1、圓:在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓。固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑，以點O為圓心的圓，記作⊙O，讀作“圓O”。
連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。
圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。小于半圓的弧叫做劣弧。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。
能夠重合的兩個圓叫做等圓。 在同圓或等圓中，能重合的弧叫等弧。
2、垂徑定理
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。
推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。
3、弧、弦、圓心角之間的關(guān)系
定義：頂點在圓心的角叫做圓心角。
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。
在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；
在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧相等。
4、圓周角
定義：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角。
圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。
推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。
圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補。
5、點和圓的位置關(guān)系
設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為OP=d，則有：
點P在圓外d＞r ；點P在圓上d=r ；點P在圓內(nèi)d＜r 。
性質(zhì)：不在同一條直線上的三個點確定一個圓。
定義：經(jīng)過三角形的三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。
二、課標(biāo)要求：
1、理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；探索并了解點與圓的位置關(guān)系。
2、掌握垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧。
3、探索圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系，了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半；直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；圓內(nèi)接四邊形的對角互補。
4、知道三角形的外心。
三、常見考點：
1、圓的對稱性，垂徑定理。2、弧、弦、圓心角之間的關(guān)系。3、圓周角定理及其推論。
4、三角形的外心。
四、專題訓(xùn)練：
1．如圖，⊙O的半徑為1，△ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，點D、E在圓上，四邊形BCDE為矩形，這個矩形的面積是（ ）
A．2B．C．D．
2．《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)暮作，書中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學(xué)語言可表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直徑CD的長．”則CD＝（ ）
A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸
3．圓中有兩條等弦AB＝AE，夾角∠A＝88°，延長AE到C，使EC＝BE，連接BC，如圖．則∠ABC的度數(shù)是（ ）
A．90°B．80°C．69°D．65°
4．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，的度數(shù)為α，以點C為圓心，BC長為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．45°﹣αB．αC．45°+αD．25°+α
5．如圖，點A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，則∠α的度數(shù)為（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
6．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接BD．若，∠BDC＝50°，則∠ADC的度數(shù)是（ ）
A．125°B．130°C．135°D．140°
7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，3）、B（3，0），以點B為圓心、2為半徑的⊙B上有一動點P．連接AP，若點C為AP的中點，連接OC，則OC的最小值為（ ）
A．1B．2﹣1C．D．﹣1
8．如圖，直線AB經(jīng)過⊙O的圓心，與⊙O相交于A、B兩點，點C在⊙O上，且∠AOC＝30度．點E是直線AB上的一個動點（與點O不重合），直線EC交⊙O于D，則使DE＝DO的點E共有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
9．平面上不共線的四點，可以確定圓的個數(shù)為（ ）
A．1個或3個B．3個或4個
C．1個或3個或4個D．1個或2個或3個或4個
10．在半徑為0.5米的地球儀的表面之外，距赤道1米拉一根繩子繞地球儀一周，這條繩子比地球儀的赤道周長多M米；如果在地球赤道表面也這樣做，這條繩子比地球赤道周長多N米，則M與N的關(guān)系為 ．（①M＝N；②M＞N；③M＜N；④無法確定）
11．已知⊙O的直徑為10，圓心O（4，5），則⊙O截y軸所得的弦長為 ．
12．如圖，AB是半圓O的直徑，AB＝8，C是半徑OA上的一動點，CD⊥AB交⊙O于點D，在邊CB上取一點E，使得CE＝2CD．EF⊥AB交⊙O于點F．當(dāng)DF∥AB時，四邊形DCEF的周長為 ．
13．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝AC，BC交⊙O于點D，AC交⊙O于點E，∠BAC＝45°，給出下列五個結(jié)論：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正確結(jié)論的序號是 ．
14．如圖，已知：AB和CD為⊙O的兩條直徑，弦CE∥AB，弧CE的度數(shù)為40°，則∠BOC＝ 度．
15．如圖，點A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，則⊙O的半徑為 ．
16．如圖所示，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，則⊙O的半徑是 ．
17．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度數(shù)之比為4：3：5，則∠D的度數(shù)是 °．
18．如圖，已知 A、B兩點的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，2），⊙C的圓心坐標(biāo)為（﹣2，0），半徑為2．若D是⊙C上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積的最小值是 ．
19．在平面直角坐標(biāo)系中有A，B，C三點，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．現(xiàn)在要畫一個圓同時經(jīng)過這三點，則圓心坐標(biāo)為 ．
20．木工師傅可以用角尺測量并計算出圓的半徑r．用角尺的較短邊緊靠⊙O，角尺的頂點B（∠B＝90°），并使較長邊與⊙O相切于點C．
（1）如圖，AB＜r，較短邊AB＝8cm，讀得BC長為12cm，則該圓的半徑r為多少？
（2）如果AB＝8cm，假設(shè)角尺的邊BC足夠長，若讀得BC長為acm，則用含a的代數(shù)式表示r為 ．
21．如圖，C，D為⊙O上兩點，且在直徑AB兩側(cè)，連結(jié)CD交AB于點E，G是上一點，∠ADC＝∠G．
（1）求證：∠1＝∠2．
（2）點C關(guān)于DG的對稱點為F，連結(jié)CF．當(dāng)點F落在直徑AB上時，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半徑．
22．如圖，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一點，⊙O經(jīng)過點A、C、D，交BC于點E，過點D作DF∥BC，交⊙O于點F．
求證：（1）四邊形DBCF是平行四邊形；
（2）AF＝EF．
23．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E、F．
（1）若∠E＝∠F時，求證：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°時，求∠A的度數(shù)；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．請你用含有α、β的代數(shù)式表示∠A的大小．
24．如圖，A、P、B、C是⊙O上四點，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）連接OA，OB，當(dāng)點P位于什么位置時，四邊形PBOA是菱形？并說明理由；
（3）已知PA＝a，PB＝b，求PC的長（用含a和b的式子表示）．
25．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，BD為⊙O的直徑，過點A作AE⊥BD于點E，延長BD交AC延長線于點F．
（1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半徑；
（2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．
參考答案
1．如圖，⊙O的半徑為1，△ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，點D、E在圓上，四邊形BCDE為矩形，這個矩形的面積是（ ）
A．2B．C．D．
分析：連接BD、OC，根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠BCD＝90°，再根據(jù)圓周角定理得BD為⊙O的直徑，則BD＝2；由ABC為等邊三角形得∠A＝60°，于是利用圓周角定理得到∠BOC＝2∠A＝120°，易得∠CBD＝30°，在Rt△BCD中，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到CD＝BD＝1，BC＝CD＝，然后根據(jù)矩形的面積公式求解．
解：連結(jié)BD、OC，如圖，
∵四邊形BCDE為矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BD為⊙O的直徑，
∴BD＝2，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
而OB＝OC，
∴∠CBD＝30°，
在Rt△BCD中，CD＝BD＝1，BC＝CD＝，
∴矩形BCDE的面積＝BC?CD＝．
故選：B．
點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)．
2．《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)暮作，書中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學(xué)語言可表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直徑CD的長．”則CD＝（ ）
A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸
分析：連接OA構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由DE垂直AB得到點E為AB的中點，由AB＝10可求出AE的長，再設(shè)出圓的半徑OA為x，表示出OE，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為圓的半徑，把求出的半徑代入即可得到答案．
解：連接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
設(shè)圓O的半徑OA的長為x寸，則OC＝OD＝x寸，
∵DE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化簡得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
故選：C．
點評：此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，注意利用圓的半徑，弦的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形來解決實際問題，做此類題時要多觀察，多分析，才能發(fā)現(xiàn)線段之間的聯(lián)系．
3．圓中有兩條等弦AB＝AE，夾角∠A＝88°，延長AE到C，使EC＝BE，連接BC，如圖．則∠ABC的度數(shù)是（ ）
A．90°B．80°C．69°D．65°
分析：根據(jù)題意可得出△ABE、△BEC是等腰三角形，在等腰三角形中先求出∠AEB的度數(shù)，然后利用外角的性質(zhì)可求出∠EBC的度數(shù)，繼而可得出答案．
解：∵AB＝AE，EC＝BE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠EBC＝∠ACB，
又∵∠A＝88°，
∴∠ABE＝∠AEB＝46°，∠EBC＝∠ACB＝∠AEB＝23°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝69°．
故選：C．
點評：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出∠ABE及∠EBC的度數(shù)，難度一般．
4．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，的度數(shù)為α，以點C為圓心，BC長為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．45°﹣αB．αC．45°+αD．25°+α
分析：連接OD，求得∠DCE＝α，得到∠BCD＝90°﹣α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．
解：連接OD，
∵的度數(shù)為α，
∴∠DCE＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣α，
∵BC＝DC，
∴∠B＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣90°+α）＝45°+α，
∴∠A＝90°﹣∠B＝45°﹣α，
故選：A．
點評：本題考查了圓心角，弧，弦，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，點A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，則∠α的度數(shù)為（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
分析：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論
解：在優(yōu)弧AB上任意找一點D，連接AD，BD．
∵∠D＝180°﹣∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠D＝100°，
故選：A．
點評：本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接BD．若，∠BDC＝50°，則∠ADC的度數(shù)是（ ）
A．125°B．130°C．135°D．140°
分析：連接OA，OB，OC，根據(jù)圓周角定理得出∠BOC＝100°，再根據(jù)得到∠AOC，從而得到∠ABC，最后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到結(jié)果．
解：連接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
故選：B．
點評：本題考查了圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于畫出半徑，構(gòu)造圓心角．
7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，3）、B（3，0），以點B為圓心、2為半徑的⊙B上有一動點P．連接AP，若點C為AP的中點，連接OC，則OC的最小值為（ ）
A．1B．2﹣1C．D．﹣1
分析：確定點C的運動路徑是：以D為圓心，以DC1為半徑的圓，當(dāng)O、C、D共線時，OC的長最小，先求⊙D的半徑為1，說明D是AB的中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線是斜邊一半可得OD＝，所以O(shè)C的最小值是﹣1．
解：當(dāng)點P運動到AB的延長線上時，即如圖中點P1，C1是AP1的中點，
當(dāng)點P在線段AB上時，C2是中點，取C1C2的中點為D，
點C的運動路徑是以D為圓心，以DC1為半徑的圓（CA：PA＝1：2，則點C軌跡和點P軌跡相似，所以點C的軌跡就是圓），當(dāng)O、C、D共線時，OC的長最小，
設(shè)線段AB交⊙B于Q，
Rt△AOB中，OA＝3，OB＝3，
∴AB＝3，
∵⊙B的半徑為2，
∴BP1＝2，AP1＝3+2，
∵C1是AP1的中點，
∴AC1＝+1，AQ＝3﹣2，
∵C2是AQ的中點，
∴AC2＝C2Q＝﹣1，
C1C2＝+1﹣（﹣1）＝2，即⊙D的半徑為1，
∵AD＝﹣1+1＝＝AB，
∴OD＝AB＝，
∴OC＝﹣1，
方法二：如圖，取A′（0，﹣3），連接PA′．
根據(jù)三角形中位線定理可知：PA′＝2OC，求出PA′的最小值即可解決問題．
故選：D．
點評：本題考查了圖形與坐標(biāo)的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、兩點之間線段最短，確定出OC最小時點C的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點．
8．如圖，直線AB經(jīng)過⊙O的圓心，與⊙O相交于A、B兩點，點C在⊙O上，且∠AOC＝30度．點E是直線AB上的一個動點（與點O不重合），直線EC交⊙O于D，則使DE＝DO的點E共有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
分析：作出圖形，根據(jù)畫圖可知應(yīng)分E在AB的延長線上、在BA的延長線上、在線段AB上，三種情況來解決．
解：
如圖所示，點E的位置有3個．當(dāng)是E1時，∠CE1O＝10°；
當(dāng)是E2時，則∠CE20＝110°；
當(dāng)是E3時，則∠CE3O＝50°．
故選：C．
點評：此題根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到三種情況．
9．平面上不共線的四點，可以確定圓的個數(shù)為（ ）
A．1個或3個B．3個或4個
C．1個或3個或4個D．1個或2個或3個或4個
分析：不在同一條直線上的三個點確定一個圓．由于點的位置不同，導(dǎo)致確定的圓的個數(shù)不同，所以本題分三種不同情況考慮．
解：（1）當(dāng)四個點中有三個點在同一直線上，另外一個點不在這條直線上時，確定3個圓；
（2）當(dāng)四個點中任意三個點都不在同一條直線上，并且四點不共圓時，則任意三點都能確定一個圓，一共確定4個圓；
（3）當(dāng)四個點共圓時，只能確定一個圓．
故選：C．
點評：本題考查的是圓的確定，由于點的位置不確定，因此用分類討論的思想方法進行解答．
10．在半徑為0.5米的地球儀的表面之外，距赤道1米拉一根繩子繞地球儀一周，這條繩子比地球儀的赤道周長多M米；如果在地球赤道表面也這樣做，這條繩子比地球赤道周長多N米，則M與N的關(guān)系為 ① ．（①M＝N；②M＞N；③M＜N；④無法確定）（填序號）
分析：根據(jù)圓的周長公式分別計算出M與N的值，從而得到M與N的大小關(guān)系．
解：因為地球儀的半徑為0.5米，所以所拉繩子組成的環(huán)的半徑為0.5+1＝1.5米．
所以繩構(gòu)成的環(huán)的周長為：2π×1.5＝3π米，
又因為地球儀赤道的周長為：2π×0.5＝π米，
所以這條繩子比地球儀赤道的周長多：3π﹣π＝2π米，即M＝2π；
設(shè)地球的半徑是r米，則增加后，圓的半徑是（r+1）米．
所以兩者周長的差為：2π（r+1）﹣2πr＝2π米，即N＝2π．
∴M＝N．
故答案為①．
點評：本題主要考查了圓的周長公式：圓的周長＝2π×圓的半徑．注意這里的M和N指的都是增加的周長．
11．已知⊙O的直徑為10，圓心O（4，5），則⊙O截y軸所得的弦長為 6 ．
分析：根據(jù)垂徑定理解答即可．
解：∵⊙O的直徑為10，
∴OA＝5，
∵OD＝4，
∴AD＝，
∴⊙O截y軸所得的弦長為6，
故答案為：6．
點評：此題考查垂徑定理問題，關(guān)鍵是根據(jù)點的坐標(biāo)得出OD的長度．
12．如圖，AB是半圓O的直徑，AB＝8，C是半徑OA上的一動點，CD⊥AB交⊙O于點D，在邊CB上取一點E，使得CE＝2CD．EF⊥AB交⊙O于點F．當(dāng)DF∥AB時，四邊形DCEF的周長為 12 ．
分析：證得四邊形DCEF是矩形，進一步證得CD＝OC＝OE＝EF，解等腰直角三角形求得CD＝OC＝OE＝EF＝2，即可求得四邊形的面積．
解：如圖，連接OD，OF，
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∵DF∥AB，
∴四邊形DCEF是矩形，
∴DC＝EF，
在Rt△CDO和Rt△EFO中，
，
∴Rt△CDO≌Rt△EFO（HL），
∴OC＝OE，
∵CE＝2CD，
∴CD＝OC，
∵AB＝8，
∴OD＝4，
∴OC＝CD＝2，
∴CE＝4，
∴四邊形DCEF的周長＝12，
故答案為12．
點評：本題考查了垂徑定理，勾股定理，證得OC＝OE是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝AC，BC交⊙O于點D，AC交⊙O于點E，∠BAC＝45°，給出下列五個結(jié)論：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正確結(jié)論的序號是 ①②④ ．
分析：先利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABE、∠ABC的度數(shù)，即可求∠EBC的度數(shù)，再運用弧、弦、圓心角的關(guān)系即可求出②④．
解：連接AD，AB是⊙O的直徑，則∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°，∠C＝∠ABC＝＝67.5°，AD平分∠BAC，
∴AE＝BE，∠EBC＝90°﹣67.5°＝22.5°，DB＝CD，故②正確，
∵∠ABE＝45°，∠EBC＝22.5°，故①正確，
∵AE＝BE，
∴＝，
又AD平分∠BAC，所以，即劣弧AE是劣弧DE的2倍，④正確．
∵∠EBC＝22.5°，BE⊥CE，
∴BE＞2EC，
∴AE＞2EC，故③錯誤．
∵∠BEC＝90°，
∴BC＞BE，
又∵AE＝BE，
∴BC＞AE
故⑤錯誤．
故答案為：①②④．
點評：本題利用了：①等腰三角形的性質(zhì)；②圓周角定理；③三角形內(nèi)角和定理．
14．如圖，已知：AB和CD為⊙O的兩條直徑，弦CE∥AB，弧CE的度數(shù)為40°，則∠BOC＝ 70 度．
分析：利用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可求出．
解：∵AB和CD為⊙O的兩條直徑，弧CE的度數(shù)為40°，
∴連接OE，則OE＝OC，
∠COE＝40°，
故∠1＝∠2＝（180°﹣∠COE）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠BOC＝∠1＝70°．
故填70°．
點評：本題考查的是平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，比較簡單．
15．如圖，點A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，則⊙O的半徑為 6 ．
分析：根據(jù)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等邊三角形求解．
解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，
∴△BOC是等邊三角形
∴OB＝BC＝6，
故答案為6．
點評：本題綜合運用圓周角定理以及等邊三角形的判定和性質(zhì)．
16．如圖所示，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，則⊙O的半徑是 2 ．
分析：連接BC，由圓周角定理和垂徑定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性質(zhì)得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．
解：連接BC，如圖所示：
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝2，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，
∴BC＝2，AB＝4，
∴OA＝2，
即⊙O的半徑是2；
故答案為：2．
點評：本題考查的是垂徑定理、圓周角定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握圓周角定理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度數(shù)之比為4：3：5，則∠D的度數(shù)是 120 °．
分析：設(shè)∠A＝4x，∠B＝3x，∠C＝5x，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出x的值，進而可得出結(jié)論．
解：∵∠A，∠B，∠C的度數(shù)之比為4：3：5，
∴設(shè)∠A＝4x，則∠B＝3x，∠C＝5x．
∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠C＝180°，即4x+5x＝180°，解得x＝20°，
∴∠B＝3x＝60°，
∴∠D＝180°﹣60°＝120°．
故答案為：120．
點評：本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解答此題的關(guān)鍵．
18．如圖，已知 A、B兩點的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，2），⊙C的圓心坐標(biāo)為（﹣2，0），半徑為2．若D是⊙C上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積的最小值是 2﹣ ．
分析：先根據(jù)當(dāng)AD與⊙C相切，且在x軸的上方時，△ABE的面積最小，連接CD，則CD⊥AD，再求出A、B兩點的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求出AD，從而得出S△ACD，再根據(jù)△AOE∽△ADC，求出△ABE的面積．
解：當(dāng)AD與⊙C相切，且在x軸的上方時，△ABE的面積最小，
連接CD，則CD⊥AD，
∴A、B兩點的坐標(biāo)是（2，0），（0，2），
在Rt△ACD中，CD＝2，AC＝OC+OA＝4，
由勾股定理，得：AD＝2，
∴S△ACD＝AD?CD＝×2×2＝2，
∵△AOE∽△ADC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△AOE＝S△ADC＝
∴S△ABE＝S△AOB﹣S△AOE＝×2×2﹣＝2﹣．
故答案為：2﹣．
點評：此題考查了圓的綜合，用到的知識點是切線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，求出△ABE的面積的最大值和最小值．
19．在平面直角坐標(biāo)系中有A，B，C三點，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．現(xiàn)在要畫一個圓同時經(jīng)過這三點，則圓心坐標(biāo)為 （2，0） ．
分析：根據(jù)不在同一直線上的三點能確定一個圓，該圓圓心在三點中任意兩點連線的垂直平分線上，據(jù)此及勾股定理可列式求解．
解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直線上
∴經(jīng)過點A，B，C可以確定一個圓
∴該圓圓心必在線段AB的垂直平分線上
∴設(shè)圓心坐標(biāo)為M（2，m）
則點M在線段BC的垂直平分線上
∴MB＝MC
由勾股定理得：＝
∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1
∴m＝0
∴圓心坐標(biāo)為M（2，0）
故答案為：（2，0）．
點評：本題考查了確定圓的條件，明確不在同一直線上的三點確定一個圓及圓心在這三條線段的垂直平分線的交點上，是解題的關(guān)鍵．
20．木工師傅可以用角尺測量并計算出圓的半徑r．用角尺的較短邊緊靠⊙O，角尺的頂點B（∠B＝90°），并使較長邊與⊙O相切于點C．
（1）如圖，AB＜r，較短邊AB＝8cm，讀得BC長為12cm，則該圓的半徑r為多少？
（2）如果AB＝8cm，假設(shè)角尺的邊BC足夠長，若讀得BC長為acm，則用含a的代數(shù)式表示r為 0＜r≤8時，r＝a；當(dāng)r＞8時，r＝a 2+4 ．
分析：（1）利用在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122，求出r即可．
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)，連接OC，則OC⊥BC，連接OA，過點A作AD⊥OC于點D，在Rt△OAD中用勾股定理計算求出圓的半徑．
解：（1）如圖1，連接OC、OA，作AD⊥OC，垂足為D．則OD＝r﹣8
在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122
解得：r＝13；
答：該圓的半徑r為13；
（2）①如圖2，易知，0＜r≤8時，r＝a；
②當(dāng)r＞8時，
如圖1：連接OC，連接OA，過點A作AD⊥OC于點D，
∵BC與⊙O相切于點C，
∴OC⊥BC，
則四邊形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB．
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
即：r2＝（r﹣8）2+a2，
整理得：r＝a2+4．
故答案為：0＜r≤8時，r＝a；當(dāng)r＞8時，r＝a 2+4．
點評：本題考查的是切線的性質(zhì)，根據(jù)切線的性質(zhì)，利用圖形得到直角三角形，然后用勾股定理計算求出圓的半徑．
21．如圖，C，D為⊙O上兩點，且在直徑AB兩側(cè)，連結(jié)CD交AB于點E，G是上一點，∠ADC＝∠G．
（1）求證：∠1＝∠2．
（2）點C關(guān)于DG的對稱點為F，連結(jié)CF．當(dāng)點F落在直徑AB上時，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半徑．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理和AB為⊙O的直徑，即可證明∠1＝∠2；
（2）連接DF，根據(jù)垂徑定理可得FD＝FC＝10，再根據(jù)對稱性可得DC＝DF，進而可得DE的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出⊙O的半徑．
解：（1）∵∠ADC＝∠G，
∴＝，
∵AB為⊙O的直徑，
∴＝，
∴∠1＝∠2；
（2）如圖，連接DF，
∵＝，AB是⊙O的直徑，
∴AB⊥CD，CE＝DE，
∴FD＝FC＝10，
∵點C，F(xiàn)關(guān)于DG對稱，
∴DC＝DF＝10，
∴DE＝5，
∵tan∠1＝，
∴EB＝DE?tan∠1＝2，
∵∠1＝∠2，
∴tan∠2＝，
∴AE＝＝，
∴AB＝AE+EB＝，
∴⊙O的半徑為．
點評：本題考查了圓周角定理、軸對稱的性質(zhì)、解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．
22．如圖，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一點，⊙O經(jīng)過點A、C、D，交BC于點E，過點D作DF∥BC，交⊙O于點F．
求證：（1）四邊形DBCF是平行四邊形；
（2）AF＝EF．
分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠B，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根據(jù)平行線的判定得出BD∥CF，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可；
（2）求出∠AEF＝∠B，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ECF+∠EAF＝180°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可．
證明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四邊形DBCF是平行四邊形；
（2）連接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四邊形AECF是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．
點評：本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，圓內(nèi)接四邊形，等腰三角形的判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關(guān)鍵．
23．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E、F．
（1）若∠E＝∠F時，求證：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°時，求∠A的度數(shù)；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．請你用含有α、β的代數(shù)式表示∠A的大?。?br>分析：（1）根據(jù)外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等量代換即可求得結(jié)果；
（3）連結(jié)EF，如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ECD＝∠A，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ECD＝∠1+∠2，則∠A＝∠1+∠2，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，即2∠A+α+β＝180°，再解方程即可．
解：（1）∠E＝∠F，
∵∠DCE＝∠BCF，
∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，
∴∠ADC＝∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC＝∠ABC，
∵∠EDC＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ADC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣42°＝48°；
（3）連結(jié)EF，如圖，
∵四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠ECD＝∠A，
∵∠ECD＝∠1+∠2，
∴∠A＝∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，
∴2∠A+α+β＝180°，
∴∠A＝90°﹣．
點評：本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補．
24．如圖，A、P、B、C是⊙O上四點，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）連接OA，OB，當(dāng)點P位于什么位置時，四邊形PBOA是菱形？并說明理由；
（3）已知PA＝a，PB＝b，求PC的長（用含a和b的式子表示）．
分析：（1）利用圓周角定理得到∠BAC＝∠CPB＝60°，則∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，從而可判斷△ABC為等邊三角形；
（2）當(dāng)點P位于 的中點時，四邊形PBOA是菱形，連接OP，如圖1，先證明∠AOP＝∠BOP＝60°，再證明△OAP和△OBP都為等邊三角形，從而得到四邊形PBOA是菱形；
（3）如圖2，在PC上截取PD＝PA，證明△APB≌△ADC得到PB＝DC，從而得到PC＝PD+DC＝PA+PB＝a+b．
（1）證明：∵∠BAC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC為等邊三角形；
（2）解：當(dāng)點P位于 的中點時，四邊形PBOA是菱形．
理由如下：連接OP，如圖1，
∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，
而P是的中點，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
又∵OA＝OP＝OB，
∴△OAP和△OBP都為等邊三角形，
∴OA＝AP＝OB＝PB，
∴四邊形PBOA是菱形；
（3）解：如圖2，在PC上截取PD＝PA，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴PA＝DA，∠DAP＝60°，
∵∠PAB+∠BAD＝∠BAD+∠DAC，
∴∠PAB＝∠DAC，
在△APB和△ADC中
，
∴△APB≌△ADC（ASA），
∴PB＝DC，
又∵PA＝PD，
∴PC＝PD+DC＝PA+PB＝a+b．
點評：本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定．
25．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，BD為⊙O的直徑，過點A作AE⊥BD于點E，延長BD交AC延長線于點F．
（1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半徑；
（2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．
分析：（1）連接OA，求BE＝3，設(shè)OA＝x，則OB＝x，OE＝x﹣3，得出（x﹣3）2+42＝x2，易求出半徑；
（2）連接CD，先證OA⊥BC，再得OA∥CD，設(shè)OA與BC交于點H，OH＝a，則CD＝2a，OA＝4a，得出AH＝3a，由勾股定理得BH＝a，求出AB＝2a，則可得出sin∠ACB＝．
解：（1）如圖1，連接OA，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝4，AB＝5，
∴BE＝＝＝3，
設(shè)OA＝x，則OB＝x，
∴OE＝x﹣3，
在Rt△OAE中，OE2+AE2＝OA2，
∴（x﹣3）2+42＝x2，
解得x＝，
∴⊙O的半徑為；
（2）如圖2，連接CD，設(shè)OA與BC交于點H，
∵AB＝AC，
∴OA⊥BC，
∴∠BHO＝90°，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BHO＝∠BCD，
∴OA∥CD，
設(shè)OH＝a，則CD＝2a，
∵BD＝2DF，BD＝2OD，
∴DF＝OD，
∴OA＝2CD＝4a，
∴AH＝3a，
∴BH＝＝＝a，
∴AB＝＝2a，
∴sin∠ACB＝sin∠ABC＝＝＝

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