目 錄
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154730747" 01 非常規(guī)空間幾何體為載體 PAGEREF _Tc154730747 \h 2
\l "_Tc154730748" 02 立體幾何探索性問題 PAGEREF _Tc154730748 \h 4
\l "_Tc154730749" 03 立體幾何折疊問題 PAGEREF _Tc154730749 \h 6
\l "_Tc154730750" 04 立體幾何作圖問題 PAGEREF _Tc154730750 \h 8
\l "_Tc154730751" 05 立體幾何建系繁瑣問題 PAGEREF _Tc154730751 \h 11
\l "_Tc154730752" 06 兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題 PAGEREF _Tc154730752 \h 13
\l "_Tc154730753" 07 利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系 PAGEREF _Tc154730753 \h 15
\l "_Tc154730754" 08 空間中的點(diǎn)不好求 PAGEREF _Tc154730754 \h 17
\l "_Tc154730755" 09 創(chuàng)新定義 PAGEREF _Tc154730755 \h 20
01 非常規(guī)空間幾何體為載體
1．（2023·四川南充·模擬預(yù)測）如圖所示，在圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)，為底面圓圓心，是圓的直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形是矩形．

(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面；
(2)若，求直線與平面所成角的余弦值．
2．（2023?新高考Ⅱ）如圖，三棱錐中，，，，為中點(diǎn)．
（1）證明；
（2）點(diǎn)滿足，求二面角的正弦值．
3．（2023·河南·高二漯河高中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四棱臺(tái)中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，，上、下底面中心的連線NM垂直于上、下底面，且NM與側(cè)面所成角的正切值為．
(1)求點(diǎn)A到平面的距離；
(2)求二面角的余弦值．
4．（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）如圖，四棱臺(tái)中，上?下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，，分別為的中點(diǎn)，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側(cè)棱所在直線所成的角為.

(1)求證：∥平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離；
(3)邊上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請(qǐng)說明理由
02 立體幾何探索性問題
5．（2023?新高考Ⅰ）如圖，在正四棱柱中，，．點(diǎn)，，，分別在棱，，，上，，，．
（1）證明：；
（2）點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．
6．（2023·北京·高三北京八中?？计谥校┝w除是《九章算術(shù)》中記載的一種五面體．如圖五面體ABCDEF，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，其中，，，，M為AD中點(diǎn)，平面BCEF與平面ADEF交于EF．再從條件①，條件②，條件③中選擇一個(gè)作為已知，使得羨除ABCDEF能夠確定，然后解答下列各題：
(1)求證：平面CDE；
(2)求二面角的余弦值．
(3)在線段AE上是否存在點(diǎn)Q，使得MQ與平面ABE所成的角的正弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
條件①：平面平面ABCD；
條件②：平面平面ABCD；
條件③：．
7．（2021?甲卷）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，．
（1）證明：；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最?。?br>8．（2021?北京）如圖，在正方體，為的中點(diǎn)，交平面交于點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：為的中點(diǎn)；
（Ⅱ）若點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面相互垂直，已知．

(1)求證：；
(2)在線段BE上是否存在一點(diǎn)P，使得平面平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
03 立體幾何折疊問題
10．（2023·江蘇蘇州·高三蘇州市相城區(qū)陸慕高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圖①中四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，沿將所在圓面翻折至如圖②所示的位置，使得.

(1)若，證明：；
(2)若，求二面角余弦值的最小值.
11．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在梯形中，，，，，與交于點(diǎn)，將沿翻折至，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.

(1)證明：；
(2)若平面PBC與平面PBD的夾角的余弦值為，求三棱錐的體積.
12．（2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，已知是直角梯形，，，，C、D分別為BF、AE的中點(diǎn)，，，將直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角的大小為60°，如圖2所示，設(shè)N為BC的中點(diǎn).

(1)證明：；
(2)若M為AE上一點(diǎn)，且，則當(dāng)為何值時(shí)，直線BM與平面ADE所成角的正弦值為.
13．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.
(1)若點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；
(2)若，求銳二面角的大小.
04 立體幾何作圖問題
14．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知平行六面體的底面是菱形，，，且.
(1)試在平面內(nèi)過點(diǎn)作直線，使得直線平面，說明作圖方法，并證明：直線；
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
15．（2023·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四棱錐中，底面為正方形，O為其中心，點(diǎn)E為側(cè)棱的中點(diǎn).
(1)作出過O、P兩點(diǎn)且與平行的四棱錐截面（在答題卡上作出該截面與四棱錐表面的交線，并寫出簡要作圖過程）；記該截面與棱的交點(diǎn)為M，求出比值（直接寫出答案）；
(2)若四棱錐的側(cè)棱與底面邊長均相等，求與平面所成角的正弦值.
16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知底面為平行四邊形的四棱錐中，平面與直線和直線平行，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)求作過作四棱錐的截面，使與截面平行（寫出作圖過程，不要求證明）.截面的定義：用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，平面與幾何體的表面的交線圍成的平面圖形.
17．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）如圖多面體中，面面，為等邊三角形，四邊形為正方形，，且，，分別為，的中點(diǎn).
（1）求二面角的余弦值；
（2）作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AB交點(diǎn)為P，寫出的值（不需要說明理由，保留作圖痕跡）.
18．（2023·北京·北京市十一學(xué)校校考三模）四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，.,且平面，，點(diǎn)分別是線段上的中點(diǎn)，在上.且.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面的成角的正弦值；
（Ⅲ）請(qǐng)畫出平面與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟.
05 立體幾何建系繁瑣問題
19．（2023·浙江臺(tái)州·高一統(tǒng)考期末）如圖，平面平面，四邊形為矩形，且為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，，，.

(1)當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，
（i）求證：平面；
（ii）求直線與平面所成角的正弦值；
(2)記直線與平面所成角為，平面與平面的夾角為，是否存在點(diǎn)使得?若存在，求出；若不存在，說明理由.
20．（2023·江蘇南京·高一南京外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形， 平面平面，.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值；
(3)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，試求的范圍.
21．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）如圖，四面體ABCD的頂點(diǎn)都在以AB為直徑的球面上，底面BCD是邊長為的等邊三角形，球心O到底面的距離為1．
(1)求球O的表面積；
(2)求二面角的余弦值．
22．（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，E為邊AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折為，若F為線段的中點(diǎn)．在翻折過程中，
(1)求證：平面；
(2)若二面角，求與面所成角的正弦值.
23．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）四面體中，，，，，E為AC中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)若二面角的余弦值為，求a的值．
06 兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題
24．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖,在三棱錐中,是等邊三角形,,點(diǎn)是 的中點(diǎn),連接．
（1）證明:平面平面;
（2）若,且二面角為,求直線與平面所成角的正弦值．
25．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，連接BP，DP
證明：平面平面BDP；
若，，求三棱錐的體積．
26．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，面積是面積的兩倍，點(diǎn)在側(cè)棱上.
（1）若，證明：平面平面；
（2）若二面角的大小為，且為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.
27．（2023·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）如圖所示，四面體中，是正三角形，是直角三角形，是的中點(diǎn)，且.
（1）求證：平面；
（2）過的平面交于點(diǎn)，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值.
07 利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系
28．（2023·江蘇徐州·高三統(tǒng)考期中）如圖，在三棱錐中，側(cè)面是銳角三角形，，平面平面.

(1)求證：；
(2)設(shè)，點(diǎn)在棱（異于端點(diǎn)）上，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，若二面角大于，求線段長的取值范圍.
29．（2023·江蘇常州·高三統(tǒng)考期中）已知三棱柱，，，為線段上的點(diǎn)，且滿足．

(1)求證：平面；
(2)求證：；
(3)設(shè)平面平面，已知二面角的正弦值為，求的值．
30．（2023·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正三棱臺(tái)中，側(cè)棱長為1，且為的中點(diǎn)，為上的點(diǎn)，且.

(1)證明：平面，并求出的長；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
31．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為正三角形，且分別為的中點(diǎn)，在線段上，且．

(1)求證：平面；
(2)當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值．
08 空間中的點(diǎn)不好求
32．（2023·云南臨滄·高二?？计谥校┮阎睦忮F，底面為菱形，為上的點(diǎn)，過的平面分別交于點(diǎn)，且∥平面．

(1)證明：；
(2)當(dāng)為的中點(diǎn)，與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
33．（2023·浙江·高三浙江省新昌中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是邊長為2的菱形，，平面平面，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，均為銳角.
(1)求證：；
(2)若異面直線與所成角正弦值為，四棱錐的體積為1，求二面角的平面角的余弦值.
34．（2023·廣東·高三茂名市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐中，底面是矩形，，，.
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
35．（2023·湖北·高三黃岡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在幾何體中，底面為以為斜邊的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.
(1)證明：平面；
(2)若，設(shè)為棱的中點(diǎn)，求當(dāng)幾何體的體積取最大值時(shí)與所成角的正切值.
36．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知四邊形為正方形，為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，平面平面，．
(1)求證：平面平面；
(2)求平面和平面所成角的余弦值的最小值．
37．（2023·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖甲是由梯形，組成的一個(gè)平面圖形，其中，，，，．如圖乙，將其沿，折起使得與重合，連接，直線與平面所成角為60°．
(1)證明：；
(2)求圖乙中二面角的正弦值．
09 創(chuàng)新定義
38．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知頂點(diǎn)為S的圓錐面（以下簡稱圓錐S）與不經(jīng)過頂點(diǎn)S的平面α相交，記交線為C，圓錐S的軸線l與平面α所成角θ是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線所成角θ的一半，為探究曲線C的形狀，我們構(gòu)建球T，使球T與圓錐S和平面α都相切，記球T與平面α的切點(diǎn)為F，直線l與平面α交點(diǎn)為A，直線AF與圓錐S交點(diǎn)為O，圓錐S的母線OS與球T的切點(diǎn)為M，，．
(1)求證：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，關(guān)系式；
(2)求證：曲線C是拋物線．
39．（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？级＃┓浞渴亲匀唤缱钌衿娴摹敖ㄖ敝?，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)重合為點(diǎn)所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為.
(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；
(2)若正六棱柱底面邊長為1，側(cè)棱長為2，設(shè)
（i）用表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積；
（ii）當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)的曲率的余弦值.
40．（2023·全國·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中Qi（i＝1，2，…，k，k≥3）為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍歷多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．
（1）如圖1，已知長方體A1B1C1D1﹣ABCD，AB＝BC＝1，，點(diǎn)P為底面A1B1C1D1內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則求四棱錐P﹣ABCD在點(diǎn)P處的離散曲率的最小值；
（2）圖2為對(duì)某個(gè)女孩面部識(shí)別過程中的三角剖分結(jié)果，所謂三角剖分，就是先在面部取若干采樣點(diǎn)，然后用短小的直線段連接相鄰三個(gè)采樣點(diǎn)形成三角形網(wǎng)格．區(qū)域α和區(qū)域β中點(diǎn)的離散曲率的平均值更大的是哪個(gè)區(qū)域？（確定“區(qū)域α”還是“區(qū)域β”）
41．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)重合為點(diǎn)所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；
（2）若正六棱柱的側(cè)面積一定，當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)的曲率的余弦值．

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