2022-2023學(xué)年江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)高一下學(xué)期3月質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

時(shí)間：120分鐘分值：150分
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.
1. 已知向量是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中，不能作為基底的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判斷兩個(gè)向量是否共線即可確定兩個(gè)向量是否能作為一組基底.
【詳解】對于A，假設(shè)共線，則存在，使得，
因?yàn)椴还簿€，所以沒有任何一個(gè)能使該等式成立，
即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底；
對于B，假設(shè)共線，則存在，使得，
即無解，所以沒有任何一個(gè)能使該等式成立，
即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底；
對于C，因?yàn)?，所以兩向量共線，
不能作為一組基底，C錯(cuò)誤；
對于D，假設(shè)共線，則存在，
使得，
即無解，所以沒有任何一個(gè)能使該等式成立，
即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底，
故選:C.
2. 函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.
【詳解】解：函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，，，
所以，則有唯一零點(diǎn)，且在區(qū)間內(nèi).
故選：C
3. 已知，，，則等于（）
A. 12B. 28C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量數(shù)量積公式求出，從而得到.
【詳解】
，
故.
故選：C
4. 已知函數(shù)，則的值是（）
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)的范圍代入到對應(yīng)的函數(shù)求值即可.
【詳解】由題意可得，，
.
故選：D.
5. 在正三角形△ABC中，，M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題可知，向量，的夾角為150°，再由平面向量數(shù)量積的定義即可得出答案.
【詳解】由題知，，，向量，的夾角為150°，
所以.
故選：A．
6. 若，則為（）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】原式分子分母除以，即可求出，再利用兩角和的正切公式，即可求得結(jié)果.
詳解】由，
得，
則.
故選：B
7. 等式有意義，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用輔助角公式化簡，由三角函數(shù)的有界性得出等式右邊的范圍，解不等式可得的取值范圍．
【詳解】，則，
即，且，
化簡得，平方得，即
解得
故選：C
8. 深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（）（參考數(shù)據(jù)：）
A. 72B. 74C. 76D. 78
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件列方程，可得，再由，結(jié)合指對數(shù)關(guān)系和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】由于，所以，
依題意，則，
則，
由，
所以，即，
所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為74次．
故選：B
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.
9. 下列敘述不正確的是（）
A. 若，則
B. “”是“”的充分不必要條件
C. 命題：，，則命題的否定：，
D. 函數(shù)的最小值是4
【答案】BD
【解析】
【分析】對于A．由不等式的性質(zhì)驗(yàn)證；
對于B．解對數(shù)不等式，再判斷；
對于C．由全稱命題否定驗(yàn)證；
對于D．舉反例．
【詳解】對于A．由不等式兩邊同正時(shí)兩邊同平方不等式符號不變，則若，則，故A正確；
對于B．由得，則，即“”是“”的必要不充分條件，故B不正確；
對于C．由全稱命題的否定知，命題：，，的否定為，，故C正確；
對于D．當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的最小值不為4，故D錯(cuò)誤．
綜上所述，選項(xiàng)BD不正確，
故選：BD.
10. 如果是兩個(gè)單位向量，那么下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)向量相等、向量的模、向量的數(shù)量積等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】依題意，是兩個(gè)單位向量，
單位向量方向不一定相同，所以A選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.
單位向量的模為，所以，所以BD選項(xiàng)結(jié)論正確.
當(dāng)時(shí)，，所以C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.
故選：AC
11. 下列選項(xiàng)中其值等于的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，兩角差的余弦公式，二倍角公式計(jì)算各選項(xiàng)即可得答案．
【詳解】，故A錯(cuò)誤；
，故B正確；
，故C錯(cuò)誤；
，故D正確．
故選：BD.
12. 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個(gè)定理：“三角形的外心?垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心距離之半，”這就是著名的歐拉線定理.設(shè)中，點(diǎn)O?H?G分別是外心?垂心和重心，下列四個(gè)選項(xiàng)中結(jié)論正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)向量相等的定義可直接判斷D；
根據(jù)題意可判斷A；
根據(jù)重心性質(zhì)可判斷B；
利用向量數(shù)乘和加減法法則可判斷C.
【詳解】如圖：
根據(jù)歐拉線定理可知，點(diǎn)O?H?G共線，且.
對于A，∵，∴，故A正確；
對于B，G是重心，則延長AG與BC的交點(diǎn)為BC中點(diǎn)，且AG＝2GD，則，故B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，顯然不正確.
故選：ABC.
三、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知向量，，若三點(diǎn)共線，則______.
【答案】
【解析】
【分析】由三點(diǎn)共線得向量共線，然后利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．
【詳解】三點(diǎn)共線，
與共線，
，解得．
故答案為：．
14. 若指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則不等式的解集是______________________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)指數(shù)函數(shù)（且），將點(diǎn)代入求出解析式，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化原不等式為一次不等式即可求解.
【詳解】由題意設(shè)函數(shù)（且），
因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，
所以，
因?yàn)?，即?br>所以由在上遞減得，解得，
故答案為：
15. 趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家，約公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如圖所示的是一張弦圖，已知大正方形的面積為169，小正方形的面積為49，若直角三角形較小的銳角為，則的值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)直角三角形較短的直角邊為，則較長的直角邊為，求出，，即得解.
【詳解】解：設(shè)直角三角形較短的直角邊為，則較長的直角邊為，
所以，即，解得或（舍去），
直角三角形較小的銳角為，可得，
所以.
故答案為：
16. 如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，則________；與夾角的余弦為________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)求解.
【詳解】以AD為x軸，以AC為y軸建立直角坐標(biāo)系，則：
，，，故：
；
【點(diǎn)睛】本題考查通過建立直角坐標(biāo)系，計(jì)算向量的數(shù)量積以及夾角的求解.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知向量，.
（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）當(dāng)，，求向量與的夾角.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解；
（2）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系可求，進(jìn)而根據(jù)向量夾角公式即可求解.
【小問1詳解】
向量，，則，
由，可得，
即，即，解得或.
【小問2詳解】
由，，則，
由，可得，解得，
所以，，，
又，所以.
18. 如圖帶有坐標(biāo)系的單位圓O中，設(shè)，，，
（1）利用單位圓?向量知識證明：
（2）若，，，，求的值
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可證明；
（2）根據(jù)角的范圍分別求出正弦和余弦值，利用兩角和的余弦公式計(jì)算得出答案．
【詳解】（1）由題意知：，且與的夾角為，
所以，
又，，
所以，
故．
（2）且，則；
，則，又，，，
【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義，考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查兩角和與差的余弦公式，屬于中檔題．
19. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于x的不等式的解集．
（2）若，求關(guān)于x的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式，求出解集；
（2）不等式因式分解得到，分，與三種情況，求出不等式的解集.
小問1詳解】
時(shí)，，解得：，
故解集為；
【小問2詳解】
時(shí)，，
變形為，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，
綜上：當(dāng)時(shí)，解集為，
當(dāng)時(shí)，解集為，
當(dāng)時(shí)，解集為.
20. 如圖，在中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為上的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)，設(shè)，．
（1）用，表示，；
（2）如果，，且，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的加減法法則結(jié)合圖形求解；
（2）由，可得，從而可得，結(jié)合已知可得，從而可求出.
【小問1詳解】
解：因?yàn)?，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)，
所以，
.
【小問2詳解】
解：由（1）可知，，
所以，由，可得，
所以
．
21. 已知向量，，.
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；
（2）若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，；；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,并利用兩角和差的三角函數(shù)公式化簡得到函數(shù)的解析式，有三角函數(shù)的性質(zhì)求得周期，單調(diào)增區(qū)間；
（2）將不等式分離參數(shù)，根據(jù)不等式有解的意義得到；然后根據(jù)角的范圍，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小值，進(jìn)而求得的的取值范圍.
【詳解】（1）因?yàn)?br>所以函數(shù)的最小正周期；
因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，
所以，，
解得，，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；
（2）不等式有解，即；
因?yàn)?，所以，又?br>故當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，且最小值為，
所以.
22. 已知函數(shù)f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為1和2．
（1）求m、n的值；
（2）若不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，求k的取值范圍．
（3）令g(x)=，若函數(shù)F（x）=g（2x）﹣r2x在x∈[﹣1，1]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)r的取值范圍．
【答案】（1）m=1，n=2；（2）k＜﹣；（3）[﹣，3]．
【解析】
【分析】（1）利用二次函數(shù)的零點(diǎn)，代入方程，化簡求解即可．
（2）求出函數(shù)f（x）的最小值，即可求解k的范圍．
（3）問題轉(zhuǎn)化為r=1+2?（）2﹣3?在x∈[﹣1，1]上有解，通過換元得到r=2t2﹣3t+1在t∈[，2]上有解，求出k的范圍即可．
【詳解】（1）函數(shù)f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為1和2．
可得：1﹣3m+n=0，4﹣6m+n=0，解得m=1，n=2，
（2）由（1）可得f（x）=x2﹣3x+2，
不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，
可得不等式f（x）＞k在x∈[0，5]恒成立，
f（x）=x2﹣3x+2在x∈[0，5]上的最小值為：f（）=﹣，可得k＜﹣．
（3）g(x)==x+﹣3，函數(shù)F（x）=g（2x）﹣r?2xx∈[﹣1，1]上有零點(diǎn)，
即g（2x）﹣r?2x=0在x∈[﹣1，1]上有解，
即r=1+2?（）2﹣3?在x∈[﹣1，1]上有解，
令t=，則r=2t2﹣3t+1，
∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，
即r=2t2﹣3t+1在t∈[，2]上有解，
r=2k2﹣2t+1=2（t﹣）2﹣，（≤t≤2），
∴﹣≤r≤3，∴r的范圍是[﹣，3]．

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