第41講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（講）思維導(dǎo)圖知識梳理1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直. (2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理： 文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 ?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行?a∥b 2．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理 文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直?l⊥α 題型歸納題型1    線面垂直的判定與性質(zhì)【例1-1】（2019秋?合肥期末）如圖，正方體中，（1）求證：；（2）求證：平面．         【例1-2】（2020?新課標(biāo)Ⅲ）如圖，在長方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．證明：（1）當(dāng)時，；（2）點(diǎn)在平面內(nèi)．         【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2019?梅州二模）如圖，正方形所在平面與三角形所在平面相交于，平面．（1）求證：平面．（2）當(dāng)，且該多面體的體積為時，求該多面體的表面積．     【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2019秋?新余期末）如圖四棱錐，平面，四邊形是矩形，點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn)，過、、三點(diǎn)的平面交側(cè)棱于點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn)；（2）若，求證：．      【名師指導(dǎo)】證明直線與平面垂直與利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直的通法是線面垂直的判定定理的應(yīng)用，其思維流程為： 題型2    面面垂直的判定與性質(zhì)【例2-1】（2020?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐的體積．     【例2-2】（2020?江蘇）在三棱柱中，，平面，，分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．     【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2019?新課標(biāo)Ⅲ）圖1是由矩形，和菱形組成的一個平面圖形，其中，，．將其沿，折起使得與重合，連結(jié)，如圖2．（1）證明：圖2中的，，，四點(diǎn)共面，且平面平面；（2）求圖2中的四邊形的面積．    【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2020春?本溪縣期末）在矩形中，，是的中點(diǎn)，沿將折起，得到如圖所示的四棱錐．（1）若平面平面，求四棱錐的體積；（2）若，求證：平面平面．       【名師指導(dǎo)】1．面面垂直判定的2種方法與1個轉(zhuǎn)化(1)2種方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．(2)1個轉(zhuǎn)化：在已知兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．2．面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用(1)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時要注意“平面內(nèi)的直線”．(2)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面． 題型3    垂直關(guān)系中的探索性問題【例3-1】（2020?紅河州二模）在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，且平面平面，，．（1）上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面；若存在，請證明，若不存在，請說明理由；（2）若的面積為，求四棱錐的體積．    【例3-2】（2019秋?新余期末）如圖，是半圓的直徑，，為圓周上一點(diǎn)，平面，，，，．（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，且使得平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020春?東城區(qū)期末）在正方體中，，分別為和的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．   【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2020?黃山二模）如圖，在四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．    【跟蹤訓(xùn)練3-3】（2019秋?西湖區(qū)校級期末）如圖所示，在四棱錐中，底面是且邊長為的菱形，側(cè)面為正三角形，其所在平面垂直于底面，若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面平面，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．        【名師指導(dǎo)】(1)對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè)．(2)對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在．

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