1．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
2．如圖，平面平面，直線，過三點(diǎn)確定的平面為，則平面的交線必過（ ）
A. 點(diǎn)B. 點(diǎn)C. 點(diǎn)，但不過點(diǎn)D. 點(diǎn)和點(diǎn)
3．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A＝60°，a，則等于（ ）
A. B. C. D. 2
4．已知向量，，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
5．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)，且，則（ ）
A. B. C. D.
6．中國(guó)古代計(jì)時(shí)器的發(fā)明時(shí)間不晚于戰(zhàn)國(guó)時(shí)代（公元前476年～前222年），其中沙漏就是古代利用機(jī)械原理設(shè)計(jì)的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道流到下部容器.如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)完全相同圓錐容器組成，圓錐的體積為，底面半徑為，當(dāng)細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)）.若細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)完全蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此時(shí)圓錐形沙堆的高為（ ）
A. B. C. D.
7．在△中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足，且，則的最小值為（ ）
A. 2B. C. 3D.
8．已知S，A，B，C是球O表面上的點(diǎn)，平面ABC，，，，則球O的體積等于（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知下列四個(gè)命題為真命題的是（ ）
A. 已知非零向量，若，則
B. 若四邊形中有，則四邊形為平行四邊形
C. 已知，，可以作為平面向量的一組基底
D. 已知向量，則向量在向量上的投影向量為
10．如圖是一個(gè)正方體的側(cè)面展開圖，在原立方體中，以下關(guān)系判斷正確的是（ ）
A. B. 與相交C. D. 與異面
11．任何一個(gè)復(fù)數(shù)（其中，i為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（ ）
A. B. 當(dāng)，時(shí)，
C. 當(dāng)，時(shí)， D. 當(dāng)，時(shí)，若n為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)
12．在銳角中，角，，所對(duì)邊分別為，，，外接圓半徑為，若，，則（ ）
A. B.
C. 的最大值為3 D. 的取值范圍為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模是________.
14.已知在中，，，若，則___________.
15.在中，角A，，所對(duì)邊分別為，，，面積為S，若，則____________.
16．如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為____________.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)（是z的共軛復(fù)數(shù)）.
（1）設(shè)復(fù)數(shù)，求；
（2）若實(shí)數(shù)、滿足，求實(shí)數(shù)、的值.
18．如圖，長(zhǎng)方體的底面是正方形，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，且，．
（1）證明：點(diǎn)F在平面內(nèi)；
（2）若，求三棱錐的體積．
19．已知正六邊形的邊長(zhǎng)為1，
（1）當(dāng)點(diǎn)滿足__________時(shí)，．
（注：無(wú)需寫過程，填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）
（2）若點(diǎn)為線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求的取值范圍；
（3）若點(diǎn)H是正六邊形內(nèi)或其邊界上的一點(diǎn)，求的取值范圍.
20．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并進(jìn)行解答．
問題：在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且______．
（1）求角；
（2）若角的平分線長(zhǎng)為1，且，求外接圓的面積．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
21．如圖，圓是邊長(zhǎng)為的正方形的內(nèi)切圓，為圓周上一點(diǎn)，過作，的垂線，垂足分別為，．設(shè)，
（1）求的取值范圍；
（2）求的最小值．
22．已知中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且
（1）求角C
（2）若，，為角C的平分線，求的長(zhǎng)；
（3）若，求銳角面積的取值范圍.
期中考試全真模擬試卷01
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
2．如圖，平面平面，直線，過三點(diǎn)確定的平面為，則平面的交線必過（ ）
A. 點(diǎn)B. 點(diǎn)C. 點(diǎn)，但不過點(diǎn)D. 點(diǎn)和點(diǎn)
【答案】D
【解析】由題意知，，，∴，又，
∴，即在平面與平面的交線上，又，，
∴點(diǎn)C在平面與平面的交線上，即平面的交線必過點(diǎn)和點(diǎn)
故選：D.
3．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A＝60°，a，則等于（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】A＝60°，a，
由正弦定理可得，2，
∴b＝2sinB，c＝2sinC，
則2．
故選：D．
4．已知向量，，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)與的夾角為，
則在上的投影向量為: .
故選：B.
5．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在△ABC中，，即，由余弦定理得：，而，解得，由，顯然，則，所以，所以．
故選：C．
6．中國(guó)古代計(jì)時(shí)器的發(fā)明時(shí)間不晚于戰(zhàn)國(guó)時(shí)代（公元前476年～前222年），其中沙漏就是古代利用機(jī)械原理設(shè)計(jì)的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道流到下部容器.如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)完全相同圓錐容器組成，圓錐的體積為，底面半徑為，當(dāng)細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)）.若細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)完全蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此時(shí)圓錐形沙堆的高為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)已知條件有, ,即

圓錐形沙堆的高
故選：C
7．在△中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足，且，則的最小值為（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】A
【解析】，得，
由余弦定理，
即，所以的最小值為2．
故選A．
8．已知S，A，B，C是球O表面上的點(diǎn)，平面ABC，，，，則球O的體積等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】平面ABC，，
，，
面SAB，
面SAB，
，
，中AC中點(diǎn)O，
，
為球O的直徑，又可求得，球O的半徑，體積，
故選B．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知下列四個(gè)命題為真命題的是（ ）
A. 已知非零向量，若，則
B. 若四邊形中有，則四邊形為平行四邊形
C. 已知，，可以作為平面向量的一組基底
D. 已知向量，則向量在向量上的投影向量為
【答案】ABD
【解析】對(duì)A：對(duì)于非零向量，若，則成立，
即選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：因?yàn)椋赃吅推叫星蚁嗟龋?br>即四邊形為平行四邊形，
即選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C：因，所以，
所以不可以作為平面向量的一組基底，
即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：易知與同向的單位向量為，
設(shè)、的夾角為，則，
所以向量在向量上的投影向量為，
即選項(xiàng)D正確.
故選：ABD.
10．如圖是一個(gè)正方體的側(cè)面展開圖，在原立方體中，以下關(guān)系判斷正確的是（ ）
A. B. 與相交C. D. 與異面
【答案】BCD
【解析】畫出原正方體如圖所示，
不平行，所以A錯(cuò)；與相交，所以B正確；由正方體的性質(zhì)知，所以C正確；與即不平行也不相交，所以與是異面直線，所以D正確.
故選：BCD.
11．任何一個(gè)復(fù)數(shù)（其中，i為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（ ）
A. B. 當(dāng)，時(shí)，
C. 當(dāng)，時(shí)，D. 當(dāng)，時(shí)，若n為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)
【答案】AC
【解析】對(duì)于復(fù)數(shù)有，
，而，所以選項(xiàng)A正確；
根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式，時(shí)，
此時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
時(shí)，
根據(jù)棣莫弗定理，，所以選項(xiàng)C正確；
時(shí)，，n為偶數(shù)時(shí)，
設(shè), ，
所以k為奇數(shù)時(shí)，為純虛數(shù)；k為偶數(shù)時(shí)為實(shí)數(shù)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AC.
12．在銳角中，角，，所對(duì)邊分別為，，，外接圓半徑為，若，，則（ ）
A.
B.
C. 的最大值為3
D. 的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】由題設(shè)，外接圓直徑為，故，A正確；
銳角中，則，故，B錯(cuò)誤；
，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確；
由C分析知：，而，
又且，
則
，而，
所以，則，
所以，D正確
故選：ACD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模是________.
【答案】2
【解析】，所以的模長(zhǎng)為.
故答案為：2
14.已知在中，，，若，則___________.
【答案】.
【解析】因?yàn)?，所以，即，而，所以，即，所以?br>故答案為：．
15.在中，角A，，所對(duì)邊分別為，，，面積為S，若，則____________.
【答案】或
【解析】由，
根據(jù)正弦定理得：.
由于 ，故，
由于 ，故，
由于，
而，
故答案為：或
16．如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為____________.
【答案】
【解析】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，

設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有.
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值.
在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即
在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.
同理可求：
因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以?br>所以在三角形中，,,
由余弦定理得：.
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)（是z的共軛復(fù)數(shù)）.
（1）設(shè)復(fù)數(shù)，求；
（2）若實(shí)數(shù)、滿足，求實(shí)數(shù)、的值.
【答案】（1） （2），
【解析】（1）純虛數(shù)，則，可得，
所以，，因此，.
（2）由（1）可知，則，
，
由已知可得，解得，.
18．如圖，長(zhǎng)方體的底面是正方形，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，且，．
（1）證明：點(diǎn)F在平面內(nèi)；
（2）若，求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見解析 （2）
【解析】（1）證明：如圖，連接，，
在長(zhǎng)方體中，，且，
所以四邊形是平行四邊形，則．
因?yàn)?，，所以?br>所以，所以，
所以，所以四點(diǎn)共面，
即點(diǎn)在平面內(nèi)．
（2）在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)到平面的距離
即為點(diǎn)到平面的距離，即為；
所以．
19．已知正六邊形的邊長(zhǎng)為1，
（1）當(dāng)點(diǎn)滿足__________時(shí)，．
（注：無(wú)需寫過程，填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）
（2）若點(diǎn)為線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求的取值范圍；
（3）若點(diǎn)H是正六邊形內(nèi)或其邊界上的一點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析 （2） （3）
【解析】（1）
建系如圖，則
因?yàn)椋O(shè)，所以，，又因?yàn)?，所以，，可得，又因?yàn)?，，所以，直線
：，所以， M為直線AD上的任意一點(diǎn)即可(答案不唯一).
故答案為： (答案不唯一)
（2）
建系如圖，則
設(shè)，
由可得：
所以解得
所以
故答案為：
（3）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)H是正六邊形內(nèi)或其邊界上的一點(diǎn)，則，則==
故答案為：
20．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并進(jìn)行解答．
問題：在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且______．
（1）求角；
（2）若角的平分線長(zhǎng)為1，且，求外接圓的面積．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）若選①：在中，因，
所以，即，
由正弦定理可得，，
又因?yàn)椋?，所以，?br>所以，則，
若選②：在中，因，
所以，
由正弦定理可得，，
所以，
又因?yàn)椋?，所以，則，
若選③：在中，因?yàn)?，所以?br>所以，由正弦定理可得，，
又因?yàn)?，所以，所以，又?br>即，又，所以，所以，
所以，又因?yàn)?，所以，則，
（2）因?yàn)榻堑钠椒志€為，又，所以
，
即，即，
又，
所以，所以，即，
故外接圓的面積，
21．如圖，圓是邊長(zhǎng)為的正方形的內(nèi)切圓，為圓周上一點(diǎn)，過作，的垂線，垂足分別為，．設(shè)，
（1）求的取值范圍；
（2）求的最小值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）如圖，以為原點(diǎn)，以平行于的直線為軸，以平行于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)點(diǎn)，由題可知，，，，
，，
所以，
令，則，，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值為，
當(dāng)時(shí)，有最大值，
所以的取值范圍是．
（2），
令，原式，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立．
所以的最小值為．
22．已知中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且
（1）求角C
（2）若，，為角C的平分線，求的長(zhǎng)；
（3）若，求銳角面積的取值范圍.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由及正弦定理得
所以
∴，∴
∵，∴
（2）設(shè)由得
.
解得，即角平分線的長(zhǎng)度為
（3）設(shè)外接圓半徑為R，由
，即，即，∴
所以的面積
∵，∴，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴，∴，
∴

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