考卷信息：
本套訓(xùn)練卷共30題，選擇15題，填空15題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可強(qiáng)化學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間關(guān)系的理解！
一．選擇題（共15小題）
1．（2022?葫蘆島一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x＝﹣1，且過點(diǎn)（12，0），有下列結(jié)論：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正確的結(jié)論是（ ）
A．①③B．①③④C．①②③D．①②③④
2．（2022?恩施市一模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣9a），下列結(jié)論：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個(gè)根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為﹣8，其中正確的結(jié)論有（ ）
A．①②③④B．①②③⑤C．②③④⑤D．①②④⑤
3．（2022春?崇川區(qū)校級(jí)期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的自變量x與函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
且當(dāng)x=?12時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y＞0，有下列結(jié)論：①函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第四象限內(nèi)；②﹣2和3是關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝t的兩個(gè)根；③0＜m+n＜203，其中，正確結(jié)論的是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
4．（2022春?東湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx﹣c，它與x軸交于A、B，且A、B位于原點(diǎn)兩側(cè)，與y的正半軸交于C，頂點(diǎn)D在y軸右側(cè)的直線l：y＝4上，則下列說法：①bc＜0；②0＜b＜4；③AB＝4；④S△ABD＝8．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
5．（2022?丹東）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（5，0），與y軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸為直線x＝2，結(jié)合圖象分析如下結(jié)論：①abc＞0；②b+3a＜0；③當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；④若一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，則點(diǎn)E（k，b）在第四象限；⑤點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，若CM⊥AM，則a=66．其中正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
6．（2022?鶴峰縣二模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B位于（4，0）、（5，0）之間，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝2，直線y＝﹣x+c與拋物線y＝ax2+bx+c交于C，D兩點(diǎn)，D點(diǎn)在x軸上方且橫坐標(biāo)小于5，則下列結(jié)論：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③m（am+b）＜4a+2b（其中m為任意實(shí)數(shù)）；④a＜﹣1，其中正確的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④
7．（2022秋?朝陽(yáng)期中）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)（﹣3，0），其對(duì)稱軸為直線x=?12，結(jié)合圖象分析下列結(jié)論：①abc＞0；②3a+c＞0；③當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的兩根分別為x1=?13，x2=12；⑤若m，n（m＜n）為方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的兩個(gè)根，則m＜﹣3且n＞2，其中正確的結(jié)論有（ ）個(gè)．
A．2B．3C．4D．5
8．（2022?河?xùn)|區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+bx+c開口向下，與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），與y軸的交點(diǎn)在（0，2），（0，3）之間（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：①2a+b＝0；②﹣1≤a≤?23；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0總成立；④關(guān)于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
9．（2022?遼寧）拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，直線y＝kx+c與拋物線都經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，0）．下列說法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）與（12，y2）是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，則y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣3，x2＝1；⑤當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（2022?濟(jì)南二模）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a＜0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），其對(duì)稱軸為直線x＝1，有下列結(jié)論：
①c＞0；
②9a+3b+c＞0；
③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，滿足x1＜x2，則x1＜﹣2，x2＞4；
④拋物線與直線y＝x交于P、Q兩點(diǎn)，若PQ=66，則a＝﹣1；
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）個(gè)．
A．4B．3C．2D．1
11．（2022?寧遠(yuǎn)縣模擬）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸負(fù)半軸交于（?12，0），對(duì)稱軸為直線x＝1．有以下結(jié)論：①abc＞0；②3a+c＞0；③若點(diǎn)（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函數(shù)圖象上，則y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的兩根為x1，x2且x1＜x2，則x1＜?12＜52＜x2；⑤點(diǎn)M，N是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，若在x軸下方的拋物線上存在一點(diǎn)P，使得PM⊥PN，則a的范圍為a≥22?4．其中結(jié)論正確的有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
12．（2022?惠城區(qū)二模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，且OB＝2OC，則下列結(jié)論：①a?bc＜0；②4ac+2b＝﹣1；③a=?14；④當(dāng)b＞1時(shí)，在x軸上方的拋物線上一定存在關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N左邊），使得AN⊥BM．其中正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
13．（2022秋?大石橋市期末）如圖所示是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（3，0）和（4，0）之間，則下列結(jié)論：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1沒有實(shí)數(shù)根．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
14．（2022?恩施州）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于（﹣3，0），頂點(diǎn)是（﹣1，m），則以下結(jié)論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，則x≤﹣2或x≥0；④b+c=12m．其中正確的有（ ）個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
15．（2022?開福區(qū)模擬）如圖，是拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（1，3），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B（4，0），直線y2＝mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，下列結(jié)論：①2a+b＝0；②拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；④當(dāng)1＜x＜4時(shí)，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；則x1+x2＝1．則命題正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)
二．填空題（共15小題）
16．（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），與y軸的交點(diǎn)B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線x＝1．下列結(jié)論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④13＜a＜23；⑤b＞c．其中正確結(jié)論有 （填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．
17．（2022秋?金牛區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的實(shí)數(shù)），其中正確結(jié)論的序號(hào)有 ．
18．（2022?宜賓）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的頂點(diǎn)為D，其圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．下面五個(gè)結(jié)論：
①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有當(dāng)a=12時(shí)，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB為等腰三角形的a的值可以有三個(gè)．
那么，其中正確的結(jié)論是 ．
19．（2022?荊門）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸為直線x＝1，給出下列結(jié)論：①abc＜0；②若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），則△ABC的面積可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線上兩點(diǎn)（x1＜x2），若x1+x2＞2，則y1＜y2；④若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣1），則方程ax2+bx+c+1＝0的兩根為﹣1，3．其中正確結(jié)論的序號(hào)為 ．
20．（2022?霍林郭勒市模擬）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)（﹣2，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論中一定正確的是 （填序號(hào)即可）．①abc＞0；②若A（x1，m），B（x2，m）是拋物線上的兩點(diǎn)，當(dāng)x＝x1+x2時(shí)，y＝c；③若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的兩根為x1，x2，且x1＜x2，則﹣2＜x1＜x2＜4；④（a+c）2＞b2．
21．（2022春?蔡甸區(qū)校級(jí)月考）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，有下列結(jié)論：
①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④當(dāng)x＝﹣n2﹣2時(shí)，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的兩根，則方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的兩根m，n（m＜n）滿足m＜x1且n＞x2；其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是
22．（2022秋?武漢期末）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＜0）的圖象經(jīng)過（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論：①bc＞0；②9a+3b+c＝0；③關(guān)于x的方程a（x+1）（x﹣3）﹣1＝0有兩根m，n，m＜n，則﹣1＜m＜n＜3；④若方程|ax2+bx+c|＝b有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為2．其中正確的是 （填序號(hào)即可）．
23．（2022秋?和平區(qū)期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．有以下結(jié)論：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k為實(shí)數(shù)）；③m（am+b）≤﹣a（m為實(shí)數(shù)）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
其中正確的結(jié)論有 （只填寫序號(hào)）．
24．（2022?武漢模擬）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＞0，c≠0）經(jīng)過A（x1，y1），B（x2，y2），C（c，0）三點(diǎn)，x1＜x2，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝m．下列四個(gè)結(jié)論：①ac+b+1＝0；②若點(diǎn)m＜x1，則y1＜y2；③若m＝2，y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝4；④對(duì)于x1+x2＞8，都有y1＜y2，則m＜4．則結(jié)論正確的為 ．（填序號(hào)）
25．（2022秋?八步區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．其中正確的結(jié)論有 個(gè)．
26．（2022?桂平市模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3、1，與y軸交于點(diǎn)C，下面四個(gè)結(jié)論：①16a+4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（52，y2）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y1＞y2；③c＝﹣3a；④若△ABC是等腰三角形，則b=?273或?2153．其中正確的有 ．（請(qǐng)將正確結(jié)論的序號(hào)全部填在橫線上）
27．（2022?武漢模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論：
①關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；②abc＞0；③a+b＝c﹣b；④y最大值=43c；⑤a+4b＝3c中正確的有 （填寫正確的序號(hào)）
28．（2022?東西湖區(qū)模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖形經(jīng)過點(diǎn)（1，2），且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列結(jié)論：①abc＜0；②a＜b＜﹣2a；③b2+8a＜4ac；④﹣1＜a＜0．其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
29．（2022?越秀區(qū)校級(jí)一模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3、1，與y軸交于點(diǎn)C，下面四個(gè)結(jié)論：
①16a+4b+c＞0：
②若P（﹣5，y1），Q（52，y2）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y1＜y2；
③c＝3a；
④若△ABC是等腰三角形，則b=?273或?2153．
其中正確的有 ．（請(qǐng)將正確結(jié)論的序號(hào)全部填在橫線上）
30．（2022?硚口區(qū)模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），（x0，0），1＜x0＜2，與y軸的負(fù)半軸相交，且交點(diǎn)在（0，﹣2）的上方，下列四個(gè)結(jié)論中一定正確的是 ．
①b＞0；②2a﹣b﹣1＜0；③2a+c＜0；④a＜3b．（填序號(hào)即可）x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
專題5.6 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系選填壓軸專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）
【蘇科版】
考卷信息：
本套訓(xùn)練卷共30題，選擇15題，填空15題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可強(qiáng)化學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間關(guān)系的理解！
一．選擇題（共15小題）
1．（2022?葫蘆島一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x＝﹣1，且過點(diǎn)（12，0），有下列結(jié)論：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正確的結(jié)論是（ ）
A．①③B．①③④C．①②③D．①②③④
【分析】①根據(jù)拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、與y軸的交點(diǎn)即可得結(jié)論；
②根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得結(jié)論；
③根據(jù)對(duì)稱軸和與x軸的交點(diǎn)得另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，把另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式即可得結(jié)論；
④根據(jù)點(diǎn)（12，0）和對(duì)稱軸方程即可得結(jié)論．
【解答】解：①觀察圖象可知：
a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，
所以①正確；
②當(dāng)x=12時(shí)，y＝0，
即14a+12b+c＝0，
∴a+2b+4c＝0，
∴a+4c＝﹣2b，
∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0，
所以②正確；
③因?yàn)閷?duì)稱軸x＝﹣1，拋物線與x軸的交點(diǎn)（12，0），
所以與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（?52，0），
當(dāng)x=?52時(shí)，254a?52b+c＝0，
∴25a﹣10b+4c＝0．
所以③正確；
④當(dāng)x=12時(shí)，a+2b+4c＝0，
又對(duì)稱軸：?b2a=?1，
∴b＝2a，a=12b，
12b+2b+4c＝0，
∴b=?85c．
∴3b+2c=?245c+2c=?145c＜0，
∴3b+2c＜0．
所以④錯(cuò)誤．
或者∵當(dāng)x＝1時(shí)，a+b+c＜0，
∴c＜﹣a﹣b，
又∵b＝2a，
∴a=12b，
∴c＜?32b，
∴2c＜﹣3b，
∴2c+3b＜0，
∴結(jié)論④錯(cuò)誤
故選：C．
2．（2022?恩施市一模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣9a），下列結(jié)論：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個(gè)根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為﹣8，其中正確的結(jié)論有（ ）
A．①②③④B．①②③⑤C．②③④⑤D．①②④⑤
【分析】①拋物線對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，則ab同號(hào)，而c＜0，即可求解；
②x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＞0，即可求解；
③5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a≠0，即可求解；
④y＝a（x+5）（x﹣1）+1，相當(dāng)于由原拋物線y＝ax2+bx+c向上平移了1個(gè)單位，即可求解；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1，即：若方程ax2+bx+c＝±1，當(dāng)ax2+bx+c﹣1＝0時(shí)，由韋達(dá)定理得：其兩個(gè)根的和為﹣4，即可求解．
【解答】解：二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝a（x+2）2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a＝a（x+5）（x﹣1），
①拋物線對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，則ab同號(hào)，而c＜0，則abc＜0，故正確；
②函數(shù)在y軸右側(cè)的交點(diǎn)為x＝1，x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＞0，故正確；
③5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a≠0，故錯(cuò)誤；
④y＝a（x+5）（x﹣1）+1，相當(dāng)于由原拋物線y＝ax2+bx+c向上平移了1個(gè)單位，故有兩個(gè)根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1，正確；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1，即：若方程ax2+bx+c＝±1，當(dāng)ax2+bx+c﹣1＝0時(shí)，用韋達(dá)定理得：其兩個(gè)根的和為﹣4，同理當(dāng)ax2+bx+c+1＝0時(shí)，其兩個(gè)根的和也為﹣4，故正確．
故選：D．
3．（2022春?崇川區(qū)校級(jí)期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的自變量x與函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
且當(dāng)x=?12時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y＞0，有下列結(jié)論：①函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第四象限內(nèi)；②﹣2和3是關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝t的兩個(gè)根；③0＜m+n＜203，其中，正確結(jié)論的是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
【分析】①根據(jù)表格中對(duì)應(yīng)值可知對(duì)稱軸的值和拋物線與y軸的交點(diǎn)，即可判斷；
②根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷；
③根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸確定a與b的關(guān)系式，再根據(jù)已知條件求出a的取值范圍即可判斷．
【解答】解：①根據(jù)圖表可知：
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)（0，﹣2），（1，﹣2），
∴對(duì)稱軸為直線x=0+12=12，c＝﹣2，
∵當(dāng)x=?12時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y＞0，
∴a＞0，b＜0，
∴函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第四象限內(nèi)；
①正確；
②根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可知：
（﹣2，t）關(guān)于對(duì)稱軸x=12的對(duì)稱點(diǎn)為（3，t），
即﹣2和3是關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝t的兩個(gè)根，
∴②正確；
③∵對(duì)稱軸為直線x=12，∴?b2a=12，∴b＝﹣a，
∵當(dāng)x=?12時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y＞0，
∴14a?12b﹣2＞0，即14a+12a﹣2＞0，∴a＞83．
∵對(duì)稱軸為直線x=12，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)（﹣1，m）（2，n），
∴m＝n，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，m＝a﹣b+c＝a+a﹣2＝2a﹣2，
∴m+n＝4a﹣4，∵a＞83．
∴4a﹣4＞203，
∴③錯(cuò)誤．
故選：B．
4．（2022春?東湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx﹣c，它與x軸交于A、B，且A、B位于原點(diǎn)兩側(cè)，與y的正半軸交于C，頂點(diǎn)D在y軸右側(cè)的直線l：y＝4上，則下列說法：①bc＜0；②0＜b＜4；③AB＝4；④S△ABD＝8．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
【分析】先由拋物線解析式得到a＝﹣1＜0，利用拋物線的對(duì)稱軸得到b＝﹣2a＜0，易得c＜0，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；由頂點(diǎn)D在y軸右側(cè)的直線l：y＝4上可得b的范圍，從而可判斷②是否正確；由a＝﹣1及頂點(diǎn)D在y軸右側(cè)的直線l：y＝4上，可得拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離AB為定值，故可取b＝2進(jìn)行計(jì)算，即可求得AB的長(zhǎng)度及S△ABD的大?。?br>【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＝﹣1＜0，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?b2a＞0，
∴b＞0，
而拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴﹣c＞0，則c＜0，
∴bc＜0，故①正確；
由頂點(diǎn)D在y軸右側(cè)的直線l：y＝4上可得：
4×(?1)×(?c)?b24×(?1)=4
∴b2＝4c+16
∵0＜﹣c＜4
∴﹣16＜4c＜0
∴0＜4c+16＜16
∴0＜b2＜16
∴0＜b＜4
∴②正確；
∵a＝﹣1，
∴該拋物線的開口方向及大小是一定的
又∵頂點(diǎn)D在y軸右側(cè)的直線l：y＝4上
∴該拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離AB是定值，
故可令b＝2
則c＝﹣3
此時(shí)拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+3
由﹣x2+2x+3＝0
得x1＝﹣1，x2＝3
故AB＝4
∴③正確；
S△ABD＝4×4÷2＝8
故④正確；
綜上，故選：D．
5．（2022?丹東）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（5，0），與y軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸為直線x＝2，結(jié)合圖象分析如下結(jié)論：①abc＞0；②b+3a＜0；③當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；④若一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，則點(diǎn)E（k，b）在第四象限；⑤點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，若CM⊥AM，則a=66．其中正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】①正確，根據(jù)拋物線的位置判斷即可；
②正確，利用對(duì)稱軸公式，可得b＝﹣4a，可得結(jié)論；
③錯(cuò)誤，應(yīng)該是x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；
④正確，判斷出k＞0，可得結(jié)論；
⑤正確，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），過點(diǎn)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)K．利用相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方程求出a即可．
【解答】解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵對(duì)稱軸是直線x＝2，
∴?b2a=2，
∴b＝﹣4a＜0
∵拋物線交y軸的負(fù)半軸，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正確，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②正確，
觀察圖象可知，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y隨x的增大而減小，故③錯(cuò)誤，
一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，
∵b＜0，
∴k＞0，此時(shí)E（k，b）在第四象限，故④正確．
∵拋物線經(jīng)過（﹣1，0），（5，0），
∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
過點(diǎn)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)K．
∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，
∴MHMK=CHAK，
∴2?9a=?4a3，
∴a2=16，
∵a＞0，
∴a=66，故⑤正確，
故選：D．
6．（2022?鶴峰縣二模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B位于（4，0）、（5，0）之間，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝2，直線y＝﹣x+c與拋物線y＝ax2+bx+c交于C，D兩點(diǎn)，D點(diǎn)在x軸上方且橫坐標(biāo)小于5，則下列結(jié)論：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③m（am+b）＜4a+2b（其中m為任意實(shí)數(shù)）；④a＜﹣1，其中正確的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④
【分析】利用拋物線與y軸的交點(diǎn)位置得到c＞0，利用對(duì)稱軸方程得到b＝﹣4a，則4a+2b+c＝c＞0，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（﹣1，0）右側(cè)，則當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，于是可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到x＝2時(shí)，二次函數(shù)有最大值，則am2+bm+c≤4a+2b+c，即，m（am+b）≤4a+2b，于是可對(duì)③進(jìn)行判斷；由于直線y＝﹣x+c與拋物線y＝ax2+bx+c交于C、D兩點(diǎn)，D點(diǎn)在x軸上方且橫坐標(biāo)小于5，利用函數(shù)圖象得x＝5時(shí)，一次函數(shù)值比二次函數(shù)值大，即25a+5b+c＜﹣5+c，然后把b＝﹣4代入解a的不等式，則可對(duì)④進(jìn)行判斷；
【解答】解：∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2∴b＝﹣4a，
∴4a+b+c＝4a﹣4a+c＝c＞0，所以①正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B位于（4，0）、（5，0）之間，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)位于（0，0）、（﹣1，0）之間，
即當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，也就是a﹣b+c＜0，因此②正確；
∵對(duì)稱軸為x＝2，
∴x＝2時(shí)的函數(shù)值大于或等于x＝m時(shí)函數(shù)值，即，當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)值最大，
∴am2+bm+c≤4a+2b+c，
即，m（am+b）≤4a+2b，因此③不正確；
∵直線y＝﹣x+c與拋物線y＝ax2+bx+c交于C、D兩點(diǎn)，D點(diǎn)在x軸上方且橫坐標(biāo)小于5，
∴x＝5時(shí)，一次函數(shù)值比二次函數(shù)值大，
即25a+5b+c＜﹣5+c，
而b＝﹣4a，
∴25a﹣20a＜﹣5，解得a＜﹣1，因此④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①②④，
故選：C．
7．（2022秋?朝陽(yáng)期中）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)（﹣3，0），其對(duì)稱軸為直線x=?12，結(jié)合圖象分析下列結(jié)論：①abc＞0；②3a+c＞0；③當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的兩根分別為x1=?13，x2=12；⑤若m，n（m＜n）為方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的兩個(gè)根，則m＜﹣3且n＞2，其中正確的結(jié)論有（ ）個(gè)．
A．2B．3C．4D．5
【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對(duì)稱軸位置，拋物線與y軸交點(diǎn)位置判斷①．由對(duì)稱軸為直線x=?12可得a＝b，根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，0）可得6a+c＝0，再由a＜0可判斷②．由圖象對(duì)稱軸及開口方向③．由拋物線經(jīng)過（﹣3，0）可得拋物線經(jīng)過（2，0），進(jìn)而可得?b?b2?4ac2a=?3，?b+b2?4ac2a=2，因?yàn)閏x2+bx+a＝0的根為x=?b+b2?4ac2c和x=?b?b2?4ac2c，將a與c的關(guān)系代入求解可判斷④．將a（x+3）（x﹣2）+3＝0轉(zhuǎn)化為拋物線與直線y＝﹣3的交點(diǎn)可判斷⑤．
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=?b2a=?12，
∴b＝a＜0，
∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，①正確，符合題意．
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∵a＝b，
∴6a+c＝3a+3a+c＝0，
∵a＜0，
∴3a+c＞0，②正確，符合題意．
由圖象可得x＜?12時(shí)，y隨x增大而增大，
∴③錯(cuò)誤，不符合題意．
由cx2+bx+a＝0可得方程的解為x=?b+b2?4ac2c和x=?b?b2?4ac2c，
∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過（﹣3，0），對(duì)稱軸為直線x=?12，
∴拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為（2，0），
∴x＝﹣3和x＝2是方程ax2+bx+c＝0的根，
∴?b?b2?4ac2a=?3，?b+b2?4ac2a=2，
∵6a+c＝0，
∴c＝﹣6a，
∴?b+b2?4ac2c=?13，?b?b2?4ac2c=12，④正確，符合題意．
∵拋物線經(jīng)過（﹣3，0），（2，0），
∴y＝a（x+3）（x﹣2），
將a（x+3）（x﹣2）+3＝0化為a（x+3）（x﹣2）＝﹣3，
由圖象得拋物線與直線y＝﹣3交點(diǎn)在x軸下方，
∴m＜﹣3且n＞2，⑤正確，符合題意．
故選：C．
8．（2022?河?xùn)|區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+bx+c開口向下，與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），與y軸的交點(diǎn)在（0，2），（0，3）之間（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：①2a+b＝0；②﹣1≤a≤?23；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0總成立；④關(guān)于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】由拋物線開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)判斷a、b、c的關(guān)系，由頂點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)公式推斷a、b的關(guān)系及n與a、b、c的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)判斷c的取值范圍，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行推斷．
【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n）
∴?b2a=1，4ac?b24a=n
∴2a+b＝0
故①正確．
∵拋物線與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0）
∴a﹣b+c＝0
∴c＝b﹣a
由①知：2a+b＝0，即b＝﹣2a
∴c＝﹣2a﹣a＝﹣3a
又∵拋物線與y軸的交點(diǎn)（0，c）在（0，2），（0，3）之間（含端點(diǎn)）
∴2≤c≤3
∴2≤﹣3a≤3
∴?1≤a≤?23
故②正確．
∵拋物線y＝ax2+bx+c開口向下
∴a＜0
又∵a（m2﹣1）+b（m﹣1）＝am2+bm﹣a﹣b（a≠0）
令g＝am2+bm﹣a﹣b
∴關(guān)于m的二次函數(shù)g＝am2+bm﹣a﹣b開口向下
若對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0總成立
故需判斷Δ＝b2﹣4a（﹣a﹣b）與0的數(shù)量關(guān)系
由以上分析知：b＝﹣2a
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a（﹣a+2a）＝0
故③正確．
由以上分析知：a＜0，b=?2a，c=?3a，n=4ac?b24a
∴n=4a?(?3a)?(?2a)24a=?4a
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n+1）＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a+4a+1）＝﹣4a＞0
∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
故④正確
故選：D．
9．（2022?遼寧）拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，直線y＝kx+c與拋物線都經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，0）．下列說法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）與（12，y2）是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，則y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣3，x2＝1；⑤當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】利用圖象的信息與已知條件求得a，b的關(guān)系式，利用待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)每個(gè)結(jié)論進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵拋物線的開口方向向下，
∴a＜0．
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∴?b2a=?1，
∴b＝2a，b＜0．
∵a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴①的結(jié)論正確；
∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∴9a﹣3×2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴4a+c＝a＜0，
∴②的結(jié)論不正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∴點(diǎn)（﹣2，y1）關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為（0，y1），
∵a＜0，
∴當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小．
∵12＞0＞﹣1，
∴y1＞y2．
∴③的結(jié)論不正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，0），
∴拋物線一定經(jīng)過點(diǎn)（1，0），
∴拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣3，1，
∴方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣3，x2＝1，
∴④的結(jié)論正確；
∵直線y＝kx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，0），
∴﹣3k+c＝0，
∴c＝3k．
∵3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴3k＝﹣3a，
∴k＝﹣a．
∴函數(shù)y＝ax2+（b﹣k）x
＝ax2+（2a+a）x
＝ax2+3ax
＝a(x+32)2?94a，
∵a＜0，
∴當(dāng)x=?32時(shí)，函數(shù)y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，
∴⑤的結(jié)論不正確．
綜上，結(jié)論正確的有：①④，
故選：A．
10．（2022?濟(jì)南二模）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a＜0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），其對(duì)稱軸為直線x＝1，有下列結(jié)論：
①c＞0；
②9a+3b+c＞0；
③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，滿足x1＜x2，則x1＜﹣2，x2＞4；
④拋物線與直線y＝x交于P、Q兩點(diǎn)，若PQ=66，則a＝﹣1；
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）個(gè)．
A．4B．3C．2D．1
【分析】利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，依據(jù)已知條件畫出函數(shù)的大致圖象，依據(jù)圖象直接得出結(jié)論可判定①②③的正確；分別過點(diǎn)P，Q作坐標(biāo)軸的平行線，則△PHQ為等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為m，n，則m，n是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的兩根，利用韋達(dá)定理和待定系數(shù)法可得到用a的代數(shù)式表示PQ，利用PQ=66，列出方程，解方程即可求得a值，即可判定④的結(jié)論不正確．
【解答】解：∵a＜0，
∴拋物線y＝ax2+bx+c的開口方向向下．
∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），其對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴由拋物線的對(duì)稱性可得拋物線經(jīng)過點(diǎn)（4，0）．
綜上拋物線y＝ax2+bx+c的大致圖象如下：
由圖象可知：拋物線與y軸交于正半軸（0，c），
∴c＞0．
∴①的結(jié)論正確；
由圖象可知：當(dāng)﹣2＜x＜4時(shí)，函數(shù)值y＞0，
∴當(dāng)x＝3時(shí)，y＝9a+3b+c＞0．
∴②的結(jié)論正確．
作直線y＝﹣1，交拋物線于兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，如圖，
則x1，x2是方程ax2+bx+c＝﹣1的兩根，
即方程ax2+bx+c+1＝0的解為x1、x2，
由圖象可知：滿足x1＜x2，則x1＜﹣2，x2＞4，
∴③的結(jié)論正確；
如圖，分別過點(diǎn)P，Q作坐標(biāo)軸的平行線，它們交于點(diǎn)H，
則△PHQ為等腰直角三角形，
∴PH＝HQ，PQ=2HQ．
∴y=ax2+bx+cy=x．
∴ax2+（b﹣1）x+c＝0．
設(shè)點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為m，n，
∴m，n是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的兩根，
∴m+n=1?ba，mn=ca．
∴HQ＝|m﹣n|=(m?n)2=(m+n)2?4mn=(1?ba)2?4ca．
∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），其對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴4a?2b+c=0?b2a=1．
∴b=?2ac=?8a．
∴HQ=(1+2aa)2+32．
∵PQ=66，
∴2?(1+2aa)2+32=66．
解得：a＝﹣1或?13．
∴④的結(jié)論不正確；
綜上所述，正確結(jié)論有：①②③，
故選：B．
11．（2022?寧遠(yuǎn)縣模擬）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸負(fù)半軸交于（?12，0），對(duì)稱軸為直線x＝1．有以下結(jié)論：①abc＞0；②3a+c＞0；③若點(diǎn)（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函數(shù)圖象上，則y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的兩根為x1，x2且x1＜x2，則x1＜?12＜52＜x2；⑤點(diǎn)M，N是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，若在x軸下方的拋物線上存在一點(diǎn)P，使得PM⊥PN，則a的范圍為a≥22?4．其中結(jié)論正確的有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象，可以判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否成立，本題得以解決．
【解答】解：∵對(duì)稱軸為直線x＝1，函數(shù)圖象與x軸負(fù)半軸交于（?12，0），
∴x=?b2a=1，
∴b＝﹣2a，
由圖象可知a＞0，c＜0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正確；
由圖可知，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正確；拋物線開口向上，離對(duì)稱軸水平距離越大，y值越大；
又|﹣3﹣1|＝4，|3﹣1|＝2，|0﹣1|＝1，
∴y1＞y2＞y3；故③錯(cuò)誤；
由拋物線對(duì)稱性可知，拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為（52，0），
∴拋物線解析式為：y＝a（x+12）（x?52），
令a（x+12）（x?52）=14，
則a（2x+1）（2x﹣5）＝1，
如圖，作y=14，
由圖形可知，x1＜?12＜52＜x2；故④正確；
由題意可知：M，N到對(duì)稱軸的距離為32，
當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)到x軸的距離不小于32時(shí)，
在x軸下方的拋物線上存在點(diǎn)P，使得PM⊥PN，
即4ac?b24a≤?32，
∵y＝a（x+12）（x?52）＝ax2﹣2ax?54a，
∴c=?54a，b＝﹣2a，
∴4a?(?54)a?(?2a)24a≤?32，
解得：a≥23，故⑤錯(cuò)誤；
故選：B．
12．（2022?惠城區(qū)二模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，且OB＝2OC，則下列結(jié)論：①a?bc＜0；②4ac+2b＝﹣1；③a=?14；④當(dāng)b＞1時(shí)，在x軸上方的拋物線上一定存在關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N左邊），使得AN⊥BM．其中正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象可判斷a，b，c的符號(hào)，a＜0，b＞0，c＞0，從而可判斷①正確；由OB＝2OC可推出點(diǎn)B（2c，0）代入解析式化簡(jiǎn)即可判斷②正確；由拋物線與x軸的交點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（2c，0），再結(jié)合韋達(dá)定理可得x1?x2=ca=（﹣2）×（2c）＝﹣4c，可得a=?14，即可判斷③正確；根據(jù)a=?14，2b+4ac＝﹣1，可得c＝2b+1，從而可得拋物線解析式為y=?14x2+bx+（2b+1），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2b，b2+2b+1），所以對(duì)稱軸為直線x＝2b．要使AN⊥BM，由對(duì)稱性可知，∠APB＝90°，且點(diǎn)P一定在對(duì)稱軸上，則△APB為等腰直角三角形，PQ=12AB＝2+2b，得P（2b，2b+2），且2b+2＜b2+2b+1，解得b＞1或b＜﹣1，故可判斷④正確．
【解答】解：∵A（﹣2，0），OB＝2OC，
∴C（0，c），B（2c，0）．
由圖象可知，a＜0，b＞0，c＞0，
①∵a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴a?bc＜0．故①正確；
②把B（2c，0）代入解析式，得：
4ac2+2bc+c＝0，又c≠0，
∴4ac+2b+1＝0，
即2b+4ac＝﹣1，故②正確；
③∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（2c，0），
∴x1＝﹣2和x2＝2c為相應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根，
由韋達(dá)定理可得：x1?x2=ca=（﹣2）×（2c）＝﹣4c，
∴a=?14．故③正確；
④∵a=?14，2b+4ac＝﹣1，
∴c＝2b+1．
故原拋物線解析式為y=?14x2+bx+（2b+1），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2b，b2+2b+1）．
∴對(duì)稱軸為直線x＝2b．
要使AN⊥BM，由對(duì)稱性可知，∠APB＝90°，且點(diǎn)P一定在對(duì)稱軸上，
∵△APB為等腰直角三角形，Q是AB中點(diǎn)，
∴PQ=12AB=12[4b+2﹣（﹣2）]＝2b+2，
∴P（2b，2b+2），且有2b+2＜b2+2b+1，
整理得：b2＞1，
解得：b＞1或b＜﹣1，故④正確．
綜上所述，正確的有4個(gè)，
故選：D．
13．（2022秋?大石橋市期末）如圖所示是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（3，0）和（4，0）之間，則下列結(jié)論：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1沒有實(shí)數(shù)根．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】根據(jù)圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝1可得拋物線與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)在（﹣1，0），（﹣2，0）之間，從而判斷①．由對(duì)稱軸為直線x＝1可得b與a的關(guān)系，將b＝﹣2a代入函數(shù)解析式根據(jù)圖象可判斷②由ax2+bx+c＝n有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根可得Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，從而判斷③．由函數(shù)最大值為y＝n可判斷④．
【解答】解：∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，
∵圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（3，0），（4，0）之間，
∴圖象與x軸另一交點(diǎn)在（﹣1，0），（﹣2，0）之間，
∴x＝﹣1時(shí)，y＞0，
即a﹣b+c＞0，
故①正確，符合題意．
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=?b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
∴x＝﹣1時(shí)，y＝3a+c＞0，
故②正確，符合題意．
∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），
∴ax2+bx+c＝n有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，
∴b2＝4a（c﹣n），
故③正確，符合題意．
∵y＝ax2+bx+c的最大函數(shù)值為y＝n，
∴ax2+bx+c＝n+1沒有實(shí)數(shù)根，
故④正確，符合題意．
故選：D．
14．（2022?恩施州）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于（﹣3，0），頂點(diǎn)是（﹣1，m），則以下結(jié)論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，則x≤﹣2或x≥0；④b+c=12m．其中正確的有（ ）個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
【分析】①由拋物線的開口方向、對(duì)稱軸以及與y軸的交點(diǎn)，可得a、b、c的符號(hào)，進(jìn)而可得abc的符號(hào)，結(jié)論①錯(cuò)誤；
②由拋物線與x軸交于（﹣3，0），頂點(diǎn)是（﹣1，m），可判斷出拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＞0，結(jié)論②正確；
③由題意可知對(duì)稱軸為：直線x＝﹣1，即?b2a=?1，得b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c并化簡(jiǎn)得：x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可判斷出結(jié)論③正確；
④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c并計(jì)算可得b=?12m，由對(duì)稱軸可得b＝2a，∴a=?14m，由a+b+c＝0可得c=34m，再計(jì)算b+c的值，可判斷④錯(cuò)誤．
【解答】解：①∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸在y軸左邊，與y軸交于負(fù)半軸，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，
故結(jié)論①錯(cuò)誤；
②∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于（﹣3，0），頂點(diǎn)是（﹣1，m），
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），
∵拋物線開口向上，
∴當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＞0，
故結(jié)論②正確；
③由題意可知對(duì)稱軸為：直線x＝﹣1，
∴x=?b2a=?1，
∴b＝2a，
把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：
ax2+2ax+c＝c，
∴x2+2x＝0，
解得x＝0或﹣2，
∴當(dāng)y≥c，則x≤﹣2或x≥0，
故結(jié)論③正確；
④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：
a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，
∴b=?12m，
∵b＝2a，
∴a=?14m，
∵拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴c=34m，
∴b+c=?12m+34m=14m，
故選：B．
15．（2022?開福區(qū)模擬）如圖，是拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（1，3），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B（4，0），直線y2＝mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，下列結(jié)論：①2a+b＝0；②拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；④當(dāng)1＜x＜4時(shí)，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；則x1+x2＝1．則命題正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)
【分析】①根據(jù)對(duì)稱軸可以判斷；②根據(jù)已知交點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸可以判斷；③根據(jù)圖象性質(zhì)向下平移3個(gè)單位即可判斷；④根據(jù)圖象性質(zhì)即可判斷；⑤根據(jù)圖象對(duì)稱性即可判斷．
【解答】解：①∵對(duì)稱軸為直線x=?b2a=1，
則：2a+b＝0正確；
②∵對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是B（4，0），則與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（﹣2，0），
故②正確；
③將拋物線y1=ax2+bx+c向下平移3個(gè)單位，得到y(tǒng)＝ax2+bx+c﹣3，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)椋?，0），
∴此時(shí)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴方程ax2+bx+c＝3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根正確；
④當(dāng)1＜x＜4時(shí)，有圖象可知y2＜y1正確；
⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，
則ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，
即y1＝y(tǒng)2，
∴x1、x2關(guān)于函數(shù)的對(duì)稱軸對(duì)稱，
由①知函數(shù)對(duì)稱軸為直線x=?b2a=1，
故12（x1+x2）＝1，
∴⑤不正確，
故選：B．
二．填空題（共15小題）
16．（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），與y軸的交點(diǎn)B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線x＝1．下列結(jié)論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④13＜a＜23；⑤b＞c．其中正確結(jié)論有 ①③④⑤ （填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．
【分析】根據(jù)對(duì)稱軸為直線x＝1及圖象開口向下可判斷出a、b、c的符號(hào)，從而判斷①；根據(jù)對(duì)稱軸得到函數(shù)圖象經(jīng)過（3，0），則得②的判斷；根據(jù)圖象經(jīng)過（﹣1，0）可得到a、b、c之間的關(guān)系，從而對(duì)②⑤作判斷；利用4ac?b24a＜?1，可判斷③；從圖象與y軸的交點(diǎn)B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間可以判斷c的大小得出④的正誤．
【解答】解：①∵函數(shù)開口方向向上，
∴a＞0；
∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè)
∴ab異號(hào)，
∵拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正確；
②∵圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0），
∴當(dāng)x＝2時(shí)，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②錯(cuò)誤；
③∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與y軸的交點(diǎn)在（0，﹣1）的下方，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，a＞0，
∴最小值：4ac?b24a＜?1，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣4a；
∴③正確；
④∵圖象與y軸的交點(diǎn)B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴23＞a＞13；
故④正確
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正確．
綜上所述，正確的有①③④⑤，
故答案為：①③④⑤．
17．（2022秋?金牛區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的實(shí)數(shù)），其中正確結(jié)論的序號(hào)有 ①③④ ．
【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
【解答】解：①由圖象可知：a＜0，c＞0，
∵?b2a＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故此選項(xiàng)正確；
②當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，故a﹣b+c＞0，錯(cuò)誤；
③由對(duì)稱知，當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此選項(xiàng)正確；
④當(dāng)x＝3時(shí)函數(shù)值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x=?b2a=1，
即a=?b2，代入得9（?b2）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此選項(xiàng)正確；
⑤當(dāng)x＝1時(shí)，y的值最大．此時(shí)，y＝a+b+c，
而當(dāng)x＝m時(shí)，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故①③④正確．
故答案為：①③④．
18．（2022?宜賓）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的頂點(diǎn)為D，其圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．下面五個(gè)結(jié)論：
①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有當(dāng)a=12時(shí)，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB為等腰三角形的a的值可以有三個(gè)．
那么，其中正確的結(jié)論是 ①④ ．
【分析】先根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3確定出AB的長(zhǎng)及對(duì)稱軸，再由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
【解答】解：①∵圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，
∴AB＝4，
∴對(duì)稱軸x=?b2a=1，
即2a+b＝0；
故①正確；
②由拋物線的開口方向向上可推出a＞0，而?b2a＞0
∴b＜0，
∵對(duì)稱軸x＝1，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故②錯(cuò)誤；
③∵圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，
∴10a+2b+2c＝0，
∴5a+b+c＝0，
∴a+4a+b+c＝0，
∵a＞0，
∴4a+b+c＜0，
故③錯(cuò)誤；
④要使△ABD為等腰直角三角形，必須保證D到x軸的距離等于AB長(zhǎng)的一半；
D到x軸的距離就是當(dāng)x＝1時(shí)y的值的絕對(duì)值．
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c，
即|a+b+c|＝2，
∵當(dāng)x＝1時(shí)y＜0，
∴a+b+c＝﹣2，
又∵圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，
∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)y＝0即a﹣b+c＝0；
x＝3時(shí)y＝0．
∴9a+3b+c＝0，
解這三個(gè)方程可得：b＝﹣1，a=12，c=?32；
⑤要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
當(dāng)AB＝BC＝4時(shí)，
∵AO＝1，△BOC為直角三角形，
又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，
∴c=?7，
與2a+b＝0、a﹣b+c＝0聯(lián)立組成解方程組，解得a=73；
同理當(dāng)AB＝AC＝4時(shí)，
∵AO＝1，△AOC為直角三角形，
又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，
∴c=?15
與2a+b＝0、a﹣b+c＝0聯(lián)立組成解方程組，解得a=153；
同理當(dāng)AC＝BC時(shí)
在△AOC中，AC2＝1+c2，
在△BOC中BC2＝c2+9，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程無解．
經(jīng)解方程組可知只有兩個(gè)a值滿足條件．
故⑤錯(cuò)誤．
故答案為：①④．
19．（2022?荊門）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸為直線x＝1，給出下列結(jié)論：①abc＜0；②若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），則△ABC的面積可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線上兩點(diǎn)（x1＜x2），若x1+x2＞2，則y1＜y2；④若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣1），則方程ax2+bx+c+1＝0的兩根為﹣1，3．其中正確結(jié)論的序號(hào)為 ①④ ．
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解．
【解答】解：①拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正確，符合題意；
②△ABC的面積=12AB?yC=12×AB×2＝2，解得：AB＝2，則點(diǎn)A（0，0），即c＝0與圖象不符，故②錯(cuò)誤，不符合題意；
③函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝1，若x1+x2＞2，則12（x1+x2）＞1，則點(diǎn)N離函數(shù)對(duì)稱軸遠(yuǎn)，故y1＞y2，故③錯(cuò)誤，不符合題意；
④拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣1），則y′＝ax2+bx+c+1過點(diǎn)（3，0），
根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸該拋物線也過點(diǎn)（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的兩根為﹣1，3，故④正確，符合題意；
故答案為：①④．
20．（2022?霍林郭勒市模擬）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)（﹣2，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論中一定正確的是 ①②④ （填序號(hào)即可）．①abc＞0；②若A（x1，m），B（x2，m）是拋物線上的兩點(diǎn)，當(dāng)x＝x1+x2時(shí)，y＝c；③若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的兩根為x1，x2，且x1＜x2，則﹣2＜x1＜x2＜4；④（a+c）2＞b2．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案．
【解答】解：①函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①正確，符合題意；
②∵A（x1，m），B（x2，m）是拋物線上的兩點(diǎn)，
由拋物線的對(duì)稱性可知：x1+x2＝1×2＝2，
∴當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故②正確，符合題意；
③拋物線與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的兩根為x1，x2，
則x1、x2為拋物線與直線y＝2的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∵x1＜x2，
∴x1＜﹣2＜4＜x2，③錯(cuò)誤，不符合題意；
④當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c＜0，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，
故（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，
故④正確，符合題意；
故答案為：①②④．
21．（2022春?蔡甸區(qū)校級(jí)月考）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，有下列結(jié)論：
①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④當(dāng)x＝﹣n2﹣2時(shí)，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的兩根，則方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的兩根m，n（m＜n）滿足m＜x1且n＞x2；其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 3個(gè)
【分析】利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合法，和二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．
【解答】解：∵拋物線的開口方向向上，
∴a＞0．
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∴?b2a=?1．
∴b＝2a．
∴b＞0．
∵拋物線與y軸交于y軸的正半軸，
∴c＞0．
∴abc＞0．
∴①的結(jié)論錯(cuò)誤；
∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0．
∴4ac﹣b2＜0．
∴②的結(jié)論正確；
由拋物線可知：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0．
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∴?b2a=?1．
∴b＝2a．
∴a﹣2a+c＜0．
∴c﹣a＜0．
∴③的結(jié)論錯(cuò)誤；
∵x＝0時(shí)，y＝c，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝c．
∵﹣n2﹣2≤﹣2，
∴由拋物線的對(duì)稱性可知：當(dāng)x＝﹣n2﹣2時(shí)，y≥c．
∴④的結(jié)論正確；
∵若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的兩根，
∴a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，A（x1，0），B（x2，0）．
設(shè)直線y＝1與拋物線交于點(diǎn)M，N，如圖，
分別過點(diǎn)M，N作x軸的垂線，垂足對(duì)應(yīng)的數(shù)字為m，n，
即方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的兩根m，n，
由圖象可得：m＜x1，n＞x2；
∴⑤的結(jié)論正確．
綜上，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3個(gè)．
故答案為：3個(gè)．
22．（2022秋?武漢期末）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＜0）的圖象經(jīng)過（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論：①bc＞0；②9a+3b+c＝0；③關(guān)于x的方程a（x+1）（x﹣3）﹣1＝0有兩根m，n，m＜n，則﹣1＜m＜n＜3；④若方程|ax2+bx+c|＝b有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為2．其中正確的是 ①②③ （填序號(hào)即可）．
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
【解答】解：①圖象開口向下，圖象經(jīng)過（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，
能得到：a＜0，c＞0，b＞0，
∴bc＞0是正確的；
②圖象經(jīng)過（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，
可得與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)（3，0），
當(dāng)x＝3時(shí)，y＝0，即9a+3b+c＝0，正確；
③將圖象向下平移一個(gè)單位，
得到y(tǒng)＝a（x+1）（x﹣3）﹣1與x軸兩個(gè)交點(diǎn)m、n，m＜n，
則﹣1＜m＜n＜3，∴正確；
④∵|ax2+bx+c|＝b，
∴ax2+bx+c＝±b，
當(dāng)ax2+bx+c﹣b＝0時(shí)，x1+x2=?ba=2，
當(dāng)ax2+bx+c+b＝0時(shí)，x1+x2=?ba=2，
∴這四個(gè)根的和為4，∴錯(cuò)誤；
故正確的是①②③．
23．（2022秋?和平區(qū)期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．有以下結(jié)論：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k為實(shí)數(shù)）；③m（am+b）≤﹣a（m為實(shí)數(shù)）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
其中正確的結(jié)論有 ①②③④⑤ （只填寫序號(hào)）．
【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對(duì)稱軸位置及拋物線與y軸交點(diǎn)位置判斷①；根據(jù)函數(shù)的增減性可判斷②；由拋物線開口方向及對(duì)稱軸可得x＝﹣1時(shí)y最大，從而判斷③；由對(duì)稱軸可得b＝2a，由x＝﹣1時(shí)y＜0可判斷④；根據(jù)函數(shù)y＝ax2+bx+c與y＝﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)可判斷⑤．
【解答】解：由圖象可知：a＜0，c＞0，
又∵對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，
∴根據(jù)對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，a，b同號(hào)，可得b＜0，
∴abc＞0，
故①正確；
∵對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，拋物線開口向下，
∴當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小，
∵k是實(shí)數(shù)，
∴k2+2＞k2+1＞﹣1，
∴a（k2+2）2+b（k2+2）+c＜a（k2+1）2+b（k2+1）+c，
即a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1），
故②正確；
∵拋物線對(duì)稱軸為x=?b2a=?1，
∴b＝2a，
∵拋物線開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，a﹣b+c）
∴y最大＝a﹣b+c＝﹣a+c，
∴am2+bm+c≤﹣a+c，
即m（am+b）≤﹣a，
故③正確；
由圖象知，x＝1時(shí)，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∵b＝2a，
∴3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，
故④正確；
根據(jù)圖象可知，函數(shù)y＝ax2+bx+c與y＝﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴ax2+bx+c+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故⑤正確，
故答案為：①②③④⑤．
24．（2022?武漢模擬）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＞0，c≠0）經(jīng)過A（x1，y1），B（x2，y2），C（c，0）三點(diǎn)，x1＜x2，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝m．下列四個(gè)結(jié)論：①ac+b+1＝0；②若點(diǎn)m＜x1，則y1＜y2；③若m＝2，y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝4；④對(duì)于x1+x2＞8，都有y1＜y2，則m＜4．則結(jié)論正確的為 ①②③ ．（填序號(hào)）
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)逐個(gè)求解即可．
【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＞0，c≠0）經(jīng)過A（x1，y1），B（x2，y2），C（c，0）三點(diǎn)，x1＜x2，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝m．
∵過C（c，0），
∴0＝ac2+bc+c
∵c≠0
∴＝c（ac+b+1），
∴ac+b+1＝0，m＜x1，故①正確；
∵m＜x1，x1＜x2，
∴A、B兩點(diǎn)，在對(duì)稱軸右側(cè)，
∵a＞0，開口向上，
∵在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，
∴y1＜y2，故②正確；
當(dāng)m＝2，則對(duì)稱軸x=?b2a=2，
∴b＝﹣4a，
∵y1＝y(tǒng)2，
∴ax12+bx1+c=ax22+bx2+c，
∴a(x12?x22)=b(x2?x1)
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）＝﹣4a（x2﹣x1），
∴x1+x2＝4，故③正確；
若點(diǎn)m≤4，則y1＜y2，
∴?b2a＜4，
∴b＞﹣8a，
ax12+bx1+c＜ax22+bx2+c，
a(x12?x22)＜b(x2?x1)，
a（x1+x2）＜﹣b＜8a，
a（x1+x2）＜8a，
x1+x2＞8，都有y1＜y2，則m≤4．
故④錯(cuò)誤；
故答案為：①②③．
25．（2022秋?八步區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．其中正確的結(jié)論有 4 個(gè)．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：拋物線開口向下，因此a＜0，對(duì)稱軸為x＝1＞0，因此a、b異號(hào)，所以b＞0，拋物線與y軸交點(diǎn)在正半軸，因此c＞0，所以abc＜0，于是①正確；
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?b2a=1，因此有2a+b＝0，故④正確；
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，而2a+b＝0，所以3a+c＜0，故②不正確；
拋物線與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，因此b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故⑤正確；
拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在﹣1與0之間，因此另一個(gè)交點(diǎn)在2與3之間，于是當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＞0，因此③正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有：①③④⑤，
故答案為：4．
26．（2022?桂平市模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3、1，與y軸交于點(diǎn)C，下面四個(gè)結(jié)論：①16a+4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（52，y2）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y1＞y2；③c＝﹣3a；④若△ABC是等腰三角形，則b=?273或?2153．其中正確的有 ①③④ ．（請(qǐng)將正確結(jié)論的序號(hào)全部填在橫線上）
【分析】①根據(jù)拋物線開口方向和與x軸的兩交點(diǎn)可知：當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；
②根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3，1確定對(duì)稱軸是：x＝﹣1，可得：（﹣4.5，y3）與Q（52，y2）是對(duì)稱點(diǎn)，所以y1＜y2；
③根據(jù)對(duì)稱軸和x＝1時(shí)，y＝0可得結(jié)論；
④要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，先計(jì)算c的值，再聯(lián)立方程組可得結(jié)論．
【解答】解：①∵a＜0，
∴拋物線開口向下，
∵圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3，1，
∴當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＜0，
即16a﹣4b+c＜0；
故①正確；
②∵圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3，1，
∴拋物線的對(duì)稱軸是：x＝﹣1，
∵P（﹣5，y1），Q（52，y2），
﹣1﹣（﹣5）＝4，52?（﹣1）＝3.5，
由對(duì)稱性得：（﹣4.5，y3）與Q（52，y2）是對(duì)稱點(diǎn)，
∴則y1＜y2；
故②不正確；
③∵?b2a=?1，
∴b＝2a，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即a+b+c＝0，
3a+c＝0，
c＝﹣3a，故③正確；
④要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
當(dāng)AB＝BC＝4時(shí)，
∵BO＝1，△BOC為直角三角形，
又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，
∴c=15，
與b＝2a、a+b+c＝0聯(lián)立組成解方程組，解得b=?2153；
同理當(dāng)AB＝AC＝4時(shí)，
∵AO＝3，△AOC為直角三角形，
又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，
∴c=7，
與b＝2a、a+b+c＝0聯(lián)立組成解方程組，解得b=?273；
同理當(dāng)AC＝BC時(shí)，
在△AOC中，AC2＝9+c2，
在△BOC中BC2＝c2+1，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程無實(shí)數(shù)解．
經(jīng)解方程組可知有兩個(gè)b值滿足條件．
故④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是①③④．
故答案是：①③④．
27．（2022?武漢模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論：
①關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；②abc＞0；③a+b＝c﹣b；④y最大值=43c；⑤a+4b＝3c中正確的有 ①③④ （填寫正確的序號(hào)）
【分析】①由拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸為x＝1，利用對(duì)稱性得到另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出ax2+bx+c＝0的兩個(gè)解為﹣1，3，判斷選項(xiàng)①；
②由拋物線開口向下得到a小于0，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，得到b大于0，與y軸交點(diǎn)在正半軸得到c大于0，進(jìn)而得到abc小于0，判斷選項(xiàng)②；
③根據(jù)對(duì)稱軸x＝1和過（﹣1，0），代入可得：b＝﹣2a，c＝b﹣a，判斷選項(xiàng)③；
④將a=?13c，b＝﹣2a代入頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)y=4ac?b24a中，判斷選項(xiàng)④；
⑤將a=?13c，b＝﹣2a代入a+4b中計(jì)算，判斷選項(xiàng)⑤．
【解答】解：①∵拋物線與x軸一個(gè)交點(diǎn)為（3，0），且對(duì)稱軸為x＝1，
∴拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），
即關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解為﹣1，3，
選項(xiàng)①正確；
②∵二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，與y軸交點(diǎn)在正半軸，
∴ab＜0，c＞0，即abc＜0，
選項(xiàng)②錯(cuò)誤；
③由對(duì)稱軸是：x＝1=?b2a，得b＝﹣2a，
∴a+b＝a﹣2a＝﹣a，
∵拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c﹣b＝﹣a，
∴a+b＝c﹣b，
選項(xiàng)③正確；
④由a﹣b+c＝0和b＝﹣2a得：a=?13c，
∴y最大值=4ac?b24a=c?b24a=c?4a24a=c﹣（?13c）=4c3，
選項(xiàng)④正確；
⑤∵a+4b＝a﹣8a＝﹣7a＝﹣7×(?13c)=7c3，
選項(xiàng)⑤錯(cuò)誤；
綜上所述，本題正確的結(jié)論有：①③④；
故答案為：①③④．
28．（2022?東西湖區(qū)模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖形經(jīng)過點(diǎn)（1，2），且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列結(jié)論：①abc＜0；②a＜b＜﹣2a；③b2+8a＜4ac；④﹣1＜a＜0．其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ①② ．
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，根據(jù)對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，a，b異號(hào)，b＞0，判斷①；根據(jù)對(duì)稱軸小于1，判斷②；根據(jù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于2判斷③，根據(jù)圖象經(jīng)過（1，2）判斷④．
【解答】解：∵拋物線的開口向下，∴a＜0，
∵拋物線與y軸的正半軸相交，∴c＞0，
∵對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，a，b異號(hào)，∴b＞0，
∴①abc＜0，正確；
∵?b2a＜1，
∴b＜﹣2a，
∴②a＜b＜﹣2a正確；
由于拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)大于2，即：4ac?b24a＞2，
由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故③錯(cuò)誤，
由題意知，a+b+c＝2，（1）
a﹣b+c＜0，（2）
4a+2b+c＜0，（3）
把（1）代入（3）得到：4a+b+2﹣a＜0，
則a＜?b?23．
由（1）代入（2）得到：b＞1．
則a＜﹣1．故④錯(cuò)誤．
綜上所述，正確的結(jié)論是①②．
故答案為①②．
29．（2022?越秀區(qū)校級(jí)一模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3、1，與y軸交于點(diǎn)C，下面四個(gè)結(jié)論：
①16a+4b+c＞0：
②若P（﹣5，y1），Q（52，y2）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y1＜y2；
③c＝3a；
④若△ABC是等腰三角形，則b=?273或?2153．
其中正確的有 ②④ ．（請(qǐng)將正確結(jié)論的序號(hào)全部填在橫線上）
【分析】①根據(jù)拋物線開口方向和與x軸的兩交點(diǎn)可知：當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；
②根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3，1確定對(duì)稱軸是：x＝﹣1，可得：（﹣4.5，y3）與Q（52，y2）是對(duì)稱點(diǎn)，所以y1＜y2；
③根據(jù)對(duì)稱軸和x＝1時(shí)，y＝0可得結(jié)論；
④要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，先計(jì)算c的值，再聯(lián)立方程組可得結(jié)論．
【解答】解：①∵a＜0，
∴拋物線開口向下，
∵圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3，1，
∴當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＜0，
即16a﹣4b+c＜0；
故①錯(cuò)誤，不符合題意；
②∵圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3，1，
∴拋物線的對(duì)稱軸是：x＝﹣1，
∵P（﹣5，y1），Q（52，y2），
﹣1﹣（﹣5）＝4，52?（﹣1）＝3.5，
由對(duì)稱性得：（﹣4.5，y3）與Q（52，y2）是對(duì)稱點(diǎn)，
∴則y1＜y2；
故②正確，符合題意；
③∵?b2a=?1，
∴b＝2a，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即a+b+c＝0，
∴3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
故③錯(cuò)誤，不符合題意；
④要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
當(dāng)AB＝BC＝4時(shí)，
∵BO＝1，△BOC為直角三角形，
又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，
∴c=15，
與b＝2a、a+b+c＝0聯(lián)立組成解方程組，解得b=?2153；
同理當(dāng)AB＝AC＝4時(shí)，
∵AO＝3，△AOC為直角三角形，
又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，
∴c=7，
與b＝2a、a+b+c＝0聯(lián)立組成解方程組，解得b=?273；
同理當(dāng)AC＝BC時(shí)，
在△AOC中，AC2＝9+c2，
在△BOC中，BC2＝c2+1，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程無實(shí)數(shù)解．
經(jīng)解方程組可知有兩個(gè)b值滿足條件．
故④正確，符合題意．
綜上所述，正確的結(jié)論是②④．
故答案是：②④．
30．（2022?硚口區(qū)模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），（x0，0），1＜x0＜2，與y軸的負(fù)半軸相交，且交點(diǎn)在（0，﹣2）的上方，下列四個(gè)結(jié)論中一定正確的是 ①②③ ．
①b＞0；②2a﹣b﹣1＜0；③2a+c＜0；④a＜3b．（填序號(hào)即可）
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線對(duì)稱軸的位置判斷b與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
【解答】解：如圖：
①由圖象開口向上知a＞0，
由y＝ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，0 ），且1＜x0＜2，
該拋物線的對(duì)稱軸為x=?b2a，由于0＞?2+x02，即0＜ba＜1，
a＞0，所以b＞0；故①正確；
②當(dāng)x＝﹣2時(shí)，4a﹣2b+c＝0，
∴c＝﹣4a+2b．
∵c＞﹣2，
∴﹣4a+2b＞﹣2，
∴4a﹣2b﹣2＜0，
∴2a﹣b﹣1＜0，
故②正確；
③∵把（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c得：4a﹣2b+c＝0，
∴即2b＝4a+c＞0（因?yàn)閎＞0），
∵當(dāng)x＝1時(shí)，a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∴6a+3c＜0，
即2a+c＜0，
故③正確；
④由x=?13時(shí)，19a?13b+c＜0得a﹣3b＜﹣9c，而﹣2＜c＜0，
∴a﹣3b＜0，或a﹣3b＜18．
∴無法判斷a與3b的大小，
故④錯(cuò)誤．
綜上所述，正確的結(jié)論是①②③．
故答案為：①②③．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…

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