1．相似三角形的判定：(1)如圖，若DE∥BC(A型和X型)則 △ADE∽__________．(2)兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形__________．(3)兩邊對應(yīng)成__________且夾角________的兩個(gè)三角形 相似．(4)三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形__________．
2.相似三角形的性質(zhì)：(1)對應(yīng)角________，對應(yīng)邊的比等于________， 周長的比等于________，面積的比等于__________ . (2)三條平行線截兩條直線，所得對應(yīng)線段 __________ .
【例1】如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的高且CD2＝AD·DB.(1)求證：△ACD∽△CBD；(2)求∠ACB的度數(shù)．
【考點(diǎn)1】相似三角形的判定與性質(zhì)
證明：（1）∵CD是邊AB上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°. ∵CD2=AD·DB， ∴ . ∴△ADC∽△CDB. （2）由（1）,得△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B. ∵∠B+∠DCB=90°， ∴∠ACD+∠DCB=90°，即∠ACB=90°.
【變式1】如圖，D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)， 連接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4， 求線段CD的長．
解：在△ABD和△ACB中， ∠ABD=∠C，∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACB. ∴ . ∵AB=6，AD=4， ∴AC= . ∴CD=AC－AD=9－4=5.
【考點(diǎn)2】相似三角形的判定
【例2】如圖，在矩形ABCD中，沿直線MN對折， 使A，C重合，直線MN交AC于點(diǎn)O. 求證：△COM∽△CBA.
證明：A與C關(guān)于直線MN對稱，∴AC⊥MN，∴∠COM=90°.在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠COM=∠B.又∵∠ACB=∠ACB， ∴△COM∽△CBA .
【變式2】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以 CD為直徑作⊙O，⊙O與邊BC相交于點(diǎn)F，⊙O的 切線DE與邊AB相交于點(diǎn)E. 求證：△ADE∽△CDF.
證明：∵CD是⊙O的直徑， ∴∠DFC=90°. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠A=∠C，AD∥BC. ∴∠ADF=∠DFC=90°， ∵DE為⊙O的切線，∴DE⊥DC. ∴∠EDC=90°. ∴∠ADF=∠EDC=90°. ∴∠ADE=∠CDF. ∵∠A=∠C， ∴△ADE∽△CDF.
【考點(diǎn)3】相似三角形的判定與性質(zhì)
【例3】如圖，△ABC為銳角三角形，AD是BC邊 上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC邊上，頂點(diǎn)E， H分別在AB，AC上，BC＝40 cm，AD＝30 cm.(1)求證：△AEH∽△ABC；(2)求這個(gè)正方形的邊長與面積．
解：(1)證明：∵四邊形EFGH是正方形， ∴EH∥BC. ∴△AEH∽△ABC.（2）解：設(shè)AD與EH交于點(diǎn)M，∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°， ∴四邊形EFDM是矩形. ∴EF=DM. 設(shè)正方形EFGH的邊長為x，∴AM=30－x. ∵△AEH∽△ABC，∴ . ∴ .∴x= . ∴正方形EFGH的邊長為 cm，面積為 cm2
【變式3】如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD， CD上，AE＝ED，DF＝ DC，連接EF并延 長交BC的延長線于點(diǎn)G.(1)求證：△ABE∽△DEF；(2)若正方形的邊長為4，求BG的長．
證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形， ∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°. ∵AE=ED，∴ . ∵DF= DC， ∴ . ∴ . ∴△ABE∽△DEF. （2）解：∵四邊形ABCD為正方形，∴ED∥BG. ∴△EDF∽△GCF. ∴ . ∵DF= DC，正方形的邊長為4，∴ED=2，即 . ∴CG=6. ∴BG=BC+CG=10.
1．如圖，在△ABC中，DE∥BC， ,則△ADE與△ABC的面積之比為________．
3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，求證：△ABC∽ADE.
2．如圖，點(diǎn)P是?ABCD的邊AB上一點(diǎn)，射線CP交DA的延長線于點(diǎn)E，則圖中相似的三角形有________對．
證明：∵∠C=90°DE⊥AB, ∴∠C=∠DEA, ∵∠A=∠A, ∴△ABC∽△ADE.
4．如圖，△ABC為等邊三角形，邊長為a，DF⊥AB，EF⊥AC.(1)求證：△BDF∽△CEF；(2)若BF＝ a，求 BD，EC的長．
證明：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°. ∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠C=60°. ∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，∴△BDF∽△CEF. （2）解：∵BF= ，∴FC= . ∵∠B=60°，∠BDF=90°∴∠BFD=30°. ∴BD= BF= . ∵△BDF∽△CEF，∴ ， ∴CE= BD= .
5．如圖，AB∥FC，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E， DE＝FE，分別延長FD和CB交于點(diǎn)G.(1)求證：△ADE≌△CFE；(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的長．
證明：（1）∵ AB∥FC，∴∠ADE=∠CFE. 又∵∠AED=∠CEF，DE=FE, ∴ △ADE≌△CFE（ASA）. （2）解：∵△ADE≌△CFE，∴ AD=CF. ∵ AB∥FC，∴∠GBD＝∠GCF，∠GDB＝∠GFC. ∴△ GBD∽△GCF. ∴ 又∵GB＝2，BC＝4，BD＝1， 代入 , ,得CF＝3=AD. ∴ AB＝AD+BD=3+1=4.
6．如圖，⊙O的半徑為4，B是⊙O外一點(diǎn)，連接OB， 且OB＝6，過點(diǎn)B作⊙O的切線BD，切點(diǎn)為D，延長BO交 ⊙O于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作切線BD的垂線，垂足為C.(1)求證：AD平分∠BAC；(2)求AC的長．
證明：（1）連接OD，∵BD是⊙O的切線，∴OD⊥BD. ∵AC⊥BD，∴OD∥AC. ∴∠DAC=∠ODA. ∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA. ∴∠OAD=∠DAC，即AD平分∠BAC. （2）解：∵OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC. ∴ . ∴ . 解得AC= .
7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于點(diǎn)D.點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到C時(shí)，兩點(diǎn)都停止．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．(1)求線段CD的長；(2)設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定在運(yùn)動過程中是否存在某一時(shí)刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10. ∵CD⊥AB，∴S△ABC= BC·AC= AB·CD. ∴CD= . ∴線段CD的長為4.8.

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