模
板
50
講
專題42 圓錐曲線中的對稱問題
【高考地位】
在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，常出現(xiàn)這樣一類問題：一個圓錐曲線上存在兩點關(guān)于某直線對稱，求方程中參數(shù)的范圍. 這類問題涉及的知識面廣，解題靈活性大，是高考中的一個熱點和難點. 因此，掌握這類問題的解法是必要的和重要的.
方法一 判別式法
例1.在 QUOTE 中，頂點 QUOTE ?,?,? A,B,C 所對三邊分別是 QUOTE ?,?,? a,b,c 已知 QUOTE ?(?1,0),?1,0 B(?1,0),C1,0 ,且 QUOTE ?,?,? b,a,c 成等差數(shù)列.
(I )求頂點 QUOTE ? A 的軌跡方程；
(II) 設頂點A的軌跡與直線 QUOTE ?=??+? y=kx+m 相交于不同的兩點 QUOTE ，如果存在過點 QUOTE ?(0,?12) P(0,?12)的直線 QUOTE ? l ,使得點 QUOTE 關(guān)于 QUOTE ? l 對稱，求實數(shù) QUOTE ? m 的取值范圍
【解析】（I）由題知 QUOTE ?=2?+?=2? a=2b+c=2a 得 QUOTE ?+?=4 b+c=4 ，即 QUOTE ??+??=4 AC+AB=4 （定值）．
由橢圓定義知，頂點 QUOTE ? A 的軌跡是以 QUOTE ?、? B、C 為焦點的橢圓（除去左右頂點），
且其長半軸長為 QUOTE 2 2 ，半焦距為 QUOTE 1 1 ，于是短半軸長為 QUOTE 3 3 ．
∴ 頂點 QUOTE ? A 的軌跡方程為 QUOTE ?24+?23=1(?≠0) x24+y23=1(y≠0) ．
（II）由 QUOTE ?=??+?3?2+4?2?12=0 y=kx+m3x2+4y2?12=0
消去整理得 QUOTE 3+4?2?2+8???+4?2?3=0 3+4k2x2+8kmx+4m2?3=0,
∴ QUOTE ，整理得： QUOTE 4?2>?2?3 4k2>m2?3 …①.
令 QUOTE ，則 QUOTE ?1+?2=?8??3+4?2,?1?2=4(?2?3)3+4?2 x1+x2=?8km3+4k2,x1x2=4(m2?3)3+4k2 .
設 QUOTE ?? MN 的中點 QUOTE ，則 QUOTE ?0=12?1+?2=?4??3+4?2, x0=12x1+x2=?4km3+4k2, QUOTE ?0=12?1+?2=12??1+?+??2+?=?+??0=3?3+4?2 y0=12y1+y2=12kx1+m+kx2+m=m+kx0=3m3+4k2 .
i)當 QUOTE ?=0 k=0 時，由題知， QUOTE ．
ii)當 QUOTE 時，直線 QUOTE ? l 方程為 QUOTE ?+12=?1?? y+12=?1kx ，
由 QUOTE 在直線l上，得 QUOTE 3?3+4?2+12=4?3+4?2 3m3+4k2+12=4m3+4k2，得 QUOTE 2?=3+4?2 2m=3+4k2…②
把②式代入①中可得 QUOTE 2??3>?2?3 2m?3>m2?3 ，解得 QUOTE 032 m>32 ，∴ QUOTE 32

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