一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填寫(xiě)在答題紙相應(yīng)位置上）
1. 下列函數(shù)中，y是x的一次函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)的定義，熟練掌握一次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的定義：，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．不是一次函數(shù)，不符合題意；
B．是一次函數(shù)，符合題意；
C．不是一次函數(shù)，不符合題意；
D．不是一次函數(shù)，不符合題意．
故選：B
2. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查合并同類(lèi)項(xiàng)，冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘法，運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：A. 與不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故選項(xiàng)A計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B.，此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，故不符合題意；
C. 與不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故選項(xiàng)C計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D. ，計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
3. 截止2023年12月底，全球人口總數(shù)已突破80億． 將80億用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)數(shù)．
【詳解】解：80億
故選：B．
4. 若，則的值是（ ）
A. －1B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把比例式進(jìn)行合理的變形；由得，再代入化簡(jiǎn)即可求解．
【詳解】，
，
；
故選：C．
5. 將拋物線(xiàn)向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)與幾何變換，根據(jù)拋物線(xiàn)平移法則“左加右減，上加下減”即可得到平移后解析式．
【詳解】解：拋物線(xiàn)向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到，再向上平移6個(gè)單位得到．
故選：A．
6. 在△ABC中，∠A，∠B都是銳角，且sinA＝， csB＝，則△ABC是（ ）
A. 直角三角形B. 鈍角三角形C. 銳角三角形D. 不能確定
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A、∠B的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C即可作出判斷．
【詳解】∵△ABC中，∠A、∠B都是銳角，sinA=，csB=，
∴∠A=∠B=30°．
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣30°=120°．
故選B
7. 已知拋物線(xiàn)的圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了拋物線(xiàn)的增減性的應(yīng)用，計(jì)算對(duì)稱(chēng)軸，比較點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸的距離大小，結(jié)合性質(zhì)判斷即可．
詳解】∵拋物線(xiàn)，，
∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，距離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)的函數(shù)值越大，
∵，
∴，
故選B．
8. 構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要應(yīng)用，我們已經(jīng)知道，，角的三角函數(shù)值，現(xiàn)在來(lái)求的值：如圖，在中，，，延長(zhǎng)使，連接，得．設(shè)，則，，所以 ．類(lèi)比這種方法，計(jì)算的值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】仿照題例作等腰三角形，利用直角三角形的邊角間關(guān)系計(jì)算得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，在中，，，
延長(zhǎng)使，連接，得．
設(shè)，
則，．
．
在中，
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，看懂題例，仿照題例作出輔助線(xiàn)是解決本題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題紙相應(yīng)位置上）
9. 若是關(guān)于x，y的二元一次方程的一組解，則a的值為_(kāi)_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得，計(jì)算即可，本題考查了二元一次方程的解，熟練掌握解的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】是關(guān)于x，y的二元一次方程的一組解，
，
解得，
故答案為：3．
10. 把因式分解的結(jié)果是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了因式分解，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能再分解為止．
先提取公因式，再利用平方差公式進(jìn)行分解即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
11. 如圖，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小等邊三角形構(gòu)成，向游戲板隨機(jī)投擲一枚飛鏢（飛鏢每次都落在游戲板上），則擊中白色區(qū)域的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)幾何概率的求法：飛鏢落在白色區(qū)域的概率就是白色區(qū)域的面積與總面積的比值．
【詳解】解：∵總面積為9個(gè)小三角形的面積，其中白色區(qū)域面積為6個(gè)小三角形的面積，
∴飛鏢落在白色區(qū)域的概率是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來(lái)，一般用白色區(qū)域表示所求事件A；然后計(jì)算白色區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件A發(fā)生的概率．
12. 已知二次函數(shù)滿(mǎn)足條件：①圖像象過(guò)原點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足上述條件的二次函數(shù)的解析式：______．
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可以得出各系數(shù)的取值范圍，舉一例即可．
【詳解】解：圖像過(guò)原點(diǎn)，
可以設(shè)解析式為：
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
，開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸，
即，
可以設(shè)二次函數(shù)為
滿(mǎn)足均可．
故答案不唯一，如：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖像與各系數(shù)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
13. 如圖，在中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，且，則陰影部分的面積為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)求面積，涉及三角形中線(xiàn)將三角形面積等分的性質(zhì)，熟練根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，逐漸找到各個(gè)三角形之間面積的關(guān)系，代值求解即可得到答案，熟記三角形中線(xiàn)將三角形面積等分，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，
，
點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，
，
，
，
，則，
故答案為：．
14. 若二次函數(shù)與x軸只有1個(gè)公共點(diǎn)，則銳角________度．
【答案】60
【解析】
【分析】本題考查了拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，特殊角的三角函數(shù)值．先利用根的判別式的意義得到，則可得到，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值確定銳角的度數(shù)．
【詳解】解：∵二次函數(shù)與軸只有1個(gè)公共點(diǎn)，
∴，
解得，
∴銳角．
故答案為：60．
15. 如圖，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)，，則使成立的x的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，根據(jù)拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖像即可解答，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：二次函數(shù)與一次函數(shù)圖像相交于點(diǎn)，，
時(shí)一次函數(shù)在二次函數(shù)的上方，
使成立的x的取值范圍是，
故答案為：．
16. 如圖，當(dāng)一噴灌架為一農(nóng)田噴水時(shí)，噴灌架?chē)娚涑龅乃骺梢越频乜闯蓲佄锞€(xiàn)，則該噴灌架?chē)姵龅乃傻竭_(dá)的最遠(yuǎn)距離______米．

【答案】11
【解析】
【分析】求出拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)即可解答．
【詳解】解：對(duì)于，令，則，
解得：，（舍），
∴，
∴米．
故答案為：11．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．求出拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
17. 對(duì)許多畫(huà)家、藝術(shù)家來(lái)說(shuō)“黃金分割”是他們?cè)诂F(xiàn)實(shí)的創(chuàng)作中必須深入領(lǐng)會(huì)的一種指導(dǎo)方針，攝影師也不例外．?dāng)z影中有一種拍攝手法叫黃金分割構(gòu)圖法，其原理是：如圖，將正方形的邊取中點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，線(xiàn)段為半徑作圓，其與邊的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，這樣就把正方形延伸為黃金矩形，若，則__．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正方形的性質(zhì)、勾股定理、解一元二次方程的，解題關(guān)鍵是得到．
設(shè)，則，，，然后在中利用勾股定理列方程求出進(jìn)而得到．
【詳解】解：依題得：，
設(shè)，
則正方形中，，，
是的中點(diǎn)，
，
∴
∴
∴在中，
∴
整理得，
解得或（舍去）
∴．
故答案為：．
18. 如圖，在中，已知，，點(diǎn)P是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，在上有一點(diǎn)M，始終保持，連接，則的最小值為_(kāi)_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本題主要考查勾股定理，斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半和三角形三邊之間的關(guān)系，取的中點(diǎn)為O，連接，先證明，進(jìn)一步求出和，再根據(jù)，求出的最小值．
【詳解】解：如圖：取的中點(diǎn)為O，連接
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵O是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值為，
故答案為：．
三、解答題（本大題共有10小題，共96分．請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，畫(huà)圖或作圖痕跡用黑色簽字筆加粗加黑）
19. （1）解方程：；
（2）計(jì)算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本題主要考查解一元二次方程和特殊角三角函數(shù)的混合運(yùn)算：
（1）運(yùn)用配方法解方程即可；
（2）把特殊銳角三角函數(shù)值代入再進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）
，
，
，
∴，；
（2）
．
20. 如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點(diǎn)E在BD上，連接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求證：DB＝CD．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】根據(jù)AB∥CD，可得∠ABD＝∠EDC，利用AAS證明△ABD≌△EDC，即可得結(jié)論．
【詳解】解：證明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴DB＝CD．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)和三角形全等的證明，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到證明三角形全等需要的條件．
21. 如圖，在中，，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，，．求線(xiàn)段的長(zhǎng)和的值；
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理和解直角三角形，由，，，可求、的長(zhǎng)，根據(jù)題意求得的長(zhǎng)，根據(jù)正切的定義，即可求解．
【詳解】解：，，
，
，
，
，
點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，
，
，
故答案為：，．
22. 如圖，小華和小康想用標(biāo)桿來(lái)測(cè)量校園中的一棵樹(shù)的高，小康在F處豎立了一根標(biāo)桿，小華走到C處時(shí)，站立在C處恰好看到標(biāo)桿頂端E和樹(shù)的頂端B在一條直線(xiàn)上，此時(shí)測(cè)得小華的眼睛到地面的距離米，米，米，米，點(diǎn)C、F、A在一條直線(xiàn)上，，，，根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，請(qǐng)你求出樹(shù)的高度．
【答案】樹(shù)的高度為米
【解析】
【分析】本題主要考查了相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，過(guò)作于，交于，通過(guò)證明，得到，然后代入對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度計(jì)算求解即可．
詳解】解：過(guò)作于，交于，則米，米，
（米，（米，
由題意得，，，
，
，
，
（米，
答：樹(shù)的高度為米．
23. 已知：△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是一個(gè)單位長(zhǎng)度）．
（1）畫(huà)出△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A1B1C1，點(diǎn)C1的坐標(biāo)是 ；
（2）以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫(huà)出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1；
（3）四邊形AA2C2C的面積是 平方單位．
【答案】（1）（2，﹣2）
（2）見(jiàn)解析 （3）7.5
【解析】
【分析】（1）將△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B1C1，如圖所示，找出所求點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫(huà)出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，找出所求點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)四邊形的面積等于兩個(gè)三角形面積之和解答即可．
【小問(wèn)1詳解】
如圖所示，畫(huà)出△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A1B1C1，
點(diǎn)C1的坐標(biāo)是（2，﹣2）；
【小問(wèn)2詳解】
如圖所示，以B為位似中心，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，
∴，根據(jù)畫(huà)出點(diǎn)，
∴，根據(jù)畫(huà)出點(diǎn)，
點(diǎn)與點(diǎn)重合，
連接、、，即可得到△A2B2C2；
【小問(wèn)3詳解】
四邊形AA2C2C的面積是＝
故答案為：7.5
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用平移變換和位似變換進(jìn)行作圖，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：平移圖形時(shí)，要先找到圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，分別把這幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)按照平移的方向和距離確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)后，再順次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可得到平移后的圖形．
24. 為了讓同學(xué)們進(jìn)一步了解中國(guó)科技的快速發(fā)展，我市某中學(xué)九（）班團(tuán)支部組織了一次手抄報(bào)比賽，該班每位同學(xué)從．“中國(guó)天眼”：，“北斗衛(wèi)星”；．“高速鐵路”；．“神州火箭”四主題中任選一個(gè)自己喜歡的主題．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了同學(xué)們所選主題的頻數(shù)，繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問(wèn)題：

（1）九（）班共有 名學(xué)生；
（2）請(qǐng)以九（）班的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)全校名學(xué)生中大約有多少人選擇主題？
（3）請(qǐng)求出主題所對(duì)應(yīng)扇形圓心角的大??；
（4）在手抄報(bào)比賽中，甲、乙兩位同學(xué)均獲得了一等獎(jiǎng)，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求出他們的手抄報(bào)主題不相同的概率．
【答案】（1）；
（2）人；
（3）；
（4）列表見(jiàn)解析，．
【解析】
【分析】（）根據(jù)主題的人數(shù)除以占的百分比求出調(diào)查的學(xué)生總數(shù)即可；
（）根據(jù)樣本中主題的百分比，估計(jì)出全校學(xué)生選擇主題的學(xué)生數(shù)即可；
（）由主題的百分比，乘以，確定出所求即可；
（）列表確定出所有等可能的情況數(shù)，找出手抄報(bào)主題不相同的情況數(shù)，求出所求概率即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：根據(jù)題意得：（名），
則九（）班共有名學(xué)生；
故答案為：；
【小問(wèn)2詳解】
根據(jù)題意得：（名），
則估計(jì)全校名學(xué)生中大約有人選擇主題；
【小問(wèn)3詳解】
根據(jù)題意得：，
則主題所對(duì)應(yīng)扇形圓心角的大?。?br>【小問(wèn)4詳解】
根據(jù)題意列表如下：
所有等可能的情況有種，其中手抄報(bào)主題不相同的情況有種，
則．
【點(diǎn)睛】此題考查了列表法與樹(shù)狀圖法，用樣本估計(jì)總體，以及扇形統(tǒng)計(jì)圖，弄清題中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．
25. 如圖，AB為⊙O直徑，C為BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，D為⊙O上一點(diǎn)，OF⊥AD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，且∠ADC＝∠AOF．
(1)求證：CD與⊙O相切于點(diǎn)D；
(2)若sin∠C＝，BD＝12，求EF的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）
【解析】
【分析】（1）連接OD，根據(jù)圓的半徑相等，從而∠OAD＝∠ODA，由∠AEO＝90°，∠ADC＝∠AOF，可得∠ADC＋∠ODA＝90°，即可證明；
（2）由三角形中位線(xiàn)定理可知OE＝BD＝×12＝6，設(shè)OD＝x，OC＝3x，則OB＝x，則CB＝OC＋OB＝4x，再根據(jù)△COF∽△CBD得對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出答案．
【詳解】解：（1）如圖，連接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵OF⊥AD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AOF＋∠OAD＝90°，
∵∠ADC＝∠AOF，
∴∠ADC＋∠ODA＝90°，
即∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD與⊙O相切于點(diǎn)D；
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠AEO，
∴OF∥BD，OA＝OB，
∴OE＝BD＝×12＝6，
∵sinC＝，
設(shè)OD＝x，OC＝3x，則OB＝x，
∴CB＝OC＋OB＝4x，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴，
∴，
∴OF＝9，
∴EF＝OF?OE＝9?6＝3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)定理，三角函數(shù)等知識(shí)，利用設(shè)參數(shù)表示線(xiàn)段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
26. 為積極參與鄂州市全國(guó)文明城市創(chuàng)建活動(dòng)，我市某校在教學(xué)樓頂部新建了一塊大型宣傳牌，如圖，小明同學(xué)為測(cè)量宣傳牌的長(zhǎng)，他站在距離教學(xué)樓底部E處6米遠(yuǎn)的地面C處，測(cè)得宣傳牌的底部B的仰角為，同時(shí)測(cè)得教學(xué)樓窗戶(hù)D處的仰角為，B，D，E在同一條直線(xiàn)上．然后，小明沿坡度的斜坡從C處走到F處，此時(shí)正好與地面平行，小明在F處又測(cè)得宣傳牌頂部A的仰角為，求宣傳牌的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)，．）
【答案】宣傳牌的高度約為米
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)作于，證明四邊形是矩形，計(jì)算利用坡度得，結(jié)合，計(jì)算即可，本題考查了坡度計(jì)算，仰角計(jì)算．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于，
依題意知，，，
四邊形是矩形，
，
在中，
（米），
；
斜坡的坡度為．
中，（米），
（米）．
在中，
（米），
在中，
（米），
（米）．
答：宣傳牌的高度約為米．
27. 圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題的重要手段之一，小華和小芳對(duì)等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行了研究．如圖①，已知和均為等腰直角三角形，點(diǎn)分別在線(xiàn)段上，且．
（1）觀察猜想
小華將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，設(shè)的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，如圖②，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)；
①的值為_(kāi)_____；
②的度數(shù)為_(kāi)_____度．
（2）類(lèi)比探究
如圖③，小芳在小華的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，連接，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）拓展延伸
若，當(dāng)所在的直線(xiàn)垂直于時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
【答案】（1）①；②45；
（2）成立，見(jiàn)解析； （3）或
【解析】
【分析】本題考查了相似形綜合應(yīng)用，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
（1）①如圖②中，設(shè)交于點(diǎn)O．證明，推出；
②依據(jù)，推導(dǎo)出，進(jìn)而得到，可得結(jié)論；
（2）如圖③中，設(shè)交于點(diǎn)O．證明，可得結(jié)論；
（3）分兩種情形：如圖④-1中，當(dāng)于O時(shí)，如圖④-2中，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于O．分別求出，可得結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
如圖（2）中，設(shè)交于點(diǎn)．
都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案為：；
【小問(wèn)2詳解】
如圖（3）中，設(shè)交于點(diǎn)．
都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
；
【小問(wèn)3詳解】
如圖（4）-1中，當(dāng)于時(shí)，
，
，
，
，
，
，
，
．
如圖（4）-2中，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于．
同理，可得，
，
綜上所述，的長(zhǎng)為或．
28. 若直線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)B，且與x軸交于點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)P為直線(xiàn)下方拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為E，作軸交直線(xiàn)于點(diǎn)F，求線(xiàn)段最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）將拋物線(xiàn)沿x軸的正方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線(xiàn)，Q是新拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)（靠近y軸），N是原拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，在新拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)M，使得以M、N、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）有最大值，點(diǎn)的坐標(biāo)為
（3）滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)有或或
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的的圖象和性質(zhì)，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法和步驟，以及平行四邊形的性質(zhì)．
（1）先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)得出，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，求出a的值即可；
（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，則，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答；
（3）根據(jù)題意得出拋物線(xiàn)y的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，平移后的拋物線(xiàn)表達(dá)式為，進(jìn)而得出，設(shè)，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，進(jìn)行分類(lèi)討論①當(dāng)為邊時(shí)，②當(dāng)為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，即可解答．
【小問(wèn)1詳解】
解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴函數(shù)的表達(dá)式為：，
把代入得：
，
解得：，
故該拋物線(xiàn)得表達(dá)式為；
【小問(wèn)2詳解】
解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
設(shè)：，則，
，
∵，
∴當(dāng) 時(shí)，有最大值，
此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
【小問(wèn)3詳解】
解：∵，
∴拋物線(xiàn)y的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，平移后的拋物線(xiàn)表達(dá)式為，
把代入得：，
解得：，
∴，
∵N是原拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)，
∵點(diǎn)M在新拋物線(xiàn)上，
∴設(shè)，
①當(dāng)為邊時(shí)，
則點(diǎn)向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)，同樣點(diǎn)向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)，
即，
解得：或6，
即點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo)為：或；
②當(dāng)為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，
解得：，
則；
綜上，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)有或或．

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