?
高三數(shù)學(xué)一模試卷
一、單項(xiàng)選擇題
1.集合 ，那么 〔??? 〕
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?



2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于〔??? 〕
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限

???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限



3.某中學(xué)高一?高二和高三各年級(jí)人數(shù)見(jiàn)下表.采用分層抽樣的方法調(diào)查學(xué)生的健康狀況，在抽取的樣本中，高二年級(jí)有20人，那么該樣本中高三年級(jí)的人數(shù)為〔??? 〕
年級(jí)
人數(shù)
高一
550
高二
500
高三
450
合計(jì)
1500
A.?18?????????????????????????????????????????B.?22?????????????????????????????????????????C.?40?????????????????????????????????????????D.?60



4.某四棱錐的三視圖如下列圖，該四棱錐的體積為〔? ??〕

A.??????????????????????????????????????????B.?9?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?27



5.圓 截直線 所得弦的長(zhǎng)度為1，那么k的值為〔??? 〕
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?



6.函數(shù) ，那么不等式 的解集為〔??? 〕
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?



7.“ 〞是“ 〞成立的〔??? 〕
A.?充分而不必要條件?????????B.?必要而不充分條件

?????????C.?充分必要條件?????????D.?既不充分也不必要條件



8.寬與長(zhǎng)的比為 的矩形叫做黃金矩形.它廣泛的出現(xiàn)在藝術(shù)?建筑?人體和自然界中，令人賞心悅目.在黃金矩形 中， ，那么 的值為〔??? 〕
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????D.?



9.橢圓 的右焦點(diǎn)F與拋物線 的焦點(diǎn)重合，P為橢圓 與拋物線 的公共點(diǎn)，且 軸，那么橢圓 的離心率為〔??? 〕
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?



10.如圖，將線段 用一條連續(xù)不間斷的曲線 連接在一起，需滿足要求：曲線 經(jīng)過(guò)點(diǎn)B ， C ， 并且在點(diǎn)B ， C處的切線分別為直線 ，那么以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔??? 〕

A.?存在曲線 滿足要求


B.?存在曲線 滿足要求


C.?假設(shè)曲線 和 滿足要求，那么對(duì)任意滿足要求的曲線 ，存在實(shí)數(shù) ，使得


D.?假設(shè)曲線 和 滿足要求，那么對(duì)任意實(shí)數(shù) ，當(dāng) 時(shí)，曲線 滿足要求



二、填空題
11.的展開(kāi)式中， 的系數(shù)為_(kāi)_______.(用數(shù)字作答)
12.函數(shù) ，其中x和 局部對(duì)應(yīng)值如下表所示：


0




-2

-2
2

那么 ________.
A是非空數(shù)集，假設(shè)對(duì)任意 ，都有 ，那么稱A具有性質(zhì)P.給出以下命題：
①假設(shè)A具有性質(zhì)P ， 那么A可以是有限集；
②假設(shè) 具有性質(zhì)P ， 且 ，那么 具有性質(zhì)P；
③假設(shè) 具有性質(zhì)P ， 那么 具有性質(zhì)P；
④假設(shè)A具有性質(zhì)P ， 且 ，那么 不具有性質(zhì)P.
其中所有真命題的序號(hào)是________.
14.雙曲線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，那么m的值為_(kāi)_______，C的漸近線方程為_(kāi)_______.
15. 為等比數(shù)列， ，那么 的公比為_(kāi)_______，數(shù)列 的前5項(xiàng)和為_(kāi)_______.
三、解答題
16.如圖，在長(zhǎng)方體 中，四邊形 是邊長(zhǎng)為1的正方形， ，M ， N分別為 的中點(diǎn).

〔1〕求證： 平面 ；
〔2〕求直線 與平面 所成角的正弦值.
17.在 中， ， ，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為，求：
〔1〕的值；
〔2〕角 的大小和 的面積.
條件①： ；條件②： .
注：如果選擇條件①?條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
18.小明同學(xué)兩次測(cè)試成績(jī)(總分值100分)如下表所示：

語(yǔ)文
數(shù)學(xué)
英語(yǔ)
物理
化學(xué)
生物
第一次
87
92
91
92
85
93
第二次
82
94
95
88
94
87
〔1〕從小明同學(xué)第一次測(cè)試的科目中隨機(jī)抽取1科，求該科成績(jī)大于90分的概率；
〔2〕從小明同學(xué)第一次測(cè)試和第二次測(cè)試的科目中各隨機(jī)抽取1科，記X為抽取的2科中成績(jī)大于90分的科目數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望 ；
〔3〕現(xiàn)有另一名同學(xué)兩次測(cè)試成績(jī)(總分值100分)及相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息如下表所示：

語(yǔ)文
數(shù)學(xué)
英語(yǔ)
物理
化學(xué)
生物
6科成績(jī)均值
6科成績(jī)方差
第一次








第二次








將每科兩次測(cè)試成績(jī)的均值作為該科的總評(píng)成績(jī)，這6科總評(píng)成績(jī)的方差為 .有一種觀點(diǎn)認(rèn)為：假設(shè) ，那么 .你認(rèn)為這種觀點(diǎn)是否正確？(只寫(xiě)“正確〞或“不正確〞)
19.函數(shù) ，其中 .
〔1〕當(dāng) 時(shí)，求 的單調(diào)區(qū)間；
〔2〕假設(shè)曲線 在點(diǎn) 處的切線與y軸的交點(diǎn)為 ，求 的最小值.
20.橢圓 過(guò)點(diǎn) ，且焦距為 .
〔1〕求橢圓C的方程；
〔2〕過(guò)點(diǎn) 的直線l(不與x軸重合)與橢圓C交于P ， Q兩點(diǎn)，點(diǎn)T與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，直線 與x軸交于點(diǎn)H ， 是否存在常數(shù) ，使得 成立，假設(shè)存在，求出 的值；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.
21.設(shè) 為正整數(shù)，假設(shè) 滿足：① ；②對(duì)于 ，均有 ；那么稱 具有性質(zhì) .對(duì)于 和 ，定義集合 .
〔1〕設(shè) ，假設(shè) 具有性質(zhì) ，寫(xiě)出一個(gè)及相應(yīng)的 ；
〔2〕設(shè) 和 具有性質(zhì) ，那么 是否可能為 ，假設(shè)可能，寫(xiě)出一組 和 ，假設(shè)不可能，說(shuō)明理由；

答案解析局部
一、單項(xiàng)選擇題
1.【解析】【解答】由題意，集合 ，可得 .
故答案為：C.

【分析】進(jìn)行并集的運(yùn)算即可。
2.【解析】【解答】因?yàn)?，
所以 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 ，它位于第二象限.
故答案為：B

【分析】 把的等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，得到 ?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得答案．
3.【解析】【解答】設(shè)該樣本中高三年級(jí)的人數(shù)為 人，
根據(jù)分層抽樣的概念及方法，可得 ，解得 人.
故答案為：A.

【分析】 先計(jì)算出總體中高二年級(jí)與高三年級(jí)的比例，那么有分層抽樣的特點(diǎn)進(jìn)行求解即可．
4.【解析】【解答】由三視圖可知，該四棱錐的底面為邊長(zhǎng)為 的正方形，高為 ，如圖：
?
所以該四棱錐的體積為 .
故答案為：B

【分析】 利用三視圖判斷幾何體的形狀，然后通過(guò)三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積．
5.【解析】【解答】圓 的圓心為 ，半徑 ，
圓心 到直線 的距離 ，
由 得 ，得 ，
又因?yàn)?，所以 .
故答案為：D

【分析】 先由點(diǎn)到直線的距離公式，求得圓心〔0，0〕到直線的距離，再由弦長(zhǎng)公式，即可得解．
6.【解析】【解答】作出函數(shù) 與 的圖象：

由圖可知：不等式 的解集為 .
故答案為：C

【分析】作出函數(shù) 與 的圖象，由圖可知 ?的解集 。
7.【解析】【解答】由題意，利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知： ，故必要性成立，而 ，但不能確定 是否小于0，小于0時(shí)函數(shù)無(wú)意義，故 不能推出 ，故充分性不成立，所以“ 〞是“ 〞的必要而不充分條件.
故答案為：B.

【分析】 根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．
8.【解析】【解答】由 ， ，解得：
如下列圖，建立直角坐標(biāo)系，那么 ， ， ，

那么 ， ，
故答案為：C

【分析】 由黃金矩形ABCD的定義，可得AB，再由勾股定理和向量數(shù)量積的定義，計(jì)算可得所求值．
9.【解析】【解答】由 得 ，
不妨設(shè) 在第一象限，因?yàn)?軸， ，所以 ，
又在橢圓 中， ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
整理得 ，解得 或 〔舍〕，
故答案為：A

【分析】 不妨取點(diǎn)P在第一象限，得其坐標(biāo)，并代入橢圓C的方程，可得， ， 解方程可得 ??的離心率。
10.【解析】【解答】由圖知點(diǎn) ，所以直線AB的方程為 ，直線CD的方程為 ，
所以 ，
對(duì)于A：曲線 的導(dǎo)函數(shù)為 ，由圖象知當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，代入 中得解：
，所以 ，而 ，所以點(diǎn) 不在曲線上，A不正確；
對(duì)于B：曲線 的導(dǎo)函數(shù)為 ，
當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，代入 得
，即 ，又由 ，得 ，方程組中a ， b不可解，B不正確；
對(duì)于C：根據(jù)條件存在無(wú)數(shù)個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)滿足題意，但多項(xiàng)式之間不一定有線性關(guān)系，C不正確；
對(duì)于D：當(dāng) 時(shí)，有 ，即 ，故當(dāng) 時(shí)，曲線 滿足要求，D符合題意，
故答案為：D.

【分析】 利用題中給出的圖形，分析可知y=f〔x〕需滿足f〔1〕=3，f'〔1〕=-1，f〔2〕=1，然后依次對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可．
二、填空題
11.【解析】【解答】 的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 ， ，
令 ，得 ，
所以 的系數(shù)為 .
故答案為：5

【分析】 求出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為2，由此即可求解．
12.【解析】【解答】由題意可得 ，即 ，
所以 ，所以 ，
又因?yàn)?，所以 ，所以 .
故答案為：4.

【分析】 結(jié)合函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入后結(jié)合同角平方關(guān)系可求A．
13.【解析】【解答】對(duì)于①，取集合 具有性質(zhì)P ， A可以是有限集，故①正確；
對(duì)于②，取 ，那么 ， ， ， ，又 具有性質(zhì)P ， ， ， ，所以 具有性質(zhì)P ， 故②正確；
對(duì)于③，取 ， ， ， ，但 ，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，假設(shè) 具有性質(zhì)P ， 即對(duì)任意 ，都有 ，即對(duì)任意 ，都有 ，舉反例 ，取 ， ，但 ，故假設(shè)不成立，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①②

【分析】 根據(jù)中的性質(zhì)P，逐一分析給定四個(gè)命題的真假，可得答案．
14.【解析】【解答】由題意，雙曲線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，可得 ，解得 ，
即雙曲線的方程為 ，那么其漸近線的方程為 .
故答案為：4；y=±2x.

【分析】 利用雙曲線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，求解m，然后求解雙曲線方程，得到漸近線方程即可．
15.【解析】【解答】設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ，
因?yàn)?，可得 ，解得 ；
又由 ，且 ，所以數(shù)列 構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
那么數(shù)列 的前5項(xiàng)和為 .
故答案為： ；31.

【分析】 根據(jù)題意，設(shè)的公比為q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，解可得q的值，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列是首項(xiàng)， 公比為的等比數(shù)列，據(jù)此計(jì)算可得答案．
三、解答題
16.【解析】【分析】 〔1〕取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OM，ON，先證明OM∥CD， ? ，再證明 ??，?? ，從而證明 ? ，利用線面平行的判定定理證明即可；
〔2〕建立適宜的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出平面 ? 的法向量，由向量的夾角公式求解即可．
17.【解析】【分析】 選條件①：〔1〕利用余弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果；〔2〕利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦定理和三角形的面積求出結(jié)果；
選條件②時(shí)，〔1〕利用三角函數(shù)的角的變換和正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果；〔2〕利用三角函數(shù)的角的變換和三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．
18.【解析】【分析】 〔1〕由表中的數(shù)據(jù)可得，小明同學(xué)第一次測(cè)試的6科中，由4科成績(jī)大于90分，利用古典概型的概率公式求解即可；
〔2〕首先確定X的可能取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解期望即可；
〔3〕通過(guò)方差含義進(jìn)行分析即可．
?
?
19.【解析】【分析】〔1〕 由題意，函數(shù)??，可得?? ， 當(dāng)??時(shí)，?，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可求出 ?的單調(diào)區(qū)間；
〔2〕 由〔1〕知??，可得??， 可得切線方程 ， 令??，可得??， 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可求出 ?的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出 ?的最小值 。
?
?
20.【解析】【分析】 〔1〕橢圓C過(guò)點(diǎn)D〔-2，0〕，且焦距為 ，列方程組，解得a，b，c，即可得出答案．
〔2〕“存在常數(shù)λ，使得|AD|?|DH|=λ〔|AD|-|DH|〕成立“等價(jià)于“存在常數(shù)λ，使得 ? 成立〞，即“存在常數(shù)λ，使得? 成立〞，聯(lián)立直線與橢圓的相交問(wèn)題，結(jié)合韋達(dá)定理可得x1+x2 ， x1x2 ， 即可得出答案．
21.【解析】【分析】?〔1〕此題屬于新定義類(lèi)型題，可根據(jù)題意舉例進(jìn)行直接進(jìn)行求解；
〔2〕利用反證法進(jìn)行求解即可。

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