1．已知函數(shù)f(x)的定義域為(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)上的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在(a，b)上的極大值點的個數(shù)為( )
A.1 B．2
C.3 D．4
2．已知函數(shù)f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2處取得極小值，則f(x)的極大值為( )
A.2 B．－ eq \f(5,2)
C.3＋ln 2 D．－2＋2ln 2
3．函數(shù)f(x)＝ eq \f(ex,x2－3)在[2，＋∞)上的最小值為( )
A. eq \f(e3,6) B．e3
C. eq \f(e3,4) D．2e
4．已知函數(shù)f(x)＝ eq \f(1,3)x3＋(a－1)x2＋x＋1沒有極值，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞)
C.[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
5．已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx的圖象如圖所示，則x eq \\al(2,1)＋x eq \\al(2,2)等于( )
A. eq \f(2,3) B． eq \f(4,3)
C. eq \f(8,3) D． eq \f(16,3)
6．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值．若m，n∈[－1，1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是( )
A.15 B．－15
C.10 D．－13
7．(多選)已知函數(shù)f(x)＝ eq \f(x2＋x－1,ex)，則下列結(jié)論正確的是( )
A.函數(shù)f(x)存在兩個不同的零點
B.函數(shù)f(x)既存在極大值又存在極小值
C.當(dāng)－e＜k≤0時，方程f(x)＝k有且只有兩個實根
D.若x∈[t，＋∞)時，f(x)max＝ eq \f(5,e2)，則t的最小值為2
8．寫出一個存在極值的奇函數(shù)f(x)＝________．
9．若商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(百萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x3＋27x＋123(x>0)，則獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為________百萬件．
10．已知函數(shù)f(x)＝x ln x＋mex有兩個極值點，則實數(shù)m的取值范圍是________．
11．已知函數(shù)f(x)＝ex cs x－x.
(1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．
已知函數(shù)f(x)＝ eq \f(ln x,x).設(shè)實數(shù)a>0，求函數(shù)F(x)＝af(x)在[a，2a]上的最小值．
INCLUDEPICTURE "B組.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B級 能力提升】
1．若直線y＝ax＋b為函數(shù)f(x)＝ln x－ eq \f(1,x)圖象的一條切線，則2a＋b的最小值為( )
A.ln 2 B．ln 2－ eq \f(1,2)
C.1 D．2
2．(多選)已知函數(shù)f(x)＝x ln x＋x2，x0是函數(shù)f(x)的極值點，以下幾個結(jié)論中正確的是( )
A.0＜x0＜ eq \f(1,e) B．x0＞ eq \f(1,e)
C.f(x0)＋2x0＜0 D．f(x0)＋2x0＞0
3．在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，三元二次方程所對應(yīng)的曲面統(tǒng)稱為二次曲面．比如方程x2＋y2＋z2＝1表示球面，這就是一種常見的二次曲面．二次曲面在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、建筑等眾多領(lǐng)域應(yīng)用廣泛．已知點P(x，y，z)是二次曲面4x2－xy＋y2－z＝0上的任意一點，且x＞0，y＞0，z＞0，則當(dāng) eq \f(z,xy)取得最小值時， eq \f(1,x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)－\f(1,z)))的最大值為________．
4．設(shè)g(x)＝ eq \f(1,3)x3－ eq \f(1,2)ax2＋(x－a)cs x－sin x，a∈R，討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值．
參考答案
【A級 基礎(chǔ)鞏固】
1．解析：由函數(shù)極值的定義和導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，
f′(x)在(a，b)上與x軸的交點個數(shù)為4，
但是在原點附近的導(dǎo)數(shù)值恒大于零，
故x＝0不是函數(shù)f(x)的極值點．
其余的3個交點都是極值點，其中有2個點滿足其附近的導(dǎo)數(shù)值左正右負(fù)，
故極大值點有2個．
答案：B
2．解析：f′(x)＝ eq \f(2,x)＋2ax－3，
∵f(x)在x＝2處取得極小值，
∴f′(2)＝4a－2＝0，解得a＝ eq \f(1,2)，
∴f(x)＝2ln x＋ eq \f(1,2)x2－3x，
f′(x)＝ eq \f(2,x)＋x－3＝ eq \f((x－1)(x－2),x)，
∴f(x)在(0，1)，(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，
∴f(x)的極大值為f(1)＝ eq \f(1,2)－3＝－ eq \f(5,2).
答案：B
3．解析：依題意f′(x)＝ eq \f(ex,(x2－3)2)(x2－2x－3)＝ eq \f(ex,(x2－3)2)(x－3)(x＋1)，
故函數(shù)在(2，3)上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，
故函數(shù)在x＝3處取得極小值也即是最小值，且最小值為f(3)＝ eq \f(e3,32－3)＝ eq \f(e3,6).
答案：A
4．解析：由f(x)＝ eq \f(1,3)x3＋(a－1)x2＋x＋1，
得f′(x)＝x2＋2(a－1)x＋1.
根據(jù)題意得[2(a－1)]2－4≤0，
解得0≤a≤2.
答案：C
5．解析：由圖象可知f(x)的圖象經(jīng)過點(1，0)與(2，0)，x1，x2是f(x)的極值點，
∴1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，
解得b＝－3，c＝2，
∴f(x)＝x3－3x2＋2x，
∴f′(x)＝3x2－6x＋2，
x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的兩根，
∴x1＋x2＝2，x1·x2＝ eq \f(2,3)，
∴x eq \\al(2,1)＋x eq \\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－2× eq \f(2,3)＝ eq \f(8,3).
答案：C
6．解析：因為f′(x)＝－3x2＋2ax，f(x)在x＝2處取得極值，
所以f′(2)＝0，即－12＋4a＝0，解得a＝3，
所以f′(x)＝－3x2＋6x.
又當(dāng)n∈[－1，1]時，f′(n)＝－3n2＋6n單調(diào)遞增，
所以當(dāng)n＝－1時，f′(n)的最小值為－9.
當(dāng)m∈[－1，1]時，f(m)＝－m3＋3m2－4，f′(m)＝－3m2＋6m，
令f′(m)＝0，得m＝0或m＝2，
所以f(m)在[－1，0]上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)m＝0時，f(m)最小值為－4.
故f(m)＋f′(n)的最小值為－4＋(－9)＝－13.
答案：D
7．解析：由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，
∴x＝ eq \f(－1±\r(5),2)，故A正確；
f′(x)＝－ eq \f(x2－x－2,ex)＝－ eq \f((x＋1)(x－2),ex)，
當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)時，f′(x)＜0，
當(dāng)x∈(－1，2)時，f′(x)＞0，
∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－1，2)上單調(diào)遞增，
∴f(－1)是函數(shù)的極小值，f(2)是函數(shù)的極大值，故B正確；
又f(－1)＝－e，f(2)＝ eq \f(5,e2)，
且當(dāng)x→－∞時，f(x)→＋∞，x→＋∞時，f(x)→0，
∴f(x)的圖象如圖所示，
由圖知C正確，D不正確．
答案：ABC
8．解析：正弦函數(shù)f(x)＝sin x為奇函數(shù)，且存在極值．
答案：sin x(答案不唯一)
9．解析：y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，
當(dāng)03時，y′0；
當(dāng)x0時，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，
當(dāng)x∈(－∞，0)時，x－a0，g(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(0，a)時，x－a0，g(x)單調(diào)遞增．
所以，當(dāng)x＝0時，g(x)取到極大值，極大值是g(0)＝－a；
當(dāng)x＝a時，g(x)取到極小值，極小值是g(a)＝－ eq \f(1,6)a3－sin a．
綜上，當(dāng)a0時，g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0，a)上單調(diào)遞減，極大值是g(0)＝－a，極小值是g(a)＝－ eq \f(1,6)a3－sin a．

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