一、選擇題
1．已知向量,是平面內(nèi)所有向量的一組基底,則下面的四組向量中,不能作為基底的是( )
A.B.C.D.
2．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是( )
A.B.C.D.
3．已知,,,則等于( )
A.12B.28C.D.
4．已知函數(shù),則的值是( )
A.B.C.D.4
5．在正三角形中,,M,N分別為AB,AC的中點,則( )
A.B.C.D.
6．若,則為( )
A.B.C.D.2
7．等式有意義,則m的取值范圍是( )
A.B.C.D.
8．深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法,它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的,在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中,指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為,其中L表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)習(xí)率,表示初始學(xué)習(xí)率,D表示衰減系數(shù),G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù),表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為,衰減速度為18,且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時,學(xué)習(xí)率衰減為0.4,則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下(不含0.2)所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為( )（參考數(shù)據(jù):）
A.72B.74C.76D.78
二、多項選擇題
9．下列敘述不正確的是( )
A.若,則
B.“”是“”的充分不必要條件
C.命題,,則命題p的否定:,
D.函數(shù)的最小值是4
10．如果,是兩個單位向量,那么下列四個結(jié)論中錯誤的是( )
A.B.C.D.
11．下列選項中其值等于的是( )
A.B.
C.D.
12．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個定理:“三角形的外心?垂心和重心都在同一直線上,而且外心和重心的距離是垂心和重心距離之半,”這就是著名的歐拉線定理.設(shè)中,點O?H?G分別是外心?垂心和重心,下列四個選項中結(jié)論正確的是( )
A.B.
C.D.
三、填空題
13．已知向量,,若三點共線,則______.
14．若指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則不等式的解集是______________________.
15．趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家,約公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時,介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”,它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.如圖所示的是一張弦圖,已知大正方形的面積為169,小正方形的面積為49,若直角三角形較小的銳角為,則的值為___________.
16．如圖,在平面四邊形ABCD中,,,,E,F分別為邊BC,CD的中點,則________;與夾角的余弦為________.
四、解答題
17．已知向量,.
（1）當(dāng)時,求x的值;
（2）當(dāng),,求向量與的夾角.
18．如圖帶有坐標(biāo)系的單位圓O中,設(shè),,,
（1）利用單位圓?向量知識證明:
（2）若,,,,求的值
19．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時,求關(guān)于x的不等式的解集.
（2）若,求關(guān)于x的不等式的解集.
20．如圖,在中,,點E為AC中點,點F為BC上的三等分點,且靠近點C,設(shè),.
（1）用,表示,;
（2）如果,,且,求.
21．已知向量,,.
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期;
（2）若當(dāng)時,關(guān)于x的不等式有解,求實數(shù)m的取值范圍.
22．已知函數(shù)的兩個零點分別為1和2.
（1）求m,n的值;
（2）若不等式在恒成立,求k的取值范圍.
（3）令,若函數(shù)在上有零點,求實數(shù)r的取值范圍.
參考答案
1．答案：C
解析：對于A,假設(shè),共線,則存在,使得,
因為,不共線,所以沒有任何一個能使該等式成立,
即假設(shè)不成立,也即,不共線,則能作為基底;
對于B,假設(shè),共線,則存在,使得,
即無解,所以沒有任何一個能使該等式成立,
即假設(shè)不成立,也即,不共線,則能作為基底;
對于C,因為,所以兩向量共線,
不能作為一組基底,C錯誤;
對于D,假設(shè),共線,則存在,
使得,
即無解,所以沒有任何一個能使該等式成立,
即假設(shè)不成立,也即,不共線,則能作為基底,
故選:C.
2．答案：C
解析：函數(shù)在上單調(diào)遞減,
又,,,
所以,則有唯一零點,且在區(qū)間內(nèi).
故選:C
3．答案：C
解析：
,
故.
故選:C
4．答案：D
解析：由題意可得,,
.
故選:D.
5．答案：A
解析：由題知,,,向量,的夾角為,
所以.
故選:A.
6．答案：B
解析：由,
得,
則.
故選:B
7．答案：C
解析：,則,
即,且,
化簡得,平方得,即
解得
故選:C
8．答案：B
解析：由于,所以,
依題意,則,
則,
由,
所以,即,
所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為74次.
故選:B
9．答案：BD
解析：對于A.由不等式兩邊同正時兩邊同平方不等式符號不變,則若,則,故A正確;
對于B.由得,則,即“”是“”的必要不充分條件,故B不正確;
對于C.由全稱命題的否定知,命題,,的否定為,,故C正確;
對于D.當(dāng)時,,故函數(shù)的最小值不為4,故D錯誤.
綜上所述,選項BD不正確,
故選:BD.
10．答案：AC
解析：依題意,,是兩個單位向量,
單位向量方向不一定相同,所以A選項結(jié)論錯誤.
單位向量的模為,所以,,所以BD選項結(jié)論正確.
當(dāng)時,,所以C選項結(jié)論錯誤.
故選:AC
11．答案：BD
解析：,故A錯誤;
,故B正確;
,故C錯誤;
,故D正確.
故選:BD.
12．答案：ABC
解析：如圖:
根據(jù)歐拉線定理可知,點O?H?G共線,且.
對于A,,,故A正確;
對于B,G是重心,則延長AG與BC的交點D為BC中點,且,則,故B正確;
對于C,
,故C正確;
對于D,顯然不正確.
故選:ABC.
13．答案：9
解析：A,B,C三點共線,
與共線,
,解得.
故答案為:9.
14．答案：
解析：由題意設(shè)函數(shù)(且),
因為的圖象經(jīng)過點,所以,解得,
所以,
因為,即,
所以由在R上遞減得,解得,
故答案為:
15．答案：
解析：設(shè)直角三角形較短的直角邊為x,則較長的直角邊為,
所以,即,解得或(舍去),
直角三角形較小的銳角為,可得,
所以.
故答案為:
16．答案：,
解析：以AD為x軸,以AC為y軸建立直角坐標(biāo)系,則:
,,,故:
;
17．答案：（1）或
（2）
解析：（1）向量,,則,
由,可得,
即,即,解得或.
（2）由,,,則,
由,可得,解得,
所以,,,,
又,所以.
18．答案：（1）證明見解析;
（2）.
解析：（1）由題意知:,且與的夾角為,
所以,
又,,
所以,
故.
（2）且,則,;
,則,又,,,,
.
19．答案：（1）
（2）答案見解析
解析：（1）時,,解得:,
故解集為;
（2）時,,
變形為,
當(dāng)時,,解得,
當(dāng)時,解得,
當(dāng)時,,解得,
綜上:當(dāng)時,解集為,
當(dāng)時,解集為,
當(dāng)時,解集為.
20．答案：（1）,
（2）
解析：（1）因為,點E為AC中點,點F為BC的三等分點,且靠近點C,
所以,
.
（2）由（1）可知,,
所以,由,可得,
所以
.
21．答案：（1）單調(diào)增區(qū)間為,;;
（2）.
解析：（1）因為
所以函數(shù)的最小正周期;
因為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,,
所以,,
解得,,
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,;
（2）不等式有解,即;
因為,所以,又,
故當(dāng),即時,取得最小值,且最小值為,
所以.
22．答案：（1）,;
（2）;
（3）.
解析：（1）函數(shù)的兩個零點分別為1和2.
可得:,,解得,,
（2）由（1）可得,
不等式在恒成立,
可得不等式在恒成立,
在上的最小值為:,可得.
（3）,函數(shù)上有零點,
即在上有解,
即在有解,
令,則,
,,
即在上有解,
,
,的范圍是.

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