2024年北京市東城區(qū)高三年級一模數(shù)學(xué)試卷及參考答案

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本試卷共10頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合
題目要求的一項(xiàng)。
1. 如圖所示，是全集，是的子集，則陰影部分所表示的集合是
A.
B.
C.
D.
2. 已知，，且，則
A.B.
C.D.
3. 已知雙曲線的離心率為，則
A.B.C.D.
4. 設(shè)函數(shù)，則
A.B.
C.D.
5. 已知函數(shù)的最小正周期為，最大值為，則函數(shù)的圖象
A.關(guān)于直線對稱B.關(guān)于點(diǎn)對稱
C.關(guān)于直線對稱D.關(guān)于點(diǎn)對稱
6. 已知，若，則的取值可以為
A.B.C.D.
7. 《天工開物》是我國明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法. 某校高一年級計(jì)劃實(shí)踐這種方法，為同學(xué)們準(zhǔn)備了制瓦用的粘土和圓柱形的木質(zhì)圓桶，圓桶底面外圓的直徑為cm，高為. 首先，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确荩ㄈ鐖D），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦. 每位同學(xué)制作四片瓦，全年級共人，需要準(zhǔn)備的粘土量
（不計(jì)損耗）與下列哪個數(shù)字最接近. （參考數(shù)據(jù)：）
A.
B.
C.
D.
8. 設(shè)等差數(shù)列的公差為，則“”是“為遞增數(shù)列”的
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
9. 如圖1，正三角形與以為直徑的半圓拼在一起，是的中點(diǎn)，為的中心. 現(xiàn)將沿翻折為，記的中心為，如圖2. 設(shè)直線與平面所成的角為，則的最大值為
圖1 圖2
A.B.C.D.
10. 已知是定義在上的函數(shù)，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，設(shè)函數(shù)
，下列說法正確的是
A.若在上單調(diào)遞增，則存在實(shí)數(shù)，使得在上單調(diào)遞增
B.對于任意實(shí)數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增
C.對于任意實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得，則存在實(shí)數(shù)，使得
D.若函數(shù)滿足：當(dāng)時，，當(dāng)時，，則
為的最小值
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
11. 若復(fù)數(shù)，則________.
12. 設(shè)向量，，且，則________.
13. 已知角的終邊關(guān)于直線對稱，且，則的一組取值可以是
________，________.
14. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為________；拋物線
的焦點(diǎn)為，若直線分別與交于兩點(diǎn)，且，
則________.
15. 已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足，其中常數(shù). 給出下列四個判斷：
①若，，則；
②若，則；
③若，，則；
④，存在實(shí)數(shù)，使得.
其中所有正確判斷的序號是________.
三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
16.（本小題13分）
在中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，為邊的中點(diǎn)，且，求的值.
17.（本小題13分）
某中學(xué)為了解本校高二年級學(xué)生閱讀水平現(xiàn)狀，從該年級學(xué)生中隨機(jī)抽取人進(jìn)行一般現(xiàn)代文閱讀速度的測試，以每位學(xué)生平均每分鐘閱讀的字?jǐn)?shù)作為該學(xué)生的閱讀速度，將測試結(jié)果整理得到如下頻率分布直方圖：
（Ⅰ）若該校高二年級有人，試估計(jì)閱讀速度達(dá)到字分鐘及以上的人數(shù)；
（Ⅱ）用頻率估計(jì)概率，從該校高二學(xué)生中隨機(jī)抽取人，設(shè)這人中閱讀速度達(dá)到
字分鐘及以上的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）若某班有名學(xué)生參加測試，他們的閱讀速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，從這名學(xué)生中隨機(jī)抽取人，設(shè)這人中閱讀速度達(dá)到字分鐘及以上的人數(shù)為，試判斷數(shù)學(xué)期望與（Ⅱ）中的的大小.（結(jié)論不要求證明）
18.（本小題14分）
如圖，在五面體中，底面為正方形，，.
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，再從條件①、
條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.
條件①：；
條件②：.
注：如果選擇條件①、條件②分別解答，
按第一個解答計(jì)分.
19.（本小題15分）
已知函數(shù).
（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)，求函數(shù)的最小值；
（Ⅲ）若，求實(shí)數(shù)的值.
20.（本小題15分）
已知橢圓的短軸長為，離心率.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線是圓的一條切線，且直線與橢圓交于
兩點(diǎn)，若平行四邊形的頂點(diǎn)恰好在橢圓上，求平行四邊形的面積.
21.（本小題15分）
有窮數(shù)列中，令
當(dāng)時，規(guī)定.
（Ⅰ）已知數(shù)列. 寫出所有的有序數(shù)對，且，使得；
（Ⅱ）已知整數(shù)列，為偶數(shù)，若，滿足：當(dāng)為奇數(shù)時，
；當(dāng)為偶數(shù)時，. 求的最小值；
（Ⅲ）已知數(shù)列滿足，定義集合.
若且為非空集合，求證：.