1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（ ）
A. B. C. iD. 1
2．在中，，，則（ ）
A. 30°B. 60°C. 60°或120°D. 120°
3．已知在中，點(diǎn)M為上的點(diǎn)，且，若，則（ ）
A. 1B. C. D.
4．《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代出土在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)與給出了由圓錐底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式，實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取3.那么近似公式，相當(dāng)于將圓錐體積公式中π的近似取值為（ ）
A. B. C. D. 3
5．一正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，則該正四棱柱的外接球的表面積為（ ）
A. 6πB. 12πC. D. 24π
6．在中，角A，，所對(duì)的邊分別為，，，其中，，若滿足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則角A的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
7．已知，，．若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值為（ ）
A. 13B. C. D.
8．已知在銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．如圖是正方體的展開圖，則在這個(gè)正方體中，下列命題正確的是（ ）
A. AF與CN平行B. BM與AN是異面直線
C. AF與BM是異面直線D. BN與DE是異面直線
10．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B 若，，則三角形有兩解
C. 若，則一定為等腰直角三角形
D. 若面積為則
11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
A. 是與平行的一個(gè)單位向量B. 是與垂直的一個(gè)單位向量
C. A到OB的距離為D. 在上的投影向量為
12．已知正方體的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)在棱上，，點(diǎn)在棱上（點(diǎn)異于，兩點(diǎn)），若平面截正方體所得的截面為五邊形，則長(zhǎng)的取值可能為（ ）
A. 1B. C. D.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知i為虛數(shù)單位，若，則______
14.我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算幾何體體積的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.意思是兩個(gè)等高的幾何體，如果在同高處的截面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等，現(xiàn)有等高的三棱錐和圓錐滿足祖暅原理的條件，若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為90°?半徑為4的扇形，由此推算三棱錐的體積為___________.
15. 已知中，邊上的中線，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值是______．
16．在中，角的對(duì)邊分別為，若，，則___________，的取值范圍是___________.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．已知向量與向量的夾角為，，，記向量，．
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)的值．
18．已知復(fù)數(shù)z滿足方程，且復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A在復(fù)平面的實(shí)軸上方．
（1）求z；
（2）設(shè)，在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B，C，求的值．
19．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且，
（1）求角的大??；
（2）若，為邊上一點(diǎn)，，且___，求的面積．從①為的平分線，②為的中點(diǎn)，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上并作答．
20．已知正三棱錐，頂點(diǎn)為P，底面是三角形．
（1）若該三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2，且兩兩成角為，設(shè)質(zhì)點(diǎn)自A出發(fā)依次沿著三個(gè)側(cè)面的表面移動(dòng)，環(huán)繞一周直至回到出發(fā)點(diǎn)A，求質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)路程的最小值；
（2）若該三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，試求以P為頂點(diǎn)，以三角形內(nèi)切圓為底面的圓錐的體積．
21．如圖，在中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)，設(shè)，，，，且，與交于點(diǎn).
（1）求；
（2）若點(diǎn)為線段上的任意一點(diǎn)，連接，求的取值范圍.
22．在平面四邊形中，為等邊三角形，設(shè).
（1）求四邊形面積的最大值，以及相應(yīng)的值；
（2）求四邊形對(duì)角線長(zhǎng)度的最大值，以及相應(yīng)的值.
期中考試全真模擬試卷05
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（ ）
A. B. C. iD. 1
【答案】D
【解析】由題意，
故，的虛部是1
故選：D
2．在中，，，則（ ）
A. 30°B. 60°C. 60°或120°D. 120°
【答案】C
【解析】∵，，，
∴根據(jù)正弦定理，得：
，
又，得到，即，
則或．
故選：C
3．已知在中，點(diǎn)M為上的點(diǎn)，且，若，則（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
又，所以，
所以．
故選：B．
4．《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代出土在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)與給出了由圓錐底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式，實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取3.那么近似公式，相當(dāng)于將圓錐體積公式中π的近似取值為（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則圓錐的底面周長(zhǎng)，所以，
所以.
令，得.
故選：A.
5．一正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，則該正四棱柱的外接球的表面積為（ ）
A. 6πB. 12πC. D. 24π
【答案】D
【解析】設(shè)正四棱柱的外接球半徑為
因?yàn)檎睦庵牡酌孢呴L(zhǎng)為2，高為4，
所以，得，
所以該正四棱柱的外接球的表面積為，
故選：D
6．在中，角A，，所對(duì)的邊分別為，，，其中，，若滿足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則角A的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】】由于，，
根據(jù)正弦定理得： ，
令 , ,
由于 ，滿足條件的三角形有且只有兩個(gè)，A為銳角，故,
故選：A
7．已知，，．若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值為（ ）
A. 13B. C. D.
【答案】B
【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y）
則，可得，，
所以，即，故，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．
故選：B．
8．已知在銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由
及余弦定理，可得
正弦定理邊化角，得
是銳角三角形，
，即．
，，
那么：
則，
故選：
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．如圖是正方體的展開圖，則在這個(gè)正方體中，下列命題正確的是（ ）
A. AF與CN平行B. BM與AN是異面直線
C. AF與BM是異面直線D. BN與DE是異面直線
【答案】CD
【解析】把正方體的平面展開圖還原原正方體如圖，
由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與異面垂直，故A錯(cuò)誤；
BM與AN平行，故B錯(cuò)誤；
平面，平面，平面，，
由異面直線定義可得，與是異面直線，故C正確；
平面，平面，平面，，
由異面直線定義可得，BN與DE是異面直線，故D正確．
故選：CD．
10．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B 若，，則三角形有兩解
C. 若，則一定為等腰直角三角形
D. 若面積為則
【答案】AD
【解析】A. 由正弦定理得，因?yàn)?，所以，則，故正確；
B.因?yàn)?，，由正弦定理得，則，因?yàn)?，所以，則，所以三角形有一解，故錯(cuò)誤；
C. 因?yàn)?，所以，即，所以或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故錯(cuò)誤；
D. 因?yàn)槊娣e為所以，即，因?yàn)?，所以故正確，
故選：AD
11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
A. 是與平行的一個(gè)單位向量B. 是與垂直的一個(gè)單位向量
C. A到OB的距離為D. 在上的投影向量為
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，，且，所以是與平行的一個(gè)單位向量，故A正確，
對(duì)于B，記，且，所以與不垂直，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，所以，所以A到OB的距離為，故C正確，
對(duì)于D，因?yàn)?，所以在上的投影向量為，故D正確.
故選：ACD.
12．已知正方體的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)在棱上，，點(diǎn)在棱上（點(diǎn)異于，兩點(diǎn)），若平面截正方體所得的截面為五邊形，則長(zhǎng)的取值可能為（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】BC
【解析】因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)（如圖1），，
故平面截正方體所得的截面為四邊形，
當(dāng)時(shí)（如圖2），
過點(diǎn)作的平行線交于，
此時(shí)平面截正方體所得的截面為四邊形，
當(dāng)時(shí)，
過點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，
此時(shí)平面截正方體所得的截面為五邊形，
綜上所述，平面截正方體所得的截面為五邊形時(shí)，的范圍為.
故選：BC.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知i為虛數(shù)單位，若，則______
【答案】1
【解析】
故答案：1
14.我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算幾何體體積的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.意思是兩個(gè)等高的幾何體，如果在同高處的截面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等，現(xiàn)有等高的三棱錐和圓錐滿足祖暅原理的條件，若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為90°?半徑為4的扇形，由此推算三棱錐的體積為___________.
【答案】
【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，
又側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為4的扇形，
，，
，
圓錐的高為，
圓錐的體積為，
三棱錐的體積也為．
故答案為：．
15. 已知中，邊上的中線，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值是______．
【答案】
【解析】由，
得，
因?yàn)?，在線段上
，
設(shè)，
則．
故答案為：
16．在中，角的對(duì)邊分別為，若，，則___________，的取值范圍是___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】，以及正弦定理邊角互化可知
所以，即，
，即，
因?yàn)椋裕?br>根據(jù)余弦定理可知，
即，得，且
所以
故答案為：；
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．已知向量與向量的夾角為，，，記向量，．
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由，則，即
，解得：．
（2），則存在實(shí)數(shù)使得，即，整理得：，又與不共線，則，解得：.
18．已知復(fù)數(shù)z滿足方程，且復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A在復(fù)平面的實(shí)軸上方．
（1）求z；
（2）設(shè)，在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B，C，求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由題意得，
設(shè)（a，R，）．
又復(fù)數(shù)z滿足，故，
即，
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，
由，解得，所以；
（2）由(1)知，，，，
則點(diǎn)，，，
則，，
因此．
又因?yàn)椋?br>所以．
19．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且，
（1）求角的大?。?br>（2）若，為邊上一點(diǎn)，，且___，求的面積．從①為的平分線，②為的中點(diǎn)，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上并作答．
【答案】（1） （2）答案不唯一，見解析
【解析】（1）中，由正弦定理及，
知，所以，
由余弦定理知，所以，所以，又，所以；
（2）選①
為的平分線，，所以，
因?yàn)?，所以，即?br>由余弦定理得，，所以，
解得或（舍，所以的面積；
選②
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，則，因?yàn)椋?br>所以，
由余弦定理可得，即，
整理得，
由余弦定理得，，所以，
所以的面積．
20．已知正三棱錐，頂點(diǎn)為P，底面是三角形．
（1）若該三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2，且兩兩成角為，設(shè)質(zhì)點(diǎn)自A出發(fā)依次沿著三個(gè)側(cè)面的表面移動(dòng)，環(huán)繞一周直至回到出發(fā)點(diǎn)A，求質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)路程的最小值；
（2）若該三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，試求以P為頂點(diǎn)，以三角形內(nèi)切圓為底面的圓錐的體積．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）沿側(cè)棱將正三棱錐的側(cè)面展開，如圖，則即為質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)路程的最小值，
依題意，，且，
由余弦定理得，
所以，
所以質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)路程的最小值為.
（2）正三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，則為正四面體，設(shè)其高為，正內(nèi)切圓的半徑為，
由，解得，
正四面體的斜高為，，依題意，圓錐的高為，
所以圓錐的體積為.
21．如圖，在中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)，設(shè)，，，，且，與交于點(diǎn).
（1）求；
（2）若點(diǎn)為線段上的任意一點(diǎn)，連接，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
，
又，所以，所以，
由得，
所以
.
所以；
（2）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，則
，，，，，，
又點(diǎn)為線段上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，且，則，，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值：，
當(dāng)或時(shí)，取得最小值：，
所以的取值范圍為.
22．在平面四邊形中，為等邊三角形，設(shè).
（1）求四邊形面積的最大值，以及相應(yīng)的值；
（2）求四邊形對(duì)角線長(zhǎng)度的最大值，以及相應(yīng)的值.
【答案】（1）；； （2）；
【解析】（1）由題意，為等邊三角形，∴，
在中，，
∴，，
∴四邊形面積為
，
因?yàn)?，∴，即時(shí)，
四邊形面積最大，此時(shí)
（2）設(shè)，由正弦定理得，
由余弦定理得，，
∴，，
當(dāng)，即時(shí)，，
即的最大值為.

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