1．已知，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
2． 已知向量，，，則與夾角為（ ）
A. B. C. D.
3．如圖，在中，，若的水平放置直觀圖為，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
4．歐拉是世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，在很多領(lǐng)域中都有杰出的貢獻(xiàn)．由《物理世界》發(fā)起的一項(xiàng)調(diào)查表明，人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱為“史上最偉大的公式”．其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特殊情況．根據(jù)歐拉公式，若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部是（ ）
A. B. C. D.
5．設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，為測(cè)量A，B兩點(diǎn)間的距離，小明同學(xué)在A的同側(cè)選定一點(diǎn)C，測(cè)出A，C兩點(diǎn)間的距離為80米，，請(qǐng)你幫小明同學(xué)計(jì)算出A，B兩點(diǎn)間的距離，距離為（ ）米．
A. B. C. D.
6．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著．其中卷五記載：“今有芻甍，下廣三丈，表四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”問題即為：今有如圖所示的屋脊?fàn)钚w，下底面是矩形，假設(shè)屋脊沒有歪斜，即中點(diǎn)在底面ABCD上的投影為矩形ABCD的中心O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(長(zhǎng)度單位：丈)．則楔體的體積為(體積單位：立方丈)（ ）
A. 10B. 8C. D.
7．中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，，，，則為（ ）
A. 銳角三角形B. 鈍角三角形C. 銳角三角形或鈍角三角形D. 直角三角形
8．若，，平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．復(fù)數(shù)滿足，且，則下列正確的有（ ）
A. B.
C. D.
10． ，，是空間三條不同的直線，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，，共面D. ，，共點(diǎn)，，共面
11．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，下列命題中正確的是（ ）
A. 若，則點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)
B. 若，，，則有兩種形狀
C. 若，則是等腰或直角三角形
D. 若為的內(nèi)心，則
12．在中，為邊上的中線，，以下說法正確的是（ ）
A. B.
C. 若，則D. 若，則的取值范圍是
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．若，則________．
14.已知某圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為7，圓臺(tái)的側(cè)面積為，則該圓臺(tái)全面積為________.
15. 在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且，若BC邊上的中線長(zhǎng)，則的面積為________．
16．已知是等邊三角形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，，則______；______．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．已知向量與的夾角為，且，.
（1）若與共線，求；
（2）求，.
18．已知復(fù)數(shù)
（1）若z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及的最小值
19．已知四棱錐A—BCDE，AB=BC=AC=BE=1，CD=2BE=2，CD面ABC，BE∥CD，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥面ABC；
（2）求四棱錐A—BCDE的體積，
20． 的內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，.已知.
(1) 求；
(2) 若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍。
21．長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)為“雅禮杯”足球賽制作了冠軍獎(jiǎng)杯，獎(jiǎng)杯的剖面圖形如圖所示，其中扇形OAB的半徑為10，，，若按此方案設(shè)計(jì)：
（1）當(dāng)時(shí)，在中，G為AB邊上任意一點(diǎn)，求的最大值；
（2）制作商發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OP最長(zhǎng)時(shí)，該獎(jiǎng)杯比較美觀，求此時(shí)的大小.
22．如圖，某城市有一條從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北60°方向的公路，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條繞城高速公路，并在，上分別設(shè)置兩個(gè)出口A，，在A的東偏北的方向（A，兩點(diǎn)之間的高速路可近似看成直線段），由于A，之間相距較遠(yuǎn)，計(jì)劃在A，之間設(shè)置一個(gè)服務(wù)區(qū).
（1）若在的正北方向且，求A，到市中心的距離和最小時(shí)的值；
（2）若到市中心的距離為，此時(shí)設(shè)在的平分線與的交點(diǎn)位置，且滿足，則求A到市中心的距離最大時(shí)的值.
期中考試仿真模擬試卷01
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得，
所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，
故選：C
2． 已知向量，，，則與夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，
，解得：，
又，，即與夾角為.
故選：D.
3．如圖，在中，，若的水平放置直觀圖為，則的面積為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在中，，，則，，
由斜二測(cè)畫法規(guī)則知，，，，邊上的高，
所以的面積為.
故選：B
4．歐拉是世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，在很多領(lǐng)域中都有杰出的貢獻(xiàn)．由《物理世界》發(fā)起的一項(xiàng)調(diào)查表明，人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱為“史上最偉大的公式”．其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特殊情況．根據(jù)歐拉公式，若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意得，
所以，
所以，則z的虛部是1.
故選：A
5．設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，為測(cè)量A，B兩點(diǎn)間的距離，小明同學(xué)在A的同側(cè)選定一點(diǎn)C，測(cè)出A，C兩點(diǎn)間的距離為80米，，請(qǐng)你幫小明同學(xué)計(jì)算出A，B兩點(diǎn)間的距離，距離為（ ）米．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
由正弦定理可知
，
故選：B
6．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著．其中卷五記載：“今有芻甍，下廣三丈，表四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”問題即為：今有如圖所示的屋脊?fàn)钚w，下底面是矩形，假設(shè)屋脊沒有歪斜，即中點(diǎn)在底面ABCD上的投影為矩形ABCD的中心O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(長(zhǎng)度單位：丈)．則楔體的體積為(體積單位：立方丈)（ ）
A. 10B. 8C. D.
【答案】D
【解析】根據(jù)題意，分別過點(diǎn)，作平面的垂直平面，則可以把楔體分成一個(gè)三棱柱和兩個(gè)四棱錐.
三棱柱體積(立方丈)，
四棱錐體積(立方丈)，
故楔體的體積(立方丈).
故選：D.
7．中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，，，，則為（ ）
A. 銳角三角形B. 鈍角三角形C. 銳角三角形或鈍角三角形D. 直角三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理得，得，
得，
過作垂直所在的直線，則，
所以角有兩種情況，即角為銳角，角為鈍角，
如圖對(duì)應(yīng)的三角形分別為和，
由圖可得為鈍角三角形，
在中，
，所以為鈍角，
綜上，為鈍角三角形，
故選：B
8．若，，平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由，可得
因?yàn)椋?，即是角平分線
所以由角平分線的性質(zhì)可得
設(shè)，則，由可得
因?yàn)?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為
所以的最大值是
故選：C
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．復(fù)數(shù)滿足，且，則下列正確的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】由題意，設(shè)復(fù)數(shù)，（不同時(shí)為0），
因?yàn)?，所以，即?br>所以，所以，
所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)B正確；
，故選項(xiàng)C正確；
，故選項(xiàng)D正確
故選：BCD.
10． ，，是空間三條不同的直線，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，，共面D. ，，共點(diǎn)，，共面
【答案】ACD
【解析】由，，則、平行、異面都有可能，故A錯(cuò)誤；
由，得，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，，不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，互相平行但不共面，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)，，共點(diǎn)時(shí)，，，不一定共面，如三棱柱共頂點(diǎn)的三條棱不共面，故D錯(cuò)誤；
故選：ACD.
11．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，下列命題中正確的是（ ）
A. 若，則點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)
B. 若，，，則有兩種形狀
C. 若，則是等腰或直角三角形
D. 若為的內(nèi)心，則
【答案】CD
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由得，即，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，由正弦定理得，由于，故或，所以或，故均為鈍角三角形，故錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，由正弦定理邊角互化得，故，由于，故或，即或，所以是等腰或直角三角形，故正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的角平分線所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，其中，，，則，由于不共線，則存在使得，
即，故，
所以，
另一方面，由于，，，其中為內(nèi)切圓的半徑，
，，，
所以，
所以，故，
所以，D選項(xiàng)正確.
故選：CD
12．在中，為邊上的中線，，以下說法正確的是（ ）
A. B.
C. 若，則D. 若，則的取值范圍是
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，∵為邊上的中線，
∴，故A正確；
對(duì)于B，∵，，又，
∴，
∴，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，，
由，可得
∴，
∴，，
∴，故C正確；
對(duì)于D，在中，設(shè)角所對(duì)邊為為，
因?yàn)椋?br>由上知，，
所以，
∴，即，
∴
，
又，
∴，，
∴，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．若，則________．
【答案】
【解析】由可得，即,
可得，則，
故答案為：
14.已知某圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為7，圓臺(tái)的側(cè)面積為，則該圓臺(tái)全面積為________.
【答案】
【解析】設(shè)圓臺(tái)較小底面的半徑為，則另一底面的半徑為.
由，解得.
則該圓臺(tái)全面積為.
故答案為：
15. 在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且，若BC邊上的中線長(zhǎng)，則的面積為________．
【答案】
【解析】∵，
∴由正弦定理得，
∵，∴，
∵，∴，∴，．
設(shè)，則DC=DB=x，
在中，由余弦定理得，解得，
∴，
∴．
故答案為：．
16．已知是等邊三角形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，，則______；______．
【答案】 ①. ②.
【解析】如圖，取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槭堑冗吶切?，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，
所以，，，，
所以，在中，，即，解得.
所以
.
故答案為：；
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．已知向量與的夾角為，且，.
（1）若與共線，求；
（2）求，.
【答案】（1） （2），
【解析】（1）若與共線，則存在，使得，
即，又因向量與不共線，
所以，解得，所以；
（2），
.
18．已知復(fù)數(shù)
（1）若z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及的最小值
【答案】（1）1；（2），.
【解析】（1）為純虛數(shù)，
且
（2）在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為
由題意：，．
即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
而，
當(dāng)時(shí)，．
19．已知四棱錐A—BCDE，AB=BC=AC=BE=1，CD=2BE=2，CD面ABC，BE∥CD，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥面ABC；
（2）求四棱錐A—BCDE的體積，
【答案】（1）證明見解析； （2）．
【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，又是中點(diǎn)，則，，又，
所以，所以是平行四邊形，所以，
平面，平面，所以平面；
（2）取中點(diǎn)，連接，由于是等邊三角形，則，
因?yàn)镃D面ABC，面ABC，所以，
因?yàn)椋矫妫云矫妫?br>由已知，
由CD面ABC，面ABC，所以，是直角梯形，
，
所以．
20． 的內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，.已知.
(1) 求；
(2) 若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍。
【答案】（1）B=60°；（2）.
【解析】（1）由題設(shè)及正弦定理得．
又因?yàn)橹锌傻茫?br>,所以，
因?yàn)橹衧inA0，故．
因?yàn)椋?，因此B=60°．
（2）由題設(shè)及（1）知△ABC的面積．
由正弦定理得．

由于△ABC為銳角三角形，
故0°

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