1.正方形的定義：有一組鄰邊__________且有一個角__________的平行四邊形是正方形．
2．正方形的性質(zhì)：正方形既是__________________的矩形，又是__________________的菱形，因此，它既有__________的性質(zhì)，又有________的性質(zhì)．
3．正方形的判定：(1)有__________________的矩形是正方形．(2)有________________的菱形是正方形．(3)對角線______________________的四邊形是正方形． (4)對角線________________的矩形是正方形． (5)對角線__________________的菱形是正方形．
【例1】如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點， AF平分∠DAE，求證：BE＋DF＝AE.
【考點1】正方形的性質(zhì)
證明：延長CB到G，使GB=DF，連接AG， ∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=AB. ∴△ADF≌△ABG. ∴∠AFD=∠G，∠GAB=∠DAF=∠EAF. 又∵AB∥CD, ∴∠AFD =∠EAF +∠BAE=∠GAB +∠BAE =∠GAE. ∴∠G=∠GAE. ∴AE=GE=GB+BE=DF+BE.
【變式1】如圖，已知點E為正方形ABCD的邊BC 上一點，連接AE，過點D作DG⊥AE，垂足為G， 延長DG交AB于點F，求證：BF＝CE.
證明：在正方形ABCD中， ∠DAF=∠ABE=90°，DA=AB=BC， ∵DG⊥AE，∴∠FDA+∠DAG=90°. 又∵∠EAB+∠DAG=90°，∴∠FDA=∠EAB. 在Rt△DAF與Rt△ABE中，DA=AB，∠FDA=∠EAB， ∴Rt△DAF≌Rt△ABE. ∴AF=BE. 又AB=BC，∴BF=CE.
【考點2】正方形的判定
【例2】如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過點A，C兩點 作l1∥l2，作BM⊥l2于點M，DN⊥l2于點N，直線MB，DN分別交l1于G，P點，求證：四邊形PGMN是正方形．
證明：l1∥l2，BM⊥l1，DN⊥l2， ∴∠GMN=∠P=∠N=90°， ∴四邊形PGMN為矩形. ∵AB=AD，∠M=∠N=90°, ∠ADN+∠NAD=90°，∠NAD+∠BAM=90°， ∴∠ADN=∠BAM. 又∵AD=BA，∴Rt△ABM≌Rt△DAN（HL），∴AM=DN. 同理AN=DP. ∴AM+AN=DN+DP，即MN=PN． ∴四邊形PGMN是正方形．
【變式2】已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°， CD平分∠ACB，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F， 求證：四邊形CFDE是正方形．
證明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°. 又∵∠ACB=90°， ∴四邊形DECF是矩形. ∵DE=DF， ∴矩形DECF是正方形．
【考點3】正方形的綜合應用
【例3】如圖，BF平行于正方形ABCD的對角線AC,點E在BF上，且AE＝AC，CF∥AE，求∠BCF的度數(shù)．
解：過點A作AO⊥FB的延長線于點O， 連接BD，交AC于點Q， ∵四邊形ABCD是正方形，∴BQ⊥AC. ∵BF∥AC，∴AO∥BQ, 且∠QAB=∠QBA=45°. ∴AO=BQ=AQ= AC， ∵AE=AC，∴AO= AE. ∴∠AEO=30°. ∵BF∥AC，∴∠CAE=∠AEO=30°. ∵BF∥AC，CF∥AE，∴∠CFE=∠CAE=30°. ∵BF∥AC，∴∠CBF=∠BCA=45°. ∴∠BCF=180°－∠CBF－∠CFE=180°－45°－30°=105°.
【變式3】已知：如圖，在正方形ABCD中，對角線的交點為O，E是OB上的一點，DG⊥AE于點G，DG交OA于點F，求證：OE＝OF.
證明：在正方形ABCD中，對角線是垂直平分的，所以AO=OD， AC垂直BD,∠AFG=∠OFD（對頂角），DG垂直AE，所以∠AFG+∠GAF=∠AEO+∠GAF,得∠OFD=∠AEO，△DOF≌△AOE.所以OE=OF.
1．順次連接正方形四邊中點所得的四邊形一定是(　　)A．正方形　　　　　B．矩形C．菱形 D．等腰梯形
3．如圖，正方形ABCD的面積為1，則以相鄰兩邊中點連線EF為邊正方形EFGH的周長為(　　)
2．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是(　　)A．當AB＝BC時，它是菱形B．當AC⊥BD時，它是菱形C．當∠ABC＝90°時，它是矩形D．當AC＝BD時，它是正方形
4．如圖，正方形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸、 y軸上，點D(5，3)在邊AB上，以C為中心，把 △CDB旋轉(zhuǎn)90°，求旋轉(zhuǎn)后點D的對應點D′的坐標．
解：∵點D（5，3）在邊AB上， ∴BC=5，BD=5－3=2，①若順時針旋轉(zhuǎn)，則點D′在x軸上，OD′=2， 所以，D′(－2，0），②若逆時針旋轉(zhuǎn)，則點D′到x軸的距離為10，到y(tǒng)軸的距離為2， 所以，D′(2，10），綜上所述，點D′的坐標為(2，10）或(－2，0）．
5．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在 CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中點，求 CH 的長．
解：連接AC,CF， ∵正方形ABCD和正方形CEFG中， BC=1，CE=3， ∴AC= ，CF= ，∠ACD=∠GCF=45°. ∴∠ACF=90°. 由勾股定理，得AF= . ∵H是AF的中點, ∴CH= AF=12× = .
6．如圖，在正方形ABCD中，點M是BC邊上的任一點，連接AM并將線段AM繞M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN，在CD邊上取點P使CP＝BM，連接NP，BP.(1)求證：四邊形BMNP是平行四邊形；(2)線段MN與CD交于點Q，連接AQ，若△MCQ∽△AMQ，則BM與MC存在怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．
解：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C， 在△ABM和△BCP中， ∴△ABM≌△BCP（SAS）. ∴AM=BP，∠BAM=∠CBP.∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°.∴AM⊥BP. ∵將線段AM繞M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN， ∴AM⊥MN，且AM=MN. ∴MN∥BP. ∴四邊形BMNP是平行四邊形.

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