1．已知是虛數(shù)單位，，若復數(shù)為純虛數(shù)，則 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算化簡得到復數(shù)的基本形式，在根據(jù)復數(shù)為純虛數(shù)，即可求解的值.
【解析】由題意
，
又由為純虛數(shù)，所以，解得.
故選：A.
2．某單位為了解該單位黨員開展學習黨史知識活動情況，隨機抽取了部分黨員，對他們一周的黨史學習時間進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：
則該單位黨員一周學習黨史時間的眾數(shù)及第40百分位數(shù)分別是（ ）
A．8，8.5B．8，8C．9，8D．8，9
【答案】A
【分析】眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的，百分位數(shù)根據(jù)從小到大排列后，根據(jù)計算即可求解.
【解析】黨員人數(shù)一共有，學習黨史事件為8小時的人數(shù)最多，故學習黨史時間的眾數(shù)為8，，那么第40百分位數(shù)是第16和17個數(shù)的平均數(shù)，第16，17個數(shù)分別為8，9，所以第40百分位數(shù)是
故選：A
3．在中，，，，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法判斷
【答案】C
【分析】根據(jù)余弦定理可得，進而得為鈍角，即可求解.
【解析】在中,由余弦定理以及，，可知:,故為鈍角，因此是鈍角三角形
故選：C
4．青年大學習是共青團中央發(fā)起的青年學習行動，每期視頻學習過程中一般有兩個問題需要點擊回答．某期學習中假設(shè)同學小華答對第一、二個問題的概率分別為，且兩題是否答對相互之間沒有影響，則至少答對一個問題的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】結(jié)合相互獨立事件概率計算公式，計算出所求概率.
【解析】依題意，至少答對一個問題的概率是.
故選：A
5．已知圓臺的上、下底面半徑分別是2，5，且側(cè)面積等于兩底面面積之和，則圓臺母線長為
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用側(cè)面積等于兩底面面積之和列方程求解．
【解析】設(shè)圓臺的母線長為，則圓臺的上底面面積為，圓臺的下底面面積為，所以圓臺的底面面積為．又圓臺的側(cè)面積，故有 ，即．
【點睛】本題主要考查了圓臺的側(cè)面積公式（其中分別為上下底面圓半徑，為圓臺的母線長）
6．已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（ ）
A．的值域為
B．的單調(diào)遞減區(qū)間為
C．為奇函數(shù)，
D．不等式的解集為
【答案】D
【分析】首先化簡函數(shù)，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷選項.
【解析】因為，
所以，所以，故選項A正確；
由得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選項B正確；
所以，
所以為奇函數(shù)，故選項C正確；
由得，
即
所以，
所以不等式的解集為，故選項D錯誤.
故選：D.
7．在邊長為3的正方形中，點在線段上，且，則（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】C
【分析】由題設(shè)易得，即可求、，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可知、，即可求目標式的值.
【解析】∵，
∴，故，而，
∴，，
，
，
∴.
故選：C
8．如圖，矩形中，，正方形的邊長為1，且平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】取AF的中點G，聯(lián)結(jié)AC交BD于O點，異面直線與所成角即直線與所成角.在中，分別求得，利用余弦定理即可求得，從而求得異面直線夾角的余弦值.
【解析】取AF的中點G，聯(lián)結(jié)AC交BD于O點，如圖所示，
則，且，異面直線與所成角即直線與所成角，
由平面平面知，平面，
由題易知，，則，，
，則在中，由余弦定理知，
，
由兩直線夾角取值范圍為，則直線與所成角即異面直線與所成角的余弦值為
故選：C
【點睛】方法點睛：將異面直線平移到同一個平面內(nèi)，利用余弦定理解三角形，求得線線夾角.
二、多選題
9．下列各式中，值為的是（ ）
A．2sin15°cs15°B．
C．1﹣2sin215°D．
【答案】BCD
【分析】利用二倍角公式結(jié)合三角函數(shù)的值逐一求解四個選項得答案.
【解析】解：對于選項A，2sin15°cs15°＝sin30；
對于選項B，；
對于選項C，1﹣2sin215°＝cs30；
對于選項D，.
∴值為的是BCD.
故選：BCD.
【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查二倍角公式的應用，是基礎(chǔ)題.
10．一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張卡片，上面分別標有1~9這9個數(shù)字（1張卡片上標1個數(shù)），“從中任抽取1張卡片，結(jié)果卡片號或為1或為4或為7”記為事件，“從中任抽取1張卡片，結(jié)果卡片號小于7”記為事件，“從中任抽取1張卡片，結(jié)果卡片號大于7”記為事件.下列說法正確的是（ ）
A．事件與事件互斥B．事件與事件對立
C．事件與事件相互獨立D．
【答案】AC
【分析】由互斥，對立以及獨立的定義判斷即可.
【解析】樣本空間為，
因為，所以事件與事件互斥，故A正確；
因為，，所以事件與事件不對立，故B錯誤；
，，，即事件與事件相互獨立，故C正確；
因為，所以事件與事件不互斥，故D錯誤；
故選：AC
11．已知復數(shù)，復數(shù) ，其中，a，b為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，定義：復數(shù)為“目標復數(shù)”，其中和分別為“目標復數(shù)”的實部和虛部，則下列結(jié)論正確的為（ ）.
A．
B．
C．若，則，
D．若，，且，則銳角的值為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)，利用復數(shù)的乘法以及復數(shù)相等，可求得 ，即可判斷A,B;根據(jù)利用兩角差的正弦公式結(jié)合復數(shù)相等，確定a,b的值，判斷C;利用結(jié)合三角恒等變換，可求得銳角的值，判斷D.
【解析】由題意知：
，
故，，故A正確，B錯誤；
若，即，
則，，故C正確；
若，，且，即，
即，因為為銳角，故，D正確，
故選：ACD
12．如圖，在正方體中，點是棱的中點，點是線段上的一個動點，則以下敘述中正確的是（ ）
A．直線平面B．直線不可能與平面垂直
C．直線與所成角為定值D．三棱錐的體積為定值
【答案】ACD
【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)及線面平行、線面垂直的判定定理一一判斷即可；
【解析】解：如圖由正方體的性質(zhì)可知，平面，平面，所以平面，
同理可證平面，，平面，所以平面平面，
因為平面，所以平面，故A正確；
因為，，，平面，
所以平面，平面，所以，
同理可證，，平面，所以平面，
同理可證平面，因為平面，所以，故C正確；
當點為的中點時，，所以平面，故B錯誤；
又，平面，平面，所以平面，
所以到平面的距離不變，設(shè)為，又的面積不變，
所以為定值，故D正確；
故選：ACD
三、填空題
13．某校共有學生2000名，男生1200名，女生800名，現(xiàn)按比例分配樣本進行分層抽樣，從中抽取50名學生，則應抽取的女生人數(shù)是___________人
【答案】
【分析】根據(jù)分層抽樣等比例的性質(zhì)求應抽取的女生人數(shù).
【解析】由題意，應抽取的女生人數(shù)是人.
故答案為：
14．如圖，測量河對岸的塔高時可以測量與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測點與，測得，，米，并在點測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔高______米（精確到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)）

【答案】
【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和得，再根據(jù)正弦定理求得，進而在中，根據(jù)求解．
【解析】在△BCD中,，
由正弦定理得，
所以.
在中, ，
∴米.
故答案為:.
15．如圖，在四邊形中，E，F(xiàn)分別是和的中點，若，其中，則________.
【答案】
【分析】由、分別是、的中點，根據(jù)相反向量的定義，易得，，利用平面向量加法的三角形法則，我們易將向量分別表示為和的形式，兩式相加后，易得到結(jié)論．
【解析】解：、分別是、的中點，
，，
又，
①
同理②
由①②得，
．
整理得：．
又
故答案為：.
16．已知三棱錐的四個頂點均在同一個球面上，且滿足，，若該三棱錐體積的最大值為3，則其外接球的表面積為________.
【答案】
【分析】確定三棱錐體積取最大值時頂點的位置，根據(jù)體積求得其高，繼而利用勾股定理求得外接球的半徑，即可求得答案.
【解析】如圖示：
由題意知 是等腰直角三角形，故AC為截面圓的直徑，
則外接球的球心O在截面ABC上的射影為AC的中點D,
當P,O,D三點共線，且P,O位于截面ABC的同一側(cè)時，棱錐體積最大，
此時棱錐的高為PD，且高此時最大，
故 ,即得 ，
設(shè)外接球半徑為R，則 ,
在中， ,故，
解得 ,所以外接球的表面積為,
故答案為：
四、解答題
17．已知，為平面向量，且.
(1)若，且，求向量的坐標；
(2)若，且向量與平行，求實數(shù)k的值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)平面向量垂直和平面向量的模長公式可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出向量的坐標；
（2）計算出向量與的坐標，由已知向量平行，可求得的值.
【解析】（1）設(shè)，因為，所以①
又因為，所，即②
由①②聯(lián)立得，解之得或，
則所求向量的坐標為或
（2）因為，，
所以，，
又因為向量與平行，所以，
解之得
18．如圖，三棱柱中，E為中點，F(xiàn)為中點．
(1)求證：平面ABC；
(2)若平面，求證：平面ABC．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）取BC中點M，連接AM，EM，證明四邊形EFAM為平行四邊形，可得，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；
（2）易得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證.
(1)
證明：取BC中點M，連接AM，EM，
因為中，E為中點，M為BC中點，
所以且，
三棱柱中，且，
因為F為中點，
所以且，
所以四邊形EFAM為平行四邊形，所以，
又因為平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC；
(2)
證明：因為，由（1）知，所以，
因為平面平面，所以，
又因為，平面ABC，
所以平面ABC．
19．已知函數(shù)
（1）求的最小正周期；
（2）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；
【答案】（1）.（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減.
【分析】（1）根據(jù)題意，利用三角恒等變換化簡為標準正弦型三角函數(shù)，利用最小正周期求解公式即可求得結(jié)果；
（2）先求得在上的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合區(qū)間，即可求得結(jié)果.
【解析】（1）依題意，
所以.
（2）依題意，令，，
解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
設(shè)，，易知，
所以當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
在區(qū)間上單調(diào)遞減.
【點睛】本題考查利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)解析式，以及用公式法求正弦型三角函數(shù)的最小正周期，用整體法求正弦型三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬綜合中檔題.
20．全國文明城市，簡稱文明城市，是指在全面建設(shè)小康社會中市民整體素質(zhì)和城市文明程度較高的城市.全國文明城市稱號是反映中國大陸城市整體文明水平的最高榮譽稱號.為普及相關(guān)知識，爭創(chuàng)全國文明城市，某市組織了文明城市知識競賽，現(xiàn)隨機抽取了甲、乙兩個單位各5名職工的成績（單位：分）如下表：
（1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，分別求出甲、乙兩個單位5名職工的成績的平均數(shù)和方差，并比較哪個單位的職工對文明城市知識掌握得更好；
（2）用簡單隨機抽樣法從乙單位5名職工中抽取2人，求抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4的概率.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】分析：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出根據(jù)均值、方差的實際意義作出判斷；
（2）利用古典概型公式即可求出抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4的概率
詳解：（1），
，
，
，
顯然，可知，甲單位的成績比乙單位穩(wěn)定，即甲單位的職工比乙單位的職工對環(huán)保知識掌握得更好.
（2）從乙單位5名職工中隨機抽取2名，他們的成績組成的所有基本事件（用數(shù)對表示）為，，，，，，，，，，共10個.記“抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4”為事件，則事件包含的基本事件為，，，，，共5個.
由古典概型計算公式可知.
點睛：(1)古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注意在計算基本事件總數(shù)和事件包括的基本事件個數(shù)時，他們是否是等可能的．(2)用列舉法求古典概型，是一個形象、直觀的好方法，但列舉時必須按照某一順序做到不重復、不遺漏．(3)注意一次性抽取與逐次抽取的區(qū)別：一次性抽取是無順序的問題，逐次抽取是有順序的問題.
21．如圖，是平面四邊形的一條對角線，且在中，.
(1)求角D的大小；
(2)若，，，，求的長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在，根據(jù)已知邊等式，可轉(zhuǎn)化為邊的二次式，結(jié)合余弦定理即可求角的大小；
（2）設(shè)，，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理，聯(lián)立可解得的值，在中，由正弦定理可得的值.
(1)
解：因為在中，
所以，①
即在中，由余弦定理得，
，②
則由①②兩式得，，
又因為在中，，所以，
(2)
解：在中，設(shè)，，則由正弦定理得，
即①
又在中，，，
則由正弦定理得，
即②
則由①②兩式得，，即，
展開并整理得，也即
，
又因為在中，，所以，
把代入①式得，.
22．如圖①，在梯形中，，，，，，如圖②，將沿邊翻折至，使得平面平面，過點B作一平面與垂直，分別交，于點E，F(xiàn).
(1)求證：平面；
(2)求點E到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面垂直證明，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）利用等體積法即，即可求得答案.
【解析】（1）證明：如圖②，因為平面，且平面，
所以
圖②
又因為平面平面，平面平面，
且平面，，所以平面，
又因為平面，所以，
又因為，且平面，
所以平面
（2）由（1）知平面，平面，所以，
在直角三角形中， ,
由等面積代換得，，
即，
又因為平面平面，平面平面，
且平面，，所以平面
又因為平面，所以
在直角三角形中， ,
由等面積代換得， ，
即，
又在直角三角形中，，
設(shè)點到平面的距離為，
在三棱錐中，由等體積代換得，，
即，
也即，
即所求點到平面的距離為.
黨史學習時間（小時）
7
8
9
10
11
黨員人數(shù)
6
10
9
8
7

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