1．若為的邊的中點，則（ ）
A. B.
C. D.
2．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
3．紫砂壺是中國特有的手工陶土工藝品，經(jīng)典的有西施壺，石瓢壺，潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，如圖給了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：），那么該壺的容積約為（ ）
A. B. C. D.
4．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
5． 已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則的值是（ ）
A. B. C. 9D. 11
6．已知平面向量，滿足，，與的夾角為，，則實數(shù)的值為（ ）
A. -2B. 2C. D.
7．的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若三角形中，，且，則（ ）
A. 3B. C. 2D. 4
8．如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正三棱柱容器，所有棱長都為，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時，測得水深為，如果不計容器的厚度，則球的體積為（ ）
A. B. C D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A. 若為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為2
B. 若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，則實數(shù)a的取值范圍是
C. 實數(shù)是（為的共軛復(fù)數(shù)）的充要條件
D. 若，則實數(shù)a的值為2
10．點P是所在平面內(nèi)一點,滿足,則的形狀不可能是（ ）
A. 鈍角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等邊三角形
11．在南方不少地區(qū)，經(jīng)?？吹揭环N用木片、竹篾或葦蒿等材料制作的斗笠，用來遮陽或避雨，有一種外形為圓錐形的斗笠，稱為“燈罩斗笠”，不同型號的斗笠大小經(jīng)常用帽坡長（母線長）和帽底寬（底面圓直徑長）兩個指標進行衡量，現(xiàn)有一個“燈罩斗笠”，帽坡長20厘米，帽底寬厘米，關(guān)于此斗笠，下列說法正確的是（ ）
A．斗笠軸截面（過頂點和底面中心的截面圖形）的頂角為
B．過斗笠頂點和斗笠側(cè)面上任意兩母線的截面三角形的最大面積為平方厘米
C．若此斗笠頂點和底面圓上所有點都在同一個球上，則該球的表面積為平方厘米
D．此斗笠放在平面上，可以蓋住的球（保持斗笠不變形）的最大半徑為厘米
12．已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，下列四個命題中正確的是（ ）
A. 若，則一定是銳角三角形
B. 若，則一定是等腰三角形
C. 若，則一定是等腰三角形
D. 若，則一定是等邊三角形
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知復(fù)數(shù)z滿足，則_____．
14.已知是平面內(nèi)兩個不共線向量，，A，B，C三點共線，則_____．
15. 已知直三棱柱的底面為直角三角形，且兩直角邊長分別為1和，此三棱柱的高為，則該三棱柱的外接球的體積為____________．
16．已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，點O為其外接圓的圓心，已知，則當(dāng)角C取到最大值時△ABC的面積為___________.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．已知，i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．
（1）若，求m的值；
（2）若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第二象限，求m的取值范圍．
18．已知，．
（1）若與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時，求的取值范圍．
19．已知長方體全部棱長的和為28，其外接球的表面積為，過、、三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體，且這個幾何體的體積為．
（1）求棱的長；
（2）求幾何體的表面積．
20．在①，，且；②；③這三個條件中任選一個補充在下面問題中的橫線上，并解答.
已知中，三個內(nèi)角，，所對邊分別是，，，其中，且____________.
（1）求外接圓半徑；
（2）若點是的中點，的長度為，求的面積.
21．如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，，，E，F(xiàn)分別為棱，BC的中點，G為線段CF的中點.
（1）證明：平面
（2）求三棱錐的體積.
22．在銳角△ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，．
（1）若，求△ABC的面積；
（3）求的值；
（3）求的取值范圍．
期中考試全真模擬試卷03
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．若為的邊的中點，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因為為的邊的中點，
所以，根據(jù)向量加法法則得，
所以.
故選：B
2．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】 ,對應(yīng)點為 , 位于第二象限,
故選：B
3．紫砂壺是中國特有的手工陶土工藝品，經(jīng)典的有西施壺，石瓢壺，潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，如圖給了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：），那么該壺的容積約為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，可知石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，
圓臺上底面半徑為3，下底面半徑為5，高為4，
可知該壺的容積為大圓錐的體積減去小圓錐的體積，
設(shè)大圓錐的高為，所以，解得：，
則大圓錐的底面半徑為5，高為10，小圓錐的底面半徑為3，高為6，
所以該壺的容積.
故選：B.
4．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵向量，，
∴，故A錯誤；
由，可得B錯誤；
又，，
所以，即，故C正確；
由，故D錯誤.
故選：C.
5． 已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則的值是（ ）
A. B. C. 9D. 11
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ，又，，
∴ ，，
∴ ，又，，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故選：C.
6．已知平面向量，滿足，，與的夾角為，，則實數(shù)的值為（ ）
A. -2B. 2C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
即，又的夾角為，
所以，
所以，解得.
故選：B.
7．的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若三角形中，，且，則（ ）
A. 3B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】，且，
，
，
，即，
，
，
，，，
，
由正弦定理知，，
，即，
，
．
故選：D
8．如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正三棱柱容器，所有棱長都為，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時，測得水深為，如果不計容器的厚度，則球的體積為（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】設(shè)球的半徑為R，球的截面圓的半徑為r，即為正三棱柱底面三角形的內(nèi)切圓的半徑，
則，
解得，
由球的截面性質(zhì)得： ，
解得，
所以球的體積為，
故選：D
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A. 若為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為2
B. 若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，則實數(shù)a的取值范圍是
C. 實數(shù)是（為的共軛復(fù)數(shù)）的充要條件
D. 若，則實數(shù)a的值為2
【答案】ACD
【解析】
∴選項A：為純虛數(shù)，有可得，故正確
選項B：在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，有解得，故錯誤
選項C：時，；時，即，它們互為充要條件，故正確
選項D：時，有，即，故正確
故選：ACD
10．點P是所在平面內(nèi)一點,滿足,則的形狀不可能是（ ）
A. 鈍角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等邊三角形
【答案】AD
【解析】∵P是所在平面內(nèi)一點，且，
∴，
即，
∴，
兩邊平方并化簡得，
∴，
∴，則一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故不可能是鈍角三角形，等邊三角形，
故選：AD.
11．在南方不少地區(qū)，經(jīng)常看到一種用木片、竹篾或葦蒿等材料制作的斗笠，用來遮陽或避雨，有一種外形為圓錐形的斗笠，稱為“燈罩斗笠”，不同型號的斗笠大小經(jīng)常用帽坡長（母線長）和帽底寬（底面圓直徑長）兩個指標進行衡量，現(xiàn)有一個“燈罩斗笠”，帽坡長20厘米，帽底寬厘米，關(guān)于此斗笠，下列說法正確的是（ ）
A．斗笠軸截面（過頂點和底面中心的截面圖形）的頂角為
B．過斗笠頂點和斗笠側(cè)面上任意兩母線的截面三角形的最大面積為平方厘米
C．若此斗笠頂點和底面圓上所有點都在同一個球上，則該球的表面積為平方厘米
D．此斗笠放在平面上，可以蓋住的球（保持斗笠不變形）的最大半徑為厘米
【答案】ACD
【解析】對A選項，設(shè)頂角為，則，得，所以頂角為，A正確；
對B選項，因為頂角為，則截面三角形的最大面積為平方厘米，B錯誤；
對C選項，因為頂角為，則，所以外接球半徑等于圓錐母線長，即
則該球的表面積為平方厘米，C正確；
對D選項，設(shè)球的最大半徑為，因為頂角為，則，所以
，D正確．
故選：ACD
12．已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，下列四個命題中正確的是（ ）
A. 若，則一定是銳角三角形
B. 若，則一定是等腰三角形
C. 若，則一定是等腰三角形
D. 若，則一定是等邊三角形
【答案】CD
【解析】對于A選項，由余弦定理可得，且，故為銳角，
但角或角可能為鈍角，A錯；
對于B選項，因為，則，
所以，，則或，
所以，為等腰三角形或直角三角形，B錯；
對于C選項，由及正弦定理得
，
所以，，
、、，則，所以，，
因為余弦函數(shù)在上為減函數(shù)，故，所以，一定是等腰三角形，C對；
對于D選項，由及正弦定理可得，
即，
因為至少有兩個銳角，不妨設(shè)、為銳角，
所以，，則也為銳角，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，
因此，為等邊三角形，D對.
故選：CD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知復(fù)數(shù)z滿足，則_____．
【答案】
【解析】由，
所以.
14.已知是平面內(nèi)兩個不共線向量，，A，B，C三點共線，則_____．
【答案】
【解析】由可得，解的
故答案為：
15. 已知直三棱柱的底面為直角三角形，且兩直角邊長分別為1和，此三棱柱的高為，則該三棱柱的外接球的體積為____________．
【答案】##
【解析】依題意，不妨令，于是得直三棱柱共點于A的三條棱AB，AC，AA1兩兩垂直，，
則以AB，AC，AA1為相鄰三條棱可作長方體，該長方體與直三棱柱有相同的外接球，
外接球的直徑2R即為長方體體對角線長，即，
此球的體積為，
故答案為：.
16．已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，點O為其外接圓的圓心，已知，則當(dāng)角C取到最大值時△ABC的面積為___________.
【答案】
【解析】設(shè)AC的中點為D，因為點O為其外接圓的圓心，所以O(shè)A=OB=OC，連接OD，由三線合一得：OD⊥AC，則即，所以，由知，角C為銳角，故，因為，所以由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時角C取到最大值，，，△ABC的面積為.
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．已知，i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．
（1）若，求m的值；
（2）若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第二象限，求m的取值范圍．
【答案】（1）-3或1 （2）
【解析】（1）
由題意得：，解得：或1，
經(jīng)檢驗，均滿足題意，故m的值為-3或1
（2）由題意得：，
解得：或
故m的取值范圍是
18．已知，．
（1）若與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時，求的取值范圍．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因為，，
所以，，
因為與的夾角為鈍角，
所以，且，
解得且，
所以的取值范圍為；
（2）根據(jù)題意，，
則，
所以，
又，則，
所以的取值范圍是．
19．已知長方體全部棱長的和為28，其外接球的表面積為，過、、三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體，且這個幾何體的體積為．
（1）求棱的長；
（2）求幾何體的表面積．
【答案】（1）2或3；（2）．
【解析】（1）設(shè)，，，則，∴①
又為長方體外接球半徑)，∴②
又，∴③
由①②③，解得或或
∴棱長AA1為2或3
（2）由（1）知，
若，，則
其他情況，同理
∴
20．在①，，且；②；③這三個條件中任選一個補充在下面問題中的橫線上，并解答.
已知中，三個內(nèi)角，，所對邊分別是，，，其中，且____________.
（1）求外接圓半徑；
（2）若點是的中點，的長度為，求的面積.
【答案】（1）1； （2）.
【解析】（1）選①：，則，
所以，又，
則，，故，可得外接圓半徑；
選②：，而，
所以，即，
又，則，，故，外接圓半徑；
選③：由，
所以，故
由，故，則外接圓半徑；
（2）由題設(shè)，，
所以，
，
所以，即，則的面積.
21．如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，，，E，F(xiàn)分別為棱，BC的中點，G為線段CF的中點.
（1）證明：平面
（2）求三棱錐的體積.
【答案】（1）1； （2）.
【解析】（1）連交AE于點M，連 MF，
為BC的中點，G為CF的中點，，
，，∽，
，，
平面AEF，平面AEF，平面
（2）在三棱柱中，平面平面，平面ABC，平面，
點A，F(xiàn)到平面距離相等，
，
側(cè)面為矩形，，
，，，
，AB，平面，
平面，
為三棱錐的高，
，，
，
，
三棱錐的體積為
22．在銳角△ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，．
（1）若，求△ABC的面積；
（3）求的值；
（3）求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由余弦定理
結(jié)合可知，△ABC的面積
（2）因為，，所以，
由正弦定理，
所以，①
由于，
帶入①式可知：
（3）解法1：
設(shè)BC中點為D，則
所以
如下圖所示，
設(shè)△ABC的外接圓為圓O，由于△ABC為銳角三角形，故點A的運動軌跡為劣?。ú缓它c），由正弦定理知圓O的半徑，故
設(shè)，則，由余弦定理：
由于函數(shù)在時單調(diào)遞減，，
所以
解法2：
由余弦定理②
由定義
所以
設(shè)，
則
由正弦定理：
其中銳角的終邊經(jīng)過點，由銳角三角形可知
注意到，
所以
所以，②式變形為，故
從而，
此時函數(shù)單調(diào)遞減，而，
所以

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