江西省南昌市江西師大附中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷及解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 橢圓的焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則的值為（）
A. B.
C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再由條件列方程求的值.
【詳解】橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，
因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，
所以，
故選：B.
2. 設(shè)圓，圓，則圓的位置關(guān)系（）
A. 內(nèi)含B. 外切C. 相交D. 相離
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得出其圓心與半徑，根據(jù)兩圓圓心距離與兩半徑和與差的比較即可得出答案.
【詳解】圓，化為，
圓心為，半徑為；
圓，化為，
圓心為，半徑為；
兩圓心距離為：，
因?yàn)椋詧A與相交.
故選：C.
3. 用1，2，3，4可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）
A. 16B. 24C. 36D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】先從4個(gè)數(shù)中選1個(gè)排在百位，有4種；
然后從剩下的3個(gè)數(shù)中選1個(gè)排在十位，有3種；
最后從剩下的2個(gè)數(shù)中選1個(gè)排在個(gè)位，有2種；
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.
故選：B.
4. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由橢圓定義可知，的周長(zhǎng)為.
【詳解】由，得，由橢圓定義可知，的周長(zhǎng)為
故選：D
5. 直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，則斜率的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】由雙曲線與直線聯(lián)立可，因?yàn)橹本€與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，所以可得，斜率的取值范圍是，故選C.
6. 已知?jiǎng)訄AC與圓外切，與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為（）
A. 圓B. 橢圓C. 雙曲線D. 雙曲線一支
【答案】D
【解析】
【分析】結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系利用雙曲線的定義即可求解.
【詳解】設(shè)動(dòng)圓C的圓心，半徑為，圓的圓心為，半徑為；
圓的圓心為，半徑為2，
由題意可得，或，所以或，
又因?yàn)?，所以?br>由知不合題意，
所以，
根據(jù)雙曲線的定義知，可得點(diǎn)C的軌跡為以為焦點(diǎn)的靠近的一支.
故選：D.
7. 一個(gè)工業(yè)凹槽的截面是一條拋物線的一部分，它的方程是，在凹槽內(nèi)放入一個(gè)清潔鋼球（規(guī)則的球體），要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為（）
A. B. 1C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)小球圓心，求出拋物線上點(diǎn)點(diǎn)到圓心距離平方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，即可得解.
【詳解】
設(shè)小球圓心，若小球觸及凹槽的最底部，則小球半徑，
又拋物線上點(diǎn)點(diǎn)到圓心距離平方為：
，
若最小值在時(shí)取到，則小球觸及凹槽的最底部，
故此二次函數(shù)的對(duì)稱軸位置應(yīng)在軸的左側(cè)，所以，所以，
所以，從而清潔鋼球的半徑的范圍為，
所以清潔鋼球的最大半徑為.
故選：B．
8. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線l過右焦點(diǎn)且與雙曲線的左支交于M點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量的運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為，利用幾何性質(zhì)求得點(diǎn)，代入雙曲線方程得的等量關(guān)系，求解離心率即可.
【詳解】因?yàn)?br>，
所以，則，
過作軸，垂足為，
由題意知，則，
故，
在中，，
故，又點(diǎn)在雙曲線上，
則，將代入整理得，
則，解得，且，
解得，
故雙曲線的離心率為.
故選：A.
二、多選題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的
9. 已知點(diǎn)P在圓上，點(diǎn).則（）
A. 點(diǎn)P到直線AB的距離小于10B. 圓上到直線AB的距離等于1的點(diǎn)只有1個(gè)
C. 當(dāng)最小時(shí)，D. 當(dāng)最大時(shí)，
【答案】ACD
【解析】
【分析】計(jì)算出圓心到直線AB的距離，可得出點(diǎn)P到直線AB的距離的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；分析可知，當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項(xiàng)的正誤.
【詳解】由，可得圓心，
過點(diǎn)直線為：即，
所以圓心到直線的距離，
所以點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為，點(diǎn)P到直線AB的距離小于10，A選項(xiàng)正確；
所以點(diǎn)P到直線AB的距離的最小值為，圓上到直線AB的距離等于1的點(diǎn)有2個(gè), B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
如圖：當(dāng)最大或最小時(shí)，此時(shí)與圓相切,且有圓心到的距離為，
利用勾股定理可得：，故C，D選項(xiàng)正確;
故選：ACD.
10. 已知橢圓，分別為它的左右焦點(diǎn)，A，B分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（）
A. 存在P使得B. 橢圓C的弦MN被點(diǎn)平分，則
C. ，則的面積為9D. 直線PA與直線PB斜率乘積為定值
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)余弦定理結(jié)合余弦定理求出的范圍判斷A；根據(jù)點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦的斜率判定B；根據(jù)勾股定理和面積公式求解判斷C；根據(jù)斜率公式及點(diǎn)P在橢圓上求解斜率之積判斷D.
【詳解】對(duì)于A.由余弦定理知
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)樵谏线f減，所以此時(shí)為鈍角最大，
所以存在P使得，所以A正確；
對(duì)于B.當(dāng)直線MN的斜率不存在，即直線時(shí)，，
不是線段MN的中點(diǎn)，所以直線MN的斜率存在.
設(shè)，則，兩式相減并化簡(jiǎn)得，所以，所以B正確；
對(duì)于C.，，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，解?
因，所以，所以C正確；
對(duì)于D.，設(shè)，則，整理得，
可得直線PA，PB的斜率分別為，
所以，所以D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11. 設(shè)M為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，為上下焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 若，則或6
B. 雙曲線C與雙曲線的離心率相同
C. 若點(diǎn)，M在雙曲線C的上支，則最小值為
D. 過的直線l交C于G、H不同兩點(diǎn)，若，則l有2條
【答案】ABC
【解析】
【分析】結(jié)合雙曲線的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可確定本題答案.
【詳解】因?yàn)?，所以，，則，
由雙曲線定義可知，，，則，
解得或6，當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，符合題意.
綜上：或6，故A正確；
因?yàn)殡p曲線離心率為，
所以雙曲線的離心率為，
雙曲線即，離心率為，
所以雙曲線C與雙曲線的離心率相同，故B正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)取到，
最小值為，故C正確；
由雙曲線：，得，
直線l斜率為0時(shí)，方程為，聯(lián)立得或，
所以，所以，不合題意，
當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，，所以直線l斜率存在且不為0，
故設(shè)：，，設(shè)
聯(lián)立得，則，
所以
，所以或，
解得或，符合題意，所以這樣的直線有4條，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC
12. 已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 若，則點(diǎn)到軸的距離為
B. 過點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有條
C. 是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，是直線與的一個(gè)交點(diǎn)，若，則
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】首先根據(jù)拋物線的幾何意義，求出拋物線方程，根據(jù)焦半徑公式判斷A；對(duì)所求的直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，根據(jù)直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求出直線的方程，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)三角形相似判斷C，首先證明，再利用基本不等式判斷D.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，
則拋物線，所以焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，
對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)、，則，
解得，
又為線段的中點(diǎn)，則，
所以點(diǎn)到軸的距離為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，若過點(diǎn)的斜率不存在時(shí)，則該直線為軸，由圖可知，軸與拋物線相切，
若過點(diǎn)的直線的斜率為零，此時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立，可得，
此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
若過點(diǎn)的直線的斜率存在且不為零，設(shè)該直線的方程為，
考慮直線與拋物線相切，聯(lián)立，可得，
則，解得，
即直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
故滿足條件的直線共有三條，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線段，垂足為，則，
設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則，
因?yàn)椋裕?br>則，則，所以，
即，所以，則，故C正確；
對(duì)于D：依題意過點(diǎn)的直線的斜率不為，設(shè)過點(diǎn)的直線為，
由，消去得，
顯然，所以，，則，
，
所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故D正確.
故選：CD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：
一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；
二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.
13. 以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用圓過原點(diǎn)求出圓的半徑即可求出圓的方程.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是，
所以所求圓的圓心為，又圓過原點(diǎn)，所以圓的半徑為，
所以所求圓的方程為.
故答案為：.
14. 現(xiàn)有4名同學(xué)報(bào)名參加3個(gè)不同的課后服務(wù)小組，每人只能報(bào)一個(gè)小組，若每個(gè)小組至少要有1人參加，則共有______種不同的安排方法.
【答案】
【解析】
【分析】先利用組合知識(shí)分組，再利用全排列分配即可.
【詳解】第一步，將4名同學(xué)隨機(jī)分成三組，每組至少一人的分法為，
第二步，將三組全排列有，所以共有種不同的安排方法.
故答案為：
15. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，AB是橢圓C的任意兩點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，且，則橢圓C的離心率的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】四邊形是平行四邊形分析可得，，再根據(jù)可得，結(jié)合及運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，則且，
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知，所以，則，若，即，
所以，即，
同除以可得：，解得，
因?yàn)椋?，即橢圓C的離心率的最大值是.
故答案為：.
16. 已知F是拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)拋物線的方程寫出準(zhǔn)線方程；再設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義表示出，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式表示出；最后代入，進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，借助基本不等式求解即可.
【詳解】由拋物線方程可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為直線.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.因?yàn)辄c(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，所以，且.
點(diǎn)A的坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以.
綜上可得：的最小值是.
故答案為：.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟
17. 三角形三個(gè)頂點(diǎn)是
（1）求AB邊上的高所在直線的方程；
（2）直線l過點(diǎn)A，且B，C兩點(diǎn)到直線l的距離相等，求直線l的方程.
【答案】17.
18. 或
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式求解斜率，再利用垂直關(guān)系求出高的斜率，代入點(diǎn)斜式化為一般式方程即可；
（2）設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式建立方程求解即可.
【小問1詳解】
直線的斜率，
邊上的高與垂直，所以高所在的直線斜率為，
故AB邊上的高所在直線的方程為，即.
【小問2詳解】
易知直線斜率存在，設(shè)直線：，即.
因?yàn)锽，C兩點(diǎn)到直線l的距離相等，所以，
化簡(jiǎn)得，平方得，解得或，
所以直線的方程為或，即或.
18. 已知以為圓心的圓，過直線上一點(diǎn)作圓的切線，切線段（為切點(diǎn)）長(zhǎng)的最小值為.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓與圓相交于，兩點(diǎn)，求兩個(gè)圓公共弦AB的長(zhǎng).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出圓心到直線，即可求出圓的半徑，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）首先判斷兩圓相交，兩圓方程相減即可得到公共弦方程，再求出弦長(zhǎng).
【小問1詳解】
因?yàn)閳A心到直線的距離，
設(shè)圓的半徑為，
又過直線上一點(diǎn)作圓的切線，切線段（為切點(diǎn)）長(zhǎng)的最小值為，
所以，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
圓：的圓心，半徑，
圓的圓心為，半徑，
所以，則，所以兩圓相交，
則相交弦：，
則圓心到距離，
所以.
19. 如圖，在四棱錐中，平面，，，是棱上一點(diǎn)，且，.
（1）若，求證：平面；
（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng).
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，證明出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，結(jié)合求出的值，即可得解.
【小問1詳解】
證明：連接交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋?，所以，?br>又因?yàn)?，則，所以，，
因?yàn)槠矫妫矫?，故平?
【小問2詳解】
解：因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?，則、、、，
設(shè)，其中，
則，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
由題意可得，
整理可得，解得，此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)，故.
20. 已知橢圓焦距為，離心率為.
（1）求曲線的方程；
（2）過點(diǎn)作直線交曲線于、兩個(gè)不同的點(diǎn)，記的面積為，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，求出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；
（2）分析可知，直線直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用基本不等式可求出的最大值.
【小問1詳解】
解：由題意可得，解得，
所以，橢圓的方程為.
【小問2詳解】
解：當(dāng)直線與軸重合時(shí)，、、三點(diǎn)重合，不符合題意，
易知點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立可得，
則，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最大值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：
一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；
二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．
21. 已知拋物線上有兩點(diǎn)，且直線過點(diǎn)．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若拋物線上有一點(diǎn)，縱坐標(biāo)為4，拋物線上另有兩點(diǎn)，且直線與的斜率滿足重心的橫坐標(biāo)為4，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，再由，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由三角形重心坐標(biāo)公式結(jié)合，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
由題意知直線的斜率不可能為0，
設(shè)，直線的方程為，
由得，，即，
即，即，
將代入，得，
則，則，
則，由，解得，
故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【小問2詳解】
由拋物線方程可得點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，
則，
則，且，則，
故．又，
則，又，可得直線的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
故由點(diǎn)斜式得直線的方程為5），即．
22. 已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于兩點(diǎn).
（1）求雙曲線的方程.
（2）若動(dòng)直線經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）
（2）存在，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)
【解析】
【分析】（1）由漸近線夾角得或，結(jié)合雙曲線所過點(diǎn)可求得，由此可得雙曲線方程；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，可知；假設(shè)直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可化簡(jiǎn)整理，根據(jù)等式恒成立的求解方法可得的值.
【小問1詳解】
兩條漸近線夾角為，漸近線的斜率或，即或；
當(dāng)時(shí)，由得：，，雙曲線的方程為：；
當(dāng)時(shí)，方程無解；
綜上所述：雙曲線的方程為：.
【小問2詳解】
由題意得：，
假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，則恒成立；
方法一：①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，
由得：，，
，，
，
，
整理可得：，
由得：；
當(dāng)時(shí)，恒成立；
②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，則，，
當(dāng)時(shí)，，，成立；
綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).
方法二：①當(dāng)直線斜率為時(shí)，，則，，
，，，
，解得：；
②當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)，，，
由得：，，
，，
；
當(dāng)，即時(shí)，成立；
綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用中的定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：
①假設(shè)直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；
③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理整理；
④由所得等式恒成立可整理得到定點(diǎn).

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