1．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得解．
【詳解】解：去分母得：，
解得，
經(jīng)檢驗是分式方程的解．
故選：B．
【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）化簡的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)分式的乘方和除法的運算法則進行計算即可．
【詳解】解：，
故選：A．
【點睛】本題考查分式的乘方，掌握公式準確計算是本題的解題關(guān)鍵．
3．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)分式的約分可判斷A，根據(jù)冪的乘方運算可判斷B，根據(jù)分式的加法運算可判斷C，根據(jù)零指數(shù)冪的含義可判斷D，從而可得答案．
【詳解】解：，故A不符合題意；
，故B不符合題意；
，故C不符合題意；
，運算正確，故D符合題意；
故選D
【點睛】本題考查分式的約分，冪的乘方運算，分式的加法運算，零指數(shù)冪，熟記運算法則是解本題的關(guān)鍵．
4．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）化簡結(jié)果正確的是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)同分母分式加減運算法則進行計算即可．
【詳解】解：，故A正確．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了分式加減，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同分母分式加減運算法則，準確計算．
5．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）為扎實推進“五育”并舉工作，加強勞動教育，東營市某中學(xué)針對七年級學(xué)生開設(shè)了“跟我學(xué)面點”烹飪課程，課程開設(shè)后學(xué)?；ㄙM6000元購進第一批面粉，用完后學(xué)校又花費9600元購進了第二批面粉，第二批面粉的采購量是第一批采購量的1.5倍，但每千克面粉價格提高了0.4元．設(shè)第一批面粉采購量為x千克，依題意所列方程正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】表示出第二批面粉的采購量，根據(jù)“每千克面粉價格提高了0.4元”這一等量關(guān)系即可列方程．
【詳解】設(shè)第一批面粉采購量為x千克，則設(shè)第二批面粉采購量為千克，根據(jù)題意，得
故選：A
【點睛】本題考查列方程解決實際問題，找出題中的等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）若分式方程的解為負數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】D
【分析】直接解分式方程，進而得出a的取值范圍，注意分母不能為零．
【詳解】解：去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是負數(shù)，
∴，，即，
解得：且，
故選：D．
【點睛】此題主要考查了分式方程的解，正確解分式方程是解題關(guān)鍵．
7．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）某校八年級學(xué)生去距離學(xué)校的游覽區(qū)游覽，一部分學(xué)生乘慢車先行，出發(fā)后，另一部分學(xué)生乘快車前往，結(jié)果他們同時到達．已知快車的速度是慢車速度的倍，求慢車的速度，設(shè)慢車的速度是，所列方程正確的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)出慢車的速度，再利用慢車的速度表示出快車的速度，根據(jù)所用時間差為1小時列方程即可．
【詳解】解：設(shè)慢車的速度是，則快車的速度為，
依題意得，
故選：B．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
8．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如果關(guān)于的分式方程的解是負數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．且 C．D．且
【答案】D
【分析】分式方程兩邊乘以，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根據(jù)分式方程的解是負數(shù)，得出不等式，解不等式即可求解．
【詳解】解：
解得： 且
∵關(guān)于的分式方程的解是負數(shù)，
∴，且
∴且，
故選：D．
【點睛】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【詳解】由得：
，
，
，
經(jīng)檢驗：是原分式方程的解，
故選：．
【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解題的關(guān)鍵是解分式方程注意要檢驗，避免出現(xiàn)增根．
10．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）某校學(xué)生去距離學(xué)校的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達．已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，汽車的速度是（ ）．
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)騎車學(xué)生的速度為，則汽車的速度為，根據(jù)題意可得，乘坐汽車比騎自行車少用,據(jù)此列分式方程求解．
【詳解】解：設(shè)騎車學(xué)生的速度為，則汽車的速度為，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗：是原方程的解，且符合題意，
所以，騎車學(xué)生的速度為．
∴汽車的速度為
故選：D．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解，注意檢驗．
11．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于的方程解為正數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】將分式方程化為整式方程解得，根據(jù)方程的解是正數(shù)，可得，即可求出的取值范圍．
【詳解】解：
∵方程的解為正數(shù)，且分母不等于0
∴，
∴，且
故選：D．
【點睛】此題考查了解分式方程，根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解不等式，將方程化為整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此類問題的關(guān)鍵．
12．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）分式的值為0，則的值是（ ）
A．0B．C．1D．0或1
【答案】A
【分析】根據(jù)分式值為0的條件進行求解即可．
【詳解】解：∵分式的值為0，
∴，
解得，
故選A．
【點睛】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0，分母不為0是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）若分式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)分式有意義的條件可進行求解．
【詳解】解：由題意得：，
∴；
故選A．
【點睛】本題主要考查分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
14．（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的分式方程有增根，則 ．
【答案】
【分析】等式兩邊同時乘以公因式，化簡分式方程，然后根據(jù)方程有增根，求出的值，即可求出．
【詳解】，
解：方程兩邊同時乘以，得，
∴，
∵原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查分式方程的知識，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的增根．
15．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】解：由題意知：x-2≠0，解得x≠2；
故答案為x≠2．
16．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）計算： ．
【答案】
【分析】根據(jù)同分母分式加法法則計算即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】本題考查分式的加法，題目較為基礎(chǔ)．
17．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)分式有意義的條件列不等式求解即可．
【詳解】解：若代數(shù)式有意義，則，
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了分式有意義的條件，熟知分式有意義，分母不為零是解題的關(guān)鍵．
18．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）方程的解是： ．
【答案】
【分析】首先方程兩邊乘以最簡公分母去分母，然后去括號，移項，合并同類項，把的系數(shù)化為1，最后一定要檢驗．
【詳解】解：去分母得：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
檢驗：把代入最簡公分母中：，
∴原分式方程的解為： ，
故答案為：
【點睛】此題主要考查了分式方程的解法，做題過程中關(guān)鍵是不要忘記檢驗，很多同學(xué)忘記檢驗，導(dǎo)致錯誤．
19．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，寫出a的值為 ．b的值為 ．
【答案】
【分析】把代入得，可求得a的值；把分別代入和，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，即，
解得，
經(jīng)檢驗，是分式方程的解，
∴，
故答案為：；
【點睛】本題考查了求代數(shù)式的值，解分式方程，準確計算是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的方程的解為非負數(shù)，則m的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】解分式方程，可用表示，再根據(jù)題意得到關(guān)于的一元一次不等式即可解答．
【詳解】解：解，可得，
的方程的解為非負數(shù)，
，
解得，
，
，
即，
的取值范圍是且，
故答案為：且．
【點睛】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求值，注意分式方程無解的情況是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）已知，且，則的值為 ．
【答案】1
【分析】根據(jù)可得，即，然后將整體代入計算即可．
【詳解】解：∵
∴，
∴，即．
∴．
【點睛】本題主要考查了分式的加減運算，根據(jù)分式的加減運算法則得到是解答本題的關(guān)鍵．
22．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）若，則代數(shù)式，的值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)分式的化簡法則，將代數(shù)式化簡可得，再將變形，即可得到答案．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
，
故原式的值為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了分式的化簡法則，整式的整體代入，熟練對代數(shù)式進行化簡是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
23．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）為了踐行習(xí)近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某地計劃在規(guī)定時間內(nèi)種植梨樹棵．開始種植時，由于志愿者的加入，實際每天種植梨樹的數(shù)量比原計劃增加了，結(jié)果提前2天完成任務(wù)．問原計劃每天種植梨樹多少棵？
【答案】原計劃每天種植梨樹500棵
【分析】根據(jù)題意列出分式方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)原計劃每天種植梨樹x棵
由題可知：
解得：
經(jīng)檢驗：是原方程的根，且符合題意．
答：原計劃每天種植梨樹500棵．
【點睛】題目注意考查分式方程的應(yīng)用，理解題意列出分式方程是解題關(guān)鍵．
24．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）隨著中國網(wǎng)民規(guī)模突破億、博物館美育不斷向線上拓展．敦煌研究院順勢推出數(shù)字敦煌文化大使伽瑤，受到廣大敦煌文化愛好者的好評．某工廠計劃制作個伽瑤玩偶擺件，為了盡快完成任務(wù)，實際平均每天完成的數(shù)量是原計劃的倍，結(jié)果提前天完成任務(wù)．問原計劃平均每天制作多少個擺件？

【答案】原計劃平均每天制作個擺件．
【分析】設(shè)原計劃平均每天制作個，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)原計劃平均每天制作個，根據(jù)題意得，
解得：
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
答：原計劃平均每天制作個擺件．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
25．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）水碧萬物生，岳陽龍蝦好．小龍蝦產(chǎn)業(yè)已經(jīng)成為岳陽鄉(xiāng)村振興的“閃亮名片”．已知翠翠家去年龍蝦的總產(chǎn)量是，今年龍蝦的總產(chǎn)量是，且去年與今年的養(yǎng)殖面積相同，平均畝產(chǎn)量去年比今年少，求今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量．
【答案】今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量．
【分析】設(shè)今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是x，則去年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是，根據(jù)去年與今年的養(yǎng)殖面積相同列出分式方程，解方程并檢驗即可．
【詳解】解：設(shè)今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是x，則去年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是，
由題意得，，
解得，
經(jīng)檢驗，是分式方程的解且符合題意，
答：今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量．
【點睛】此題考查了分式方程的實際應(yīng)用，讀懂題意，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．
26．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）“六一”兒童節(jié)將至，張老板計劃購買A型玩具和B型玩具進行銷售，若用1200元購買A型玩具的數(shù)量比用1500元購買B型玩具的數(shù)量多20個，且一個B型玩具的進價是一個A型玩具進價的1.5倍．
(1)求A型玩具和B型玩具的進價分別是多少？
(2)若A型玩具的售價為12元/個，B型玩具的售價為20元/個，張老板購進A，B型玩具共75個，要使總利潤不低于300元，則A型玩具最多購進多少個？
【答案】(1)A型，B型玩具的單價分別是10元/個，15元/個
(2)最多可購進A型玩具25個
【分析】（1）設(shè)型玩具的單價為元/件．依題意列出分式方程，進行求解；
（2）根據(jù)題意列出不等式進行求解即可．
【詳解】（1）設(shè)型玩具的單價為元/件．
由題意得：，
解得：
經(jīng)檢驗，是原方程的解
B型玩具的單價為元/個
∴A型，B型玩具的單價分別是10元/個，15元/個．
（2）設(shè)購進A型玩具個．
解得：
∴最多可購進A型玩具25個．
【點睛】本題考查了分式方程，一元一次不等式的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程或不等式．
27．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）為推動鄉(xiāng)村振興，政府大力扶持小型企業(yè)．根據(jù)市場需求，某小型企業(yè)為加快生產(chǎn)速度，需要更新生產(chǎn)設(shè)備，更新設(shè)備后生產(chǎn)效率比更新前提高了，設(shè)更新設(shè)備前每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品．解答下列問題：
(1)更新設(shè)備后每天生產(chǎn)_______件產(chǎn)品（用含x的式子表示）；
(2)更新設(shè)備前生產(chǎn)5000件產(chǎn)品比更新設(shè)備后生產(chǎn)6000件產(chǎn)品多用2天，求更新設(shè)備后每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品．
【答案】(1)
(2)125件
【分析】（1）根據(jù)“更新設(shè)備后生產(chǎn)效率比更新前提高了”列代數(shù)式即可；
（2）根據(jù)題意列分式方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：更新設(shè)備前每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品，更新設(shè)備后生產(chǎn)效率比更新前提高了，
更新設(shè)備后每天生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量為：（件），
故答案為：；
（2）解：由題意知：，
去分母，得，
解得，
經(jīng)檢驗，是所列分式方程的解，
（件），
因此更新設(shè)備后每天生產(chǎn)125件產(chǎn)品．
【點睛】本題考查分式方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給數(shù)量關(guān)系正確列出方程．
28．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中M是單項式．請寫出單項式M，并將該例題的解答過程補充完整．
【答案】，，，過程見解析
【分析】先根據(jù)通分的步驟得到M，再對原式進行化簡，最后代入計算即可．
【詳解】解：由題意，第一步進行的是通分，
∴，
∴，
原式
，
當(dāng)時，原式．
【點睛】本題考查了分式的化簡求值，正確對分式進行化簡是解題的關(guān)鍵．
29．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根據(jù)單項式乘以多項式的法則、完全平方公式計算，再合并同類項；
（2）根據(jù)分式混合運算的法則解答即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【點睛】本題考查了整式和分式的運算，屬于基本計算題型，熟練掌握整式和分式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵．
30．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）計算
(1)計算：．
(2)化簡：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)、零指數(shù)冪、絕對值化簡計算即可；
（2）根據(jù)分式化簡運算規(guī)則計算即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算與分式化簡以及特殊角三角函數(shù)，熟記運算法則是關(guān)鍵．
31．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】根據(jù)題意，先進行同分母分式加減運算，再將代入即可得解．
【詳解】解：原式
，
當(dāng)時，原式．
【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的加減，約分等相關(guān)計算法則是解決本題的關(guān)鍵．
32．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）（1）化簡：；
（2）先化簡，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）根據(jù)平方根，絕對值，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)，實數(shù)的混合運算法則進行計算即可；
（2）根據(jù)分式的性質(zhì)進行化簡，再將代入求解即可．
【詳解】（1）解：
（2）解：
將代入可得，原式．
【點睛】本題考查了平方根，絕對值，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)，實數(shù)的混合運算法則，分式的化簡求值等，熟練掌握以上運算法則是解題的關(guān)鍵．
33．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先計算括號內(nèi)分式減法，再計算除法，然后代入求值，即可得到答案．
【詳解】解：

，
當(dāng)時，
原式．
【點睛】本題考查了分式的混合運算，平方差公式，代數(shù)式求值，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握分式的混合運算法則是解題關(guān)鍵．
34．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）化簡：．
【答案】
【分析】先計算括號內(nèi)的減法，再計算除法即可．
【詳解】解：
【點睛】此題考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則和順序是解題的關(guān)鍵．
35．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)2022
(2)
【分析】（1）根據(jù)零次冪、負指數(shù)冪及算術(shù)平方根可進行求解；
（2）根據(jù)分式的運算可進行求解．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【點睛】本題主要考查零次冪、負指數(shù)冪、分式的運算及算術(shù)平方根，熟練掌握各個運算是解題的關(guān)鍵．
36．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，5．
【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，然后將的值代入化簡后的式子即可解答本題．
【詳解】解：
，
當(dāng)時，原式．
【點睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法．
37．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）計算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）先計算絕對值、立方根、負整數(shù)指數(shù)，再計算加減；
（2）根據(jù)同分母分式的加減法解答即可．
【詳解】（1）
．
（2）
．
【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算和同分母分式的加減，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．
38．（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，原式
【分析】先根據(jù)分式的混合計算法則化簡，然后根據(jù)特殊角三角函數(shù)值和二次根式的性質(zhì)求出m的值，最后代值計算即可．
【詳解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，求特殊角三角函數(shù)值，化簡二次根式等等，正確計算是解題的關(guān)鍵．
39．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）（1）計算：；
（2）先化簡，再求值：，化簡后，從的范圍內(nèi)選擇一個你喜歡的整數(shù)作為x的值代入求值．
【答案】（1）1；（2），當(dāng)時，原式=．
【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，化簡絕對值，負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)，分別計算即可求解；
（2）先根據(jù)分式的加減計算括號內(nèi)的，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，最后將字母的值代入求解．
【詳解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
由題意可知：，，，
∴當(dāng)時，原式．
【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，分式化簡求值，解題關(guān)鍵是熟練運用分式運算法則，掌握特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，化簡絕對值，負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)進行求解．
40．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）（1）解不等式，并在數(shù)軸上表示解集．
（2）下面是某同學(xué)計算的解題過程：
解：
①
②
③
④
上述解題過程從第幾步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出正確的解題過程．
【答案】（1）（2）從第①步開始出錯，過程見解析
【分析】（1）根據(jù)解不等式的步驟，解不等式即可；
（2）根據(jù)分式的運算法則，進行計算即可．
【詳解】解：（1），
去分母，得：，
移項，合并，得：，
系數(shù)化1，得：；
（2）從第①步開始出錯，正確的解題過程如下：
．
【點睛】本題考查解一元一次不等式，分式的加減運算．熟練掌握解不等式的步驟，分式的運算法則，是解題的關(guān)鍵．
41．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）某公司不定期為員工購買某預(yù)制食品廠生產(chǎn)的雜醬面、牛肉面兩種食品．
(1)該公司花費3000元一次性購買了雜醬面、牛肉面共170份，此時雜醬面、牛肉面的價格分別為15元、20元，求購買兩種食品各多少份？
(2)由于公司員工人數(shù)和食品價格有所調(diào)整，現(xiàn)該公司分別花費1260元、1200元一次性購買雜醬面、牛肉面兩種食品，已知購買雜醬面的份數(shù)比牛肉面的份數(shù)多，每份雜醬面比每份牛肉面的價格少6元，求購買牛肉面多少份？
【答案】(1)購買雜醬面80份，購買牛肉面90份
(2)購買牛肉面60份
【分析】（1）設(shè)購買雜醬面份，則購買牛肉面份，由題意知，，解方程可得的值，然后代入，計算求解，進而可得結(jié)果；
（2）設(shè)購買牛肉面份，則購買雜醬面份，由題意知，，計算求出滿足要求的解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)購買雜醬面份，則購買牛肉面份，
由題意知，，
解得，，
∴，
∴購買雜醬面80份，購買牛肉面90份；
（2）解：設(shè)購買牛肉面份，則購買雜醬面份，
由題意知，，
解得，
經(jīng)檢驗，是分式方程的解，
∴購買牛肉面60份．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列方程．
42．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）2023年5月30日上午9點31分，神舟十六號載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空，某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)到當(dāng)?shù)仉娨暸_演播大廳觀看現(xiàn)場直播，學(xué)校準備為同學(xué)們購進A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進A款和用400元購進B款的文化衫的數(shù)量相同．
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
(2)已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫，求有幾種購買方案？
(3)在實際購買時，由于數(shù)量較多，商家讓利銷售，A款七折優(yōu)惠，B款每件讓利m元，采購人員發(fā)現(xiàn)（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，試求m值．
【答案】(1)A款文化衫每件50元，則B款文化衫每件40元，
(2)一共有六種購買方案
(3)
【分析】（1）設(shè)A款文化衫每件x元，則B款文化衫每件元，然后根據(jù)用500元購進A款和用400元購進B款的文化衫的數(shù)量相同列出方程求解即可；
（2）設(shè)購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫件，然后根據(jù)，學(xué)校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫列出不等式組求解即可；
（3）設(shè)購買資金為W元，購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫件，求出，根據(jù)（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，可得W的取值與a的值無關(guān)，由此即可求出．
【詳解】（1）解：設(shè)A款文化衫每件x元，則B款文化衫每件元，
由題意得，，
解得，
檢驗，當(dāng)時，，
∴是原方程的解，
∴，
∴A款文化衫每件50元，則B款文化衫每件40元，
答：A款文化衫每件50元，則B款文化衫每件40元；
（2）解：設(shè)購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫件，
由題意得，，
解得，
∵a是正整數(shù)，
∴a的取值可以為275，276，277，278，279，280，
∴一共有六種購買方案；
（3）解：設(shè)購買資金為W元，購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫件，
由題意得，
，
∵（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，
∴W的取值與a的值無關(guān)，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的實際應(yīng)用，分式方程的實際應(yīng)用，整式的加減的實際應(yīng)用，正確理解題意列出方程和不等式組是解題的關(guān)鍵．
43．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩名學(xué)生到離校的“人民公園”參加志愿者活動，甲同學(xué)步行，乙同學(xué)騎自行車，騎自行車速度是步行速度的4倍，甲出發(fā)后乙同學(xué)出發(fā)，兩名同學(xué)同時到達，求乙同學(xué)騎自行車的速度．
【答案】
【分析】根據(jù)甲、乙同學(xué)步行和騎自行車的速度之間的數(shù)量關(guān)系設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)所走時間之間的數(shù)量關(guān)系列方程即可．
【詳解】解：設(shè)甲同學(xué)步行的速度為，則乙同學(xué)騎自行車速度為，
，由題意得，
，
解得，
經(jīng)檢驗，是分式方程的解，也符合實際．
，
答：乙同學(xué)騎自行車的速度為．
【點睛】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，解決問題時需注意時間單位的統(tǒng)一，同時解分式方程需檢驗．
44．（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）某大型超市購進一款熱銷的消毒洗衣液，由于原材料價格上漲，今年每瓶洗衣液的進價比去年每瓶洗衣液的進價上漲4元，今年用1440元購進這款洗衣液的數(shù)量與去年用1200元購進這款洗衣液的數(shù)量相同．當(dāng)每瓶洗衣液的現(xiàn)售價為36元時，每周可賣出600瓶，為了能薄利多銷．該超市決定降價銷售，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種洗衣液的售價每降價1元，每周的銷量可增加100瓶，規(guī)定這種消毒洗衣液每瓶的售價不低于進價．
(1)求今年這款消毒洗衣液每瓶進價是多少元；
(2)當(dāng)這款消毒洗衣液每瓶的售價定為多少元時，這款洗衣液每周的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
【答案】(1)今年這款消毒洗衣液每瓶進價是24元
(2)當(dāng)這款消毒洗衣液每瓶的售價定為33元時，這款洗衣液每周的銷售利潤最大，最大利潤是8100元
【分析】（1）設(shè)今年這款消毒洗衣液每瓶進價是x元，則去年這款消毒洗衣液每瓶進價是元，根據(jù)題意列出分式方程，解方程即可；
（2）設(shè)這款消毒洗衣液每瓶的售價定為m元時，這款洗衣液每周的銷售利潤w最大，根據(jù)題意得出：，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案．
【詳解】（1）解：設(shè)今年這款消毒洗衣液每瓶進價是x元，則去年這款消毒洗衣液每瓶進價是元，
根據(jù)題意可得：，
解得：，
經(jīng)檢驗：是方程的解，
元，
答：今年這款消毒洗衣液每瓶進價是24元.
（2）解：設(shè)這款消毒洗衣液每瓶的售價定為m元時，這款洗衣液每周的銷售利潤w最大，
根據(jù)題意得出：，
整理得：，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出：當(dāng)時，利潤最大，
最大利潤為：，
答：當(dāng)這款消毒洗衣液每瓶的售價定為33元時，這款洗衣液每周的銷售利潤最大，最大利潤是8100元．
【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意列出關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
45．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化源遠流長、是中華文明的智慧結(jié)晶．《孫子算經(jīng)》、《周髀算經(jīng)》是我國古代較為普及的算書、許多問題淺顯有趣．某書店的《孫子算經(jīng)》單價是《周髀算經(jīng)》單價的，用600元購買《孫子算經(jīng)》比購買《周髀算經(jīng)》多買5本．
(1)求兩種圖書的單價分別為多少元？
(2)為等備“3．14數(shù)學(xué)節(jié)”活動，某校計劃到該書店購買這兩種圖書共80本，且購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半．由于購買量大，書店打折優(yōu)惠，兩種圖書均按八折出售．求兩種圖書分別購買多少本時費用最少？
【答案】(1)《周髀算經(jīng)》單價為40元，則《孫子算經(jīng)》單價是30元
(2)當(dāng)購買《周髀算經(jīng)》27本，《孫子算經(jīng)》53本時，購買兩類圖書總費用最少，最少總費用為2316元
【分析】（1）設(shè)《周髀算經(jīng)》單價為x元，則《孫子算經(jīng)》單價是元，根據(jù)“用600元購買《孫子算經(jīng)》比購買《周髀算經(jīng)》多買5本”列分式方程，解之即可求解；
（2）根據(jù)購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半列出不等式求出m的取值范圍，根據(jù)m的取值范圍結(jié)合函數(shù)解析式解答即可．
【詳解】（1）解：設(shè)《周髀算經(jīng)》單價為x元，則《孫子算經(jīng)》單價是元，
依題意得，，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
，
答：《周髀算經(jīng)》單價為40元，則《孫子算經(jīng)》單價是30元；
（2）解：設(shè)購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量m本，則購買的《孫子算經(jīng)》數(shù)量為本，
依題意得，，
解得，
設(shè)購買《周髀算經(jīng)》和《孫子算經(jīng)》的總費用為y（元），
依題意得，，
∵，
∴y隨m的增大而增大，
∴當(dāng)時，有最小值，此時（元），
（本）
答：當(dāng)購買《周髀算經(jīng)》27本，《孫子算經(jīng)》53本時，購買兩類圖書總費用最少，最少總費用為2316元．
【點睛】本題主要考查分式方程的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的實際應(yīng)用以及一元一次不等式的實際應(yīng)用，根據(jù)題意表示出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及列出不等式是解題的關(guān)鍵．
46．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）某商場欲購進A和B兩種家電，已知B種家電的進價比A種家電的進價每件多100元，經(jīng)計算，用1萬元購進A種家電的件數(shù)與用1.2萬元購進B種家電的件數(shù)相同．請解答下列問題：
(1)這兩種家電每件的進價分別是多少元？
(2)若該商場欲購進兩種家電共100件，總金額不超過53500元，且A種家電不超過67件，則該商場有哪幾種購買方案？
(3)在（2）的條件下，若A和B兩種家電的售價分別是每件600元和750元，該商場從這100件中拿出兩種家電共10件獎勵優(yōu)秀員工，其余家電全部售出后仍獲利5050元，請直接寫出這10件家電中B種家電的件數(shù)．
【答案】(1)A種家電每件的進價為500元，B種家電每件的進價為600元
(2)共有三種購買方案，方案一：購進A種家電65件，B種家電35件，方案二：購進A種家電66件，B種家電34件，方案三：購進A種家電67件，B種家電33件
(3)這10件家電中B種家電的件數(shù)4件
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)A種家電每件進價為x元，B種家電每件進價為元，建立分式方程求解即可；
（2）設(shè)購進A種家電a件，購進B種家電件，建立不等式，求解不等式，選擇符合實際的解即可；
（3）設(shè)A種家電拿出件，則B種家電拿出件，根據(jù)題意，建立一元一次方程求解即可．
【詳解】（1）設(shè)A種家電每件進價為x元，B種家電每件進價為元．
根據(jù)題意，得
．
解得．
經(jīng)檢驗是原分式方程的解．
．
答：A種家電每件的進價為500元，B種家電每件的進價為600元；
（2）設(shè)購進A種家電a件，購進B種家電件．
根據(jù)題意，得．
解得．
，．
為正整數(shù)，，則，
共有三種購買方案，
方案一：購進A種家電65件，B種家電35件，
方案二：購進A種家電66件，B種家電34件，
方案三：購進A種家電67件，B種家電33件；
（3）解：設(shè)A種家電拿出件，則B種家電拿出件，
根據(jù)（1）和（2）及題意，當(dāng)購進A種家電65件，B種家電35件時，得：
，
整理得：，
解得：，不符合實際；
當(dāng)購進A種家電66件，B種家電34件時，得：
，
整理得：，
解得：，不符合實際；
當(dāng)購進A種家電67件，B種家電33件時，得：
，
整理得：，
解得：，符合實際；則B種家電拿出件．
【點睛】本題考查分式方程的實際問題，一元一次方程的實際問題與一元一次不等的實際問題，正確理解題意，建立正確的等量關(guān)系與不等式是解題的關(guān)鍵，注意結(jié)果要符合實際及分式方程的檢驗．
47．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）隨著2022年底城東快速路的全線通車，徐州主城區(qū)與東區(qū)之間的交通得以有效改善，如圖某人乘車從徐州東站至戲馬臺景區(qū)，可沿甲路線或乙路線前往．已知甲、乙兩條路線的長度均為，甲路線的平均速度為乙路線的倍，甲路線的行駛時間比乙路線少，求甲路線的行駛時間．

【答案】甲路線的行駛時間為
【分析】設(shè)甲路線的行駛時間為，則乙路線的行駛事件為，根據(jù)“甲路線的平均速度為乙路線的倍”列分式方程求解即可．
【詳解】解：甲路線的行駛時間為，則乙路線的行駛事件為，由題意可得，
，
解得，
經(jīng)檢驗是原方程的解，
∴甲路線的行駛時間為，
答：甲路線的行駛時間為．
【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系列出相應(yīng)的分式方程．
48．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）為進行某項數(shù)學(xué)綜合與實踐活動，小明到一個批發(fā)兼零售的商店購買所需工具．該商店規(guī)定一次性購買該工具達到一定數(shù)量后可以按批發(fā)價付款，否則按零售價付款．小明如果給學(xué)校九年級學(xué)生每人購買一個，只能按零售價付款，需用3600元；如果多購買60個，則可以按批發(fā)價付款，同樣需用3600元，若按批發(fā)價購買60個與按零售價購買50個所付款相同，求這個學(xué)校九年級學(xué)生有多少人？
【答案】這個學(xué)校九年級學(xué)生有300人．
【分析】設(shè)零售價為x元，批發(fā)價為y，然后根據(jù)題意列二元一次方程組求得零售價為12元，然后用3600除以零售價即可解答．
【詳解】解：設(shè)零售價為x元，批發(fā)價為y，
根據(jù)題意可得：
，解得：，
則學(xué)校九年級學(xué)生人．
答：這個學(xué)校九年級學(xué)生有300人．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，審清題意、列二元一次方程組求得零售價是解答本題的關(guān)鍵．
49．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）某校組織學(xué)生去郭永懷紀念館進行研學(xué)活動．紀念館距學(xué)校72千米，部分學(xué)生乘坐大型客車先行，出發(fā)12分鐘后，另一部分學(xué)生乘坐小型客車前往，結(jié)果同時到達．已知小型客車的速度是大型客車速度的倍，求大型客車的速度．
【答案】大型客車的速度為
【分析】設(shè)出慢車的速度，再利用慢車的速度表示出快車的速度，根據(jù)所用時間差為12分鐘列方程解答.
【詳解】解：設(shè)慢車的速度為，則快車的速度為，
根據(jù)題意得
，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的根.
故大型客車的速度為.
【點睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，此題的等量關(guān)系是快車與慢車所用時間差為12分鐘.
50．（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新時代”為主題的世界清潔能源裝備大會在德陽舉行．大會聚焦清潔能源裝備產(chǎn)業(yè)發(fā)展熱點和前瞻性問題，著力實現(xiàn)會展聚集帶動產(chǎn)業(yè)聚集．其中德陽清潔能源裝備特色小鎮(zhèn)位于德陽經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)，規(guī)劃面積平方公里，計劃2025年基本建成．若甲、乙兩個工程隊計劃參與修建“特色小鎮(zhèn)”中的某項工程，已知由甲單獨施工需要18個月完成任務(wù)，若由乙先單獨施工2個月，再由甲、乙合作施工10個月恰好完成任務(wù)．承建公司每個月需要向甲工程隊支付施工費用8萬元，向乙工程隊支付施工費用5萬元．
(1)乙隊單獨完工需要幾個月才能完成任務(wù)？
(2)為保證該工程在兩年內(nèi)完工，且盡可能的減少成本，承建公司決定讓甲、乙兩個工程隊同時施工，并將該工程分成兩部分，甲隊完成其中一部分工程用了a個月，乙隊完成另一部分工程用了b個月，已知甲隊施工時間不超過6個月，乙隊施工時間不超過24個月，且a，b為正整數(shù)，則甲乙兩隊實際施工的時間安排有幾種方式？哪種安排方式所支付費用最低？
【答案】(1)乙隊單獨完工需要27個月才能完成任務(wù)
(2)甲乙兩隊實際施工的時間安排有3種方式，安排甲工作2個月，乙工作24個月，費用最低為萬元
【分析】（1）設(shè)乙單獨完成需要個月，由“乙先單獨施工2個月，再由甲、乙合作施工10個月恰好完成任務(wù)．”建立分式方程求解即可；
（2）由題意可得：，可得，結(jié)合，，可得，結(jié)合都為正整數(shù)，可得為3的倍數(shù)，可得甲乙兩隊實際施工的時間安排有3種方式，從而可得答案．
【詳解】（1）解：設(shè)乙單獨完成需要個月，則
，
解得：，
經(jīng)檢驗是原方程的解且符合題意；
答：乙隊單獨完工需要27個月才能完成任務(wù)．
（2）由題意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵都為正整數(shù)，
∴為3的倍數(shù)，
∴或或，
∴甲乙兩隊實際施工的時間安排有3種方式，
方案①：安排甲工作6個月，乙工作18個月，費用為：（萬元），
方案②：安排甲工作4個月，乙工作21個月，費用為：（萬元），
方案③：安排甲工作2個月，乙工作24個月，費用為：（萬元），
∴安排甲工作2個月，乙工作24個月，費用最低為萬元．
【點睛】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，二元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，確定相等關(guān)系與不等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
51．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先把括號內(nèi)的分式進行通分，再將除法變?yōu)槌朔ɑ?，最后代入x的值計算即可．
【詳解】解：原式
當(dāng)時,
原式．
【點睛】本題考查了分式的化簡求值和二次根式的混合運算，正確化簡分式是解題的關(guān)鍵．
52．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）“人間煙火味，最撫凡人心”，地攤經(jīng)濟、小店經(jīng)濟是就業(yè)崗位的重要來源．某經(jīng)營者購進了型和型兩種玩具，已知用520元購進型玩具的數(shù)量比用175元購進型玩具的數(shù)量多30個，且型玩具單價是型玩具單價的倍．
(1)求兩種型號玩具的單價各是多少元？
根據(jù)題意，甲、乙兩名同學(xué)分別列出如下方程：
甲：，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解．
乙：，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解．
則甲所列方程中的表示_______，乙所列方程中的表示_______；
(2)該經(jīng)營者準備用1350元以原單價再次購進這兩種型號的玩具共200個，則最多可購進型玩具多少個？
【答案】(1)型玩具的單價；購買型玩具的數(shù)量
(2)最多購進型玩具個
【分析】（1）根據(jù)方程表示的意義，進行作答即可；
（2）設(shè)最多購進型玩具個，根據(jù)題意，列出方程進行求解即可．
【詳解】（1）解：對于甲：表示的是：用520元購進型玩具的數(shù)量比用175元購進型玩具的數(shù)量多30個，
∴分別表示型玩具和型玩具的數(shù)量，
∴表示型玩具的單價；
對于乙：表示的是：型玩具單價是型玩具單價的倍，
∴，分別表示表示型玩具和型玩具的單價，
∴表示購買型玩具的數(shù)量；
故答案為：型玩具的單價；購買型玩具的數(shù)量
（2）設(shè)購進型玩具個，則購買型玩具個，
由（1）中甲同學(xué)所列方程的解可知：型玩具的單價為5元，則型玩具的單價為元，
由題意，得：，
解得：，
∵為整數(shù)，
∴；
答：最多購進型玩具個．
【點睛】本題考查分式方程和一元一次不等式的應(yīng)用．讀懂題意，找準等量關(guān)系，正確的列出方程和不等式，是解題的關(guān)鍵．
53．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）計算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先計算單項式乘多項式，平方差公式，再合并同類項即可；
（2）先通分計算括號內(nèi)，再利用分式的除法法則進行計算．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【點睛】本題考查整式的混合運算，分式的混合運算．熟練掌握相關(guān)運算法則，正確的計算，是解題的關(guān)鍵．
54．（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）（1）計算：；
（2）先化簡，再求值；，其中為滿足的整數(shù)．
【答案】（1）（2），
【分析】（1）先將二次根式及絕對值、零次冪、特殊角的三角函數(shù)化簡，然后進行加減運算即可；
（2）根據(jù)分式的運算法則化簡，然后選擇合適的值代入求解即可．
【詳解】解：（1）
；
（2）
∵為滿足的整數(shù)且，
∴，
∴取，原式．
【點睛】題目主要考查實數(shù)的混合運算，特殊角的三角函數(shù)及分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．
55．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）（1）化簡：；
（2）解不等式組：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)分式的混合計算法則求解即可；
（2）先求出每個不等式的解集，再根據(jù) “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．
【詳解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為
【點睛】本題主要考查了分式的混合計算，解一元一次不等式組，正確計算是解題的關(guān)鍵．
56．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再從的范圍內(nèi)選擇一個合適的數(shù)代入求值．
【答案】，當(dāng)時，原式=（答案不唯一）
【分析】先根據(jù)分式混合運算法則計算即可化簡，再根據(jù)分式有意義條件把合適的數(shù)代入化簡式計算即可．
【詳解】解：
，
∵且，
∴當(dāng)時，原式．
【點睛】本題考查分式化簡求值，熟練掌握分式運算法則和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
x結(jié)果
代數(shù)式
2
n
7
b
a
1
例 先化簡，再求值：，其中．
解：原式
……

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