民出行帶來了很大便利，為此有關(guān)部門特意從門頭溝某居民小區(qū)中隨機抽取了200位打算利用新高速出行的居民，對其出行的原因和下高速的出口進行了問卷調(diào)查（問卷中每位居民只填寫一種出行原因和對應(yīng)的一個下高速的出口)，具體情況如下：
（假設(shè)該小區(qū)所有打算利用新高速出行的居民的出行相對獨立，且均選擇上表中的一個高速出口下高速）。
(1)從被調(diào)查的居民中隨機選1人，求該居民利用新高速出行探親且在清水出口下高速的概率；
(2)用上表樣本的頻率估計概率，從該小區(qū)所有打算利用新高速出行上班的人中隨機抽取2人，從出行旅游的人中隨機抽取1人，這三人中從齋堂出口下高速的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)用上表樣本的頻率估計概率，從該小區(qū)所有打算利用新高速出行上班的人中隨機抽取 1 人，用 “”表示此人從齋堂出口下高速，“”表示此人不從齋堂出口下高速：從該小區(qū)所有打算利用新高速出行旅游的人中隨機抽取1人，用 “”表示此人從齋堂出口下高速，“”表示此人不從齋堂出口下高速，寫出方差 的大小關(guān)系． (結(jié)論不要求證明）．
19．已知橢圓 的離心率為， 橢圓 的上頂點為A， 右頂點為 ， 點 為坐標原點， 的面積為 2 ．
(1)求橢圓 的方程；
(2)若過點 且不過點 的直線 與橢圓 交于 兩點， 直線 與直線 交于點 ， 試判斷直線 的斜率是否為定值？ 若是， 求出該定值； 若不是， 請說明理由．
20．已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，求的極值；
(3)當時，判斷零點個數(shù)，并說明理由．
21．已知數(shù)列 ， 數(shù)列 ， 其中 ， 且 ， ． 記 的前 項和分別為 ， 規(guī)定 ．記 ，且 ，， 且
(1)若，，寫出 ；
(2)若，寫出所有滿足條件的數(shù)列 ， 并說明理由；
(3)若 ， 且 ． 證明： ， 使得 ．
項目
齋堂出口
清水出口
安家莊出口
雁翅出口
火村出口
西臺子出口
上班
40
8
2
5
3
2
旅游
30
20
10
10
12
8
探親
16
10
10
5
5
4
參考答案：
1．A
【分析】求,判斷選項.
【詳解】根據(jù)題意可得，，
故選：A
2．D
【分析】由 ，化簡得到求解.
【詳解】解：因為復(fù)數(shù) 滿足 ，
所以，
所以 的虛部為-3，
故選：D
3．D
【分析】
根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判斷即可.
【詳解】對于A：定義域為，為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；
對于B：定義域為，為奇函數(shù)，但是函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B錯誤；
對于C：為奇函數(shù)，定義域為，但是函數(shù)在上不單調(diào)，故C錯誤；
對于D：令定義域為，且，
所以為奇函數(shù)，且當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.
故選：D
4．C
【分析】
根據(jù)題意設(shè)出雙曲線方程，在根據(jù)離心率公式，即可求出。
【詳解】由題意知，雙曲線的焦點在軸上，
設(shè)雙曲線的方程為，
則，
因為，所以，
所以，
所以雙曲線的標準方程為.
故選：C
5．B
【分析】
根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再求出.
【詳解】等差數(shù)列中，由，得，解得，而，
所以.
故選：B
6．B
【分析】
利用特殊值法，和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與邏輯關(guān)系進行判斷選項.
【詳解】若,由，取，但是，
而，則,又，則中至少有一個大于1，
若都小于等于1，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，乘積也小于等于1，與乘積大于1矛盾，
則,故，
所以是的必要而不充分條件.
故選：B
7．A
【分析】
先利用余弦定理求出，再利用面積公式求解.
【詳解】，
解得，則，
所以.
故選：A.
8．B
【分析】
將兩邊平方，即可得到，再由數(shù)量積的運算律計算可得.
【詳解】因為，所以，
即，
所以，即，
所以.
故選：B
9．D
【分析】
由直線方程得到其過定點，而可看成單位圓上的一點，故可將求點到直線之距轉(zhuǎn)化為求圓心到直線之距，要使距離最大，需使直線，此時最大距離即圓心到點的距離再加上半徑即得.
【詳解】由直線 整理得，可知直線經(jīng)過定點，
而由知，點可看成圓上的動點，
于是求點 到直線 的距離最值可通過求圓心到直線的距離得到.

如圖知當直線與圓相交時， 到直線 的距離最小值為，
要使點到直線距離最大，需使圓心到直線距離最大，
又因直線過定點，故當且僅當時距離最大，（若直線與不垂直，則過點作直線的垂線段長必定比短）
此時，故點到直線距離的最大值為，即的最大值與最小值之差為.
故選：D.
10．C
【分析】由已知可得面，可得上任意一點到平面的距離相等，即可判斷（1）；點P在直線上運動時，直線與平面所成的角和直線與平面所成的角不相等，即可判斷（2）；根據(jù)線面垂直的判定定理可證得平面，再由線面垂直的性質(zhì)即可判斷（3）；由線面垂直的判定定理可證平面，即可判斷（4）
【詳解】
對于（1），因為，面，面，所以面，
所以上任意一點到平面的距離相等，又，所以三棱錐的體積不變，故正確；
對于（2），點P在直線上運動時，直線AB與平面所成的角和直線與平面所成的角不相等，故錯誤；
對于（3），設(shè)，則，又面，所以，又，所以平面,
又平面，所以，所以點P在直線上運動時，直線與直線所成的角的大小不變，故正確；
對于（4），因為為正方體，則平面，且平面，則，又，且，平面，
所以平面，且平面，所以，
又平面，且平面，所以，又，
且，平面，所以平面，
且平面，所以，
又，平面，所以平面，
且平面，所以，故正確；
故選：C
11．
【分析】
根據(jù)題意，由題意可得二項式展開式的通項公式，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為展開式的通項公式為，
令可得，則展開式中的常數(shù)項為.
故答案為：
12．4
【分析】
由拋物線的性質(zhì)得到到的準線的距離，然后解出的橫坐標，最后求出到直線的距離即可.
【詳解】由點在上，的焦點為，準線為，知到直線的距離等于.
而，故到直線的距離為.
設(shè)的坐標為，由到直線的距離為，知，所以或.而，故.
所以到直線的距離為.
故答案為：.
13． 1
【分析】利用二倍角公式和輔助角公式，求解
【詳解】，
由最大值為，,則,
所以，
所以，
故答案為：；
14． 4 3或4
【分析】由已知利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求，又，可得，解得或，即可求得，分類討論可求的值，即可求解數(shù)列的各項，即可求解．
【詳解】等比數(shù)列中，公比；由，所以，又，
所以解得或；
若時，可得，則，
且的值為，可知數(shù)列單調(diào)遞增，且各項均大于，
所以不會存在使得的乘積最大(舍去)；
若時，可得，則，
且的值為，…，
可知數(shù)列單調(diào)遞減，從第項起各項小于且為正數(shù)，
前項均為正數(shù)且大于等于，
所以存在或，使得的乘積最大，
綜上，可得的一個可能值是3或.
故答案為：4；3或4
15．②③
【分析】
分析函數(shù)在上的取值范圍即可判斷①，對零點在、討論，即可判斷②，③，使得函數(shù)在各段單調(diào)性，且在斷點左側(cè)的函數(shù)值不大于斷點右側(cè)函數(shù)值，即可判斷④.
【詳解】因為，
當時，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又函數(shù)的對稱軸為，
對于①：當時，
當時，所以，即，故①錯誤；
對于②：當零點位于時，則，解得，
此時，
若，即時在上單調(diào)遞增，
此時只需，解得或，所以，
若，即時，此時，則在上至少還有個零點，故不符合題意，
所以；
當零點位于，此時在上無零點，則，解得，
此時且，
要使函數(shù)只有一個零點，則只需，解得，
又，顯然無解，所以此種情況不符合題意；
綜上可得當時只有一個零點，故②正確；
對于③：使得有三個不同零點，則必然是在上有一個零點，在上有兩個零點，
則，解得，
所以當時有三個不同零點，故③正確；
對于④：若在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則，解得，
所以當時在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故④錯誤.
故答案為：②③
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第②問關(guān)鍵是分零點所在區(qū)間討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，求出參數(shù)的取值范圍，第③問關(guān)鍵是分析得到在上有一個零點，在上有兩個零點.
16．(1)證明見解析；
(2).
【分析】
（1）取中點為，證明//，即可由線線平行證明線面平行；
（2）過作平面的垂線，結(jié)合幾何特點求得，再求線面角的正弦值即可.
【詳解】（1）取中點為，連接，如下所示：
在△中，因為分別為的中點，故//；
又，故//，則四邊形為平行四邊形，//；
又面面，故//面.
（2）過點作延長線的垂線，垂足為，連接，如下所示：
由（1）可知，//，故平面也即平面；
因為//，則；
又面面，故；
又面，故面；
又面，則，又；
面，故面，
則即為與平面的夾角；
在△中，因為，則，；
在△中，因為，，則；
又，，即直線與平面所成角的正弦值為.
17．(1)條件①，條件②，條件③均可唯一確定滿足條件的函數(shù)，同時，；
(2)
【分析】
（1）先根據(jù)已知條件證明，，然后將①②③中的每個條件逐個轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的條件，即可求出函數(shù)的表達式，從而得到的值；
（2）將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在上的根的個數(shù)，然后對不同區(qū)間上的分類討論即可.
【詳解】（1）由，知，從而.
而在區(qū)間上單調(diào)，的周期為，
這意味著，即，故.
注意到，從而有：
，，
所以，，即，而，故.
從而，故.
若選擇條件①，則為函數(shù)的圖象的一個對稱中心，從而這等價于，
所以，從而，故，
所以，由知，故；
若選擇條件②，則直線為函數(shù)的圖象的一條對稱軸，從而，
而在區(qū)間上單調(diào)，，故.
從而，所以，故，
所以，由知，故；
若選擇條件③，則函數(shù)的圖象可由的圖象平移得到，所以二者的最小正周期一定相等，
故，所以，故.
最后，驗證即知滿足全部的題目條件以及條件①②③.
以上過程表明，無論選擇①②③中的哪個條件，均可唯一確定滿足條件的函數(shù).
最后，由，得，故，；
（2）條件等價于，關(guān)于的方程即在上恰有一個解.
記，則，從而和一一對應(yīng)，
這就表明條件等價于關(guān)于的方程在上恰有一個解.
設(shè)，則在上遞增，在上遞減，，，.
此時，若，則，方程無解，不滿足條件；
若，則當時，；
當時，.
故方程在上無解，不滿足條件；
若，由，，，
知方程在和上各至少有一個根，
從而在上至少有兩個根，不滿足條件；
若，則當時，.
故方程在上無解；
而在上單調(diào)，且，，
所以方程在上恰有一個根.
這就表明方程在上恰有一個根，滿足條件；
若，則，當且僅當時等號成立.
而，故當且僅當時等號成立，
故方程在上恰有一個根，滿足條件.
綜上，的取值范圍是.
18．(1)
(2)見詳解
(3)
【分析】
（1）根據(jù)古典概型在清水出口下高速的人數(shù)比總樣本數(shù)即可得到概論。
（2）由題意，隨機變量的所有可能為0，1，2，3，分別求出概率，即可求出分布列，利用期望公式求出期望。
（3）通過對，方差的估算，即可得出。
【詳解】（1）解：樣本中被調(diào)查的居民人數(shù)為200，
其中利用新高速出行探親且在清水出口下高速的人數(shù)為10，
所以該居民利用新高速出行探親且在清水出口下高速的概率為：，
（2）解：從樣本中所有打算利用新高速出行上班的人中隨機抽取1人，此人從齋堂出口下高速的概率為；
從樣本中所有打算利用新高速出行旅游的人中隨機抽取1人，此人從齋堂出口下高速的概率為，
由題設(shè)，的所有可能取值為0，1，2，3.
,
，
，
，
所以隨機變量X的分布列為：
所以X的數(shù)學(xué)期望.
（3）解：
19．(1)
(2)CN的斜率為定值1，理由見詳解.
【分析】
（1）根據(jù)離心率， 的面積為 2，和列方程組求解.
（2）設(shè)出兩點坐標，先考慮直線斜率不存在的情況求出CN的斜率為定值1，若CN的斜率存在，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去，利用韋達定理表示，然后用表示CN的斜率并化簡出結(jié)果.
【詳解】（1）由已知可得解得，所以橢圓E的方程為.
（2）當直線斜率不存在時，直線的方程為，代入橢圓方程得，不妨設(shè)此時
，則，則直線NC的斜率為.
當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，設(shè)
則直線MQ的方程為，令，得，
由消去得：，
由于點P在橢圓內(nèi)，則必有，則
所以
所以，所以CN的斜率為定值1.

20．(1)
(2)，無極小值
(3)當時有一個零點，當時無零點
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程；
（2）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出極值；
（3）依題意可得，令，則判斷的零點個數(shù)，即判斷的零點個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，求出，再令，，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，即可求出，從而得解.
【詳解】（1）當時，則，，
所以，
所以曲線在點處的切線方程為.
（2）函數(shù)的定義域為，且，
令，則，
因為，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
即在上單調(diào)遞減，
又，
所以當時，當時，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，無極小值.
（3）令，即，
因為，所以，
令，
所以判斷的零點個數(shù)，即判斷的零點個數(shù)，
又，，
所以當時，當時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
令，，
則，因為，所以，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，當且僅當時等號成立，
所以當時有一個零點，即有一個零點，
當時無零點，即無零點，
綜上可得當時有一個零點，當時無零點.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問的關(guān)鍵是首先將問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求出，再構(gòu)造函數(shù)，.
21．(1),，
(2)或，理由見解析，
(3)證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)題意直接代入即可；
（2）由中最大和最小元素是和, 所以有， 則，所以.進而分類討論即可；
（3）受（2）問啟發(fā)，分別找出和中最大和最小元素，根據(jù)已知，則對應(yīng)元素相等，再由得到，又，是中元素，又，,所以中元素比大的只可能有，，，，進而得證.
【詳解】（1）由，得，，，，所以；
由得,,,,所以.
（2）
由，所以，，所以對于，有， 則，所以.
當，由得，又，所以不符合題意，舍去；
當，由得，又，所以，
經(jīng)檢驗不符合題意，舍去, 或符合題意；
（3）
，，
中最小元素是，最大元素是，
同理，中最小元素是，最大元素是，
又因為，所以，，即，
又，，,
又，又，是中元素，
又，
,所以中元素比大的只可能有，，，
，又,，
， 使得 ．
【點睛】思路點睛：關(guān)于新定義題的思路有：
（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；
（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；
（3）將已知條件代入新定義的要素中；
（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識進行解答.
0
1
2
3

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