高一數(shù)學(xué)試卷
考試時間：120分鐘 滿分：150分
考生注意：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的準考證號、姓名填寫在答題卡上?？忌J真核對答題卡上粘貼的條形碼“準考證號、姓名、考試科目”與考試本人準考證號、姓名是否一致。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷無效。
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回。
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在平行四邊形中，為一條對角線．若，則（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，若，則的值為（ ）
A．2 B． C．6 D．
4．已知向量滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．2
5．據(jù)記載，歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”。特別是當(dāng)時，得到一個令人著迷的優(yōu)美恒等式，將數(shù)學(xué)中五個重要的數(shù)（自然對數(shù)的底，圓周率，虛數(shù)單位，自然數(shù)的單位1和零元0）聯(lián)系到了一起，有些數(shù)學(xué)家評價它是“最完美的數(shù)學(xué)公式”根據(jù)歐拉公式，若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（ ）
A． B． C． D．
6．的內(nèi)角的對邊分別為，則（ ）
A． B．3 C． D．2
7．已知中，為的中點，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，且有，則線段長的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則或
B．若，則
C．若，則或
D．已知為單位向量，若，則在上的投影向量為
10．在中，內(nèi)角的對邊分別為，下列說法中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則為等腰三角形
C．若為銳角三角形且，則
D．若，則符合條件的有兩個
11．對于，其外心為，內(nèi)心為，垂心為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．向量與共線 D．
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12．已知是純虛數(shù)，是實數(shù)，那么_________。
13．已知向量與的夾角為，則_________。
14．正方形的邊長為是正方形的中心，過中心的直線與邊交于點，與邊交于點為平面內(nèi)一點，且滿足，則的最小值為_________。
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（13分）
已知，且．
（1）求實數(shù)的值；
（2）若，求實數(shù)的值．
16．（15分）
已知是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，，且，三點共線。
（1）求實數(shù)的值；
（2）若，求的坐標(biāo)；
（3）已知點，在（2）的條件下，若四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，求點的坐標(biāo)。
17．（15分）
在①，②，③這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中并作答。
在中，內(nèi)角的對邊分別為，且_________。
（1）求角的大?。?br>（2）若，求的面積。
18．（17分）
如圖，有一位于處的雷達觀測站發(fā)現(xiàn)其北偏東，與相距海里的處有一貨船正以勻速直線行駛，20分鐘后又測得該船只位于觀測站A北偏東（其中）且與觀測站相距海里的處。
（1）求該船的行駛速度（海里/小時）；
（2）在離觀測站的正南方20海里的處有一暗礁（不考慮暗礁的面積），如貨船不改變航向繼續(xù)前行，該貨船是否有觸礁的危險?試說明理由。
19．（17分）
如圖所示，是的一條中線，點滿足，過點的直線分別與射線，射線交于兩點。
（1）求證：；
（2）設(shè)，求的值；
（3）如果是邊長為的等邊三角形，求的取值范圍。
廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)
2024-2025學(xué)年3月階段性測試
高一數(shù)學(xué)（解析）
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要
求的）
1．B 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A
7．C
【詳解】，
又為等邊三角形，
在上的投影向量為．故選：C。
8．C
【詳解】在中，設(shè)角的對邊分別為，
由正弦定理可得，則，，即，
所以，
，所以，，
，則，當(dāng)時，即當(dāng)時，取最大值，
即。
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9．CD 10．AC
11．BC
【詳解】對于A中，因為為外心，則，
僅當(dāng)時，才有，所以A錯誤；
對于B中，由，又由，
所以，所以B正確；
對于C中，由，
即與垂直，
又由，所以與共線，所以C正確；
對于D中，如圖所示，為的外接圓，
連接，設(shè)分別是的中點，
連接，則，
又由，所以，即，
所以與共線，因為為的外接圓的圓心，所以，
所以，同理得，所以是的垂心，所以D錯誤。
故選：BC．
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12．2 13．2
14．
【詳解】
以為坐標(biāo)原點，以過且平行于的直線為軸，以過且垂直于的直線為軸，建立坐標(biāo)系，
則，所以，
所以，即點坐標(biāo)為，
設(shè)，則，
所以，
所以，
當(dāng)且時，有最小值為，
故答案為：
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．【解】（1）因為，
所以，2分
因為。所以，
即，解得；5分
（2）因為，4分
又，所以，6分
即，解得 8分
16．【解】（1）。
因為三點共線，所以存在實數(shù)，使得，3分
即，得．
因為是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，
所以解得。（一個值3分）6分
（2）．4分
（3）因為四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，所以．2分
設(shè)，則，
因為，所以，
解得，即點的坐標(biāo)為．5分
17．
【解】（1）方案一：選條件①。
因為，所以。
因為，所以（沒寫扣1分），所以，3分
所以，即．5分
因為，所以，（沒寫扣1分）
所以。7分
方案二：選條件②。
因為，
所以，2分
則，
因為（沒寫扣1分），所以，6分
因為，所以（沒寫扣1分），。7分
方案三：選條件③。
因為，
所以，2分
所以，
因為，所以（沒寫扣1分），，6分
又（沒寫扣1分），所以．7分
（2）因為，所以，
由，得，5分
所以，7分
則的面積。
18．【詳解】（1）由題意，，
由余弦定理，，
即，6分
以勻速直線行駛了20分鐘的路程為海里，
該船的行駛速度（海里/小時）。7分
（2）由（1）知，在中，
。4分
設(shè)延長交于，則，
在中，由正弦定理，即7分
又 7分
（海里） 9分
與重合，即貨船不改變航向繼續(xù)前行會有觸礁的危險。10分
19．
【解】（1）證明：因，所以，又因為的中點，所以，
所以。 3分
（2）因
所以，2分
又因，所以，4分
又因三點共線，所以，即。 6分
（3）設(shè)，
由（1）（2）可知，即．
因，
所以
又因是邊長為的等邊三角形，
所以，
令，因，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以。
因此，
又因，所以，所以所以 8分

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