考查目標(biāo)
1．知識(shí)：人教版八年級(jí)下冊(cè)《二次根式》、《勾股定理》、《平行四邊形》全部?jī)?nèi)容，《一次函數(shù)》部分內(nèi)容．
2．能力：數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，邏輯推理能力，閱讀理解能力，實(shí)際應(yīng)用能力，數(shù)形結(jié)合能力，分類(lèi)討論能力．
考生須知：
1．本試卷分為第I卷、第Ⅱ卷和答題卡，共16頁(yè)；其中第I卷2頁(yè)，第Ⅱ卷6頁(yè)，答題卡8頁(yè)．全卷共三大題，28道小題．
2．本試卷滿(mǎn)分100分，考試時(shí)間120分鐘．
3．在第I卷、第Ⅱ卷指定位置和答題卡的密封線內(nèi)準(zhǔn)確填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考號(hào)、座位號(hào)．
4．考試結(jié)束，將答題卡交回．
第I卷（選擇題共16分）
一、選擇題（以下每題只有一個(gè)正確的選項(xiàng)，每小題2分，共18分）
1. 下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用最簡(jiǎn)二次根式的條件進(jìn)行選擇即可．
【詳解】解：A．被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)，故A不符合題意；
B．，故B不符合題意；
C．，故C不符合題意；
D．是最簡(jiǎn)二次根式，故D符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)最簡(jiǎn)二次根式的定義的理解與運(yùn)用，判斷最簡(jiǎn)二次根式可以從以下三個(gè)方面入手：（1）根號(hào)內(nèi)不含分母；（2）分母中不含有根號(hào)；（3）被開(kāi)方數(shù)不含有開(kāi)方開(kāi)得盡的因數(shù)或因式．
2. 下列各組數(shù)分別是三條線段的長(zhǎng)度，其中能?chē)芍苯侨切蔚氖牵? ）
A. 1，1，2B. 1，2，3C. 3，4，5D. 2，3，4
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．
【詳解】解：A、，故不是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、，故不是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、，故是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；
D、，故不是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
3. 若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，由題意得出一次函數(shù)隨的增大而減小，即可得出，求解即可，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意得：一次函數(shù)隨的增大而減小，
，
解得：，
故選：A．
4. 下列不能表示y是x的函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，一個(gè)x只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y，函數(shù)的表示方法有圖象法，列表法和關(guān)系式法，根據(jù)定義判斷即可．
【詳解】解：A選項(xiàng)是列表法表示的函數(shù)，，一個(gè)x只對(duì)應(yīng)了一個(gè)y，所以y是x的函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；
B選項(xiàng)從圖象上看，一個(gè)x對(duì)應(yīng)了兩個(gè)y，不符合函數(shù)定義，故本選項(xiàng)符合題意；
C選項(xiàng)從圖象上看，一個(gè)x對(duì)應(yīng)了一個(gè)y，符合函數(shù)定義，故本選項(xiàng)不符合題意；
D選項(xiàng)是關(guān)系式法表示的函數(shù)，一個(gè)x對(duì)應(yīng)了一個(gè)y，符合函數(shù)定義，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義，掌握函數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．
5. 順次連接矩形各邊的中點(diǎn)，所成的四邊形一定是（ ）
A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 不確定
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了三角形中位線定理，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握三角形中位線平行于第三條邊，且等于等三條邊的一半．連接、，由三角形中位線定理可知，，，，，再結(jié)合矩形的性質(zhì)，得出，即可判斷四邊形的形狀．
【詳解】解：如圖，連接、，

、、、分別是、、、的中點(diǎn)，
是的中位線，是的中位線，是的中位線，是的中位線，
，，，，
在矩形中，，
，
四邊形為菱形．
故選A．
6. 如圖，在中，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)．連接，且，則的長(zhǎng)是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，由三角形中位線定理得出，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，即可得解．
【詳解】解：點(diǎn)分別是邊中點(diǎn)，
是的中位線，
，
，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
故選：A．
7. 如圖，將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，，則重疊部分（即）的面積為（ ）
A. 6B. 10C. 12D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積公式，由矩形的性質(zhì)得出，從而得出，結(jié)合折疊的性質(zhì)得出，推出，設(shè)，則，由勾股定理求出，再由三角形面積公式計(jì)算即可得出答案．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，，
，
由折疊的性質(zhì)可得：，
，
，
設(shè)，則，
由勾股定理得：，即，
解得：，
，
，
故選：B．
8. 勾股定理是人類(lèi)最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了“趙爽弦圖”，流傳至今．如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，設(shè)每個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為，斜邊為，給出下面三個(gè)結(jié)論：
①； ②； ③．
上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理，因式分解的應(yīng)用．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得： ，故①正確；再由，可得，故②正確；根據(jù)，可得，故③正確，即可．
【詳解】解：由三角形的三邊關(guān)系得： ，故①正確；
∵，
，
即，故②正確；
由勾股定理得：，
∵，
∴
，
∴，
∵，
∴，故③正確；
故選：D．
第II卷（非選擇題共84分）
二、填空題（共16分，每題2分）
9. 若式子有意義，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根據(jù)二次根式有意義的條件列不等式求解即將．
【詳解】解：若式子有意義，則，∴．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)題意正確列出不等式是解答本題的關(guān)鍵．
10. 當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了化簡(jiǎn)絕對(duì)值、二次根式的性質(zhì)，由題意得出，，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．
【詳解】解：，
，，
，
故答案為：．
11. 《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問(wèn)折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，問(wèn)折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為_(kāi)______________．
【答案】x2＋62＝(10－x)2
【解析】
【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由題意則有AC=x，AB=10﹣x，BC=6，根據(jù)勾股定理即可列出關(guān)于x的方程.
【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，折斷處離地面的高度為x尺，則AB=10﹣x，BC=6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10﹣x)2，
故答案為x2+62=(10﹣x)2．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確畫(huà)出圖形，熟練掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.
12. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)分別為，若直線與有公共點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____．

【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將、、分別代入一次函數(shù)解析式，求出的值，即可得出答案．
【詳解】解：直線與有公共點(diǎn)，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，解得：，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，解得：，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，解得：，
的取值范圍為，
故答案為：．
13. 如圖，在正方形中，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為_(kāi)_____．
【答案】##60度
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，作于，則，由正方形的性質(zhì)得出，，則四邊形為矩形，得出，求出，證明，即可得解．
【詳解】解：如圖，作于，則，
四邊形是正方形，
，，
，，
四邊形為矩形，
，
，
，
，
，即，
故答案為：．
14. 如圖，已知菱形的兩條對(duì)角線分別為6和8，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，菱形的面積，解此題的關(guān)鍵是能確定出當(dāng)時(shí)有最小值．作M關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接，交于P，連接，則，要使的值最小，則當(dāng)時(shí)，有最小值，則連接，求出，根據(jù)勾股定理求出長(zhǎng)，再根據(jù)等面積法即可得出答案．
【詳解】解：作M關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接，交于P，連接，
，
要使的值最小，即要最小，
四邊形是菱形，
，
又 ，是邊的中點(diǎn)，
即Q在上，且為中點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，有最小值，
四邊形是菱形，
的值最小為，
故答案為：．
15. 如圖，在等邊中，，射線，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)．如果點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則當(dāng)_____時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
【答案】或
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的判定、一元一次方程的應(yīng)用，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)時(shí)；由當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，建立一元一次方程，解方程即可得出答案．
【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時(shí)，
由題意得：，，則，
，
當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，即，
解得：；
當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)時(shí)，
由題意得：，，則，
，
當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，即，
解得：；
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
故答案為：或．
16. 已知A、B兩地是一條直路，甲騎自行車(chē)從A地到B地，乙騎摩托車(chē)從B地到A地，兩人同時(shí)出發(fā)，乙先到達(dá)目的地，兩人之間的距離與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系大致如圖所示，則下列結(jié)論正確的有_______．
①兩人出發(fā)后相遇；②甲騎自行車(chē)的速度為；③乙比甲提前到達(dá)目的地；④乙到達(dá)目的地時(shí)兩人相距．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本題主要考查了從函數(shù)圖象獲取信息，解題的關(guān)鍵在于能夠正確讀懂函數(shù)圖象．先根據(jù)在一開(kāi)始時(shí)，兩人的距離為，得到A、B兩地的距離為，從而可以求出甲的速度，即可判斷②；根據(jù)在出發(fā)后，兩人相距為，即可判斷①；求出兩人的合速度，從而求出乙到達(dá)目的地的花費(fèi)時(shí)間即可判斷③④．
【詳解】解：∵在一開(kāi)始時(shí)，兩人的距離為，
∴A、B兩地的距離為，
∵乙先到底目的地，
∴甲到目的地花費(fèi)的時(shí)間為，
∴甲的速度為，故②正確；
∵在出發(fā)后，兩人相距為，即此時(shí)兩人相遇，故①正確；
∵兩人出發(fā)2h相遇，
∴兩人的合速度為，
∴乙的速度為，
∴乙到目的地花費(fèi)的時(shí)間為，
∴乙比甲提前到達(dá)目的地，故③錯(cuò)誤；
∵，
∴乙到達(dá)目的地時(shí)兩人相距，故④正確；
∴正確的有①②④，
故答案為：①②④．
三、解答題（共68分，其中第17—22題每題5分，第23—26題每題6分，第27—28題每題7分）
17. 計(jì)算：．
【答案】3
【解析】
【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值、二次根式的除法法則是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值、二次根式的除法，再進(jìn)行加減計(jì)算即可．
【詳解】解：原式
．
18. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的性質(zhì)，計(jì)算即可得出答案．
【詳解】解：
．
19. 已知，求代數(shù)式的值．
【答案】6
【解析】
【分析】本題考查了求代數(shù)式的值，完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式，
利用完全平方公式進(jìn)行求解即可
【詳解】解：
20. 分別在以下網(wǎng)格中畫(huà)出圖形．
（1）在圖1中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫(huà)一個(gè)面積為5的正方形；
（2）在圖2中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫(huà)出一個(gè)腰長(zhǎng)為，面積為3的等腰三角形．
【答案】（1）作圖見(jiàn)解析
（2）作圖見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查了作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，
（1）由正方形的面積可得出正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求解；
（2）根據(jù)腰長(zhǎng)利用勾股定理求出底，高，即可求解；
【小問(wèn)1詳解】
解：
此正方形的邊長(zhǎng)為，
由勾股定理得：，
故作圖如下：
【小問(wèn)2詳解】
解：，
則等腰三角形的底、高分別為、3，
，
則作圖如下：
21. 如圖，中，．
求作：矩形．
作法：
①作線段的垂直平分線交于點(diǎn)；
②連接并延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上截取；
③連接．
則四邊形為所求作的矩形．
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明．
證明：是線段的垂直平分線，
，
，
四邊形為平行四邊形（______）（填推理依據(jù)）．
，
平行四邊形為矩形（______）（填推理依據(jù)）．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；有一個(gè)角是直角的四邊形是平行四邊形
【解析】
【分析】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定、矩形的判定、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)作圖過(guò)程即可補(bǔ)全圖形；
（2）根據(jù)平行四邊形的判定與矩形的判定方法即可完成證明．
【小問(wèn)1詳解】
解：補(bǔ)全圖形如圖所示：
【小問(wèn)2詳解】
證明：是線段的垂直平分線，
，
，
四邊形為平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．
，
平行四邊形為矩形（有一個(gè)角是直角的四邊形是平行四邊形），
故答案為：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；有一個(gè)角是直角的四邊形是平行四邊形．
22. 小東和小明要測(cè)量校園里的一塊四邊形場(chǎng)地 ABCD（如圖所示）的周長(zhǎng)，其中邊 CD上有水池及建筑遮擋，沒(méi)有辦法直接測(cè)量其長(zhǎng)度．
小東經(jīng)測(cè)量得知 AB=AD=5 m，∠A=60°，BC=12 m，∠ABC=150°．
小明說(shuō)根據(jù)小東所得的數(shù)據(jù)可以求出 CD 的長(zhǎng)度．
你同意小明的說(shuō)法嗎？若同意，請(qǐng)求出 CD 的長(zhǎng)度；若不同意，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】同意，13m
【解析】
【分析】直接利用等邊三角形的判定方法得到△ABD是等邊三角形，再利用勾股定理得出答案即可．
【詳解】解：同意，理由如下：
連接 BD
∵AB=AD=5，∠A=60°
∴△ABD是等邊三角形
∴BD=AB=5，∠ABD=60°
∵∠ABC=150°
∴∠CBD=∠ABC－∠ABD=150°－60°=90°
在中，BD=5，BC=12
∴
答：CD的長(zhǎng)度為13米．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及等邊三角形的判定，正確得出△ABD是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
23. 在平面直角坐標(biāo)系中，某一次函數(shù)的圖象是由直線平移得到的且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
（1）求此一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)為此一次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且的面積為6，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）此一次函數(shù)的解析式為
（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【解析】
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、三角形面積公式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)此一次函數(shù)的解析式為：，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）求出，得到，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)的面積為6得出，求出的值即可得解．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)此一次函數(shù)的解析式為：，
將代入解析式得：，
解得：，
此一次函數(shù)的解析式為；
小問(wèn)2詳解】
解：在中，當(dāng)時(shí)，，
，
，
設(shè)點(diǎn)，
的面積為6，
，
解得：或，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
24. 如圖，矩形中，，相交于點(diǎn)O，，．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，求四邊形的面積．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，，得出四邊形是平行四邊形，再由矩形的性質(zhì)得出，從而可證明四邊形是菱形；
（2）連接交于點(diǎn)，由菱形的性質(zhì)得出，，，由，證明是等邊三角形，求出，再由勾股定理求出，進(jìn)而，即可得出答案．
【小問(wèn)1詳解】
證明：如圖1，
，，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是矩形，
，，，
，
四邊形是菱形；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖2，連接交于點(diǎn)，
四邊形是菱形，
，，，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形面積公式．
25. 如圖，在等腰中，．點(diǎn)為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)處停止，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，點(diǎn)的距離為．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)；
（3）解決問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)的距離恰好是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程的2倍時(shí)，點(diǎn)的距離是______．
【答案】（1）
（2）圖見(jiàn)解析，函數(shù)的最大值為
（3）
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，含角的直角三角形的性質(zhì)，理解題意，正確求出函數(shù)解析式，采用分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．
（1）分兩種情況討論，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)（1）中的解析式畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解；
（3）分兩種情況，分別建立方程，求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：，
，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，
，
由題意得：，則，
，，
，
；
當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，
，
由題意得：，則，
，，
，
；
綜上所述，；
【小問(wèn)2詳解】
解：畫(huà)出函數(shù)圖象如圖所示：
，
由圖象可得，函數(shù)的最大值為；
【小問(wèn)3詳解】
解：當(dāng)時(shí)，由題意得：，
解得：，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，由題意得：，
解得：（不符合題意，舍去）；
綜上所述：當(dāng)點(diǎn)的距離恰好是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程的2倍時(shí)，點(diǎn)的距離是，
故答案為：．
26. 閱讀：將一個(gè)量，用兩種方法分別計(jì)算一次，由結(jié)果相同構(gòu)造等式解決問(wèn)題，這種思維方法稱(chēng)為“算兩次”原理．在學(xué)習(xí)第十七章勾股定理時(shí)，我們就是利用“算兩次”原理，用不同的方式表示同一圖形的面積，探究出了勾股定理．
（1）【問(wèn)題探究】
小明嘗試用“算兩次”原理解決下面的問(wèn)題：
如圖1，在中，，求斜邊邊上的高的值．
小明用兩種方法表示出的面積：
①；
②．
圖1
由勾股定理，得斜邊的長(zhǎng)度為5，由此可以算出______．
（2）【學(xué)以致用】
如圖2，在矩形中，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為．則可以運(yùn)用“算兩次”原理，用不同的方式表示的面積，求出的值為_(kāi)_____．
圖2
（3）【拓展延伸】
如圖3，已知直線與直線相交于點(diǎn)，且這兩條直線分別與軸交于點(diǎn)．在線段上有一點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離為4，請(qǐng)利用以上所學(xué)的知識(shí)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
圖3
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用兩種不同的方法表示同一個(gè)三角形的面積．
（1）根據(jù)題意，得即可；
（2）連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，求出，再根據(jù)即可；
（3）過(guò)作于，過(guò)作于，連接，根據(jù)即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意，得，
，
故答案為：；
【小問(wèn)2詳解】
解：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
在矩形中，，
，，
，
解得：，
，
，
，
故答案為：；
【小問(wèn)3詳解】
過(guò)作于，過(guò)作于，連接，如圖：
在中，令得，
，
在中令得，
，
聯(lián)立：，
解得：，
，
，，
，點(diǎn)到直線的距離為4，
，
解得，即的縱坐標(biāo)為，
在中，令得，
．
27. 如圖，正方形中，點(diǎn)是對(duì)角線上任意一點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為垂足，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）若，求的大小（用含的式子表示）；
（3）用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
（3），證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形和等腰直角三角形，
（1）根據(jù)描述即可解答；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可求出，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及三角形的外角性質(zhì)，即可求解，
（3）利用證明得出，再證明，以及可得出為等腰直角三角形，進(jìn)而可求解；
【小問(wèn)1詳解】
解：補(bǔ)全圖形如下：
【小問(wèn)2詳解】
解： 四邊形為正方形
為的中點(diǎn)，
【小問(wèn)3詳解】
解：
證明：連接，如圖所示：
四邊形為正方形
在和中，
，
為的中點(diǎn)，
由（2）可知
為等腰直角三角形，
28. 在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和線段，其中，給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)，使得，則稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于線段的“中旋點(diǎn)”．
（1）已知點(diǎn)，點(diǎn)是關(guān)于線段的“中旋點(diǎn)”．
①若點(diǎn)坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______；
②若點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，求線段長(zhǎng)的取值范圍；
（2）已知點(diǎn)，以為對(duì)角線構(gòu)造正方形，在該正方形邊上任取兩點(diǎn)（包括頂點(diǎn)）構(gòu)造線段，若直線上至少存在一個(gè)點(diǎn)關(guān)于的“中旋點(diǎn)”，直接寫(xiě)出的取值范圍．
【答案】（1）①；②
（2）或
【解析】
【分析】（1）①根據(jù)新定義求出，即可得到；②先求出直線解析式為，可設(shè)，則，利用勾股定理求出，再利用作差法證明當(dāng)時(shí)，的值隨著m增大而減小，則當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值8，即可得到；
（2）如圖2-1所示，當(dāng)點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上時(shí)，設(shè)，則，可推出當(dāng)點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)區(qū)域即為四個(gè)點(diǎn)組成的正方形區(qū)域（不包括頂點(diǎn)E）；同理由對(duì)稱(chēng)性可知當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N在正方形的鄰邊上時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)區(qū)域?yàn)榻M成的正方形區(qū)域（不包括四個(gè)頂點(diǎn)）；如圖2-2所示，當(dāng)點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上時(shí)，設(shè)，則，可推出當(dāng)點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)區(qū)域即為線段；同理由對(duì)稱(chēng)性可知當(dāng)點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)區(qū)域?yàn)榫€段；綜上所述，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)區(qū)域?yàn)榻M成的正方形區(qū)域（不包括四個(gè)頂點(diǎn)）；若直線上至少存在一個(gè)點(diǎn)關(guān)于的“中旋點(diǎn)”，則直線與組成的正方形區(qū)域至少有一個(gè)交點(diǎn)（不包括頂點(diǎn)），當(dāng)直線恰好經(jīng)過(guò)時(shí)，可得 ；當(dāng)直線恰好經(jīng)過(guò)時(shí)，可得；據(jù)此結(jié)合函數(shù)圖象可得答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：①由題意得，，
∴，
∴，
故答案為：；
②設(shè)直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
∵點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，
∴可設(shè)，
∵點(diǎn)是關(guān)于線段的“中旋點(diǎn)”．
∴，
∴，
∴，
∴
，
令，
∴
，
∵，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，的值隨著m增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值8，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖2-1所示，當(dāng)點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上時(shí)，
設(shè)，
∴，
∴，
∴
當(dāng)點(diǎn)M固定時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，那么點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)從0運(yùn)動(dòng)到，
當(dāng)點(diǎn)N固定時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，那么點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)從0運(yùn)動(dòng)到2，
∴當(dāng)點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)區(qū)域即為四個(gè)點(diǎn)組成的正方形區(qū)域（不包括頂點(diǎn)E），
同理由對(duì)稱(chēng)性可知當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N在正方形的鄰邊上時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)區(qū)域?yàn)榻M成的正方形區(qū)域（不包括四個(gè)頂點(diǎn)）；
如圖2-2所示，當(dāng)點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上時(shí)，
設(shè)，
∴，
∴，
∴
當(dāng)點(diǎn)M固定時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，那么點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)從運(yùn)動(dòng)到，
當(dāng)點(diǎn)N固定時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，那么點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)從運(yùn)動(dòng)到，
∴當(dāng)點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)區(qū)域即為線段；
同理由對(duì)稱(chēng)性可知當(dāng)點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)區(qū)域?yàn)榫€段；
當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)N都在上時(shí)，設(shè)，同理得，
∴此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)功區(qū)域?yàn)榫€段（不包括端點(diǎn)），
由對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)M、N在同一邊時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)區(qū)域即為線段（不包括端點(diǎn)），
綜上所述，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)區(qū)域?yàn)榻M成的正方形區(qū)域（不包括四個(gè)頂點(diǎn)）；
∵直線上至少存在一個(gè)點(diǎn)關(guān)于的“中旋點(diǎn)”，
∴直線與組成的正方形區(qū)域至少有一個(gè)交點(diǎn)（不包括頂點(diǎn)），
當(dāng)直線恰好經(jīng)過(guò)時(shí)，，解得；
當(dāng)直線恰好經(jīng)過(guò)時(shí)，，解得；
∴如圖2-3所示，當(dāng)或直線與組成的正方形區(qū)域至少有一個(gè)交點(diǎn)（不包括頂點(diǎn)），
∴若直線上至少存在一個(gè)點(diǎn)關(guān)于的“中旋點(diǎn)”，則或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，正方形的性質(zhì)，勾股定理等等，解（2）的關(guān)鍵在于確定點(diǎn)Q在一條直線上，進(jìn)而利用勾股定理求解；解（3）的關(guān)鍵在于確定點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)區(qū)域．

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