一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把正確答案填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．）
1. 中國“二十四節(jié)氣”已被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作品錄．北京國際設(shè)計(jì)周面向社會公開征集“二十四節(jié)氣”標(biāo)識系統(tǒng)設(shè)計(jì)，以期通過現(xiàn)代設(shè)計(jì)的手段，嘗試推動我國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)創(chuàng)新傳承與發(fā)展．下面四幅作品分別代表“立春”、“芒種”、“白露”、“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查中心對稱圖形的識別，根據(jù)中心圖形的概念求解即可．
【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，本選項(xiàng)錯誤，不符合題意；
B、不是中心對稱圖形，本選項(xiàng)錯誤，不符合題意；
C、不是中心對稱圖形，本選項(xiàng)錯誤，不符合題意；
D、是中心對稱圖形，本選項(xiàng)正確，符合題意．
故選：D
2. 今年某市有8萬多名學(xué)生參加中考，為了了解這些考生的數(shù)學(xué)成績，從中抽取2000名考生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．在這個問題中，下列說法：①這8萬名考生的數(shù)學(xué)中考成績的全體是總體：②每個考生是個體：③2000名考生是總體的一個樣本：④樣本容量是2000．其中說法正確的有（ ）
A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個
【答案】C
【解析】
【分析】本題是總體、個體、樣本、樣本容量的問題，根據(jù)總體、個體、樣本、樣本容量的定義； 解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本，關(guān)鍵是明確考查的對象．總體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大小，由此判斷出①②③是否正確； 樣本容量是樣本中包含的個體的數(shù)目，不能帶單位，由此判斷④是否正確．
【詳解】解：①這8萬名考生的數(shù)學(xué)中考成績的全體是總體，正確；
②每個考生的數(shù)學(xué)中考成績是個體，原說法錯誤；
③2000名考生的數(shù)學(xué)成績是總體的一個樣本，原說法錯誤；
④樣本容量是2000，正確．
故選：C
3. 下列事件：①檢查生產(chǎn)流水線上的一個產(chǎn)品，是合格品；
②三條線段組成一個三角形；
③a是實(shí)數(shù)，則；
④一副撲克牌中，隨意抽出一張是紅桃；
⑤個人中至少有個人生日相同：
⑥一個抽獎活動的中獎率是，參與抽獎次，就一定會中獎，其中屬于必然事件的個數(shù)是( )
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．根據(jù)定義即可判斷．
【詳解】解：①②④⑥是隨機(jī)事件；
③是不可能事件，是確定事件；
⑤是必然事件，是確定事件．
故選：A．
4. 已知：四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，則下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】平行四邊形的判定定理:(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形,(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形,(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形,(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的判定即可解答.
【詳解】A選項(xiàng), ,,根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形,能判定四邊形ABCD是平行四邊形,
B選項(xiàng) ,不能判定四邊形是平行四邊形,
C選項(xiàng),,根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,能判定四邊形ABCD是平行四邊形,
D選項(xiàng),,根據(jù)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形能判定四邊形ABCD是平行四邊形,
故選B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定定理,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握平行四邊形的判定定理.
5. 如圖，矩形ABCD的對角線AC＝8cm，∠AOD＝120o，則AB的長為( )
A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)，證是等邊三角形，，進(jìn)而可得的值．
【詳解】解：由矩形的性質(zhì)可知， ，
∵，
∴
∴是等邊三角形.
∴
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平角等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的靈活運(yùn)用．
6. 如圖，在中，，D，E，F(xiàn)分別為，，中點(diǎn)，若，則的長度是（ ）

A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理；
根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和含直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形中位線定理即可求出的長度．
【詳解】解：∵在中，點(diǎn)D為斜邊中點(diǎn)，，
∴，
∵為的中位線，
∴，
故選：A．
7. 牛頓曾說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精良的武器之一．”那么我們用反證法證明：“在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于時(shí)，第一步先假設(shè)（ ）
A. 三角形中有一個內(nèi)角小于B. 三角形中有一個內(nèi)角大于
C. 三角形中每個內(nèi)角都大于D. 三角形中沒有一個內(nèi)角小于
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答．
【詳解】解：用反證法證明：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于時(shí)，
第一步先假設(shè)三角形中每個內(nèi)角都大于，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．
8. 如圖，點(diǎn)E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到．延長交于點(diǎn)F，連接．下列結(jié)論：①；②四邊形是正方形；③若，則；其中正確的是（ ）

A. ①②③B. ①②C. ②③D. ①
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)交于K，由及將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，可得，即可得，從而判斷①正確；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，由正方形的判定可證四邊形是正方形，可判斷②正確；過點(diǎn)D作于H，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，由“”可得，可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，判斷③正確．
【詳解】解：設(shè)交于K，如圖：

∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正確；
∵將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，
∴，，，
又∵，
∴四邊形是矩形，
又∵，
∴四邊形是正方形，故②正確；
如圖，過點(diǎn)D作于H，

∵，，
∴，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，故③正確；
∴正確的有：①②③，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．不需要寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
9. 為了解某校八年級名學(xué)生每天的閱讀時(shí)間，從中抽取了名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，在這個問題中，樣本容量是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了樣本容量，根據(jù)樣本容量的定義，是指樣本中個體的數(shù)目．
【詳解】解：這個問題中，樣本容量是．
故答案為：．
10. 走入考場之前老師送你一句話“”．在這句話中任選一個字母，這個字母為“”的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了概率公式求概率，根據(jù)題意得出共14個字母，其中有字母“c”2個，進(jìn)而根據(jù)概率公式，進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：在英語句子“”中共14個字母，
其中有字母“”2個；
故其概率為．
故答案為：．
11. 有40個數(shù)，共分成6組，第組的頻數(shù)分別是10、5、7、6，若第5組的頻率是，則第6組的頻率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】先求得第5組的頻數(shù)，再求得第6組的頻數(shù)，利用頻數(shù)除以數(shù)據(jù)總數(shù)即可求解．
【詳解】解：∵有40個數(shù)，第5組的頻率是，
∴若第5組的頻數(shù)是，
∴第6組的頻數(shù)是，
∴第6組的頻率是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)和頻率，熟知頻率=頻數(shù)÷數(shù)據(jù)總數(shù)是解答的關(guān)鍵．
12. 如圖，是由繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形，若點(diǎn)D恰好落在AB上，且，則的度數(shù)是_______．
【答案】##50度
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、以及三角形內(nèi)角和定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，再求出，及，即可知的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．
【詳解】∵是繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到圖形，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
故答案為：．
13. 如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且平分，若，，則□ABCD的面積為______．
【答案】32
【解析】
【分析】過點(diǎn)E作，垂足為F，利用直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到，可得，最后利用平行四邊形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：過點(diǎn)E作，垂足為F，
∵，
∴，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∴，
又平分，即，
∴，
∴，
∴四邊形的面積=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，30度的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對等邊，作出輔助線構(gòu)造直角三角形求出的長是解題的關(guān)鍵．
14. 若菱形兩條對角線的長分別為6和9，則此菱形面積為_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，根據(jù)菱形的對角線互相垂直，互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半．
【詳解】解：菱形的面積為：．
故答案為：．
15. 如圖，是一張長方形紙片，．在邊上取一點(diǎn)E，在上取一點(diǎn)F，將紙片沿折疊，點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)A處，則線段的長度為_______．

【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理，平行線的性質(zhì)．等腰三角形的判定和性質(zhì)，圖形的折疊問題．過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，則，，根據(jù)平行線的性質(zhì)乙折疊的性質(zhì)可得，從而得到，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得，從而得到，再由勾股定理，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，則，，

根據(jù)題意得：，
∴，
由折疊的性質(zhì)得：，，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
16. 如圖，在中，，，，P為邊上一點(diǎn)；且于D，于E，則的最小值為___________________．

【答案】####2.4
【解析】
【分析】由在中，，且于D，于E，易得四邊形是矩形，然后連接，可得，即可得當(dāng)時(shí)，最短，即最小，繼而求得答案．
【詳解】解：連接，如圖所示：

∵，
∴，
∵在中，，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵當(dāng)時(shí)，最短，即最小，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的判定與性質(zhì)以及垂線段最短的知識．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．
17. 如圖，為了體驗(yàn)四邊形的不穩(wěn)定性，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架，然后向右拉動框架，給出如下的判斷：①四邊形為平行四邊形；②對角線的長度不變；③四邊形的面積不變；④四邊形的周長不變，其中所有正確的結(jié)論是______．

【答案】①④##④①
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)即可判斷．
【詳解】解：兩組對邊的長度分別相等，
四邊形是平行四邊形，故①正確，
向右扭動框架，
的長度變大，故②錯誤，
平行四邊形的底不變，高變小了，
平行四邊形的面積變小，故③錯誤，
平行四邊形的四條邊不變，
四邊形的周長不變，故④正確．
故所有正確的結(jié)論是①④．
故答案為：①④
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的周長、面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)．
18. 如圖，在平行四邊形中，，于點(diǎn)E，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，，下列結(jié)論：

① ② ③ ④．
其中所有正確結(jié)論的序號是______．
【答案】①②③
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到，再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，得到， 再利用等邊對等角的性質(zhì)，即可判斷①結(jié)論；延長、交于點(diǎn)G，易證，得到，再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，即可判斷②結(jié)論；利用全等三角形的性質(zhì)和三角形面積，即可證明③結(jié)論；過點(diǎn)F作交于點(diǎn)H，則，證明四邊形是菱形，得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得到，即可證明④結(jié)論．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，F(xiàn)為的中點(diǎn)，
，
，
，
，①結(jié)論正確；
延長、交于點(diǎn)G，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
點(diǎn)F是斜邊的中線，
，②結(jié)論正確；
是的中點(diǎn)，
，
，
，
，③結(jié)論正確；
過點(diǎn)F作交于點(diǎn)H，則，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形，
，
，，
，，
，
，
，
，④結(jié)論錯誤，
綜上可知，正確結(jié)論的序號是①②③，
故答案為：①②③
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用相關(guān)知識解決問題是解題關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共9小題，共96分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
19. 為了解學(xué)生的睡眠情況，某校隨機(jī)抽取部分學(xué)生對他們最近兩周的睡眠情況進(jìn)行調(diào)查，得到他們每日平均睡眠時(shí)長（單位：）的一組數(shù)據(jù)，將所得數(shù)據(jù)分為四組（；；；），并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）本次一共抽樣調(diào)查了 名學(xué)生，扇形統(tǒng)計(jì)圖中組所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是 ．
（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整．
（3）若該校共有900名學(xué)生，請估計(jì)最近兩周約有多少名學(xué)生的每日平均睡眠時(shí)長大于或等于．
【答案】（1）；
（2）見解析 （3）估計(jì)該校有名學(xué)生的每日平均睡眠時(shí)長大于或等于
【解析】
【分析】（1）由組人數(shù)及其所占百分比求出總?cè)藬?shù)，用乘以D組人數(shù)所占比例，即可求解，
（2）根據(jù)總?cè)藬?shù)求出組人數(shù)，依此補(bǔ)全圖形，
（3）用總?cè)藬?shù)乘以睡眠時(shí)間大于或等于人數(shù)所占比例，即可求解，
本題考查了，條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，解題的關(guān)鍵是：理解兩種統(tǒng)計(jì)圖之間的關(guān)系
【小問1詳解】
解：本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：（名），
D組所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為：，
故答案為：；，
【小問2詳解】
解：組人數(shù)為：（名），
補(bǔ)全圖形如下：
小問3詳解】
解：根據(jù)題意的：（名），
故答案為：估計(jì)該校有名學(xué)生的每日平均睡眠時(shí)長大于或等于．
20. 某班在義賣活動中設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，規(guī)定：顧客購物20元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)會，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎品，下表是此次活動中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
（1）完成上述表格：a＝______；b＝______；
（2）請估計(jì)當(dāng)n很大時(shí)，頻率將會接近______，（精確到0.1）假如你去轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，你獲得“書畫”獎品的概率約是______；（精確到0.1）
（3）在該轉(zhuǎn)盤中，標(biāo)有“手工”區(qū)域的扇形的圓心角大約是多少度？
【答案】（1）295、0.745
（2）0.6、0.6 （3）在該轉(zhuǎn)盤中，標(biāo)有“手工”區(qū)域的扇形的圓心角大約是144度
【解析】
【分析】（1）根據(jù)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)乘以頻率求出，由落在“書畫”區(qū)域的次數(shù)除以轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)求出；
（2）根據(jù)表格確定頻率，再根據(jù)頻率估計(jì)概率即可；
（3）用乘以“手工”區(qū)域的頻率即可得到對應(yīng)圓心角的度數(shù)．
【小問1詳解】
，
故答案為：145、0.745；
【小問2詳解】
估計(jì)當(dāng)n很大時(shí)，頻率將會接近0.6，假如轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，獲得“書畫”獎品的概率約是0.6，
故答案為：0.6、0.6；
【小問3詳解】
，
在該轉(zhuǎn)盤中，標(biāo)有“手工”區(qū)域的扇形的圓心角大約是144度．
【點(diǎn)睛】此題考查了利用頻率估計(jì)概率，頻率的計(jì)算，扇形部分圓心角的計(jì)算，正確理解表格及頻率與概率的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，、是的對角線所在直線上兩點(diǎn)，且，求證：四邊形是平行四邊形．

【答案】證明見解析
【解析】
【分析】由題意易得，則有，進(jìn)而問題可求證．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，∴
∴，
∴，
∴，
，
∴．
∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），
又∵
∴四邊形是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
22. 已知：如圖，在中，，D點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別是的角平分線．
（1）請直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系： ；
（2）求證：四邊形是矩形；
（3）當(dāng)滿足條件 時(shí)，四邊形是正方形．（直接填空即可）
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題主要考查了矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)等等：
（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到；
（2）由三線合一定理得到，再由有三個角是直角的四邊形是矩形即可證明結(jié)論；
（3）根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，只需要滿足，而由三線合一定理可得，則只需要滿足即可．
【小問1詳解】
解：∵在中，，D點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
故答案為：；
【小問2詳解】
證明：∵，分別是的角平分線，
∴，
又∵，
∴四邊形是矩形；
【小問3詳解】
解：當(dāng)滿足條件 時(shí)，四邊形是正方形，理由如下：
∵，分別是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴矩形是正方形，
故答案為：（答案不唯一）；
23. 圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)、、、、均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作圖，保留作圖痕跡．
（1）在圖①中，作以點(diǎn)為對稱中心的平行四邊形．
（2）在圖②中，作四邊形的邊上的高．
（3）在圖③中，在四邊形的邊上找一點(diǎn)，連結(jié)，使．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
（3）見解析
【解析】
【分析】（1）利用網(wǎng)格特征連接，并延長，即可作以點(diǎn)為對稱中心的平行四邊形；
（2）取格點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，即可作四邊形的邊上的高；
（3）取格點(diǎn)，，，連接，，，與交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)即可．
【小問1詳解】
如圖①中，平行四邊形即為所求；
【小問2詳解】
如圖②中，高即為所求；
根據(jù)網(wǎng)格與勾股定理得出
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴即為所求；
【小問3詳解】
如圖③中，點(diǎn)即為所求．
如圖所示，找到格點(diǎn)，
，，
則是等腰直角三角形，
找到格點(diǎn)，則是矩形，
∴是的中點(diǎn)，
∴垂直平分，
即．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)，勾股定理與網(wǎng)格問題，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，在中，對角線相交于點(diǎn)O，直線l經(jīng)過點(diǎn)O，且與，分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若，求證：四邊形是菱形．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】（1）證明，則．由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可得到結(jié)論；
（2）由得到．又由，得到．則．由鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得到結(jié)論．
【小問1詳解】
證明：四邊形為平行四邊形，
，，
．
∵，
∴．
．
四邊形是平行四邊形．
【小問2詳解】
，
．
，
．
．
四邊形AECF是平行四邊形，
四邊形AECF是菱形．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、等角對等邊等知識，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25. 在矩形中，，E、F是對角線上的兩個動點(diǎn)，分別從A、C同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個單位長度，運(yùn)動時(shí)間為t秒，其中．
（1）若G，H分別是，中點(diǎn)，則四邊形一定是怎樣的四邊形（E、F相遇時(shí)除外）？
解： ；（直接填空，不用說理）
（2）在（1）條件下，若四邊形為矩形，求t的值；
【答案】（1）四邊形是平行四邊形
（2）或
【解析】
【分析】本題考查矩形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定．
（1）由矩形的性質(zhì)證得，得到，，得到四邊形是平行四邊形；
（2）連接，則四邊形是矩形，．分點(diǎn)E，F(xiàn)相遇前和相遇后兩種情況討論，根據(jù)矩形的對角線相等即可解答．
【小問1詳解】
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∵G，H分別是，中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)的運(yùn)動速度相同，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
故答案為：四邊形平行四邊形
【小問2詳解】
如圖1，連接，
圖1
∵G，H分別是，中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∵，
∵在矩形中，，，
∴四邊形是矩形，
∴，
（1）如圖1，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，
，
∵，
∴，
，
，
；
（2）如圖2，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，
圖2
同理，
，
；
綜上所述，四邊形為矩形時(shí)，或．
26. 如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為BC為邊上的定點(diǎn)，E、G分別是AB、CD邊上的動點(diǎn)，AF和EG交于點(diǎn)H且AF⊥EG．
（1）求證：AF＝EG；
（2）若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的長；
②連結(jié)AG、EF，求AG＋EF的最小值．
【答案】（1）見解析；（2）①；②
【解析】
【分析】（1）過點(diǎn)G作GM∥AD交AB于點(diǎn)M，則可得AD=MG，然后證明△GME≌△ABF即可；
（2）①過點(diǎn)G作GM∥AD交AB于點(diǎn)M，連接AG，由（1）可得EM=BF=2，從而可求得AM，在Rt△AMG中由勾股定理即可求得AG的長；
②過點(diǎn)F作FP∥EG，F(xiàn)P=EG，連接AP,則易得GP=EF，當(dāng)A、G、P三點(diǎn)共線時(shí)，AG+EF最小，在Rt△AFP中由勾股定理即可求得AP的長即可．
【詳解】（1）過點(diǎn)G作GM∥AD交AB于點(diǎn)M
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠BAD=∠B=90゜，AB∥CD，AD=AB
∴∠EMG=∠BAD=∠B=90゜
∵AB∥CD，GM∥AD
∴四邊形AMGD是平行四邊形
∵∠BAD=90゜
∴四邊形AMGD是矩形
∴MG=AD
∴MG=AB
∵AF⊥EG
∴∠AEH+∠EAH=90゜
∵∠EAH+∠AFB=90゜
∴∠AEH=∠AFB
在△GME和△ABF中

∴△GME≌△ABF(AAS)
∴AF=EG
（2）①過點(diǎn)G作GM∥AD交AB于點(diǎn)M，連接AG，如圖
由（1）知，△GME≌△ABF
∴EM=BF=2
∵AB=6，BE=3
∴AE=AB－BE=3
∴AM=AE－EM=1
在Rt△AMG中，GM=AD=6，由勾股定理得：
②過點(diǎn)F作FP∥EG，F(xiàn)P=EG，連接AP,如圖
則四邊形EFPG是平行四邊形
∴GP=EF
∵AG+GP≥GP
∴當(dāng)A、G、P三點(diǎn)共線時(shí)，AG+EF=AG+GP最小,最小值為線段AP的長
∵AF⊥EG，F(xiàn)P∥EG
∴FP⊥AF
在Rt△ABF中，由勾股定理得
∵AF=EG，EG=FP
∴FP=AF=
在Rt△AFP中，由勾股定理得
所以AG+EF的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)間線段最短等知識，靈活運(yùn)用這些知識是解決的關(guān)鍵，確定AG+EF最小值是線段AP的長是難點(diǎn)．
27. 如圖1，在中，，，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，連接BE、P、Q、M分別為DE，BC，BE的中點(diǎn)．
（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與QM的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；
（2）若把圖1中的繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接PQ，BD，CE，判斷的形狀，并說明理由；
（3）已知，，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，請直接寫出面積的最大值．
【答案】（1）相等，垂直
（2）是等腰直角三角形，說理過程詳見解答
（3）
【解析】
【分析】（1），；，，進(jìn)一步得出結(jié)果；
（2）延長交于交于，證明，從而得出，，進(jìn)而得出，結(jié)合，，，，進(jìn)一步得出結(jié)論；
（3）是等腰直角三角形，當(dāng)最大時(shí)，的面積最大，確定當(dāng)、、共線時(shí)，最大，進(jìn)一步求得結(jié)果．
【小問1詳解】
解：，，
，即：，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，，
，
同理可得：，，
，，
，
，
故答案為：相等，垂直；
【小問2詳解】
是等腰直角三角形．
理由如下：如圖1所示：
延長交于交于，
，
，即：，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
是的中位線，
，，
，
同理可得：，，
，，
同理（1）可得：，
是等腰直角三角形；
【小問3詳解】
如圖2所示：
由（2）知：是等腰直角三角形，且直角邊，
當(dāng)最大時(shí)，的面積最大，
，
當(dāng)、、共線時(shí)，最大，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n
100
200
300
400
500
1000
落在“書畫”區(qū)域的次數(shù)m
60
122
180
298
a
604
落在“書畫”區(qū)域的頻率
0.6
061
0.6
b
0.59
0.604

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