1．已知向量，，則（ ）
A. B. C. D.
2．設(shè)復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
3．已知一個(gè)糧食倉儲容器為圓錐體形狀，它的體積為（容器的厚度不計(jì)），且它的側(cè)面展開圖是半圓形狀，則它的母線長為（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（ ）
A. A=30°，B=45°，c=5B. a=4，b=5，C=60°
C. a=8，，B=45°D. a=6，b=8，A=30°
5．設(shè)有下面四個(gè)命題，其中假命題為（ ）
A. 若復(fù)數(shù)滿足，則
B. 若為虛數(shù)單位，則
C. 若復(fù)數(shù)，滿足，則或
D. 若復(fù)數(shù)滿足，則
6．點(diǎn)O是內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．則的值為（ ）
A. B. C. D.
7．在正三棱錐中，，正三棱錐的體積是，則正三棱錐外接球的表面積是（ ）
A. B. C. D.
8．已知銳角中，角對應(yīng)的邊分別為，，若， 則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題是真命題的是（ ）
A.
B. 若，則
C. 若，則z是純虛數(shù)
D. 對任意實(shí)數(shù)，都有是虛數(shù)
10．在△中，如下判斷正確的是（ ）
A. 若，則△為等腰三角形
B. 若，則
C. 若△為銳角三角形，則
D. 若，則△是銳角三角形
11．下列說法正確的是（ ）
A. 對于任意兩個(gè)向量，若，且與同向，則
B. 已知，為單位向量，若，則在上的投影向量為
C. 設(shè)為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得是“”的充分不必要條件
D. 若，則與的夾角是銳角
12．如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，點(diǎn)B是圓O上異于A，C的點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 圓錐SO的側(cè)面積為
B. 三棱錐S-ABC體積的最大值為
C. 的取值范圍是
D. 若AB=BC，E為線段AB上的動點(diǎn)，則SE+CE的最小值為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．設(shè)，向量，且，則____________．
14.如圖所示，正方形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，則在原圖形中對應(yīng)線段AB的長度為____________．
15. 已知正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，，，則該三棱錐的外接球的表面積為___________，該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為___________.
16．已知正方形ABCD的邊長為2，實(shí)數(shù)()，則的最大值為______．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量，又點(diǎn)，，．
（1）若，且，求向量的坐標(biāo)；
（2）若向量與共線，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值．
18．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題的橫線上，并加以解答．
問題：的內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足 ．
（1）求；
（2）若，且向量與共線，求的周長．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分．
19．如圖所示，在四邊形ABCD中，，，，，E為AB的中點(diǎn)．
（1）將四邊形ABCD繞著線段AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，求所形成封閉幾何體的表面積和體積；
（2）將繞著線段AE所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體W，若球O是幾何體W的內(nèi)切球，求球O的表面積．
20．已知正方體中，?分別為對角線?上的點(diǎn)，且．
（1）求證：平面；
（2）若是上的點(diǎn)，的值為多少時(shí)，能使平面平面？請給出證明．
21．為了美化環(huán)境，某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形，已知，，是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形．?dāng)M修建兩條小路、（路的寬度忽略不計(jì)），沿路徑從處到處比沿路徑和從處到處近米.
（1）若，求的值和的長度；
（2）設(shè)與交于點(diǎn)，若，現(xiàn)公園管理方為了建一個(gè)更大的圓形花壇，應(yīng)該選擇的內(nèi)切圓還是的內(nèi)切圓？
22．如圖，在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．D為BC邊上一點(diǎn)，記，．向量，，．
（1）若，請比較與的大小；
（2）若，且，求的最小值．
期中考試仿真模擬試卷04
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知向量，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所?（5，7），
故選:A.
2．設(shè)復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，則，所以
故選：D
3．已知一個(gè)糧食倉儲容器為圓錐體形狀，它的體積為（容器的厚度不計(jì)），且它的側(cè)面展開圖是半圓形狀，則它的母線長為（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】如圖，圓錐的體積 ①，
由側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓得 ②，
又 ③，
聯(lián)立①②③，即可解得.
故選：A
4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（ ）
A. A=30°，B=45°，c=5B. a=4，b=5，C=60°
C. a=8，，B=45°D. a=6，b=8，A=30°
【答案】D
【解析】對于選項(xiàng)A中：由A=30°，B=45°，c=5，所以，再利用正弦定理可求，顯然只有一解；
對于選項(xiàng)B中：由余弦定理可得，所以只有一解；
對于選項(xiàng)C中：因?yàn)?，且，所以只有一解?br>對于選項(xiàng)D中：因?yàn)椋?，所以角有兩?
故選：D.
5．設(shè)有下面四個(gè)命題，其中假命題為（ ）
A. 若復(fù)數(shù)滿足，則
B. 若為虛數(shù)單位，則
C. 若復(fù)數(shù)，滿足，則或
D. 若復(fù)數(shù)滿足，則
【答案】D
【解析】對于A：設(shè)，則
∵，則即
∴即
“若復(fù)數(shù)滿足，則”為真命題
對于B：，，，，，
∴
則
“若為虛數(shù)單位，則”為真命題
對于C：設(shè)，
∵
則，解得：或
即或
“若復(fù)數(shù)，滿足，則或”為真命題
對于D：設(shè)，則
恒成立
“若復(fù)數(shù)滿足，則”為假命題
故選：D．
6．點(diǎn)O是內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得，設(shè)，即，可知三點(diǎn)共線，且反向共線，如下圖所示：
故，.
故選：C.
7．在正三棱錐中，，正三棱錐的體積是，則正三棱錐外接球的表面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如圖所示，設(shè)點(diǎn)G為的外心，則平面，
由，
∴，則三棱錐的外接球的球心O在直線上．設(shè)其外接球的半徑為R，
由正弦定理得，在中，，
由勾股定理得，即，解得．
正三棱錐外接球的表面積是，
故選：C．
8．已知銳角中，角對應(yīng)的邊分別為，，若， 則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴
∴，
∴，因?yàn)椋?br>∴，即，又，
∴，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴
∴ ，
∵ 為銳角三角形，
∴ ，
∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
∴ 的最小值是，
故選：D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題是真命題的是（ ）
A.
B. 若，則
C. 若，則z是純虛數(shù)
D. 對任意實(shí)數(shù)，都有是虛數(shù)
【答案】ABD
【解析】，故A對；
若，則，故，B對；
若，顯然滿足題意，但z為實(shí)數(shù)也可以，故C錯；
因?yàn)?，故是虛?shù)，D對．
故選：ABD．
10．在△中，如下判斷正確的是（ ）
A. 若，則△為等腰三角形
B. 若，則
C. 若△為銳角三角形，則
D. 若，則△是銳角三角形
【答案】BC
【解析】對：若，因?yàn)椋驶颍?br>即或，則△為等腰三角形或直角三角形，故錯誤；
對：若，根據(jù)大角對大邊可知，由正弦定理可得，故正確；
對：若△為銳角三角，則，即，又，
則，即，故正確；
對：若，即，則，故，
故為銳角，但△不一定為銳角三角形，故錯誤；
故選：
11．下列說法正確的是（ ）
A. 對于任意兩個(gè)向量，若，且與同向，則
B. 已知，為單位向量，若，則在上的投影向量為
C. 設(shè)為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得是“”的充分不必要條件
D. 若，則與的夾角是銳角
【答案】BC
【解析】選項(xiàng)A：向量是既有大小又有方向的量，但不能比較大小，故選項(xiàng)A錯誤；
選項(xiàng)B：在單位向量上的投影向量為，故選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)C：若存在負(fù)數(shù)，使得，則；
若，則向量與的夾角為鈍角或，故選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)D：若，則與的夾角是銳角或角，故選項(xiàng)D錯誤；
故選：BC.
12．如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，點(diǎn)B是圓O上異于A，C的點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 圓錐SO的側(cè)面積為
B. 三棱錐S-ABC體積的最大值為
C. 的取值范圍是
D. 若AB=BC，E為線段AB上的動點(diǎn)，則SE+CE的最小值為
【答案】BD
【解析】由已知，圓錐側(cè)面積為，A錯；
在圓周上，易得，．B正確；
，又中，，所以，
所以．C錯；
時(shí)，把和攤平，如圖，
的最小值是，此時(shí)，，，，
，D正確．
故選：BD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．設(shè)，向量，且，則____________．
【答案】
【解析】，向量，由得，解得；由得，解得，，，故答案為：
14.如圖所示，正方形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，則在原圖形中對應(yīng)線段AB的長度為____________．
【答案】6
【解析】按照斜二測畫法，在原圖形中的線段OA=2, 在原圖形中的線段,.
由勾股定理得：.
故答案為：6
15. 已知正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，，，則該三棱錐的外接球的表面積為___________，該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】因?yàn)檎忮F中，，，
所以,
則將該三棱錐補(bǔ)成棱長為4的正方體，如圖所示：
所以該三棱錐的外接球的直徑為正方體的體對角線的長，
即，
所以，外接球的表面積為；
設(shè)該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，
則，
即，
解得，
故答案為：，
16．已知正方形ABCD的邊長為2，實(shí)數(shù)()，則的最大值為______．
【答案】10
【解析】
如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，
則，，，
則，
則，
∵()，
∴當(dāng)時(shí)，取最大值
故答案為：10．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量，又點(diǎn)，，．
（1）若，且，求向量的坐標(biāo)；
（2）若向量與共線，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值．
【答案】（1）或 （2）
【解析】（1）由題意，，，
∵，，
∴，
又因?yàn)?，所以?br>聯(lián)立方程組，求解可得或，
所以或；
（2）由題意，，
因?yàn)橄蛄颗c共線，所以，即，
于是，
因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，
故．
18．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題的橫線上，并加以解答．
問題：的內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足 ．
（1）求；
（2）若，且向量與共線，求的周長．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分．
【答案】選擇見解析；（1）；（2）．
【解析】（1）選擇①，由正弦定理，得
∴，又，∴
∴，又，∴，得
選擇②，由正弦定理，得，整理得，，
又，，∴
選擇③，由正弦定理，得，
∴，
又，∴，，∴
（2）∵，∴，由正弦定理得，
由余弦定理，，得
又，∴，，，
∴△ABC周長為
19．如圖所示，在四邊形ABCD中，，，，，E為AB的中點(diǎn)．
（1）將四邊形ABCD繞著線段AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，求所形成封閉幾何體的表面積和體積；
（2）將繞著線段AE所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體W，若球O是幾何體W的內(nèi)切球，求球O的表面積．
【答案】（1）表面積為；體積為. （2）
【解析】
（1）因?yàn)?，所?
因?yàn)?，，E為AB的中點(diǎn)，
所以，所以四邊形EBCD為平行四邊形.
因?yàn)?所以.
將四邊形ABCD繞著線段AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)組合體：上面是一個(gè)以ED為底面圓的半徑，以AE為高的圓錐，下面是一個(gè)等底等高的圓柱.
因?yàn)?，，所以?
所以封閉幾何體的表面積為;
體積為.
（2）將繞著線段AE所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體為以ED為底面圓的半徑，以AE為高的圓錐.其內(nèi)切球的球心為O，半徑為r.作出軸截面如圖所示：
,由勾股定理得：，即，解得：，所以內(nèi)切球的半徑為，
所以球O的表面積為.
20．已知正方體中，?分別為對角線?上的點(diǎn)，且．
（1）求證：平面；
（2）若是上的點(diǎn)，的值為多少時(shí)，能使平面平面？請給出證明．
【答案】（1）證明見解析；（2）的值為，證明見解析．
【解析】（1）（1）連結(jié)并延長與的延長線交于點(diǎn)，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?br>所以，
故，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以．
又平面，平面，
故平面．
（2）當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，能使平面平面．
證明：因?yàn)椋?br>即有，
故．
所以．
又平面，平面，
所以平面，
又，平面．
所以平面平面．
21．為了美化環(huán)境，某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形，已知，，是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形．?dāng)M修建兩條小路、（路的寬度忽略不計(jì)），沿路徑從處到處比沿路徑和從處到處近米.
（1）若，求的值和的長度；
（2）設(shè)與交于點(diǎn)，若，現(xiàn)公園管理方為了建一個(gè)更大的圓形花壇，應(yīng)該選擇的內(nèi)切圓還是的內(nèi)切圓？
【答案】（1）， （2）應(yīng)該選擇的內(nèi)切圓作為花壇
【解析】（1）由，，則、均為銳角，
所以，，，
且
，
故由正弦定理可得，，
從而，故，
于是，，又，
故由余弦定理
．
（2）因?yàn)椋瑥亩街本€的距離與到直線的距離相等，故．
由（1）知
，
，所以，，從而，，
于是，
由正弦定理，
可得
．
故，
設(shè)的內(nèi)切圓半徑與的內(nèi)切圓半徑分別為、，
則，可得，同理可得，
從而，
故應(yīng)該選擇的內(nèi)切圓作為花壇．
22．如圖，在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．D為BC邊上一點(diǎn)，記，．向量，，．
（1）若，請比較與的大??；
（2）若，且，求的最小值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因?yàn)?，所?br>整理得，
所以由余弦定理可得
因?yàn)椋?br>又
所以，即，即
記，則在中由正弦定理可得：
所以，即
又因?yàn)?，所以，所?br>（2）由（1）知，
因?yàn)?，所以，所?br>所以
因?yàn)椋?br>所以，整理可得，即
由，可得，展開整理得
所以，所以
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，
所以的最小值為

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