1、分式的定義
一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
2、分式的基本性質(zhì)
分式的分子與分母乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。
；。
3、分式的約分和通分
定義1：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。
定義2：分子與分母沒(méi)有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式。
定義3：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
定義4：各分母的所有因式的最高次冪的積叫做最簡(jiǎn)公分母。
4、分式的乘除
①乘法法則：。分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。
②除法法則：。分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。
③分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分別乘方。
④整數(shù)負(fù)指數(shù)冪：。
5、分式的加減
同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；
異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減。
①同分母分式的加減：；
②異分母分式的加法：。
注：不論是分式的哪種運(yùn)算，都要先進(jìn)行因式分解。
二、課標(biāo)要求：
1、了解分式和最簡(jiǎn)分式的概念，能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分；
2、能進(jìn)行簡(jiǎn)單的分式加、減、乘、除運(yùn)算；
三、常見考點(diǎn)：
1、分式的概念、意義，如求分式中字母的取值范圍、分式為0的條件及相應(yīng)的綜合運(yùn)用。
2、運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分、通分。
3、運(yùn)用分式的加、減、乘、除法則進(jìn)行分式的化簡(jiǎn)、代入求值。
4、考查學(xué)生對(duì)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的理解。
四、專題訓(xùn)練：
1．若實(shí)數(shù)a，b滿足ab＝1，設(shè)M＝，N＝，則M，N的大小關(guān)系是（ ）A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．不確定
2．已知：a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝1÷（1﹣a1），a3＝1÷（1﹣a2），…，an＝1÷（1﹣an﹣1），則a2020等于（ ）A．xB．x+1C．D．
3．同時(shí)使分式有意義，又使分式無(wú)意義的x的取值范圍是（ ）
A．x≠﹣4，且x≠﹣2B．x＝﹣4，或x＝2
C．x＝﹣4D．x＝2
4．將甲、乙、丙三個(gè)正分?jǐn)?shù)化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)后，其分子分別為6、15、10，其分母的最小公倍數(shù)為360．判斷甲、乙、丙三數(shù)的大小關(guān)系為何？（ ）
A．乙＞甲＞丙B．乙＞丙＞甲C．甲＞乙＞丙D．甲＞丙＞乙
5．張華在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，利用“在面積一定的矩形中，正方形的周長(zhǎng)最短”的結(jié)論，推導(dǎo)出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推導(dǎo)方法如下：在面積是1的矩形中設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)是，矩形的周長(zhǎng)是2（x+）；當(dāng)矩形成為正方形時(shí)，就有x＝（x＞0），解得x＝1，這時(shí)矩形的周長(zhǎng)2（x+）＝4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿張華的推導(dǎo)，你求得式子（x＞0）的最小值是（ ）
A．2B．1C．6D．10
6．已知m2+n2＝n﹣m﹣2，則﹣的值等于（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣
7．甲瓶鹽水含鹽量為，乙瓶鹽水含鹽量為，從甲乙兩瓶中各取重量相等的鹽水混合制成新鹽水的含鹽量為（ ）
A．B．
C．D．隨所取鹽水重量而變化
8．要使分式有意義，則x的取值范圍是 ．
9．若分式的值為0，則x的值為 ．
10．當(dāng)x＝1時(shí)，分式的值是 ．
11．如果一個(gè)分式的分子或分母可以因式分解，且這個(gè)分式不可約分，那么我們稱這個(gè)分式為“和諧分式”．如分式就是“和諧分式”．若a為正整數(shù)，且為“和諧分式”，則a的值為 ．
12．分式與的最簡(jiǎn)公分母是 ，方程﹣＝1的解是 ．
13．化簡(jiǎn)：÷＝ ．
14．已知+＝3，求＝ ．
15．化簡(jiǎn)：÷（﹣1）＝ ．
16．a(chǎn)，b互為倒數(shù)，代數(shù)式÷（+）的值為 ．
17．已知：（x+2）x+5＝1，則x＝ ．
18．給定下面一列分式：，…，（其中x≠0）
（1）把任意一個(gè)分式除以前面一個(gè)分式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出給定的那列分式中的第7個(gè)分式．
19．化簡(jiǎn)：?．
20．化簡(jiǎn)：?．
21．化簡(jiǎn)：﹣．
22．化簡(jiǎn)：a﹣b﹣．
23．（1）計(jì)算：（﹣4）2×（﹣）3﹣（﹣4+1）．
（2）下面是小彬同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
﹣
＝﹣…第一步
＝﹣…第二步
＝﹣…第三步
＝…第四步
＝…第五步
＝﹣…第六步
任務(wù)一：填空：
①以上化簡(jiǎn)步驟中，第 步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是 ．或填為： ；
②第 步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是 ；
任務(wù)二：請(qǐng)直接寫出該分式化簡(jiǎn)后的正確結(jié)果；
任務(wù)三：除糾正上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就分式化簡(jiǎn)時(shí)還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議．
24．先化簡(jiǎn)，再求值：?（+1），其中x是不等式組的整數(shù)解．
參考答案
1．解：M＝＝，
∵ab＝1，∴＝＝1．
N＝＝，
∵ab＝1，∴＝＝1，∴M＝N．
故選：B．
2．解：∵a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝1÷（1﹣a1），a3＝1÷（1﹣a2），…，an＝1÷（1﹣an﹣1），
∴a2＝﹣，a3＝，a4＝x+1，…，
∴a3n＝，a3n+1＝x+1，a3n+2＝﹣，
∵2020＝673×3+1，
∴a2020＝x+1．
故選：B．
3．解：由題意得：x2+6x+8≠0，且（x+1）2﹣9＝0，
（x+2）（x+4）≠0，x+1＝3或﹣3，
x≠﹣2且x≠﹣4，x＝2或x＝﹣4，
∴x＝2，故選D．
4．解：360＝2×2×2×3×3×5；
因?yàn)?＝2×3，
所以化簡(jiǎn)后的甲的分母中不含有因數(shù)2、3，只能為5，
即化簡(jiǎn)后的甲為；
因?yàn)?5＝3×5，
所以化簡(jiǎn)后的乙的分母中不含有因數(shù)3、5，只能為2，4或8；
因?yàn)?0＝2×5，
所以化簡(jiǎn)后的丙的分母中不含有因數(shù)2、5，只能為3或9；
因?yàn)榛?jiǎn)后的三個(gè)數(shù)的分母的最小公倍數(shù)為360，甲的分母為5，
所以乙、丙的最小公倍數(shù)是360÷5＝72，
（1）當(dāng)乙的分母是2時(shí)，丙的分母是9時(shí)，
乙、丙的最小公倍數(shù)是：2×9＝18，
它不滿足乙、丙的最小公倍數(shù)是72；
（2）當(dāng)乙的分母是4時(shí)，丙的分母是9時(shí)，
乙、丙的最小公倍數(shù)是：4×9＝36，
它不滿足乙、丙的最小公倍數(shù)是72；
所以乙的分母只能是8，丙的分母只能是9，
此時(shí)乙、丙的最小公倍數(shù)是：8×9＝72，
所以化簡(jiǎn)后的乙是，丙是，
因?yàn)椋?br>所以乙＞甲＞丙．
故選：A．
5．解：∵x＞0，
∴在原式中分母分子同除以x，
即＝x+，
在面積是9的矩形中設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)是，
矩形的周長(zhǎng)是2（x+）；
當(dāng)矩形成為正方形時(shí)，就有x＝，（x＞0），
解得x＝3，
這時(shí)矩形的周長(zhǎng)2（x+）＝12最小，
因此x+（x＞0）的最小值是6．
故選：C．
6．解：由m2+n2＝n﹣m﹣2，得
（m+2）2+（n﹣2）2＝0，
則m＝﹣2，n＝2，
∴﹣＝﹣﹣＝﹣1．
故選：C．
7．解：設(shè)從甲乙兩瓶中各取重量相等的鹽水x，
則混合制成新鹽水的含鹽量為：＝，
故選：A．
8．解：∵分式有意義，
∴x+1≠0，即x≠﹣1
故答案為：x≠﹣1．
9．解：由分式的值為零的條件得，
由2x﹣4＝0，得x＝2，
由x+1≠0，得x≠﹣1．
綜上，得x＝2，即x的值為2．
故答案為：2．
10．解：當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝＝，
故答案為：．
11．解：由題可知：x2+ax+9可以分解因式，且a為正整數(shù)，則：
①x2+ax+9＝（x+1）（x+9），此時(shí)a＝10，
②x2+ax+9＝（x+3）2，此時(shí)a＝6，
③x2+ax+9＝（x﹣3）2，此時(shí)a＝﹣6（不合題意舍去），
綜上，a的值是6或10．
故答案為：6或10．
12．解：∵x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴分式與的最簡(jiǎn)公分母是x（x﹣2），
方程，
去分母得：2x2﹣8＝x（x﹣2），
去括號(hào)得：2x2﹣8＝x2﹣2x，
移項(xiàng)合并得：x2+2x﹣8＝0，變形得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或﹣4，
∵當(dāng)x＝2時(shí)，x（x﹣2）＝0，當(dāng)x＝﹣4時(shí)，x（x﹣2）≠0，
∴x＝2是增根，
∴方程的解為：x＝﹣4．
故答案為：x（x﹣2），x＝﹣4．
13．解：原式＝＝x﹣1
故答案為：x﹣1．
14．解：∵+＝3，
∴＝3，
則a+b＝3ab，
所以原式＝＝＝＝﹣，
故答案為：﹣．
15．解：原式＝÷（﹣）＝÷＝?＝﹣，
故答案為：﹣．
16．解：原式＝÷＝（a+b）?＝ab，
∵a，b互為倒數(shù)，
∴a?b＝1，
∴原式＝1．
故答案為：1．
17．解：根據(jù)0指數(shù)的意義，得
當(dāng)x+2≠0時(shí)，x+5＝0，解得x＝﹣5．
當(dāng)x+2＝1時(shí)，x＝﹣1，
當(dāng)x+2＝﹣1時(shí)，x＝﹣3，x+5＝2，指數(shù)為偶數(shù)，符合題意．
故填：﹣5或﹣1或﹣3．
18．解：（1）﹣÷＝﹣；÷（﹣）＝﹣…規(guī)律是任意一個(gè)分式除以前面一個(gè)分式恒等于；
（2）∵由式子：，…，發(fā)現(xiàn)分母上是y1，y2，y3，…故第7個(gè)式子分母上是y7，分子上是x3，
x5，x7，故第7個(gè)式子是x15，再觀察符號(hào)發(fā)現(xiàn)第偶數(shù)個(gè)為負(fù)，第奇數(shù)個(gè)為正，
∴第7個(gè)分式應(yīng)該是．
19．解：原式＝?＝．
20．解：原式＝?＝．
21．解：﹣＝＝＝．
22．解：原式＝a﹣b﹣（a+b）＝a﹣b﹣a﹣b＝﹣2b．
23．解：（1）（﹣4）2×（﹣）3﹣（﹣4+1）＝16×（﹣）+3＝﹣2+3＝1；
（2）①以上化簡(jiǎn)步驟中，第三步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)．或填為：分式的分子分母都乘（或除以）同一個(gè)不為0的整式，分式的值不變；
②第五步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是括號(hào)前面是“﹣”，去掉括號(hào)后，括號(hào)里面的第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)；
任務(wù)二：﹣
＝﹣…第一步
＝﹣…第二步
＝﹣…第三步
＝…第四步
＝…第五步
＝﹣…第六步；
任務(wù)三：答案不唯一，如：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律運(yùn)算，會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程．
故答案為：三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子分母都乘（或除以）同一個(gè)不為0的整式，分式的值不變；五；括號(hào)前面是“﹣”，去掉括號(hào)后，括號(hào)里面的第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)．
24．解：?（+1）＝＝＝，
由不等式組，得﹣1≤x＜1，
∵x是不等式組的整數(shù)解，
∴x＝﹣1，0，
∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原分式無(wú)意義，
∴x＝0，
當(dāng)x＝0時(shí)，原式＝＝﹣

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