考向一反復進磁場
考向二 先電場后磁場
考向三 先磁場后電場
考向四 交變電磁場
考向一反復進磁場
【典例1】（2022年山東省普通高中學業(yè)水平等級性考試17. ）中國“人造太陽”在核聚變實驗方而取得新突破，該裝置中用電磁場約束和加速高能離子，其部分電磁場簡化模型如圖所示，在三維坐標系中，空間內(nèi)充滿勻強磁場I，磁感應強度大小為B，方向沿x軸正方向；，的空間內(nèi)充滿勻強磁場II，磁感應強度大小為，方向平行于平面，與x軸正方向夾角為；，的空間內(nèi)充滿沿y軸負方向的勻強電場。質(zhì)量為m、帶電量為的離子甲，從平面第三象限內(nèi)距軸為的點以一定速度出射，速度方向與軸正方向夾角為，在在平面內(nèi)運動一段時間后，經(jīng)坐標原點沿軸正方向進入磁場I。不計離子重力。
（1）當離子甲從點出射速度為時，求電場強度的大??；
（2）若使離子甲進入磁場后始終在磁場中運動，求進入磁場時的最大速度；
（3）離子甲以的速度從點沿軸正方向第一次穿過面進入磁場I，求第四次穿過平面的位置坐標（用表示）；
（4）當離子甲以的速度從點進入磁場I時，質(zhì)量為、帶電量為的離子乙，也從點沿軸正方向以相同的動能同時進入磁場I，求兩離子進入磁場后，到達它們運動軌跡第一個交點的時間差（忽略離子間相互作用）。
【答案】（1）；（2）；（3）（，，）；（4）
【解析】（1）如圖所示
將離子甲從點出射速度為分解到沿軸方向和軸方向，離子受到的電場力沿軸負方向，可知離子沿軸方向做勻速直線運動，沿軸方向做勻減速直線運動，從到的過程，有
聯(lián)立解得
（2）如圖所示
離子從坐標原點沿軸正方向進入磁場I中，由洛倫茲力提供向心力可得
離子經(jīng)過磁場I偏轉(zhuǎn)后從軸進入磁場II中，由洛倫茲力提供向心力可得
可得
為了使離子在磁場中運動，需滿足，
聯(lián)立可得
要使離子甲進入磁場后始終在磁場中運動，進入磁場時的最大速度為；
（3）離子甲以的速度從點沿z軸正方向第一次穿過面進入磁場I，離子在磁場I中的軌跡半徑為
離子在磁場II中的軌跡半徑為
離子從點第一次穿過到第四次穿過平面的運動情景，如圖所示
離子第四次穿過平面的坐標為
離子第四次穿過平面的坐標為
故離子第四次穿過平面的位置坐標為（，，）
（4）設離子乙的速度為，根據(jù)離子甲、乙動能相同，可得
可得
離子甲在磁場I中的軌跡半徑為
離子甲在磁場II中的軌跡半徑為
離子乙在磁場I中的軌跡半徑為
離子乙在磁場II中的軌跡半徑為
根據(jù)幾何關系可知離子甲、乙運動軌跡第一個交點如圖所示
從點進入磁場到第一個交點的過程，有
可得離子甲、乙到達它們運動軌跡第一個交點的時間差為
【典例2】(2020·江蘇卷·16)空間存在兩個垂直于Oxy平面的勻強磁場，y軸為兩磁場的邊界，磁感應強度分別為2B0、3B0.甲、乙兩種比荷不同的粒子同時從原點O沿x軸正向射入磁場，速度均為v.甲第1次、第2次經(jīng)過y軸的位置分別為P、Q，其軌跡如圖1所示.甲經(jīng)過Q時，乙也恰好同時經(jīng)過該點.已知甲的質(zhì)量為m，電荷量為q.不考慮粒子間的相互作用和重力影響.求：
(1)Q到O的距離d；
(2)甲兩次經(jīng)過P點的時間間隔Δt；
(3)乙的比荷eq \f(q′,m′)可能的最小值.
【答案】(1)eq \f(mv,3qB0) (2)eq \f(2πm,qB0) (3)eq \f(2q,m)
【解析】(1)甲粒子先后在兩磁場中做勻速圓周運動，設半徑分別為r1、r2
由qvB＝meq \f(v2,r)可知r＝eq \f(mv,qB)，
故r1＝eq \f(mv,2qB0)，r2＝eq \f(mv,3qB0)
且d＝2r1－2r2
解得d＝eq \f(mv,3qB0)
(2)甲粒子先后在兩磁場中做勻速圓周運動，設運動時間分別 t1、t2
由T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)得t1＝eq \f(πm,2qB0)，t2＝eq \f(πm,3qB0)
且Δt＝2t1＋3t2
解得Δt＝eq \f(2πm,qB0)
(3)乙粒子周期性地先后在兩磁場中做勻速圓周運動
若經(jīng)過兩磁場的次數(shù)均為n(n＝1,2,3，…)
相遇時，有neq \f(m′v,3q′B0)＝d，neq \f(5πm′,6q′B0)＝t1＋t2
解得eq \f(q′,m′)＝neq \f(q,m)
根據(jù)題意，n＝1舍去.
當n＝2時，eq \f(q′,m′)有最小值，(eq \f(q′,m′))min＝eq \f(2q,m)
若先后經(jīng)過右側(cè)、左側(cè)磁場的次數(shù)分別為(n＋1)、n(n＝0,1,2,3，…)，經(jīng)分析不可能相遇.
綜上分析，乙的比荷的最小值為eq \f(2q,m).
練習1、(2022·北京市西城區(qū)高三下統(tǒng)一測試)如圖所示，在無限長的豎直邊界NS和MT間充滿勻強電場，同時該區(qū)域上、下部分分別充滿方向垂直于NSTM平面向外和向內(nèi)的勻強磁場，磁感應強度大小分別為B和2B，KL為上下磁場的水平分界線，在NS和MT邊界上，距KL高h處分別有P、Q兩點，NS和MT間距為1.8h。質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q的粒子從P點垂直于NS邊界射入該區(qū)域，在兩邊界之間做圓周運動，重力加速度為g。
(1)求電場強度的大小和方向。
(2)要使粒子不從NS邊界飛出，求粒子入射速度的最小值。
(3)若粒子能經(jīng)過Q點從MT邊界飛出，求粒子入射速度的所有可能值。
【答案】見解析
【解析】(1)設電場強度大小為E
由題意有mg＝qE
得E＝eq \f(mg,q)，方向豎直向上(2)如圖甲所示，設粒子不從NS邊飛出的入射速度最小值為vmin，對應的粒子在上、下區(qū)域的運動半徑分別為r1和r2，圓心的連線與NS的夾角為φ。
由r＝eq \f(mv,qB)，有r1＝eq \f(mvmin,qB)，r2＝eq \f(1,2)r1
由(r1＋r2)sin φ＝r2
r1＋r1cs φ＝h
vmin＝(9－6eq \r(2))eq \f(qBh,m)。
(3)如圖乙所示，設粒子入射速度為v，粒子在上、下方區(qū)域的運動半徑分別為r1和r2，粒子第一次通過KL時距離K點為x。
由題意有3nx＝1.8 h(n＝1,2,3，…)
eq \f(3,2)x≥eq \f(?9－6\r(2)?h,2)
x＝eq \r(r\\al(2,1)－?h－r1?2)得r1＝(1＋eq \f(0.36,n2))eq \f(h,2)，n＜3.5
即n＝1時，v＝eq \f(0.68qBh,m)；n＝2時，v＝eq \f(0.545qBh,m)；n＝3時，
v＝eq \f(0.52qBh,m)。
練習2、(2022·天津市部分區(qū)高三上期末)如圖所示，在坐標系xOy的第一、第三象限內(nèi)存在相同的勻強磁場，磁場方向垂直于xOy平面向里；第四象限內(nèi)有沿y軸正方向的勻強電場，電場強度大小為E。一帶電量為＋q、質(zhì)量為m的粒子，自y軸上的P點沿x軸正方向射入第四象限，經(jīng)x軸上的Q點進入第一象限，隨即撤去電場，以后僅保留磁場。已知OP＝d，OQ＝2d。不計粒子重力。
(1)求粒子過Q點時速度的大小和方向。
(2)若磁感應強度的大小為一確定值B0，粒子將以垂直y軸的方向進入第二象限，求B0。
(3)若磁感應強度的大小為另一確定值，經(jīng)過一段時間后粒子將再次經(jīng)過Q點，且速度與第一次過Q點時相同，求該粒子相鄰兩次經(jīng)過Q點所用的時間。
【答案】(1)2 eq \r(\f(qEd,m)) 方向與水平方向成45°角斜向上 (2) eq \r(\f(mE,2qd)) (3)(2＋π) eq \r(\f(2md,qE))
【解析】第一步：抓關鍵點
第二步：找突破口
(1)要求過Q點的速度，可以結(jié)合平拋運動的知識列方程求解。
(2)要求以垂直y軸的方向進入第二象限時的磁感應強度B0值，可以先畫出帶電粒子在第一象限的運動軌跡，后結(jié)合勻速圓周運動的知識求解。
(3)要求經(jīng)過一段時間后仍以相同的速度過Q點情況下經(jīng)歷的時間，必須先綜合分析帶電粒子的運動過程，畫出運動軌跡，后結(jié)合有關知識列方程求解。
(1)設粒子在電場中運動的時間為t0，加速度的大小為a，粒子的初速度為v0，過Q點時速度的大小為v，沿y軸方向分速度的大小為vy，速度與x軸正方向間的夾角為θ，由牛頓第二定律得
qE＝ma①
由運動學公式得
d＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,0)②
2d＝v0t0③
vy＝at0④
v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))⑤
tan θ＝eq \f(vy,v0)⑥
聯(lián)立①②③④⑤⑥式得
v＝2 eq \r(\f(qEd,m))⑦
θ＝45°⑧
甲
(2)設粒子做圓周運動的半徑為R1，粒子在第一象限的運動軌跡如圖甲所示，O1為圓心，由幾何關系可知△O1OQ為等腰直角三角形，得
R1＝2eq \r(2)d⑨
由牛頓第二定律得
qvB0＝meq \f(v2,R1)⑩
聯(lián)立⑦⑨⑩式得B0＝ eq \r(\f(mE,2qd))?
(3)設粒子做圓周運動的半徑為R2，由幾何分析[粒子運動的軌跡如圖乙所示，O2、O2′是粒子做圓周運動的圓心，Q、F、G、H是軌跡與兩坐標軸的交點，連接O2、O2′，由幾何關系知，O2FGO2′和O2QHO2′均為矩形，進而知FQ、GH均為直徑，QFGH也是矩形，又FH⊥GQ，可知QFGH是正方形，△QOF為等腰直角三角形。]可知，粒子在第一、第三象限的軌跡均為半圓，得
乙
2R2＝2eq \r(2)d?
粒子在第二、第四象限的軌跡為長度相等的線段，得
FG＝HQ＝2R2?
設粒子相鄰兩次經(jīng)過Q點所用的時間為t，則有
t＝eq \f(FG＋HQ＋2πR2,v)?
聯(lián)立⑦???式得
t＝(2＋π) eq \r(\f(2md,qE))?
考向二 先電場后磁場
先電場后磁場
(1)先在電場中做加速直線運動，然后進入磁場做圓周運動。如圖甲、乙所示，在電場中利用動能定理或運動學公式求粒子剛進入磁場時的速度。
(2)先在電場中做類平拋運動，然后進入磁場做圓周運動。如圖丙、丁所示，在電場中利用平拋運動知識求粒子進入磁場時的速度。
【典例3】(2020·全國卷Ⅱ)CT掃描是計算機X射線斷層掃描技術的簡稱，CT掃描機可用于對多種病情的探測。圖(a)是某種CT機主要部分的剖面圖，其中X射線產(chǎn)生部分的示意圖如圖(b)所示。圖(b)中M、N之間有一電子束的加速電場，虛線框內(nèi)有勻強偏轉(zhuǎn)磁場；經(jīng)調(diào)節(jié)后電子束從靜止開始沿帶箭頭的實線所示的方向前進，打到靶上，產(chǎn)生X射線(如圖中帶箭頭的虛線所示)；將電子束打到靶上的點記為P點。則( )
A．M處的電勢高于N處的電勢
B．增大M、N之間的加速電壓可使P點左移
C．偏轉(zhuǎn)磁場的方向垂直于紙面向外
D．增大偏轉(zhuǎn)磁場磁感應強度的大小可使P點左移
【答案】D
【解析】電子在電場中加速運動，電場力的方向和運動方向相同，而電子所受電場力的方向與電場的方向相反，所以M處的電勢低于N處的電勢，A錯誤；增大M、N之間的電壓，根據(jù)動能定理可知，電子進入磁場時的初速度變大，根據(jù)r＝eq \f(mv,eB)知其在磁場中的軌跡半徑增大，P點將右移，B錯誤；根據(jù)左手定則可知，磁場的方向應該垂直于紙面向里，C錯誤；結(jié)合B分析，可知增大磁場的磁感應強度，軌跡半徑將減小，P點將左移，D正確。
【典例4】(2021·全國甲卷)如圖，長度均為l的兩塊擋板豎直相對放置，間距也為l，兩擋板上邊緣P和M處于同一水平線上，在該水平線的上方區(qū)域有方向豎直向下的勻強電場，電場強度大小為E；兩擋板間有垂直紙面向外、磁感應強度大小可調(diào)節(jié)的勻強磁場。一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子自電場中某處以大小為v0的速度水平向右發(fā)射，恰好從P點處射入磁場，從兩擋板下邊緣Q和N之間射出磁場，運動過程中粒子未與擋板碰撞。已知粒子射入磁場時的速度方向與PQ的夾角為60°，不計重力。
(1)求粒子發(fā)射位置到P點的距離；
(2)求磁感應強度大小的取值范圍；
(3)若粒子正好從QN的中點射出磁場，求粒子在磁場中的軌跡與擋板MN的最近距離。
【答案】(1)eq \f(\r(13)mv\\al(2,0),6qE) (2)eq \f(?3－\r(3)?mv0,3ql)≤B≤eq \f(2mv0,ql) (3)eq \f(39－10\r(3),44)l
【解析】(1)帶電粒子在勻強電場中做類平拋運動，由類平拋運動規(guī)律可知
x＝v0t①
y＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(qEt2,2m)②
已知粒子射入磁場時的速度方向與PQ的夾角為60°，有tan30°＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(at,v0)＝eq \f(qEt,mv0)③
粒子發(fā)射位置到P點的距離s＝ eq \r(x2＋y2)④
由①②③④式解得s＝eq \f(\r(13)mv\\al(2,0),6qE)。
(2)帶電粒子在磁場中運動的速度大小
v＝eq \f(v0,cs30°)＝eq \f(2\r(3)v0,3)⑤
帶電粒子在磁場中做圓周運動，向心力由洛倫茲力提供，由牛頓第二定律可知qvB＝eq \f(mv2,r)⑥
帶電粒子在磁場中運動的兩個臨界軌跡(分別從Q、N點射出)如圖甲所示
由幾何關系可知，最小軌道半徑rmin＝eq \f(\f(l,2),cs30°)＝eq \f(\r(3),3)l⑦
最大軌道半徑滿足(rmaxcs30°－l)2＋(rmaxsin30°＋l)2＝req \\al(2,max)⑧
解得rmax＝(eq \r(3)＋1)l⑨
當r取rmin時，B有最大值Bmax；當r取rmax時，B有最小值Bmin
由⑤⑥⑦⑨式解得Bmin＝eq \f(?3－\r(3)?mv0,3ql)，
Bmax＝eq \f(2mv0,ql)
則磁感應強度大小的取值范圍為eq \f(?3－\r(3)?mv0,3ql)≤B≤eq \f(2mv0,ql)。
(3)若粒子正好從QN的中點射出磁場，帶電粒子在磁場中的運動軌跡如圖乙所示
由幾何關系可知，在△O3FK中有
(l－r3cs30°)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)＋r3sin30°))2＝req \\al(2,3)⑩
解得帶電粒子的運動軌道半徑r3＝eq \f(5?2\r(3)＋1?,22)l?
粒子在磁場中的軌跡與擋板MN的最近距離
dmin＝r3sin30°＋l－r3?
由??式解得dmin＝eq \f(39－10\r(3),44)l。
練習3、(2022·河北省張家口市高三下三模)如圖，xOy平面內(nèi)存在著沿y軸正方向的勻強電場，一個質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子從坐標原點O以速度v0沿x軸正方向開始運動．當它經(jīng)過圖中虛線上的M(2eq \r(3)a，a)點時，撤去電場，粒子繼續(xù)運動一段時間后進入一個矩形勻強磁場區(qū)域(圖中未畫出)，又從虛線上的某一位置N處沿y軸負方向運動并再次經(jīng)過M點．已知磁場方向垂直xOy平面(紙面)向里，磁感應強度大小為B，不計粒子的重力．試求：
(1)電場強度的大??；
(2)N點的坐標．
【答案】見解析
【解析】(1)粒子從O到M做類平拋運動，設時間為t，則有
2eq \r(3)a＝v0t a＝eq \f(1,2)·eq \f(qE,m)t2
得E＝eq \f(mv\\al(2,0),6qa)
(2)粒子運動到M點時速度為v，與x方向的夾角為α，
則vy＝eq \f(qE,m)t＝eq \f(q,m)·eq \f(mv\\al(2,0),6qa)·eq \f(2\r(3)a,v0)＝eq \f(\r(3),3)v0
v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))＝eq \f(2\r(3),3)v0
tanα＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(\r(3),3)，即α＝30°
由題意知，粒子從P點進入磁場，從N點離開磁場，粒子在磁場中以O′點為圓心做勻速圓周運動，設半徑為R，則
qBv＝meq \f(v2,R)
解得粒子做圓周運動的半徑為R＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(2\r(3)mv0,3qB)
由幾何關系知，β＝eq \f(1,2)∠PMN＝30°
所以N點的縱坐標為yN＝eq \f(R,tanβ)＋a＝eq \f(2mv0,qB)＋a
橫坐標為xN＝2eq \r(3)a
即N點的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)a，\f(2mv0,qB)＋a))
練習4、(2022·江蘇省揚州市高三下第三次調(diào)研)如圖所示的平面直角坐標系xOy，在第Ⅰ象限內(nèi)有平行于y軸的勻強電場，方向沿y軸正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc區(qū)域內(nèi)有勻強磁場，方向垂直于xOy平面向里，正三角形邊長為L，且ab邊與y軸平行。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子，從y軸上的P(0，h)點，以大小為v0的速度沿x軸正方向射入電場，通過電場后從x軸上的a(2h,0)點進入第Ⅳ象限，又經(jīng)過磁場從y軸上的某點進入第Ⅲ象限，且速度與y軸負方向成45°角，不計粒子所受的重力。求：
(1)電場強度E的大??；
(2)粒子到達a點時速度的大小和方向；
(3)abc區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應強度B的最小值。
【答案】(1)eq \f(mv\\al(2,0),2qh) (2)eq \r(2)v0 方向指向第Ⅳ象限與x軸正方向成45°角 (3)eq \f(2mv0,qL)
【解析】(1)設粒子在電場中運動的時間為t，則有x＝v0t＝2h
y＝eq \f(1,2)at2＝h qE＝ma
聯(lián)立以上各式可得E＝eq \f(mv\\al(2,0),2qh)
(2)粒子到達a點時沿y軸負方向的分速度為vy＝at＝v0
所以v＝ eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))＝eq \r(2)v0，方向指向第Ⅳ象限與x軸正方向成45°角
(3)粒子在磁場中運動時，有qvB＝meq \f(v2,r)
當粒子從b點射出時，磁場的磁感應強度為最小值，此時有r＝eq \f(\r(2),2)L，所以B＝eq \f(2mv0,qL)
【巧學妙記】
1.求解策略：“各個擊破”
2．抓住聯(lián)系兩個場的紐帶——速度。
考向三 先磁場后電場
先磁場后電場
對于粒子從磁場進入電場的運動，常見的有兩種情況：
(1)進入電場時粒子速度方向與電場方向相同或相反，如圖甲所示，粒子在電場中做加速或減速運動，用動能定理或運動學公式列式。
(2)進入電場時粒子速度方向與電場方向垂直，如圖乙所示，粒子在電場中做類平拋運動，用平拋運動知識分析。
【典例5】.(2022·江蘇省宿遷市高三下第三次調(diào)研)如圖所示，虛線MO與水平線PQ相交于O，二者夾角θ＝30°，在MO左側(cè)存在電場強度為E、方向豎直向下的勻強電場，MO右側(cè)某個區(qū)域存在磁感應強度為B、垂直紙面向里的勻強磁場，O點處在磁場的邊界上．現(xiàn)有一群質(zhì)量為m、電荷量為＋q的帶電粒子在紙面內(nèi)以速度v(0

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