素養(yǎng)提升課(一)　小船渡河與關(guān)聯(lián)速度問題 1．進(jìn)一步理解合運(yùn)動與分運(yùn)動，掌握運(yùn)動合成與分解的方法。 2．能利用運(yùn)動的合成與分解的知識，分析小船渡河問題和關(guān)聯(lián)速度問題。 　小船渡河問題 1．運(yùn)動分析：小船渡河時(shí)，同時(shí)參與了兩個(gè)分運(yùn)動：一個(gè)是船相對水的運(yùn)動(即船在靜水中的運(yùn)動)，一個(gè)是船隨水漂流的運(yùn)動。 2．兩類常見問題 (1)渡河時(shí)間問題： ①渡河時(shí)間t取決于河寬d及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t＝dv⊥。 ②若要渡河時(shí)間最短，只要使船頭垂直于河岸航行即可，如圖所示，此時(shí)t＝dv船。 (2)最短位移問題： ①若v水v船，如圖乙所示，從出發(fā)點(diǎn)A開始作矢量v水，再以v水末端為圓心，以v船的大小為半徑畫圓弧，自出發(fā)點(diǎn)A向圓弧作切線即為船位移最小時(shí)的合運(yùn)動的方向。這時(shí)船頭與河岸夾角θ滿足cos θ＝v船v水，最短位移x短＝dcosθ。 【典例1】　一小船渡河，河寬d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s，船在靜水中的速度為v2＝5 m/s，則： (1)欲使船在最短的時(shí)間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長時(shí)間？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長時(shí)間？位移是多少？ (3)如果其他條件不變，水流速度變?yōu)? m/s。船過河的最短時(shí)間和最小位移是多少？ [思路點(diǎn)撥]　求解小船渡河問題應(yīng)理清以下問題： (1)船頭指向是小船在靜水中的速度的方向； (2)小船實(shí)際運(yùn)動的方向是合速度的方向； (3)v水＞v船時(shí)，小船不能垂直河岸渡河。 [解析]　(1)欲使船在最短時(shí)間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝垂直河岸方向，當(dāng)船頭垂直河岸時(shí)，如圖甲所示。 時(shí)間t＝dv2＝1805 s＝36 s v合＝v12+v22＝552 m/s 位移為x＝v合t＝905 m。 (2)欲使船渡河航程最短，應(yīng)使合運(yùn)動的速度方向垂直河岸，船頭應(yīng)朝上游與河岸成某一夾角β，如圖乙所示，有v2cos β＝v1，得β＝60°。 最小位移為xmin＝d＝180 m 所用時(shí)間t′＝dv合'＝dv2sinβ＝180532 s＝243 s。 (3)最短渡河時(shí)間只與v2有關(guān)，與v1無關(guān)，當(dāng)船頭垂直于河岸渡河時(shí)時(shí)間最短，t＝dv2＝36 s；當(dāng)水流速度變?yōu)? m/s時(shí)，v1＞v2，則合速度不可能垂直于河岸，無法垂直渡河。如圖丙所示，以v1矢量的末端為圓心、以矢量v2的大小為半徑畫弧，從v1矢量的始端向圓弧作切線，則合速度沿此切線方向時(shí)航程最短，設(shè)船頭與上游河岸夾角為α，則cos α＝v2v1，最小位移為x′min＝dcosα＝v1v2d＝65×180 m＝216 m。 [答案]　(1)船頭朝垂直于河岸方向　36 s　905 m　(2)船頭偏向上游，與河岸夾角為60°　243 s　180 m　(3)36 s　216 m 　研究小船渡河問題的思路 (1)研究小船渡河時(shí)間→應(yīng)用v船垂直于河岸的分速度求解，與v水的大小無關(guān)。 (2)分析小船速度→可畫出小船的速度分解圖進(jìn)行分析。 (3)研究小船渡河位移→要對小船的合運(yùn)動進(jìn)行分析，必要時(shí)畫出位移合成圖。 [跟進(jìn)訓(xùn)練] 1．(2022·重慶南開中學(xué)高一期末)如圖所示，兩岸平行的小河，水流速度恒為v＝4 m/s，小船自A處出發(fā)，沿航線AB渡河，到達(dá)對岸B處。AB與下游河岸的夾角θ＝37°。取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則小船在靜水中的速度不可能為(　　) A．2.2 m/s　　　　　 B．2.4 m/s C．4 m/s D．6 m/s A　[船的最小速度為v船＝v sin 37°＝4×0.6 m/s＝2.4 m/s，故A不可能，BCD可能。] 2．(多選)一快艇從離岸邊100 m遠(yuǎn)的河流中央向岸邊行駛。已知快艇在靜水中的速度圖像如圖甲所示；河中各處水流速度相同，且速度圖像如圖乙所示，則(　　) A．快艇的運(yùn)動軌跡一定為直線 B．快艇的運(yùn)動軌跡一定為曲線 C．快艇最快到達(dá)岸邊，所用的時(shí)間為20 s D．快艇最快到達(dá)岸邊，經(jīng)過的位移為100 m BC　[兩分運(yùn)動一個(gè)是勻加速直線運(yùn)動，另一個(gè)是勻速直線運(yùn)動，知合初速度的方向與合加速度的方向不在同一直線上，合運(yùn)動為曲線運(yùn)動，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)快艇相對于靜水的速度方向垂直于河岸時(shí)，時(shí)間最短，垂直于河岸方向上的加速度a＝0.5m/s2，由d＝12at 2，得t＝20 s，位移應(yīng)大于100 m，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。] 　關(guān)聯(lián)速度問題 1．關(guān)聯(lián)速度 關(guān)聯(lián)體一般是兩個(gè)或兩個(gè)以上由輕繩或輕桿聯(lián)系在一起，或直接擠壓在一起的物體，它們的運(yùn)動簡稱為關(guān)聯(lián)運(yùn)動。一般情況下，在運(yùn)動過程中，相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)物體不是都沿繩或桿運(yùn)動的，即二者的速度通常不同，但卻有某種聯(lián)系，我們稱二者的速度為關(guān)聯(lián)速度。 2．關(guān)聯(lián)速度的思路 (1)確定合運(yùn)動的方向：物體實(shí)際運(yùn)動的方向就是合運(yùn)動的方向，即合速度的方向。 (2)確定合運(yùn)動的兩個(gè)效果。 用輕繩或可自由轉(zhuǎn)動的輕桿連接的―→效果1：沿繩或桿方向的運(yùn)動 效果2：垂直繩或桿方向的運(yùn)動 物體的問題相互接觸的物體的問題―→效果1：垂直接觸面的運(yùn)動效果2：沿接觸面的運(yùn)動 3．常見的速度分解模型 把物體的實(shí)際速度分解為垂直于繩(桿)和平行于繩(桿)兩個(gè)分量，根據(jù)沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解。常見的模型如圖所示。 【典例2】　如圖所示，在水平地面上做勻速直線運(yùn)動的汽車，通過定滑輪用繩子吊起一個(gè)物體，若汽車和被吊物體在同一時(shí)刻的速度分別為v1和v2，且v1＝v保持不變。 (1)求兩繩夾角為θ時(shí)，物體上升速度v2的大小； (2)在汽車做勻速直線運(yùn)動的過程中，物體是加速上升還是減速上升？ (3)在汽車做勻速直線運(yùn)動的過程中，繩子對物體的拉力F與物體所受重力mg的大小關(guān)系如何？ [思路點(diǎn)撥]　解此題要注意兩點(diǎn)： (1)汽車運(yùn)動的速度v1是合速度，可沿繩和垂直于繩分解。 (2)物體的速度v2等于繩子的速度。 [解析]　(1)根據(jù)實(shí)際效果可將汽車的運(yùn)動分解為沿繩方向上的運(yùn)動和垂直于繩方向上的運(yùn)動，如圖所示，則有v2＝v1sin θ＝v sin θ。 (2)當(dāng)汽車水平向左做勻速直線運(yùn)動時(shí)，角度θ變大，由v2＝v sin θ知，繩的運(yùn)動速度變大，即物體將加速上升。 (3)物體加速上升，即物體所受合外力的方向豎直向上，而物體只受重力和拉力的作用，故拉力F大于物體的重力mg，即F＞mg。 [答案]　(1)v sin θ　(2)加速上升　(3)F＞mg [跟進(jìn)訓(xùn)練] 3．如圖所示，AB桿和墻的夾角為θ時(shí)，桿的A端沿墻下滑的速度大小為v1，B端沿地面的速度大小為v2，則v1、v2的關(guān)系是(　　) A．v1＝v2 B．v1＝v2cos θ C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ C　[可以把A、B兩點(diǎn)的速度分解，如圖所示，由于桿不能變長或變短，沿桿方向的速度應(yīng)滿足v1x＝v2x，即v1cos θ＝v2sin θ，v1＝v2tan θ，C正確。] 4．如圖所示，某人用繩通過定滑輪拉小船，設(shè)人勻速拉繩的速度為v0，繩某時(shí)刻與水平方向夾角為α，則小船的運(yùn)動性質(zhì)及此時(shí)刻小船水平速度vx為(　　) A．小船做變速運(yùn)動，vx＝v0cosα B．小船做變速運(yùn)動，vx＝v0cos α C．小船做勻速直線運(yùn)動，vx＝v0cosα D．小船做勻速直線運(yùn)動，vx＝v0cos α A　[小船的實(shí)際運(yùn)動是水平向左的運(yùn)動，它的速度vx可以產(chǎn)生兩個(gè)效果：一是使繩子OP段縮短；二是使OP段繩與豎直方向的夾角減小。所以小船的速度vx應(yīng)分解為沿OP繩指向O的分速度v0和垂直O(jiān)P的分速度v1，由運(yùn)動的分解可求得vx＝v0cosα，α角逐漸變大，可得vx是逐漸變大的，所以小船做的是變速運(yùn)動，且vx＝v0cosα。] 素養(yǎng)提升練(一)　小船渡河與關(guān)聯(lián)速度問題 一、選擇題 1．一小船船頭垂直河岸渡河，從出發(fā)到河中間劃行速度逐漸增大，然后劃行速度逐漸減小到達(dá)對岸。假設(shè)河水流速保持不變，則小船運(yùn)動的全過程中軌跡可能是下列圖中的(　　) A　　 　　　　　　　B C　　 　　　　　　　D C　[水流速保持不變，船的速度先增大，當(dāng)過河中間后開始減速運(yùn)動，根據(jù)曲線運(yùn)動的條件，運(yùn)動軌跡偏向加速度方向，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤。] 2．(2021·遼寧卷)1935年5月，紅軍為突破“圍剿”決定強(qiáng)渡大渡河。首支共產(chǎn)黨員突擊隊(duì)冒著槍林彈雨依托僅有的一條小木船堅(jiān)決強(qiáng)突。若河面寬300 m，水流速度3 m/s，木船相對靜水速度1 m/s，則突擊隊(duì)渡河所需的最短時(shí)間為(　　) A．75 s　　　　　　　 B．95 s C．100 s D．300 s D　[河寬d＝300 m一定，當(dāng)木船船頭垂直河岸時(shí)，在河寬方向上的速度最大，渡河用時(shí)最短，即木船相對靜水的速度v＝1 m/s，渡河時(shí)間最短為tmin＝dv＝3001 s＝300 s，故選項(xiàng)D正確。] 3．(2022·上海市延安中學(xué)高一期末)某船在靜水中的劃行速度v1＝4 m/s，要渡過寬為d＝30 m的河，河水的流速v2＝5 m/s，下列說法正確的是(　　) A．該船渡河所用時(shí)間至少是6 s B．該船的最短航程為30 m C．河水的流速增大，而渡河的最短時(shí)間不變 D．該船以最短時(shí)間渡河時(shí)的位移大小為30 m C　[當(dāng)船的靜水速度與河岸垂直時(shí)，渡河時(shí)間最小，即為t＝dv1＝7.5 s，A錯(cuò)誤；根據(jù)平行四邊形定則，由于靜水速小于水流速，則合速度不可能垂直于河岸，即船不可能垂直到達(dá)對岸，那么最短航程大于30 m，B錯(cuò)誤；根據(jù)運(yùn)動的等時(shí)性原理知河水的流速不影響渡河的時(shí)間，即靜水速度與河岸垂直時(shí)，當(dāng)河水的流速增大，渡河時(shí)間不變，C正確；當(dāng)靜水速度與河岸垂直時(shí)，根據(jù)平行四邊形定則，合速度不可能垂直于河岸，即船不可能垂直到達(dá)對岸，那么渡河時(shí)的位移大于30 m，D錯(cuò)誤。] 4．(多選)如圖所示，小船速度大小為v1，方向與上游河岸成θ角，從A處過河，正好到達(dá)正對岸的B處。現(xiàn)水流速度變大少許，要使小船過河也正好到達(dá)正對岸的B處，下列方法中可行的有(　　) A．保持v1不變，同時(shí)增大θ角 B．保持v1不變，同時(shí)減小θ角 C．保持θ角不變，增大v1大小 D．保持θ角不變，減小v1大小 BC　[由題意可知，水流速度增大時(shí)，保持航線不變能垂直到達(dá)對岸B處，則需滿足v1cos θ＝v水，v水增大時(shí)可以保持v1不變減小θ角，也可以保持θ角不變增大v1，故B、C選項(xiàng)正確。] 5．(2022·合肥一六八中學(xué)高一期中)某人劃船橫渡一條河，河水流速處處相同且恒定，船的劃行速率恒定。已知此人過河最短時(shí)間為T1；若此人用最短的位移過河，則需時(shí)間為T2；已知船在靜水中的劃行速度大于河水流速。則船的劃行速率與水流速率之比為(　　) A．T2 T2 2-T1 2 B．T2T1 C．T1 T2 2-T1 2 D．T1T2 A　[設(shè)河寬為d，船在靜水中的速率為v1，河水流速為v2，最短時(shí)間過河時(shí)，有T1＝dv1，最小位移過河時(shí)v合＝v12-v22，則T2＝dv合，聯(lián)立計(jì)算得v1 v2 ＝ T2 T2 2-T1 2，故B、C、D錯(cuò)誤，A正確。故選A。] 6．(2022·浙江寧波高一期末)如圖為某校學(xué)生跑操的示意圖，跑操隊(duì)伍寬d＝3 m，某時(shí)刻隊(duì)伍整齊的排頭剛到達(dá)AB，在A點(diǎn)的體育老師此時(shí)準(zhǔn)備從隊(duì)伍前沿經(jīng)直線勻速到達(dá)BC邊處某點(diǎn)，且不影響跑操隊(duì)伍，已知學(xué)生跑操的速度v＝2 m/s，B、C之間的距離為L＝4 m，則以下說法正確的是(　　) A．體育老師的速度可能為2 m/s B．體育老師速度方向與AB平行 C．體育老師可能在0.5 s到達(dá)BC邊 D．若體育老師要跑到BC邊中點(diǎn)D處，其速度大小為3.5 m/s C　[體育老師勻速運(yùn)動從A到BC邊某處，且不影響跑操隊(duì)伍，則其一方面沿著隊(duì)伍行進(jìn)方向的速度vx不能小于2 m/s，另一方面還要有一個(gè)垂直于跑操隊(duì)伍前進(jìn)方向的速度vy，其實(shí)際速度(v師＝vx 2+vy 2)一定大于2 m/s，與AB有一定夾角，故A、B都錯(cuò)誤；若體育老師在0.5 s到達(dá)BC邊，則其垂直于跑操隊(duì)伍前進(jìn)方向的速度vy＝dt，代入數(shù)據(jù)可得vy＝6 m/s，體育老師平行于跑操隊(duì)伍運(yùn)動方向的速度vx≥2 m/s，其合速度v師≥210 m/s即可，作為體育老師，是可以實(shí)現(xiàn)的，故C正確；若體育老師要跑到BC邊中點(diǎn)D處，則運(yùn)動時(shí)間t＝L2vx≤1 s，則其垂直于跑操隊(duì)伍前進(jìn)方向的速度vy＝dt≥3 m/s，體育老師平行于跑操隊(duì)伍運(yùn)動方向的速度vx≥2 m/s，則合速度v師≥13 m/s，故D錯(cuò)誤。] 7．如圖所示，以速度v沿豎直桿勻速下滑的物體A用輕繩通過定滑輪拉物體B，當(dāng)繩與水平面夾角為θ時(shí)，物體B的速度為(　　) A．v B．vsinθ C．v cos θ D．v sin θ D　[將A的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，如圖所示，根據(jù)平行四邊形定則得，vB＝v sin θ，故D正確。 ] 8．(2022·四川達(dá)州高一期末)如圖甲為發(fā)動機(jī)活塞連桿組，圖乙為連桿組的結(jié)構(gòu)簡圖，連桿組在豎直平面內(nèi)，且OA正好在豎直方向上，連桿一端連接活塞A，另一端與曲柄上B點(diǎn)相連，活塞A沿OA直線往復(fù)運(yùn)動并帶動連桿使B點(diǎn)繞圓心O順時(shí)針方向做圓周運(yùn)動，某時(shí)刻OB剛好水平，∠OAB＝θ，活塞A的速率為vA，曲柄上B點(diǎn)的速率為vB，則此時(shí)(　　) A．vA cos θ＝vB B．vB cos θ＝vA C．vA＝vB D．vA sin θ＝vB C　[由速度合成和分解圖可得v1＝vB cos θ，則當(dāng)OB剛好水平，曲柄上B點(diǎn)的速率為vB剛好方向豎直，則有v1＝v′1＝vA cos θ＝vB cos θ，可得vA＝vB，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確。故選C。] 9．如圖所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通過不可伸長的繩拖船，船沿繩的方向行進(jìn)，此過程中繩始終與水面平行。當(dāng)繩與河岸的夾角為α?xí)r，船的速率為(　　) A．v sin α B．vsinα C．v cos α D．vcosα C　[將人的運(yùn)動分解為沿繩方向的分運(yùn)動(分速度為v1)和與繩垂直方向的分運(yùn)動(分速度為v2)，如圖所示。船的速率等于沿繩方向的分速度v1＝v cos α，選項(xiàng)C正確。 ] 10．(2022·山東師大附中期中)如圖所示，一鐵球用細(xì)線懸掛于天花板上，靜止垂在桌子的邊緣，細(xì)線穿過一光盤的中間孔，手推光盤在桌面上平移，光盤帶動細(xì)線緊貼著桌子的邊緣以水平速度v勻速運(yùn)動，當(dāng)光盤由A位置運(yùn)動到圖中的B位置時(shí)，細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，則此時(shí)鐵球(　　) A．豎直方向速度大小為v cos θ B．豎直方向速度大小為v sin θ C．豎直方向速度大小為v tan θ D．相對于地面速度大小為v B　[細(xì)線與光盤的交點(diǎn)參與兩個(gè)運(yùn)動，一是逆著細(xì)線的方向運(yùn)動，二是垂直細(xì)線的方向運(yùn)動，則合運(yùn)動的速度大小為v，由三角函數(shù)關(guān)系，則有v線＝v sin θ，而沿細(xì)線的速度就是鐵球上升的速度大小，故B正確，A、C錯(cuò)誤；球相對于地面的速度大小為v′＝v2+vsinθ2，故D錯(cuò)誤。] 11．如圖所示，有兩條位于同一豎直平面內(nèi)的水平軌道，軌道上有兩個(gè)物體A和B，它們通過一根繞過定滑輪O的不可伸長的輕繩相連接，物體A以速率vA＝10 m/s勻速運(yùn)動，在繩與軌道成30°角時(shí)，物體B的速度大小vB為(　　) A．5 m/s B．533 m/s C．20 m/s D．2033 m/s D　[物體B的運(yùn)動可分解為沿繩BO方向靠近定滑輪O使繩BO段縮短的運(yùn)動和繞定滑輪(方向與繩BO垂直)的運(yùn)動，故可把物體B的速度分解為如圖所示的兩個(gè)分速度，由圖可知vB∥＝vB cos α，由于繩不可伸長，所以繩OA段伸長的速度等于繩BO段縮短的速度，所以有vB∥＝vA，故vA＝vB cos α，所以vB＝vAcosα＝2033 m/s，選項(xiàng)D正確。] 12．(多選)如圖所示，將質(zhì)量為2m的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質(zhì)量為m的小環(huán)，小環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為d?，F(xiàn)將小環(huán)從與定滑輪等高的A處由靜止釋放，當(dāng)小環(huán)沿直桿下滑距離也為d時(shí)(圖中B處)，下列說法正確的是(重力加速度為g)(　　) A．小環(huán)剛釋放時(shí)輕繩中的張力一定大于2mg B．小環(huán)到達(dá)B處時(shí)，重物上升的高度為(2－1)d C．小環(huán)在B處的速度與重物上升的速度大小之比等于22 D．小環(huán)在B處的速度與重物上升的速度大小之比等于2 ABD　[小環(huán)釋放后，其下落速度v增大，繩與豎直桿間的夾角θ減小，而v1＝v cos θ，故v1增大，由此可知小環(huán)剛釋放時(shí)重物具有向上的加速度，繩中張力一定大于2mg，A項(xiàng)正確；小環(huán)到達(dá)B處時(shí)，繩與直桿間的夾角為45°，重物上升的高度h＝(2－1)d，B項(xiàng)正確；如圖所示，將小環(huán)速度v進(jìn)行正交分解，v1＝v cos 45°＝22v，所以小環(huán)在B處的速度與重物上升的速度大小之比等于2，C項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確。] 二、非選擇題 13．如圖所示，河寬d＝120 m，設(shè)小船在靜水中的速度為v1，河水的流速為v2。小船從A點(diǎn)出發(fā)，在渡河時(shí)，船身保持平行移動。若出發(fā)時(shí)船頭指向河對岸上游的B點(diǎn)，經(jīng)過10 min，小船恰好到達(dá)河正對岸的C點(diǎn)；若出發(fā)時(shí)船頭指向河正對岸的C點(diǎn)，經(jīng)過8 min，小船到達(dá)C點(diǎn)下游的D點(diǎn)。求： (1)小船在靜水中的速度v1的大?。?(2)河水的流速v2的大??； (3)在第二次渡河中小船被沖向下游的距離sCD。 [解析]　(1)小船從A點(diǎn)出發(fā)，若船頭指向河正對岸的C點(diǎn)，則此時(shí)v1方向的位移為d，故有v1＝dtmin＝12060×8 m/s＝0.25 m/s。 (2)設(shè)AB與河岸上游成α角，由題意可知，此時(shí)恰好到達(dá)河正對岸的C點(diǎn)，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos α 此時(shí)渡河時(shí)間為t＝dv1sinα 所以sin α＝dv1t＝0.8，故v2＝v1cos α＝0.15 m/s。 (3)在第二次渡河中小船被沖向下游的距離為sCD＝v2tmin＝72 m。 [答案]　(1)0.25 m/s　(2)0.15 m/s　(3)72 m

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