精品解析：福建省廈門(mén)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校湖里分校2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（試卷滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1．全卷三大題，25小題，試卷共6頁(yè)，另有答題卡．
2．答案必須寫(xiě)在答題卡上，否則不能得分．
3．可以直接使用2B鉛筆作圖．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)正確．）
1. 若二次根式有意義，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)求解即可．
【詳解】解：∵二次根式有意義，
∴，
解得：．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件．掌握被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．
2. 下列各式中正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查的是求解一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與立方根，掌握求解算術(shù)平方根與立方根的方法是解本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，故A不符合題意；
，故B不符合題意；
，故C符合題意；
不能化簡(jiǎn)，故D不符合題意；
故選C
3. 下列各組數(shù)中，能作為直角三角形邊長(zhǎng)的是（）
A. B. C. ，，D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩個(gè)小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方即可．
詳解】A、，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；
B、，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；
C、，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；
D、，能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；
故選：D．
4. 在中，，，，則的長(zhǎng)為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理，即可．
【詳解】∵在中，，，
∴
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的運(yùn)用．
5. 如圖，若直線，則下列哪條線段的長(zhǎng)可以表示平行線與之間的距離（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】平行線的距離：從平行線中的一條直線上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到另一條直線的距離，即為兩平行線間的距離．
【詳解】解：∵，
∴，
∴可以表示平行線與之間的距離,
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的距離的定義，熟練掌握平行線的距離的定義是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，將兩條寬度相同的紙條重疊在一起，使，則等于（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行證明四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵紙條的對(duì)邊平行，即，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，掌握“平行四邊形的對(duì)角相等”是解題的關(guān)鍵．
7. 如圖，在菱形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，，則菱形的面積是（）

A. 48B. 36C. 24D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知條件可得是斜邊上的中線，由此可求出的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半計(jì)算即可．
【詳解】解：∵菱形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴菱形的面積是．
故選：C．
8. 在中，，，，則點(diǎn)到邊的距離為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理以及三角形面積公式，利用勾股定理解得的值是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)勾股定理解得的值，然后利用面積法求得的值即可．
【詳解】解：如下圖，
由題意可得，，，，
則，
設(shè)點(diǎn)到邊的距離為，
則有，即，
解得．
故選：A．
9. 如圖，下列條件中，不能使成為菱形的是（）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了菱形的判定，運(yùn)用其判定定理逐一判斷是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、四邊形是平行四邊形，且，
是菱形，故不符合題意；
B、四邊形是平行四邊形，且，
是菱形，故不符合題意；
C、四邊形是平行四邊形，且，
是菱形，故不符合題意；
D、四邊形是平行四邊形，且，
是矩形，不能判定是菱形，故符合題意，
故選D．
10. 如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為，梯子頂端到地面的距離為．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子頂端到地面的距離為，則小巷的寬為（）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意可知，是直角三角形，
在中，，，
∴，，
在中，，，則，
∴，
∴小巷的寬為，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，掌握勾股定理的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．
二．填空題：（第11題6分，其它4分，共26分）
11. 計(jì)算：（1）______（2）______（3）______
（4）______（5）______（6）______
【答案】 ①. 2 ②. ③. ④. ⑤. ⑥. 1
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式運(yùn)算、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則和運(yùn)算公式是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)求解即可；
（2）根據(jù)二次根式乘法運(yùn)算法則求解即可；
（3）先將各數(shù)化為最簡(jiǎn)二次根式，然后相加即可；
（4）根據(jù)二次根式加減運(yùn)算法則求解即可；
（5）先將化為最簡(jiǎn)二次根式，然后相減即可；
（6）根據(jù)平方差公式求解即可．
【詳解】（1）；
（2）；
（3）
（4）；
（5）；
（6）．
故答案為：（1）2；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）1．
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理，根據(jù)勾股定理可求點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．
【詳解】解：點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為：．
故答案為：．
13. “全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”的逆命題是______．
【答案】對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)三角形全等
【解析】
【分析】本題考查逆命題，將原命題的條件和結(jié)論互換，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”的逆命題是對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)三角形全等；
故答案為：對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)三角形全等
14. 已知，則代數(shù)式 ______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
15. 如圖，順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)，若得到的四邊形為矩形，則四邊形的對(duì)角線和一定滿足______（用符號(hào)語(yǔ)言表示）
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是利用三角形的中位線定理解答．首先根據(jù)三角形中位線定理知，所得四邊形的對(duì)邊都平行且相等，那么其必為平行四邊形，若所得四邊形是矩形，那么鄰邊互相垂直，故原四邊形的對(duì)角線必互相垂直，由此得解．
【詳解】解：∵點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，
∴，
同理可證，，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴四邊形矩形．
故答案為：．
16. 如圖，在四邊形中，，，交于，平分，，，下面結(jié)論：①；②是等邊三角形；
③；④；其中正確的結(jié)論有______（填序號(hào)）
【答案】①②④
【解析】
【分析】由兩組對(duì)邊平行證明四邊形是平行四邊形，由得出四邊形是菱形，得出，則，由角平分線定義得出，則，證出，則，，即可判斷結(jié)論①；由得出，由得出，則是等邊三角形，即可判斷結(jié)論②；由菱形的性質(zhì)得出，，結(jié)合，則，即可判斷結(jié)論③；由，，則，即可判斷結(jié)論④．
詳解】解：∵，，
∴四邊形平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，結(jié)論①正確；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，結(jié)論②正確；
∵四邊形是菱形，
∴，，
∵，
∴，故結(jié)論③錯(cuò)誤；
∵，，
∴，結(jié)論④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論有：①②④．
故答案為：①②④．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、角平分線定義、等邊三角形的判定、含角直角三角形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)與含角直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
三．解答題：（共9小題，共84分）
17. 計(jì)算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）1 （3）
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式混合運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則和運(yùn)算公式是解題關(guān)鍵．
（1）先進(jìn)行二次根式乘法運(yùn)算，然后進(jìn)行二次根式加法運(yùn)算即可；
（2）先進(jìn)行括號(hào)里面的運(yùn)算，然后進(jìn)行二次根式除法運(yùn)算即可；
（3）首先利用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算，然后相加減即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：原式
；
【小問(wèn)2詳解】
解：原式
；
【小問(wèn)3詳解】
解：原式
．
18. 如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且．求證：．
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】先證明再結(jié)合已知條件可得答案．
【詳解】解：平行四邊形ABCD，

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握“平行四邊形的性質(zhì)得到三角形全等的條件”是解本題的關(guān)鍵．
19. 如圖，在△ABC中，AB=4，BC=，點(diǎn)D在AB上，且BD=1，CD=2．
（1）求證：CD⊥AB；
（2）求AC的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理證明即可；
（2）利用勾股定理求解即可．
小問(wèn)1詳解】
證明：∵△BCD中，BD＝1，CD＝2，BC＝，
∴BD2＋CD2＝12＋22＝（）2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，且∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵AB＝4，DB＝1，
∴AD＝3，
∵CD＝2，
∴在中，AC＝，
∴AC的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
20. 在平靜的湖面上，有一支紅蓮（AB），高出水面1m，一陣風(fēng)吹來(lái)，紅蓮被吹到一邊（即BC），花朵齊及水面，已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為CD=2m，求水深.
【答案】水深為．
【解析】
【分析】設(shè)水深為h，則紅蓮的高h(yuǎn)+1，因風(fēng)吹花朵齊及水面，且水平距離為2m，那么水深h與水平2組成一個(gè)以h+1為斜邊的直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求出答案．
【詳解】紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面即AC為紅蓮的長(zhǎng)．
中，，
設(shè)：，則，
由勾股定理得：，即=+，
∴解得：．
水深為．
【點(diǎn)睛】本題考查了的是勾股定理的應(yīng)用．能夠從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型－直角三角形、熟練運(yùn)用勾股定理列方程求解是解決此題的關(guān)鍵．
21. 小明在學(xué)習(xí)勾股數(shù)組知識(shí)后發(fā)現(xiàn)：很多已經(jīng)約去公因數(shù)的勾股數(shù)組中，都有一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，如果將它寫(xiě)成，那么另外兩個(gè)分別可以寫(xiě)成，如，．
（1）請(qǐng)你再寫(xiě)出另外一組滿足這個(gè)規(guī)律的勾股數(shù)組；
（2）判斷：滿足這個(gè)規(guī)律的數(shù)組都是勾股數(shù)組嗎？說(shuō)明理由．
【答案】（1）5，12，13
（2）都是勾股數(shù)組，見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）確定一組正整數(shù)且滿足勾股定理的逆定理，并且滿足，的形式即可；
（2）證明即可得到結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，
且，，，
∴，，是符合規(guī)律的一組勾股數(shù)；
【小問(wèn)2詳解】
滿足這個(gè)規(guī)律的數(shù)組都是勾股數(shù)組．
理由：，
，
．
是勾股數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理的含義，勾股數(shù)的含義，熟記勾股定理的逆定理以及勾股數(shù)的含義是解本題的關(guān)鍵．
22. 如圖，已知．
（1）尺規(guī)作圖：作平行四邊形；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
（2）在（1）所作的平行四邊形中，連接，交于點(diǎn)．
①若，，，求的長(zhǎng)；
②過(guò)點(diǎn)作直線與邊，分別交于點(diǎn)，，設(shè)四邊形的面積為33，則平行四邊形的面積為多少（直接寫(xiě)出結(jié)果）．
【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）①20；②66
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，作和相等的邊即可，分別以、為圓心，為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，連接，即可得到平行四邊形；
（2）①利用勾股定理解得的值，然后結(jié)合“平行四邊形對(duì)角線相互平分”的性質(zhì)求解即可；②證明，，，易得，，，即可獲得答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：如下圖，四邊形即為所求；
【小問(wèn)2詳解】
①如下圖，
∵四邊形是平行四邊形，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②如下圖，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
同理可得，，
∴，，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖—復(fù)雜作圖、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
23. 如圖，在中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，連接．

（1）求證：四邊形是矩形；
（2）連接，若，求的長(zhǎng)度．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到且，推出四邊形是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求出，則，在利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)勾股定理求出，則由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴平行四邊形是矩形；
【小問(wèn)2詳解】
∵四邊形是平行四邊形，，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形是矩形,
∴, ，
∴
在中，∵，
∴，
∴，
∴
在中，由勾股定理得，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
24. 問(wèn)題背景：如圖1，在正方形中，邊長(zhǎng)為4．點(diǎn)，是邊，上兩點(diǎn)，且，連接，，與相交于點(diǎn)．
（1）探索發(fā)現(xiàn)：探索線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明；
（2）拓展提高：如圖2，延長(zhǎng)至，連接，若，求線段的長(zhǎng)．
【答案】（1），且，理由見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由，結(jié)合正方形的性質(zhì)證，得出，，再證即可；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出，利用等面積法，求得，再利用勾股定理求得，由，可知，，即可由求得答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：，且，
理由：∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴線段和的關(guān)系為：，且；
【小問(wèn)2詳解】
如圖3，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理解直角三角形．
25. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，且平分，，，滿足關(guān)系式，．
（1）判斷四邊形的形狀并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，求的值．
【答案】（1）平行四邊形，證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由，的縱坐標(biāo)相等得到，再利用題中條件得到，進(jìn)而由平行四邊形的判定即可得到答案；
（2）由（1）中得到，，進(jìn)而判定是等腰，從而得到，結(jié)合，由兩點(diǎn)之間距離公式求出，代值求解即可得到答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：平行四邊形，
證明如下：
，，
軸，
，平分，
，則，即是等腰直角三角形，
，
，
，即、，
，
，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形；
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）可知，則，，
，，
在等腰中，，，則，
，
，，
．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形與坐標(biāo)，涉及平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間距離公式等知識(shí)，靈活掌握相關(guān)幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

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