1．若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
2．下列命題中正確的是（ ）
A. －＝B. ＋＝0
C. 0＝D. ＋＋＝
3．在中，，，，則此三角形（ ）
A. 無(wú)解 B. 一解 C. 兩解 D. 解的個(gè)數(shù)不確定
4．斜二測(cè)畫法是畫一個(gè)水平放置的平面圖形直觀圖的常用方法之一．現(xiàn)在有高一年級(jí)（14）班的某學(xué)生用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的直角梯形，其中BC=AB=1，則原平面圖形的面積為（ ）
A. B. C. D.
5．如圖，O是的重心，=，=，D是邊BC上一點(diǎn)，且=3，則（ ）
A. B.
C. D.
6．對(duì)24小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度（）進(jìn)行如下定義：
小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，則這一天的雨水屬于哪個(gè)等級(jí)（ ）
A. 小雨B. 中雨
C. 大雨D. 暴雨
7．在△ABC中，已知點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且，點(diǎn)O在線段CD上（與點(diǎn)C，D不重合）．若，則x的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8．在鈍角中，分別是的內(nèi)角所對(duì)的邊，點(diǎn)是的重心，若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．歐拉公式其中為虛數(shù)單位，是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的“天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. B. 為純虛數(shù)
C. 復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)等于D. 的共軛復(fù)數(shù)為
10．下列說(shuō)法中正確的為（ ）
A. 若，，則
B. 向量，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底
C. 已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D. 非零向量和滿足，則與的夾角為30°
11．在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，且，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. B. C. D.
12．六氟化疏，化學(xué)式為，在常壓下是一種無(wú)色?無(wú)臭?無(wú)毒?不燃穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作是將兩個(gè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體），如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn).若相鄰兩個(gè)氟原子間的距離為a（不計(jì)氟原子的大?。瑒t（ ）
A. 直線與為異面直線B. 平面平面
C. 直線與為異面直線D. 八面體外接球體積為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知，是不共線的平面向量，，，，若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)______.
14.測(cè)量塔高AB時(shí)，選取與塔底B在同一水平內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，測(cè)塔高_(dá)_____．
15.如圖，在圓錐SO中，AB為底面圓的直徑，SO＝AO＝3，P為SB上的點(diǎn)，，D為底面圓周上的點(diǎn)，，則異面直線SA與PD所成角的余弦值為_________．
16．的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知，則的取值范圍是___________.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．已知平面向量，，，．
（1）求；
（2）若，求實(shí)數(shù)k的值．
18．已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位.
（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值；
（2）若滿足，求的值.
19.如圖，中，，，，在三角形內(nèi)挖去一個(gè)半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點(diǎn)C，M，與BC交于點(diǎn)N），將繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體.
（1）求該旋轉(zhuǎn)體中間一個(gè)空心球的表面積的大?。?br>（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.
20．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知．
（1）求角A；
（2）若，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．
21．在平面四邊形ABCD中，∠CAD＝∠BAC＝，∠DCB＝，，BC＝2．
（1）求sin∠CBD；
（2）求AC的長(zhǎng)．
22．如圖，A?B是單位圓上的相異兩定點(diǎn)（O為圓心），且（為銳角）.點(diǎn)C為單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段交線段于點(diǎn).
（1）求（結(jié)果用表示）；
（2）若
①求的取值范圍：
②設(shè)，記，求函數(shù)的值域.
0~10
10~25
25~50
50~100
小雨
中雨
大雨
暴雨
期中考試全真模擬試卷04
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以?br>所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限；
故選：A
2．下列命題中正確的是（ ）
A. －＝B. ＋＝0
C. 0＝D. ＋＋＝
【答案】D
【解析】起點(diǎn)相同向量相減，則其結(jié)果應(yīng)是指向被減向量，即－＝，故A錯(cuò)；
，是一對(duì)相反向量，它們的和應(yīng)該為零向量即＋＝，故B錯(cuò)，；
0與向量的數(shù)乘應(yīng)是零向量，即0·＝，故C錯(cuò)；
根據(jù)向量的加法法則，’＋＋＝,故D正確，
故選：D.
3．在中，，，，則此三角形（ ）
A. 無(wú)解B. 一解
C. 兩解D. 解的個(gè)數(shù)不確定
【答案】C
【解析】在中，，，，
由正弦定理得，而為銳角，且，
則或，
所以有兩解．
故選：C
4．斜二測(cè)畫法是畫一個(gè)水平放置的平面圖形直觀圖的常用方法之一．現(xiàn)在有高一年級(jí)（14）班的某學(xué)生用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的直角梯形，其中BC=AB=1，則原平面圖形的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直觀圖中，∠ADC=45°，AB=BC=1，DC⊥BC，∴，DC=2，
∴原來(lái)的平面圖形上底長(zhǎng)為1，下底為2，高為的直角梯形，
∴該平面圖形的面積為.
故選：B
5．如圖，O是的重心，=，=，D是邊BC上一點(diǎn)，且=3，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如圖，延長(zhǎng)AO交BC于E，由已知O為△ABC的重心，
則點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
且
由3，得：D是BC的四等分點(diǎn)，
則
，
故選A．
6．對(duì)24小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度（）進(jìn)行如下定義：
小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，則這一天的雨水屬于哪個(gè)等級(jí)（ ）
A. 小雨B. 中雨
C. 大雨D. 暴雨
【答案】B
【解析】由題可知，設(shè)圓錐形容器中積水水面半徑為，所以，解得，所以積水厚度為，因此這一天的雨水屬于中雨．
故選：B
7．在△ABC中，已知點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且，點(diǎn)O在線段CD上（與點(diǎn)C，D不重合）．若，則x的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
設(shè)，因?yàn)?，點(diǎn)O在線段CD上（與點(diǎn)C，D不重合），所以，
所以
因?yàn)?，所?
故選：B．
8．在鈍角中，分別是的內(nèi)角所對(duì)的邊，點(diǎn)是的重心，若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如圖所示：
，
連接，并延長(zhǎng)交于，
由是三角形的重心，得是的中點(diǎn)，
，，
由重心的性質(zhì)得，即，
由余弦定理得：，
，
，，
，
則，
，，，為銳角，
是鈍角三角形，或?yàn)殁g角，
或，
將代入得：，，，
．
故選：A
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．歐拉公式其中為虛數(shù)單位，是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的“天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. B. 為純虛數(shù)
C. 復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)等于D. 的共軛復(fù)數(shù)為
【答案】ABC
【解析】A：由題意，，正確；
B：由題意，為純虛數(shù)，正確；
C：由題意，，其模長(zhǎng)為1，正確；
D：由題意，，則其共軛復(fù)數(shù)為，錯(cuò)誤.
故選：ABC
10．下列說(shuō)法中正確的為（ ）
A. 若，，則
B. 向量，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底
C. 已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D. 非零向量和滿足，則與的夾角為30°
【答案】BD
【解析】對(duì)于：若，，，則，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：向量，，所以不共線，
所以可以作為平面內(nèi)的所有向量的一組基底，故正確；
對(duì)于：已知，，則，
所以：，且和不共線．
即，且
解得且，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：非零向量和滿足，
則以為邊長(zhǎng)的三角形為等邊三角形，
所以與的夾角為，故正確．
故選：．
11．在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，且，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由正弦定理得，故，
所以，即，所以C正確；
又，故，所以，A正確，錯(cuò)誤；
由得：，
所以，即，
又，所以，D正確，
故選:ACD.
12．六氟化疏，化學(xué)式為，在常壓下是一種無(wú)色?無(wú)臭?無(wú)毒?不燃穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作是將兩個(gè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體），如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn).若相鄰兩個(gè)氟原子間的距離為a（不計(jì)氟原子的大小），則（ ）
A. 直線與為異面直線B. 平面平面
C. 直線與為異面直線D. 八面體外接球體積為
【答案】BCD
【解析】連接與，設(shè)，則為正方形的中心，連接，
根據(jù)正棱錐的性質(zhì)可知必過(guò)點(diǎn)，即，所以、、、四點(diǎn)共面，所以、共面，故A錯(cuò)誤，
顯然、、、四點(diǎn)不共面，故直線與為異面直線，即C正確；
因?yàn)?，平面，平面，所以平面?br>依題意，
所以，所以，即為等腰直角三角形，
所以，即四邊形為平行四邊形，所以，
平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，故B正確；
顯然，則即為外接球的球心，外接球的半徑，
所以外接球的體積，故D正確；
故選：BCD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知，是不共線的平面向量，，，，若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)______.
【答案】10
【解析】依題意得，.
由，，三點(diǎn)共線知、共線，所以存在不為零的實(shí)數(shù)，使得，即，又因?yàn)?，是不共線的向量，所以，所以.
故答案為：.
14.測(cè)量塔高AB時(shí)，選取與塔底B在同一水平內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，測(cè)塔高_(dá)_____．
【答案】
【解析】如圖，線段AB是塔，在地平面內(nèi)，，，，
則有，由正弦定理得：，
直角中，，則，
所以塔高.
故答案為：
15.如圖，在圓錐SO中，AB為底面圓的直徑，SO＝AO＝3，P為SB上的點(diǎn)，，D為底面圓周上的點(diǎn)，，則異面直線SA與PD所成角的余弦值為_________．
【答案】
【解析】在BA上取點(diǎn)，使得，連接，此時(shí)，所以即為直線SA與PD所成角．
在中，，，，由余弦定理得，，
過(guò)P作，在△BHD中，，，，由余弦定理得，
在Rt△PHD中，，，所以．
在中，，，，
所以．
故答案為：.

16．的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】由正弦定理知：，
∵，
∴，即，
又由余弦定理知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，
∴，則.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．已知平面向量，，，．
（1）求；
（2）若，求實(shí)數(shù)k的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因?yàn)?，，且?br>所以，則，故．
又因?yàn)?，所以?br>故．
（2）由（1）及條件，．
因?yàn)椋?，解得?br>18．已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位.
（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值；
（2）若滿足，求的值.
【答案】（1）或 （2）
【解析】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以滿足:解得:或
（2）設(shè)，則，將其帶入中得:，整理得:，，解得:，解得:
19.如圖，中，，，，在三角形內(nèi)挖去一個(gè)半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點(diǎn)C，M，與BC交于點(diǎn)N），將繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體.
（1）求該旋轉(zhuǎn)體中間一個(gè)空心球的表面積的大小；
（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）連接OM，則，
設(shè)，，
在中，，
∴.
（2）∵，，，∴，
∴.
20．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知．
（1）求角A；
（2）若，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】（1） （2）以A為的直角三角形，理由見解析
【解析】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理得，
即，
即，
所以，
即，，，
所以，，
所以．
（2）因?yàn)椋?br>由正弦定理得，
所以，即，
即，
所以，
，所以，
所以或，
所以或，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，,
所以△ABC是以A為的直角三角形．
21．在平面四邊形ABCD中，∠CAD＝∠BAC＝，∠DCB＝，，BC＝2．
（1）求sin∠CBD；
（2）求AC的長(zhǎng)．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）中，由余弦定理得，，
即，所以，
由正弦定理可得，
即.
（2）中，由正弦定理得，，
所以，
同理，中，由正弦定理得，
因?yàn)椋?br>所以，所以 ，
所以，
所以.
22．如圖，A?B是單位圓上的相異兩定點(diǎn)（O為圓心），且（為銳角）.點(diǎn)C為單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段交線段于點(diǎn).
（1）求（結(jié)果用表示）；
（2）若
①求的取值范圍：
②設(shè)，記，求函數(shù)的值域.
【答案】（1） （2）①；②
【解析】（1）
（2）①.
設(shè).由題意得，則
所以
因?yàn)?，則
所以，則；
②設(shè)，
則，
所以，由得，
即，整理得，
所以，
所以.
即.
，令
∵，則，即
∴在上單調(diào)遞增，則
所以函數(shù)值域是.
0~10
10~25
25~50
50~100
小雨
中雨
大雨
暴雨

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