對(duì)于一元二次方程你能談?wù)撘幌滤母那闆r嗎? 在什么情況下,一元二次方程有解?有什么樣的解?什么情況下一元二次方程無(wú)解?
前面,通過(guò)配方,得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
因?yàn)閍 ≠0,所以 (1)當(dāng)b2-4ac>0時(shí), 是正實(shí)數(shù),因此,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根:
(2)當(dāng)b2-4ac=0時(shí), ,因此,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根:
(3)b2-4ac<0時(shí), 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)意義。因此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。
可見(jiàn),一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況由b2-4ac來(lái)確定。我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式,通常用符號(hào)“△”來(lái)表示,即△ =b2-4ac。
一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0), 當(dāng)△>0時(shí),有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根; 當(dāng)△=0時(shí),有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根; 當(dāng)△<0時(shí),沒(méi)有實(shí)數(shù)根。
反過(guò)來(lái),有 當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí),△>0; 當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí),△=0; 當(dāng)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根時(shí),△<0。
不解方程,判別下列方程的根的情況。
∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
∴原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。
1.不解方程,判別下列方程的根的情況。
2.在一元二次方程
A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.根的情況無(wú)法確定
3.已知關(guān)于x的方程 ,問(wèn)k取何值時(shí),這個(gè)方程:
⑴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?⑵有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根?⑶沒(méi)有實(shí)數(shù)根?
(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。
設(shè)△ABC的三邊為a,b,c,方程 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,且a,b,c滿足b=3a-2c。試判斷△ABC的形狀。
設(shè)關(guān)于x的方程 ,
證明:不論m為何值,這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
所以,不論m為何值,這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
1.求判別式時(shí),應(yīng)該先將方程化為一般形式。2.應(yīng)用判別式解決有關(guān)問(wèn)題時(shí),前提條件為“方程是一元二次方程”,即二次項(xiàng)系數(shù)不為0。
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情況:(1)當(dāng)Δ>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)當(dāng)Δ=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;(3)當(dāng)Δ<0時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根。
2.根據(jù)根的情況,也可以逆推出Δ的情況,這方面的知識(shí)主要用來(lái)求取值范圍等問(wèn)題。
作業(yè) 做課后練習(xí)。

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17.1 一元二次方程

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