正多邊形和圓
定義：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。
弧長(zhǎng)和扇形面積
n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l為：。
圓心角為n°的扇形面積S為：。
圓錐的側(cè)面積為：S=πrl。圓錐的全面積為：S=πrl+πr2。
二、課標(biāo)要求：
1、會(huì)計(jì)算圓的弧長(zhǎng)、扇形的面積。
2、了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系。
三、常見考點(diǎn)：
1、弧長(zhǎng)和扇形面積，圓錐、圓柱的側(cè)面積及其全面積
2、圓與其它知識(shí)(三角形、四邊形、函數(shù)、相似)的綜合運(yùn)用。
四、專題訓(xùn)練：
1．如圖，兩個(gè)正六邊形ABCDEF、EDGHIJ的頂點(diǎn)A、B、H、I在同一個(gè)圓上，點(diǎn)P在上，則tan∠API的值是（ ）
A．2B．2C．2D．1
2．半徑為3的正六邊形的周長(zhǎng)為（ ）
A．18B．C．D．
3．在半徑為6cm的圓中，60°的圓心角所對(duì)弧的弧長(zhǎng)是（ ）
A．πcmB．2πcmC．3πcmD．6πcm
4．如圖，已知⊙O的半徑為3，弦AB⊥直徑CD，∠A＝30°，則的長(zhǎng)為（ ）
A．πB．2πC．3πD．6π
5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，以A為圓心AC為半徑畫圓，交AB于點(diǎn)D，則陰影部分面積是（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，AB是⊙的直徑，半徑OA的垂直平分線交⊙O于C，D兩點(diǎn)，∠C＝30°，CD＝2，則陰影部分的面積是（ ）
A．B．πC．D．2π
7．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的中心與半徑為3的⊙O的圓心重合，延長(zhǎng)AB，BC分別交⊙O于M，N，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A．B．C．9π﹣4D．9π﹣2
8．已知圓錐的底面半徑為6cm，母線長(zhǎng)為10cm，則這個(gè)圓錐的全面積是（ ）
A．60πcm2B．96πcm2C．132πcm2D．168πcm2
9．如圖，已知圓錐的底面半徑為r＝20cm，h＝20cm，現(xiàn)在有一只螞蟻從底邊上一點(diǎn)A出發(fā)．在側(cè)面上爬行一周又回到A點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離是（ ）cm．
A．40B．40πC．160D．80
10．正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E是⊙O上的點(diǎn)，則∠BEC的度數(shù)為 ．
11．如圖，有一個(gè)⊙O和兩個(gè)正六邊形T1，T2．T1的六個(gè)頂點(diǎn)都在圓周上，T2的六條邊都和⊙O相切（我們稱T1、T2分別為⊙O的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形）．設(shè)⊙O的半徑為R，則圖中陰影部分的面積 （用含R的式子表示）．
12．如圖所示的圖形叫弧三角形，又叫萊洛三角形，是機(jī)械學(xué)家萊洛首先進(jìn)行研究的．弧三角形是這樣畫的：先畫正三角形ABC，然后分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫?。粽切蜛BC的邊長(zhǎng)為2cm，則弧三角形的周長(zhǎng)為 cm．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABOC是正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），弧AA1是以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑的圓??；弧A1A2是以點(diǎn)O為圓心，OA2為半徑的圓?。换2A3是以點(diǎn)C為圓心，CA2為半徑的圓??；弧A3A4是以點(diǎn)A為圓心，AA3為半徑的圓弧，繼續(xù)以點(diǎn)B，O，C，A為圓心，按上述作法得到的曲線AA1A2A3A4A5…，稱為正方形的“漸開線”，則點(diǎn)A2021的坐標(biāo)是 ．
14．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△AB'C'，AB＝2，則圖中陰影部分的面積為 ．
15．如圖，在矩形ABCD中，BC＝1，以點(diǎn)A為圓心，以AD長(zhǎng)為半徑畫弧交BC于點(diǎn)E，∠DAE＝60°，則圖中陰影部分的面積為 ．
16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等邊△ABC的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，B（﹣5，0），C（5，0），點(diǎn)D（11，0），將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，則的長(zhǎng)度為 ，線段AE的長(zhǎng)為 ，圖中陰影部分面積為 ．
17．如圖，C是半圓上一點(diǎn)，AB是直徑，將弧BC沿BC翻折交AB于點(diǎn)D，再將弧BD沿BD翻折交BC于點(diǎn)E，若E是弧BD的中點(diǎn)，AD＝2，則陰影部分面積為 ．
18．已知圓錐的底面圓的半徑為1，母線長(zhǎng)為3，其側(cè)面展開圖的圓心角是 ．
19．已知圓錐的底面圓半徑為3cm，高為4cm，則母線長(zhǎng)為 cm，圓錐的側(cè)面積為 cm2．
20．如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，OD交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上，
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度數(shù)；
（2）若OC＝3，OA＝5，
①求弦AB的長(zhǎng)；
②求劣弧AB的長(zhǎng)．
21．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，四邊形ABCD兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E、F，且∠E＝40°，∠F＝50°，連接BD．
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）當(dāng)⊙O的半徑等于2時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）
22．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，OC∥BD，交AD于點(diǎn)E，連結(jié)BC．
（1）求證：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求圖中陰影部分的面積．
23．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，∠BAO＝30°，AC＝8．過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，以點(diǎn)O為圓心，OH為半徑的半圓交AC于點(diǎn)M．
（1）求圖中陰影部分的面積；
（2）點(diǎn)P是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，D重合），當(dāng)PH+PM的值最小時(shí)，求PD的長(zhǎng)度．
24．在扇形OAB中，C是弧AB上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AC到D，且∠BCD＝75°．
（1）求∠AOB的度數(shù)；
（2）扇形OAB是某圓錐的側(cè)面展開圖，若OA＝12，求該圓錐的底面半徑．
25．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上一點(diǎn)，連接DE，AE．
（1）∠CPD＝ °；
（2）若DC＝4，CP＝，求DP的長(zhǎng)．
參考答案
1．解：如圖，連接AE，EI，AH，過點(diǎn)J作JM⊥EI于M．
∵ABCDEF是正六邊形，
∴∠DEF＝∠F＝120°，
∵FA＝FE，
∴∠FEA＝∠FAE＝30°，
∴∠AED＝90°，
同法可證，∠DEI＝∠EIH＝90°，
∴∠AED+∠DEI＝180°，
∴A，E，I共線，
設(shè)IH＝IJ＝JE＝a，
∵JM⊥EI，
∴EM＝MI＝a，
∴AI＝2EI＝2a，
∵∠API＝∠AHI，
∴tan∠API＝tan∠AHI＝＝＝2，
故選：A．
2．解：∵正六邊形的半徑等于邊長(zhǎng)，
∴正六邊形的邊長(zhǎng)a＝3，
正六邊形的周長(zhǎng)l＝6a＝18，
故選：A．
3．解：弧長(zhǎng)為：＝2π（cm）．
故選：B．
4．解：如圖，連接OB．
∵CD⊥AB，CD是直徑，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠COB＝∠AOB＝60°，
∴∠DOB＝180°﹣60°＝120°，
∴的長(zhǎng)＝＝2π，
故選：B．
5．解：△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，
所以BC＝AC＝，∠A＝60°，
∴S陰影＝S△ABC﹣S扇形ACD
＝×1×﹣＝﹣．
故選：B．
6．解：連接OC，AD
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等邊三角形，
∵AB⊥CD，
∴OA平分CD，
∴CE＝DE＝CD＝，
∵CD垂直平分OA，
∴四邊形ACOD是菱形，
在Rt△ACE中，AC＝＝＝2，
∴陰影部分面積＝＝π．
故選：A．
7．解：延長(zhǎng)CD，DA交⊙O于E，F(xiàn)，
由對(duì)稱性可知，圖中陰影部分的面積＝×（S圓O﹣S正方形ABCD）＝×（9π﹣4）＝π﹣1，
故選：B．
8．解：根據(jù)題意，這個(gè)圓錐的全面積＝×2π×6×10+π×62＝60π+36π＝96π（cm2）．
故選：B．
9．解：設(shè)扇形的圓心角為n，圓錐的頂點(diǎn)為B，
∵r＝20cm，h＝20cm，
∴由勾股定理可得母線l＝＝80（cm），
而圓錐側(cè)面展開后的扇形的弧長(zhǎng)為2×20π＝，
∴n＝90°，
即△BAA′是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AA'＝＝80（cm）．
∴螞蟻爬行的最短距離為80cm．
故選：D．
10．解：連接OB，OC，
∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BEC＝90°÷2＝45°．
當(dāng)點(diǎn)E′在劣弧BC上時(shí)，∠BE′C＝180°﹣∠BAEC＝135°
故答案為：45°或135°．
11．解：如圖：連接OA，OB，OG，OH．
∵△AOB為等邊三角形，
∴T1的半徑為R，
在Rt△OAG和Rt△OBG中，
，
Rt△OGB≌Rt△OGA（HL），
∴∠OGB＝∠OGA＝60°，
∴BG＝OG，
設(shè)BG為x，由勾股定理有：x2+R2＝（2x）2，
解得：x＝R，
外切正六邊形的邊長(zhǎng)為R，
∵陰影部分的面積＝外切正六邊形的面積﹣內(nèi)接正六邊形的面積，
又∵內(nèi)接正六邊形的面積為S△AOB的六倍，S△AOB＝R2，
∴內(nèi)接正六邊形的面積為：S內(nèi)＝6×R2＝R2，
∵外切正六邊形的面積為S△OGH的六倍，S△OHG＝?（R）2＝R2，
∴外切正六邊形的面積為：S外＝6×R2＝2R2，
∴S陰＝S外′﹣S內(nèi)＝2R2﹣R2＝R2．
12．解：∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴的長(zhǎng)＝＝（cm），
則弧三角形的周長(zhǎng)＝×3＝2π（cm），
故答案為：2π．
13．解：A（1，1），
由題意得，A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），
A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，
∴A4n（1，4n+1），A4n+1（4n+2，0），A4n+2（0，﹣（4n+2）），A4n+3（﹣（4n+3），1）．
∵2021＝505×4+1，
∴A2021的坐標(biāo)為（2022，0）．
故答案為：（2022，0）．
14．解：作B′D⊥AB于D，
∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△AB'C'，AB＝2，
∴△AB′C′的面積＝△ABC的面積，∠BAB′＝45°，AB＝AB′＝2，
∴B′D＝AB′＝，
∴S△ABB′＝＝＝，
∵圖中陰影部分的面積＝△AB′C′的面積+△AB′B的面積﹣△ABC的面積＝△AB′B′的面積，
∴S陰影＝，
故答案為：．
15．解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝60°，
∵∠B＝90°，AE＝AD＝1，
∴AB＝AE?sin60°＝，
∴S陰＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE＝﹣＝﹣，
故答案為﹣．
16．解：∵等邊△ABC的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，
∴OB＝OC，
∵B（﹣5，0），C（5，0），
∴OB＝OC＝5，AB＝AC＝BC＝10，
∴OA＝＝5，
∵D（11，0），
∴OD＝11，
∴AD2＝AO2+OD2＝75+121＝196，
∵△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD＝＝14；
∴的長(zhǎng)度為＝π；
∴圖中陰影部分面積
＝S扇形DAE﹣S扇形BAC＝π×AD2﹣π×AC2＝π（196﹣100）＝16π．
故答案為：π；14；16π．
17．解：如圖，連接AC，CD，DE，OE，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，過點(diǎn)D作DJ⊥CE于J．
∵∠ABC＝∠DBC＝∠DBE，
∴＝＝，
∴AC＝CD＝DE，
∵CH⊥AD，DJ⊥CE，
∴AH＝HD，CJ＝JE，
∵E是的中點(diǎn)，
∴＝，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD，
設(shè)∠EDB＝∠EBD＝x，則∠DEC＝∠DCE＝∠EDB+∠EBD＝2x，
∴∠A＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3x，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴3x+x＝90°，
∴x＝22.5°，
∴∠A＝∠CDA＝67.5°，
∵CA＝CD，CH⊥AD，
∴∠ACH＝∥DCH＝22.5°，
在CH上取一點(diǎn)T，使得CT＝DT，連接DT，
∴∠TCD＝∠TDC＝22.5°，
∴∠HTD＝∠TCD+∠TDC＝45°，
∵∠THD＝90°，
∴∠HTD＝∠HDT＝45°，
∴HT＝DH＝1，DT＝TC＝，
∴CH＝1+，
∴CD2＝CH2+DH2＝（1+）2+12＝4+2，
∵∠DCE＝2x＝45°，
∴∠DCE＝∠DEC＝45°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∵弓形AmC的面積＝弓形DmE的面積，
∴S陰＝S四邊形ACED＝S△ACD+S△CDE＝?AD?CH+CD2＝×2×（1+）+×（4+2）＝3+2，
故答案為：3+2．
18．解：圓錐側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)是：2π×1＝2π（cm），
設(shè)圓心角的度數(shù)是n度，
則＝2π，
解得：n＝120．
故答案為：120°．
19．解：根據(jù)題意可得，
這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)＝＝5（cm），
這個(gè)圓錐的側(cè)面積＝?2π?3?5＝15π（cm2）．
故答案為：5，15π．
20．解：（1）∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠DEB＝∠BOD＝∠AOD＝×50°＝25°．
（2）①∵OC＝3，OA＝5，
∴AC＝4，
∵OD⊥AB，
∴＝＝，
∴AC＝BC＝AB＝4，
∴AB＝8；
②∵∠AOD的正弦值是＝＝0.8，
∴∠AOD＝53°，
∴∠AOB＝106°，
∵OA＝5，
∴的長(zhǎng)＝＝＝．
21．解：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠DCE＝∠A，
∵∠EDF＝∠A+∠F＝∠A+50°，
而∠EDF+∠DCE+∠E＝180°，
∴∠A+50°+∠A+40°＝180°，
∴∠A＝45°；
（2）連接OB、OD，如圖，
∵∠BOD＝2∠A＝90°，
∴的長(zhǎng)＝＝π．
22．（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，
又∵OC為半徑，
∴AE＝ED，
（2）解：連接CD，OD，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，
∵OC⊥AD，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，
∴BD＝3，AD＝3，
∵OA＝OB，AE＝ED，
∴OE＝＝，
∴S陰影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝3π﹣．
23．解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝4，
∵OH⊥AB，
∴∠AHO＝90°，
∵∠OAH＝30°，
∴∠AOH＝60°，OH＝OA＝2，AH＝OH＝2，
∴S陰＝S△AOH﹣S扇形OMH＝×2×2﹣＝2﹣π．
（2）作點(diǎn)M關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接HM′交BD于P，連接PM，連接PM，此時(shí)PH+PM的值最?。?br>∵OH＝OM′，
∴∠OHM′＝∠OM′H，
∵∠AOH＝∠OHM′+∠OM′H＝60°，
∴OP＝OM′?tan30°＝，
∵OD＝OA?tan30°＝，
∴PD＝OD+OP＝+＝2．
24．解：（1）作出所對(duì)的圓周角∠APB，
∵∠APB+∠ACB＝180°，∠BCD+∠ACB＝180°，
∴∠APB＝∠BCD＝75°，
∴∠AOB＝2∠APB＝150°；
（2）設(shè)該圓錐的底面半徑為r，
根據(jù)題意得2πr＝，解得r＝5，
∴該圓錐的底面半徑為5．
25．解：（1）如圖，連接BD，
∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上一點(diǎn)，
∴∠DBC＝45°，
∵∠CPD＝∠DBC，
∴∠CPD＝45°．
故答案為：45；
（2）如圖，作CH⊥DP于H，
∵CP＝2，∠CPD＝45°，
∴CH＝PH＝2，
∵DC＝4，
∴DH＝＝＝2，
∴DP＝PH+DH＝2+2．

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