【考綱要求】
1.了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象.
2.了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.
3.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的有關(guān)概念
2.用“五點(diǎn)法”畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)
3.函數(shù)y＝sin x的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑
【常用結(jié)論】
1.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”.
2.由y＝sin ωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的變換：向左平移eq \f(φ,ω)個(gè)單位長(zhǎng)度而非φ個(gè)單位長(zhǎng)度.
3.對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱軸與最值點(diǎn)相聯(lián)系．y＝Asin(ωx＋φ)的圖象有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，可由方程ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)解出；它還有無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)稱中心，即圖象與x軸的交點(diǎn)，可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出．
4.相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為eq \f(T,2)，相鄰兩對(duì)稱中心間的距離也為eq \f(T,2)，函數(shù)的對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．
【方法技巧】
1.作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象常用如下兩種方法：
(1)五點(diǎn)法作圖，用“五點(diǎn)法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡(jiǎn)圖，主要是通過(guò)變量代換，設(shè)z＝ωx＋φ，由z取0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3,2)π，2π來(lái)求出相應(yīng)的x，通過(guò)列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象；
(2)圖象的變換法，由函數(shù)y＝sin x的圖象通過(guò)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象有兩種途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.
2.由f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的一段圖象求其解析式時(shí)，A比較容易由圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：
（1）如果圖象明確指出了周期T的大小和“零點(diǎn)”坐標(biāo)，那么由ω＝eq \f(2π,T)即可求出ω；確定φ時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的零點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0，則令ωx0＋φ＝0（ωx0＋φ＝π）即可求出φ.
（2）代入點(diǎn)的坐標(biāo).利用一些已知點(diǎn)（最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或零點(diǎn)）坐標(biāo)代入解析式.再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對(duì)A，ω的符號(hào)或φ的范圍有所需求，可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.
3.研究y＝Asin（ωx＋φ）的性質(zhì)時(shí)可將ωx＋φ視為一個(gè)整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題；方程根的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問(wèn)題；二是把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.
二、【題型歸類】
【題型一】函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換
【典例1】把函數(shù)y＝f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq \f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移eq \f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的圖象，則f(x)等于( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(7π,12))) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,12)))
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(7π,12))) D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,12)))
【典例2】將函數(shù)y＝sin 2x的圖象向左平移φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤φ0，ω>0，00，|φ|0，－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為eq \f(π,2)，若將函數(shù)f(x)的圖象向左平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到偶函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(7π,12)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,6)))
【題型五】三角函數(shù)模型
【典例1】如圖，某大風(fēng)車的半徑為2米，每12秒旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)O離地面1米，點(diǎn)O在地面上的射影為A.風(fēng)車圓周上一點(diǎn)M從最低點(diǎn)O開始，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)40秒后到達(dá)P點(diǎn)，則點(diǎn)P到地面的距離是________米．
【典例2】(多選)摩天輪常被當(dāng)作一個(gè)城市的地標(biāo)性建筑，如深圳前海的“灣區(qū)之光”摩天輪，如圖所示，某摩天輪最高點(diǎn)離地面高度128米，轉(zhuǎn)盤直徑為120米，設(shè)置若干個(gè)座艙，游客從離地面最近的位置進(jìn)艙，開啟后按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)t分鐘，當(dāng)t＝15時(shí)，游客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠(yuǎn)處．以下關(guān)于摩天輪的說(shuō)法中，正確的為( )
A．摩天輪離地面最近的距離為4米
B．若旋轉(zhuǎn)t分鐘后，游客距離地面的高度為h米，則h＝－60cs eq \f(π,15)t＋68
C．若在t1，t2時(shí)刻，游客距離地面的高度相等，則t1＋t2的最小值為30
D．?t1，t2∈[0,20]，使得游客在該時(shí)刻距離地面的高度均為90米
【典例3】如圖，點(diǎn)A，B分別是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1和2的圓上的動(dòng)點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)A從初始位置A0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)，sin\f(π,3)))開始，按逆時(shí)針?lè)较蛞越撬俣? rad/s做圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)B從初始位置B0(2，0)開始，按順時(shí)針?lè)较蛞越撬俣? rad/s做圓周運(yùn)動(dòng)．記t時(shí)刻，點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為y1，y2.
(1)求t＝eq \f(π,4)時(shí)，A，B兩點(diǎn)間的距離；
(2)若y＝y(tǒng)1＋y2，求y關(guān)于時(shí)間t(t＞0)的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)t∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))時(shí)，y的取值范圍．
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】如圖，將繪有函數(shù)f(x)＝eq \r(3)sin(ωx＋eq \f(5π,6))(ω>0)部分圖象的紙片沿x軸折成直二面角，若A，B之間的空間距離為eq \r(10)，則f(－1)＝________．
【訓(xùn)練二】(多選)水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個(gè)半徑為R的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)A(3eq \r(3)，－3)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)60秒，經(jīng)過(guò)t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，其縱坐標(biāo)滿足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t≥0，ω>0，|φ|0，ω>0，|φ|0，ω>0,00)，求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式H(t)；
(2)游客甲坐上摩天輪后多長(zhǎng)時(shí)間，距離地面的高度恰好為30米？
(3)若游客乙在游客甲之后進(jìn)入座艙，且中間相隔5個(gè)座艙，在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，記兩人距離地面的高度差為h米，求h的最大值．
四、【強(qiáng)化測(cè)試】
【單選題】
1. 函數(shù)f(x)＝－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))的振幅、初相分別是( )
A．－2，eq \f(π,4) B．－2，－eq \f(π,4)
C．2，eq \f(π,4) D．2，－eq \f(π,4)
2. 函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，π))上的簡(jiǎn)圖是( )
3. 函數(shù)f(x)＝tan ωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y＝2所得線段長(zhǎng)為eq \f(π,2)，則feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))的值是( )
A．－eq \r(3) B．eq \f(\r(3),3)
C．1 D．eq \r(3)
4. 將函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向右平移eq \f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的圖象的解析式是（ ）
A.y＝sin x B.y＝cs x
C.y＝sin 4x D.y＝cs 4x
5. 已知函數(shù)f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)與g(x)＝eq \f(A,2)cs ωx的部分圖象如圖所示，則( )
A．A＝1 B．A＝3
C．ω＝eq \f(π,3) D．ω＝eq \f(3,π)
6. 為得到函數(shù)y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 2x的圖象( )
A．向右平移eq \f(5π,12)個(gè)單位長(zhǎng)度
B．向左平移eq \f(5π,12)個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向右平移eq \f(5π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度
D．向左平移eq \f(5π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度
7. 已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx＋φ）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，－\f(π,2)＜φ＜\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則φ的值為（ ）
A.－eq \f(π,3) B.eq \f(π,3) C.－eq \f(π,6) D.eq \f(π,6)
8. 函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|0)的最小正周期為4π，則下列敘述中正確的是( )
A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(π,3)對(duì)稱
B．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，π)上單調(diào)遞增
C．函數(shù)f(x)的圖象向右平移eq \f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
D．函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值為－eq \f(1,2)
12. 將函數(shù)f(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))－1的圖象向左平移eq \f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)具有以下哪些性質(zhì)( )
A．最大值為eq \r(3)，圖象關(guān)于直線x＝－eq \f(π,3)對(duì)稱
B．圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
C．最小正周期為π
D．圖象關(guān)于點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))成中心對(duì)稱
【填空題】
13. 函數(shù)y＝cs(2x＋φ)(0＜φ＜π)的圖象向右平移eq \f(π,2)個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的圖象重合，則φ＝________．
14. 已知函數(shù)f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則ω＝________，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．
15. 已知曲線C1：y＝cs x，C2：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，則為了得到曲線C1，首先要把C2上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的________倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右至少平移________個(gè)單位長(zhǎng)度．(本題所填數(shù)字要求為正數(shù))
16. 若f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ>0)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(π,12)對(duì)稱，且當(dāng)φ取最小值時(shí)，?x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，使得f(x0)＝a，則a的取值范圍是________．
【解答題】
17. 如圖，某市擬在長(zhǎng)為8 km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的部分圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S(3，2eq \r(3))；賽道的后一部分為折線段MNP.為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P兩點(diǎn)間的距離．
18. 將函數(shù)f(x)＝sin 2x的圖象向左平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(1,3)，求h(α)的值．
19. 在①函數(shù)f(x)的圖象中相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離為5，②函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為x＝－1，③函數(shù)f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為eq \f(1,2)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面題目的橫線處，并解決問(wèn)題．
已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜ω＜\f(π,2)，|φ|＜\f(π,2)))，且________，點(diǎn)A(2，2)在該函數(shù)的圖象上，求函數(shù)f(x)在區(qū)間(－3，3)上的單調(diào)遞減區(qū)間．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
20. 已知函數(shù)f(x)＝eq \r(3)sin 2x＋2cs2x＋a，其最大值為2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)畫出f(x)在[0，π]上的圖象．
21. 已知函數(shù)f(x)＝2eq \r(3)sin ωxcs ωx＋2cs2ωx(ω>0)，且f(x)的最小正周期為π.
(1)求ω的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移eq \f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，求當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))時(shí)，函數(shù)g(x)的最大值．
22. 已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x，－\f(1,2)))，n＝(eq \r(3)cs x，cs 2x)，函數(shù)f(x)＝m·n.
(1)求函數(shù)f(x)的最大值及最小正周期；y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)，x≥0
振幅
周期
頻率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
φ
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(0－φ,ω)
eq \f(\f(π,2)－φ,ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(\f(3π,2)－φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
y＝Asin
(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0

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