最新高考數(shù)學解題方法模板50講專題22 等差等比數(shù)列性質(zhì)的巧用-試卷下載-教習網(wǎng)

一、注意基礎知識的整合、鞏固。二輪復習要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識，進一步夯實基礎，提高解題的準確性和速度
二、查漏補缺，保強攻弱。在二輪復習中，對自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強學習，平衡發(fā)展，加強各章節(jié)知識之間的橫向聯(lián)系，針對“一?！笨荚囍械膯栴}要很好的解決，根據(jù)自己的實際情況作出合理的安排。
三、提高運算能力，規(guī)范解答過程。在高考中運算占很大比例，一定要重視運算技巧粗中有細，提高運算準確性和速度，同時，要規(guī)范解答過程及書寫。
四、強化數(shù)學思維，構建知識體系。同學們在聽課時注意把重點要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結，以便于同學們在刷題時做到思路清晰，迅速準確。
五、解題快慢結合，改錯反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動作要快要自信。
六、重視和加強選擇題的訓練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過
高考數(shù)學
解題方法
模
板
50
講
專題22 等差等比數(shù)列性質(zhì)的巧用
【高考地位】
從內(nèi)容上看，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)一直是高考的熱點；在能力方面，要求學生具備一定的創(chuàng)新能力和抽象概括能力；從命題形式上看，以選擇、填空題為主，難度不大.
類型一由等差或等比數(shù)列的性質(zhì)求值
例1 在等差數(shù)列中則的最大值等于
A. 3 B. 6 C. 9 D. 36
【答案】C
【解析】第一步,觀察已知條件和所求未知量的結構特征:
因為在等差數(shù)列中
第二步，選擇相對應的等差或等比數(shù)列的性質(zhì)列出相應的等量關系：
所以，
第三步，整理化簡，求得代數(shù)式的值：
所以，
所以利用均值不等式可知最大值為9，選C.
考點：數(shù)列，基本不等式．
例2 已知等比數(shù)列滿足：，則___________.
【來源】江西省重點中學協(xié)作體2021屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學（理）試題
【答案】
【分析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)計算．
【詳解】
因為是等比數(shù)列，所以，所以，，，，
所以．
故答案為：．
【變式演練1】【2020屆北京市東城區(qū)高三一模線上統(tǒng)練】數(shù)列是等差數(shù)列，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比，且，則（）
A．B．
C．D．與大小不確定
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本不等式和等比數(shù)列性質(zhì)可求得，結合等差數(shù)列性質(zhì)可求得結果.
【詳解】
由等差數(shù)列性質(zhì)知：；由等比數(shù)列性質(zhì)知：，
，（當且僅當時取等號），
又，，，
，，即.
故選：.
【變式演練2】【云南省紅河州2020屆高三高考數(shù)學（理科）一模】數(shù)列是等差數(shù)列，，且構成公比為q的等比數(shù)列，則（）
A．1或3B．0或2C．3D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)等比中項的性質(zhì)列方程，由此求得，進而求得，從而求得的值.
【詳解】
設等差數(shù)列的公差為d，∵構成公比為q的等比數(shù)列，∴，
即，解得或2，
所以或，所以或3，
故選：A
【變式演練3】【2020屆河北省衡水中學高三衛(wèi)冕聯(lián)考數(shù)學（理）】已知等差數(shù)列中，，，數(shù)列滿足，則______.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出，從而求出，再利用等差數(shù)列的前項和公式即可求解.
【詳解】
由題意，解得，
所以，
所以，
則.
故答案為：
【變式演練4】【江蘇省南通市2020屆高三下學期5月聯(lián)考】已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則的值是__.
【答案】16.
【解析】
【分析】
設等比數(shù)列的公比為，，由等差數(shù)列的中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得，再由等比數(shù)列的通項公式，化簡可得所求值.
【詳解】
解：等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，設公比為，，
由，，成等差數(shù)列，可得，
即有，即，解得舍去），
則.
故答案為：16.
類型二有關等差或等比數(shù)列前項和性質(zhì)的問題
例3. 已知等比數(shù)列的前項和為，已知，則（）
A. －510 B. 400 C. 400或－510 D. 30或40
【答案】B
【解析】第一步，觀察已知條件中前項和的信息：
因為等比數(shù)列的前項和為，所以也成比差數(shù)列，
第二步，選擇相對應的等差或等比數(shù)列前項和的性質(zhì)列出相應的等量關系：
所以，解得：，
因為，所以
第三步，整理化簡，得出結論：
所以所以
【變式演練4】【寧夏石嘴山市2020屆高三適應性測試數(shù)學（文）】為等差數(shù)列的前項和，若，則（）.
A．-1B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由可得選項.
【詳解】
因為，所以，
故選：B.
【變式演練5】【江西省南昌二中2020屆高三（6月份）高考數(shù)學（理科）校測】設是等差數(shù)列的前項和，存在且時,有，，則（）
A．8B．C．17D．16
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化求解即可．
【詳解】
由題知，且，
所以，
所以，所以.
故選：B．
【變式演練6】【2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國2卷）理科】已知數(shù)列，為等差數(shù)列，其前項和分別為，，，則（）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得設，，根據(jù)，即可選出正確答案.
【詳解】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，
所以可設，.
則，，所以.
故選:D.
類型三數(shù)列的最值問題
例4 已知等差數(shù)列的前項和為，，，如果當時，最小，那么的值為（）
A．10 B．9 C．5 D．4
【答案】C
【解析】第一步，觀察已知條件，選擇合適的求解方法：
依題意有，解得，
第二步，根據(jù)上一步選擇的方法寫出二次函數(shù)的最值形式或畫出相對應的圖像或列出相對應的不等式（組）：
令，所以，
第三步，整理化簡，得出結論，注意是正整數(shù)：
所以前項是負數(shù)，前項的和最?。?br>考點：等差數(shù)列的基本性質(zhì)．
【變式演練7】【河南省部分重點高中2019-2020學年度高三高考適應性考試】已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，，an，6Sn成等差數(shù)列，若t＝a1a2+a2a3+…+anan+1，則（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差中項的性質(zhì)列方程，然后利用求得的通項公式，由此判斷出是等比數(shù)列，進而求得的表達式，從而求得的取值范圍.
【詳解】
因為，an，6Sn成等差數(shù)列，
所以 ①
當時，，解得，
當時， ②
由①-②得，
可得，
所以數(shù)列{an}是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
故，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，
因為，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，
所以，
所以
故選：C
【變式演練8】【貴州省貴陽為明教育集團2021屆高三第一次調(diào)研】已知等比數(shù)列的前n項和為，若公比，則數(shù)列的前n項積的最大值為（）
A．16B．64C．128D．256
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等比數(shù)列的前項和公式求出，觀察等比數(shù)列的各項的值及其規(guī)律，從而可求出前項之積的最大值.
【詳解】
由，，得，解得，
所以數(shù)列為8，，2，，，，……，前4項乘積最大為64.
故選：B.
【變式演練9】【陜西省西安市西北工業(yè)大學附屬中學2020屆高三下學期高考猜題卷（三）】已知是等差數(shù)列的前n項和，若，，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根據(jù)條件求出首項和公差，即可求出通項公式和前項和，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可求出的最小值.
【詳解】
設等差數(shù)列的公差為，
，解得，
，，
，
令，且，
，
恒成立，，
在和上單調(diào)遞增，
由此可以判斷數(shù)列在時為遞增數(shù)列，此時的最小值為，在時為遞增數(shù)列，此時的最小值為，綜上，所以的最小值為．
故答案為：．
【高考再現(xiàn)】
1．（2021·北京高考真題）和是兩個等差數(shù)列，其中為常值，，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知條件求出的值，利用等差中項的性質(zhì)可求得的值.
【詳解】由已知條件可得，則，因此，.
故選：B.
2．（2021·北京高考真題）數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，且，，則的最大值為（）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】使數(shù)列首項、遞增幅度均最小，結合等差數(shù)列的通項及求和公式即可得解.
【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，
不妨設數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項和為，
則，，，
所以n的最大值為11.
故選：C.
3．【2020年高考全國Ⅰ卷文數(shù)10】設是等比數(shù)列，且，則（）
A． B． C． D．
【答案】D【思路導引】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結果．
【解析】設等比數(shù)列的公比為，則，
，
，故選D．
【專家解讀】本題的特點是注重基礎，本題考查了等比數(shù)列及其性質(zhì)，考查等比數(shù)列基本量的計算，考查數(shù)學運算學科素養(yǎng)．解題關鍵是正確應用等比數(shù)列的性質(zhì)．
4．【2020年高考全國Ⅱ卷文數(shù)6】記為等比數(shù)列的前項和．若則（）
A．B．C．D．
【答案】B【思路導引】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，可以得到方程組，解方程組求出首項和公比，最后利用等比數(shù)列的通項公式和前項和公式進行求解即可．
【解析】設等比數(shù)列的公比為，由可得：，
∴，因此，故選B．
【專家解讀】本題的特點是注重基礎，本題考查了等比數(shù)列的通項公式的基本量計算，考查了等比數(shù)列前項和公式的應用，考查函數(shù)與方程思想，考查數(shù)學運算學科素養(yǎng)．解題關鍵是正確消元．
5．【2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)4】北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多塊，向外每環(huán)依次也增加塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）
A．塊 B．塊 C．塊 D．塊
【答案】C【思路導引】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，
設為的前項和，由題意可得，解方程即可得到n，進一步得到．
【解析】設第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，，設為的前項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因為下層比中層多729塊，所以，即，即，解得，所以，故選C．
【專家解讀】本題的特點是注重基礎，本題考查了等差數(shù)列的通項公式的基本量計算，考查了等差數(shù)列前項和公式的應用，考查數(shù)學文化，考查函數(shù)與方程思想，考查數(shù)學運算學科素養(yǎng)．解題關鍵是正確消元．
6．【2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)6】數(shù)列中，，，若，則
A． B． C． D．
【答案】C
【思路導引】取，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關于的等式，由可求得的值．
【解析】在等式中，令，可得，，
所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，
，
，則，解得．故選：C．
【專家解讀】本題的特點是注重基礎，本題考查了等比數(shù)列的通項公式的基本量計算，考查了等比數(shù)列前項和公式的應用，考查函數(shù)與方程思想，考查數(shù)學運算、數(shù)學建模等學科素養(yǎng)．解題關鍵是正確應用有關公式解決問題．
7．【2020年高考浙江卷7】已知等差數(shù)列的前項和，公差．記，下列等式不可能成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A．由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，成立；
B．，，，
若，則，
即，這與已知矛盾，故B不成立；
C．，整理為：，故C成立；
D．，當時，即，整理為，即，，方程有解，故D成立．綜上可知，等式不可能成立的是B，故選B．
【專家解讀】本題的特點是注重基礎，本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)應用，考查數(shù)學運算、數(shù)學建模等學科素養(yǎng)．解題關鍵是合理等差數(shù)列的性質(zhì)解題．
8．【2020年高考北京卷8】在等差數(shù)列{}中，，，記，則數(shù)列{}（）
A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項
C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項
【答案】A
【解析】設公差為d，a5-a1=4d，即d=2，an=2n-11，1≤n≤5使，an＜0，n≥6時，an＞0，所以n=4時，Tn＞0，并且取最大值；n=5時，Tn＜0；n≥6時，Tn＜0，并且當n越來越大時，Tn越來越小，所以Tn無最小項．故選A．
【專家解讀】本題的特點是注重基礎，本題考查了等差數(shù)列的通項公式以及利用錯位相減法求數(shù)列的和，考查數(shù)學運算、邏輯推理等學科素養(yǎng)．解題關鍵是合理等差數(shù)列的性質(zhì)解題．
9．【2020年高考全國Ⅱ卷文數(shù)14】記為等差數(shù)列的前項和，若，則．
【答案】
【思路導引】∵是等差數(shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項和，即可求得答案．
【解析】是等差數(shù)列，且．設等差數(shù)列的公差，根據(jù)等差數(shù)列通項公式：，可得，即：，整理可得：，解得：．
根據(jù)等差數(shù)列前項和公式：，可得：，．故答案為：．
【專家解讀】本題的特點是注重基礎，本題考查了等差數(shù)列通項公式及等差數(shù)列的前項和公式，考查數(shù)學運算學科素養(yǎng)．解題關鍵是掌握等差數(shù)列的通項公式及前項和公式．
10．【2020年高考江蘇卷11】設是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，已知的前項和，則的值是________．
【答案】
【解析】∵的前項和，
當時，；
當時，，∴，從而有．
【專家解讀】本題的特點是注重基礎，本題考查了等差數(shù)列通項公式及錯位相減法求數(shù)列的前項和，考查數(shù)學運算學科素養(yǎng)．解題關鍵是掌握等差數(shù)列的通項公式及錯位相減法．
11．【2020年高考上海卷7】已知等差數(shù)列的首項，且滿足，則．
【答案】
【解析】由條件可知，．
故答案為：．
【專家解讀】本題的特點是注重基礎，本題考查了等差數(shù)列通項公式，考查數(shù)學運算學科素養(yǎng)．解題關鍵是熟記等差數(shù)列的通項公式．
12．【2018年浙江卷】已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若a1>1，則
A． a1a4
【答案】B
【解析】分析:先證不等式x≥lnx+1，再確定公比的取值范圍，進而作出判斷.
詳解：令f(x)=x?lnx?1,則f'(x)=1?1x，令f'(x)=0,得x=1，所以當x>1時，f'(x)>0，當0

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