2024年北京市平谷區(qū)高三年級(jí)一模數(shù)學(xué)試卷及參考答案

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本試卷共9頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合
題目要求的一項(xiàng)。
1. 已知集合，，則
A.B.
C.D.
2. 已知復(fù)數(shù)，則
A.B.C.D.
3. 在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為
A.B.C.D.
4. 下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是
A.B.
C.D.
5. 在，“”是“”的
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
6. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上. 若，則
A.B.C.D.
7. 已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，，，，，則滿(mǎn)足
的數(shù)值
A.有且僅有個(gè)值B.有且僅有個(gè)值
C.有且僅有個(gè)值D.有無(wú)數(shù)多個(gè)值
8. 一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形鐵片，把圖中所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，則這個(gè)容器側(cè)面與底面的夾角正切值為
A.B.
C.D.
9. 已知，，是曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是
A.B.C.D.
10. 設(shè)點(diǎn)，動(dòng)直線，作于點(diǎn)，則點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最小值為
A.B.C.D.
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
11. 函數(shù)的定義域是________.
12. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
則________；雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_______.
13. 設(shè)，. 若對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，則滿(mǎn)足條件的所有可能的取值為_(kāi)_______.
14. 若的面積為，且為鈍角，則________；的取值范圍是________.
15. 已知函數(shù)，設(shè). 給出下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，不存在最小值；
②當(dāng)，在為增函數(shù)；
③當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得有三個(gè)零點(diǎn)；
④當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得有三個(gè)零點(diǎn).
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.
三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。
16.（本小題13分）
已知函數(shù)，其中. 再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，使存在，并完成下列兩個(gè)問(wèn)題.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，函數(shù)在區(qū)間上最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
條件①：對(duì)任意的，都有成立；
條件②：；
條件③：.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問(wèn)得分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件
分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
17.（本小題14分）
如圖，在三棱柱中，側(cè)面和均為正方形，，
平面平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn).
（Ⅰ）若直線平面，求證：為線段的中點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線與平面所成角的正弦值為，
求線段的長(zhǎng).
18.（本小題13分）
某超市隨機(jī)選取位顧客，記錄了他們購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“√”表示購(gòu)買(mǎi)，“×”表示未購(gòu)買(mǎi).
（Ⅰ）試估計(jì)顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)了甲、乙兩種商品的概率；
（Ⅱ）假設(shè)每位顧客是否購(gòu)買(mǎi)這四種商品是相互獨(dú)立的，在近期內(nèi)再對(duì)這四種商品購(gòu)買(mǎi)
情況進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取名顧客，試估計(jì)恰有名顧客購(gòu)買(mǎi)了兩種商品，名顧客購(gòu)買(mǎi)
了一種商品，名顧客購(gòu)買(mǎi)了三種商品的概率；
（Ⅲ）如果顧客購(gòu)買(mǎi)了甲商品，則該顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)丙、丁中哪種商品的可能性最大.
（結(jié)論不要求證明）
19.（本小題15分）
已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，直線交直線
于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，直線交軸于，直線交軸于，求證：點(diǎn)為線段的中點(diǎn).
20.（本小題15分）
設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求證：.
21.（本小題15分）
已知是無(wú)窮數(shù)列，對(duì)于，給出三個(gè)性質(zhì)：
①；
②；
③.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若，直接寫(xiě)出的一個(gè)值，使數(shù)列滿(mǎn)足性質(zhì)②；
（Ⅱ）若和時(shí)，數(shù)列同時(shí)滿(mǎn)足條件②③，證明：是等差數(shù)列；
（Ⅲ）當(dāng)，時(shí)，數(shù)列同時(shí)滿(mǎn)足條件①③，求證：數(shù)列為常數(shù)列.商品
顧客人數(shù)
甲
乙
丙
丁
100
√
×
×
√
217
√
√
×
×
200
√
√
√
×
250
√
×
√
×
100
×
×
×
√
133
√
×
√
×