福建省廈門第一中學2023-2024學年高一下學期第一次適應性數學試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習網

注意事項：
1．答題前，學生務必在練習卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自已的學校、準考證號、姓名.學生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與學生本人準考證號、姓名是否一致.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂照.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本練習卷上無效.
3．答題結束后，學生必須將答題卡交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若，，則等于（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據直接求解.
【詳解】因為，，
所以.
故選:D.
2. 中，“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理，大角對大邊，大邊對大角等證明出充分性和必要性均成立，從而求出答案.
【詳解】因為，由大角對大邊可得，
由正弦定理得，且，
所以，故，充分性成立，
同理當時，，，
由正弦定理可得，
由大邊對大角可得，必要性成立，
“”是“”的充要條件.
故選：C
3. 在中，若，則的最大角與最小角之和是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】最大角與最小角所對的邊的長分別為8與5，設長為7的邊CA所對的角為θ，則最大角與最小角的和是，利用余弦定理求解即可.
【詳解】根據三角形角邊關系可得，最大角與最小角所對的邊的長分別為8與5，
設長為7的邊CA所對的角為θ，則最大角與最小角的和是，
由余弦定理可得，，
由為三角形內角，∴，
則最大角與最小角的和是.
故選：B
4. 在平行四邊形中，，，設，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據向量的線性運算結合平行四邊形的性質運算求解.
【詳解】由題意可得：.
故選：A.
5. 某學生為了測量學校旗桿的高度，在水平地面上一點處的測得仰角為，沿旗桿底部與處的直線向旗桿方向前進米的處測得的仰角為，那么旗桿高為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出符合題意的圖形，利用銳角三角函數的定義表示出和，根據題設條件列式即可求解
【詳解】根據題意，作圖如下:

在中，，在中，，
則，
則
即旗桿的高度為 .
故選：D
6. 已知，，是平面直角坐標系內的三點，若，，則的面積為（）
A. 15B. 12C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根據數量積運算判斷兩邊垂直，再由模長公式求出邊長即可求解三角形的面積.
【詳解】因為，，
所以，即，
所以，
故選：C
7. 在中，，，，則下列各式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】過點作交于點，過點作交于點，分別計算，即可得出恒成立的關系.
【詳解】，可知為靠近點的的三等分點，如圖，
過點作交于點，過點作交于點，
則，
所以，
所以，，
所以，故AC錯誤，
因，所以，故B正確D錯誤.
故選：B
8. 在中，，，，是的垂心，若，其中，，則動點的軌跡所覆蓋圖形的面積為（）
A. 21B. 14C. D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】由向量表達式可知動點覆蓋圖形為平行四邊形，利用垂心，通過解三角形求出，即可得面積.
【詳解】延長分別交于，如圖，
由為垂心，可知在直角三角形中，，
，
由余弦定理可得，
由四點共圓及正弦定理可得，，
由余弦定理，，
所以，
所以.
所以，所以，
所以，
，其中，，則動點的軌跡所覆蓋圖形為以為鄰邊的平行四邊形，
所以面積.
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：利用垂心，結合四點共圓，正弦定理求出四點所在圓的直徑是解題的關鍵所在.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分.
9. 某人向正東方向走了后向右轉了，然后沿新方向走了，結果離出發(fā)點恰好，那么x的值是（）
A. B. C. 3D. 6
【答案】AB
【解析】
【分析】設，由余弦定理代入即可得出答案.
【詳解】
由題意設．
由余弦定理得，
解得或．
故選：AB.
10. 在平面直角坐標系中，向量，如圖所示，則（）

A.
B
C. 在方向上的投影向量的模為1
D. 存在實數，使得與共線
【答案】BCD
【解析】
【分析】由題意可得：，根據向量的坐標運算逐項分析判斷.
【詳解】由題意可得：.
對于選項A：因為，所以，不垂直，故A錯誤；
對于選項B：因，所以，故B正確；
對于選項C：因為，
所以在方向上的投影向量的模為，故C正確；
對于選項D：因為，
若與共線，則，解得，
所以當時，與共線，故D正確；
故選：BCD.
11. 在中，D，E分別是BC，AC的中點，且，則（）
A. 面積最大值是6B. 周長可能是14
C. 不可能是5D.
【答案】AD
【解析】
【分析】選項A由題可得時三角形面積最大；選項B分別在中用余弦定理得出，然后結合均值不等式可判斷；選項C將化為，由向量平方可判斷；選項D由，然后由數量積的定義可得出答案.
【詳解】設的三個內角所對的邊分別為
選項A，，當時，等號成立，故A正確；
選項B， , ，
，
則，所以三角形周長為，
由均值不等式，當且僅當時等號成立，
可得，即三角形的周長的范圍是，
，所以三角形周長不可以取到14，故選項B錯誤；
選項C，
，
所以，
，
所以，所以的值可能取到5，故選項C錯誤；
選項D，，
，
由，則，故選項D正確.
故選：AD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知,,,則向量與的夾角為______．
【答案】
【解析】
【分析】條件中給出了兩個向量的模長，要求夾角只要求出向量的數量積，需要運用，得到關于與數量積的方程，解出結果代入求夾角的公式，注意夾角的范圍．
【詳解】∵||=1，||=2，，
∴=0，
∴==1，
∴cs＜＞==，
∵＜＞∈[0，π]，
∴兩個向量的夾角是，
故答案為：．
【點睛】平面向量的數量積計算問題，往往有兩種形式，一是利用數量積的定義式，二是利用數量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當的平面直角坐標系，可起到化繁為簡的妙用. 利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關角度問題、線段長問題及垂直問題轉化為向量的數量積來解決．列出方程組求解未知數.
13. 已知的內角、、的對邊分別為、、，若的面積為，，則該三角形的外接圓直徑________．
【答案】2
【解析】
【分析】由余弦定理及三角形面積公式得出，再由正弦定理求外接圓直徑即可.
【詳解】由，
，即，
由，所以，
，.
故答案為：
14. 已知非零平面向量，，滿足：，的夾角為，與的夾角為，，，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】以點為起點作向量，，，
則，，，
由，的夾角為，與的夾角為可知：四點共圓，然后結合正弦定理與三角函數求解即可
【詳解】如圖：

以點為起點作向量，，，
則，，，
由，的夾角為，與的夾角為可知：四點共圓，
由，得，，
在中：，即
所以，所以，
由同弧所對的圓周角相等，可得，
設，則，
在中：，
所以，
，
，，
，，
，
則的取值范圍是
故答案為：
三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知，，，，且.
（1）求的值；
（2）求向量與向量夾角的余弦.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據題意求出的坐標，由向量平行的判斷方法可得關于的方程，即可得到結果；
（2）設與的夾角為，由向量夾角公式計算即可得到結果.
【小問1詳解】
根據題意，，，，，
則，
因為，則有，解得
【小問2詳解】
由（1）可知，
設與的夾角為，
則
16. 在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．
（1）求的值；
（2）求b的值．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）先由，求得，再結合，利用正弦定理求解；
（2）根據，利用余弦定理求解.
【小問1詳解】
解：在中，因為，
所以，
又，
由正弦定理得：；
【小問2詳解】
在中，因為，
所以由余弦定理得：，
即，
解得 .
17. 如圖，A、B是海面上位于東西方向相距海里兩個觀測點，現位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，試求：
（1）輪船D與觀測點B的距離；
（2）救援船到達D點所需要的時間．
【答案】（1）海里；（2）1小時.
【解析】
【分析】
（1）結合圖形利用正弦定理轉化求解的長；
（2）利用余弦定理求出，然后求解出該救援船到達點所需的時間．
【詳解】解：（1）由題意可知：在中，，，則，
由正弦定理得：，
由，
代入上式得：，輪船D與觀測點B的距離為海里.
（2）在中，，，，
由余弦定理得：
，
，，
即該救援船到達點所需的時間小時.
【點睛】方法點睛：正弦定理以及余弦定理是解決這類問題的常用方法.
18. 在中，角的對邊分別為，若.
（1）求角；
（2）若，點滿足，
（i）求證：；
（ii）求的最大值
【答案】（1）
（2）（i）證明見解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）根據題意，利用倍角公式和正弦定理，得到，再由余弦定理，求得，即可求解；
因為，所以.
（2）（i）根據題意，化簡得到，求得，在在和中，利用正弦定理，求得，即可證得；
（ii）根據題意，結合，化簡得到，再由余弦定理和基本不等式，求得，得出，利用函數的單調性，即可求解.
【小問1詳解】
解：由題意知：，
可得，
即，
由正弦定理得，所以，
因為，所以.
【小問2詳解】
解：（i）因為，
可得，
即，即，
可得，所以，
在中，由正弦定理得，可得，
在中，由正弦定理得，可得，
因為，可得，
又由，可得，即，
又因為，所以.
（ii）因為且,
可得，
整理得，可得，
因為，由余弦定理得到，
可得，即，
又因為，可得，所以，
即，解得，當且僅當時，等號成立，
又因為，所以，所以
由，
令，則，
因為函數在上為單調遞增函數，
所以，當時，取值最大值，最大值為.
19. 在中，角，，的對邊分別為，，，點，，分別位于，，所在直線上，滿足，，（，，）．
（1）如圖1，若三角形是邊長為3的正三角形，且，求；
（2）如圖2，若，，交于一點，
①求證：
②若，，，，求．
【答案】（1）
（2）①證明見解析 ②
【解析】
【分析】（1）根據向量的線性運算及向量平面基本定理，列出方程求解即可；
（2）由三角形面積比與線段的比化簡即可得①，利用相似求出，，再由解三角形得出，根據三角形面積間的關系及三角形面積公式得解.
【小問1詳解】
設，則，
因為，，
所以，
令，
所以，解得，
所以.
【小問2詳解】
如圖，過點作于點，
因為，所以；
同理可得：，所以，即；
同理可證：，，
②過點作的平行線交于點，過作交于點，如圖，
由，，可得，所以，
所以，
由，，可得，且，
所以，，即，
設，
則由余弦定理可得：，
即，解得，
所以，
故，
所以.
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問解題的關鍵在于尋求三角形的面積比與線段的面積比之間的關系，得出此關系即可完成的證明；對求解三角形的面積，關鍵利用輔助線得出，再由輔助線得出的長.

相關試卷

相關試卷更多

相關試卷

相關試卷 更多

相關試卷更多