【中考二輪】2024年中考數(shù)學【熱點·重點·難點】（廣東專用）熱點04+二次函數(shù)（9大題型+滿分技巧+限時分層檢測）-專題訓練.zip-試卷下載-教習網

中考廣東數(shù)學中《二次函數(shù)》部分主要考向分為五類：
一、二次函數(shù)圖象與性質（每年1~2道，3~6分）
二、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系（每年1~2題，3~64分）
三、二次函數(shù)與一元二次方程（每年1~2道，3~6分）
四、二次函數(shù)的試卷應用（每年1題，3~9分）
二次函數(shù)是廣東數(shù)學必考的一個重要知識點，主要是出在選擇題的壓軸題，解答題的方程應用和其他知識點交匯的壓軸大題；最?？疾斓氖嵌魏瘮?shù)的的最值。此外，二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)與系數(shù)的關系、二次函數(shù)上點的坐標特征也是中考中經?？嫉降目键c，都需要大家準確記憶二次函數(shù)的對應考點。只有熟悉掌握二次函數(shù)的一系列考點，才能在遇到對應問題時及時提取有用信息來應對。
考向一：二次函數(shù)的圖象與性質
【題型1 二次函數(shù)的圖象與性質】
1．（2023·內蒙古赤峰·一模）若直線經過一、二、四象限，則拋物線頂點必在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質，直線經過一、二、四象限可判斷的符號，再由拋物線求頂點坐標，判斷象限，即可求解；熟練掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：直線經過一、二、四象限，
∴，
∴拋物線的頂點必在第二象限，
故選：．
2．（2023·四川甘孜·中考真題）下列關于二次函數(shù)的說法正確的是( )
A．圖象是一條開口向下的拋物線B．圖象與軸沒有交點
C．當時，隨增大而增大D．圖象的頂點坐標是
【答案】D
【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線開口方向、對稱軸、頂點坐標，與軸的交點個數(shù)，由此解答即可．
【詳解】解：A、，圖象的開口向上，故此選項不符合題意；
B、，
，
即圖象與軸有兩個交點，
故此選項不符合題意；
C、拋物線開口向上，對稱軸為直線，
當時，隨增大而減小，
故此選項不符合題意；
D、，
圖象的頂點坐標是，
故此選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．
3．（2023·湖北襄陽·模擬預測）如圖，拋物線的頂點坐標為，下列說法錯誤的是（）

A． B．
C．拋物線向下平移個單位后，一定不經過D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質，圖像上點的坐標特征，平移的規(guī)律結合圖像，逐一判斷．
【詳解】解：∵拋物線開口向下，
∴，
∵頂點坐標為，即對稱軸為，
∴,即，
∵拋物線與軸的交點在軸上方，
∴，
∴，故正確；
∵拋物線與軸有兩個交點，
∴，
∴，故正確；
∵拋物線與軸的交點為，
∴，拋物線向下平移個單位后，經過原點，
∵對稱軸為直線，
∴此時，一定經過點，故錯誤；
∵設拋物線為，點代入得，，解得，故正確；
故選：．
【點睛】主要考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，二次函數(shù)圖像與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，拋物線與x軸的交點，數(shù)形結合是解題的關鍵．
4．（2023·廣東·中考真題）如圖，拋物線經過正方形的三個頂點A，B，C，點B在軸上，則的值為（）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接，交y軸于點D，根據(jù)正方形的性質可知，然后可得點，進而代入求解即可．
【詳解】解：連接，交y軸于點D，如圖所示：

當時，則，即，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴點，
∴，
解得：，
故選B．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質及正方形的性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質及正方形的性質是解題的關鍵．
5．（2023·湖南·中考真題）已知是拋物線（a是常數(shù)，上的點，現(xiàn)有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線；②點在拋物線上；③若，則；④若，則其中，正確結論的個數(shù)為（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】根據(jù)對稱軸公式可判斷①；當時，，可判斷②；根據(jù)拋物線的增減性，分兩種情況計算可判斷③；利用對稱點的坐標得到，可以判斷④．
【詳解】解：∵拋物線（a是常數(shù)，，
∴，
故①正確；
當時，，
∴點在拋物線上，
故②正確；
當時，，
當時，，
故③錯誤；
根據(jù)對稱點的坐標得到，
，
故④錯誤．
故選B．
【點睛】本題考查了拋物線的對稱性，增減性，熟練掌握拋物線的性質是解題的關鍵．
【題型2 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖像和性質】
6．（2024·江西·一模）下列各選項為某同學得出的關于二次函數(shù)的性質的結論，其中不正確的是（）
A．開口向下B．頂點坐標為
C．方程的解是D．當，函數(shù)值小于0
【答案】D
【分析】
本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質、二次函數(shù)與一元二次方程的關系等知識．分別根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質，二次函數(shù)與一元二次方程的關系等知識逐項判斷即可求解．
【詳解】解：A. ∵，∴拋物線開口向下，故原選項正確，不合題意；
B. ∵，∴拋物線的頂點坐標為，故原選項正確，不合題意；
C. 解方程得，故原選項正確，不合題意；
D. 由題意得，拋物線開口向下，與x軸交點坐標為，∴當時，函數(shù)值大于0，故原選項錯誤，符合題意．
故選：D
7．（2024·陜西西安·模擬預測）二次函數(shù) (其中x是自變量且)，當時， y隨x的增大而增大，且時，y的最大值是，則m的值為（）
A．B．6C．或6D．6
【答案】D
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)的最值，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答．先將題目中的函數(shù)解析式化為頂點式，即可得到該函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)當時，y隨x的增大而增大，即可得到m的正負情況，最后根據(jù)當時，y的最大值為和二次函數(shù)的性質，可以求得m的值．
【詳解】解：∵二次函數(shù)，
∴該函數(shù)的對稱軸為直線，
∵當時，y隨x的增大而增大，
∴，
又∵當時，y的最大值為，
∴時，，
即，
解得，，（舍去），
故選：D．
8．（2024·陜西西安·模擬預測）已知二次函數(shù)圖象上的兩點和，若，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質，根據(jù)二次函數(shù)，可求得拋物線的對稱軸，進而求得關于對稱軸的對稱點為，然后根據(jù)二次函數(shù)開口方向即可求得結果．
【詳解】解：二次函數(shù)，
∴函數(shù)對稱軸為：，
∴關于對稱軸的對稱點為，
∵，
∴，則該函數(shù)開口向下，
∵兩點分別為，，，
∴．
故選：D．
9．（2024·福建南平·一模）已知拋物線上某些點的橫坐標與縱坐標的對應值如下表：
有以下幾個結論：
①拋物線與軸的交點坐標是；
②拋物線的對稱軸為直線；
③關于x的方程的根為和；
④當時，的取值范圍是．
其中正確的個數(shù)有（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質、拋物線與軸的交點，根據(jù)二次函數(shù)的性質和表格中的數(shù)據(jù)，可以判斷結論是否成立，掌握二次函數(shù)的圖像和性質是解題的關鍵
【詳解】解：由表格可知該拋物線的對稱軸為，故②正確；
根據(jù)對稱軸可得當時，與時的值相同，均為，所以拋物線與軸的交點坐標是，故①正確；
∵與軸的交點坐標是，
∴，
由表格可知該拋物線過，
∴，解得，
∴拋物線方程為：，
令，解得或，
∴的根為和，故③正確；
∵，中，
∴該拋物線開口向下，
∴當時，的取值范圍是或，故④錯誤；
綜上①②③是正確的，
∴正確的個數(shù)有3個，
故選：C．
10．（2024·陜西西安·模擬預測）已知拋物線：，若點，，均在該拋物線上，且，則下列結論正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把代入，求得函數(shù)表達式為，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質求解即可．
【詳解】解：把代入得，
，
解得，
∴拋物線的解析式為，
∵，
∴拋物線的開口向下，
∵對稱軸，
∴關于對稱軸的對稱點為，
∴當時，；當或時，，
∵，
∴，
故選：D．
考向二：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系
【題型3 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系】
11．（2024·四川廣元·一模）如圖，二次函數(shù)．的圖象經過點，且與軸交點的橫坐標分別為，其中，，下列結論：
①；②；③；④；⑤；其中，結論正確的個數(shù)有（）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】A
【分析】本題主要考查二次函數(shù)系數(shù)符號的確定由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數(shù)等，解答本題關鍵明確二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小、一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．
【詳解】解：∵拋物線的開口向下，
∴，
∵拋物線與y軸的交點為在y軸的正半軸上，
∴，
∵，
又∵，
∴，
，故①錯誤；
∵，
∴，
∴，故②正確；
∵，
∴，故③正確；
若，即，
，，
，
，相矛盾，故④錯誤；
當時，①．
∵②，③，
由①②得到，
由③①2得到，即，
上面兩個相加得到，
∴，故⑤錯誤；
故選：A．
12．（23-24九年級上·安徽宿州·期末）如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，對稱軸為直線.若點的坐標為，有下列結論：①；②③；④點，在拋物線上，當時，．其中，正確結論的個數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本題考查了拋物線的圖形和性質，對稱性，交點坐標等，根據(jù)性質分析判斷即可．
【詳解】∵對稱軸為，
∴，，
∵與軸交于點在負半軸上，
∴，
故，，
故①錯誤；②正確；
∵點的坐標為，
∴，
∴，
故，
故③正確；
∵
∴，
故④錯誤；
故選：B．
13．（2023·四川成都·三模）如圖，拋物線與x軸交于點，其對稱軸為直線．
①；
②；
③當時，y隨x的增大而增大；
④關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確的結論有（）

A．①②③④B．①②③C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質，解題的關鍵是根據(jù)函數(shù)圖象判斷各項系數(shù)之間的關系，以及二次函數(shù)與一元二次方程的關系．
根據(jù)函數(shù)圖象開口方向和與y軸交點位置判斷a和c的正負，即可判斷①；根據(jù)對稱軸和與x軸的一個交點可得另一個交點，代入解析式可得，即可判斷②；根據(jù)開口方向和對稱軸判斷函數(shù)圖象的增減性，即可判斷③；根據(jù)函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)判斷一元二次方程解的情況，即可判斷④．
【詳解】解：開口向上則，與y軸交點在原點下方，故，
∴，故①正確；
對稱軸為，與x軸一個交點是，
∴另一個交點為，
∴代入解析式得，故②錯誤；
∵開口向上，對稱軸為
∴當時，y隨x的增大而增大，
∴當時，y隨x的增大而增大，故③正確；
∵拋物線與x軸有兩個交點
∴關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，故④正確．
綜上所述，其中正確的結論有①③④．
故選：C．
14．（2023·內蒙古赤峰·一模）二次函數(shù)的圖象如圖所示，與y軸交于點C，與x軸負半軸交于點A，且，有下列五個結論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結論有（）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】B
【分析】
本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．開口方向，對稱軸，與軸的交點位置判斷①，特殊點判斷②和③，對稱軸判斷④，根據(jù)圖象過，判斷⑤．
【詳解】解：∵拋物線開口向下，對稱軸為直線，與軸交于正半軸，
∴，
∴，；故①④錯誤；
由圖象可知：時，，
∴，故③正確，
∵和關于對稱軸對稱，
∴當時，；故③正確；
∵，
∴圖象過，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故⑤正確；
故選B．
15．（2023·遼寧·一模）如圖，拋物線的圖象如圖所示，其與x軸交點的橫坐標分別為與3．下列說法正確的是（）
①；②；③；④當或時，

A．①②B．①③C．①②④D．①②③
【答案】B
【分析】
本題考查了二次函數(shù)的圖象性質，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系,根據(jù)開口方向以及與軸的交點位置確定與0的大小關系，與x軸交點的橫坐標分別為與3．知道對稱軸，把代入，得；結合圖象即可判斷④．
【詳解】解：∵開口向上，與軸的交點位置在負半軸
∴
∵與x軸交點的橫坐標分別為與3．
∴對稱軸
即
∴
∴
∴，故①是正確的；
∵對稱軸
∴把代入
得
∵
∴，故②是錯誤的；
∵與x軸交點的橫坐標分別為與3．
∴把代入
得
∴③是正確的；
∵與x軸交點的橫坐標分別為與3．且開口向上
∴當或時，，故④是錯誤的；
故選：B
【題型4 二次函數(shù)的對稱和最值問題】
16．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點為，對稱軸是直線，下列結論正確的是（）
A．B．C．D．點在函數(shù)圖象上
【答案】B
【分析】利用二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系可得出，a、b、c的正負，進而得出的正負；利用對稱軸為直線，可得出與0的關系；由拋物線與x軸的交點情況，可得出與的大小關系；由拋物線與x軸的一個交點坐標為，再結合對稱軸為直線，可得出另一個交點坐標．
【詳解】解：A、由二次函數(shù)的圖形可知：，所以．故本選項不符合題意；
B、因為二次函數(shù)的對稱軸是直線，則，即．故本選項符合題意；
C、因為拋物線與x軸有兩個交點，所以，即．故本選項不符合題意；
D、因為拋物線與x軸的一個交點坐標為，且對稱軸為直線，所以它與x軸的另一個交點的坐標為．故本選項不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)的關系，正確求得a，b，c的正負以及巧妙利用拋物線的對稱軸是解決問題的關鍵．
17．（2023·山東泰安·三模）如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，函數(shù)圖象經過點，直線是對稱軸，有下列結論：①；②；③若是拋物線上兩點，則；④；其中正確結論有（）個．
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)對稱軸為求出，即可判定①；求出二次函數(shù)與x軸的另一個交點坐標為，即可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)開口向下，離對稱軸越遠函數(shù)值越大即可判斷③；求出，結合即可判斷④．
【詳解】解：二次函數(shù)對稱軸為直線，
，即，故①正確；
二次函數(shù)經過，
二次函數(shù)與軸的另一個交點坐標為，
當時，，故②正確；
拋物線開口向下，
離對稱軸越遠函數(shù)值越小，
是拋物線上兩點，，且，
，故③正確；
，，
，即
，故④正確；
故選：A．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．
18．（2023·山東泰安·二模）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，點是坐標系的原點，圖象與軸交于點，則下面結論：
①；
②關于的方程的解是，；
③當時，；
④當時，；
⑤周長的最小值是；
正確的有（）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】D
【分析】把代入，可判斷①，根據(jù)于軸交點和對稱軸，可確定與軸另一交點，從而確定方程的解，可判斷②，把、分別代入，可判斷③④，作點關于直線的對稱點，計算的長，即可求解，
本題考查了，二次函數(shù)與坐標軸交點，根據(jù)二次函數(shù)圖像確定方程的根，求最短路徑，解題的關鍵是：熟練掌握二次函數(shù)的圖像性質．
【詳解】解：把代入，，
解得：，二次函數(shù)解析式為：，故①正確；
∵拋物線的對稱軸為直線，
而拋物線與軸的一個交點坐標為，
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為，
∴關于的方程的解是，，故②正確，
當時，，，故③正確，
當時，，故④正確，
作點關于直線的對稱點，如圖，
連接交直線于點，
∵，
∴，
∴此時的值最小，
∴此時周長有最小值，
∵，
∴周長的最小值為，故⑤正確，
綜上所述，①②③④⑤正確，
故選：．
19．（2023·遼寧丹東·二模）如圖，已知拋物線與軸交于點，對稱軸為直線．則下列結論：①；②；③函數(shù)的最大值為；④若關于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則．正確的個數(shù)為（）

A．個B．個C．個D．個
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線的位置和對稱軸可以判斷出，，的正負，對①進行判斷，根據(jù)對稱軸公式對②進行判斷，設拋物線的解析式為，當時，值最大對③進行判斷，把方程轉化成一元二次方程，利用判別式等于零求解判斷④即可．
【詳解】解：拋物線開口方向向下，
，
拋物線交軸正半軸，
，
拋物線對稱軸位于軸正半軸，
，
，
，故①正確；
拋物線的對稱軸為，
，
，故②正確；
拋物線的對稱軸為，與軸的一個交點為，
拋物線與軸的另一個交點為，
設拋物線的解析式為，
當時，值最大，最大值為，故③正確；
方程有兩個相等的實數(shù)根，
有兩個相等的實數(shù)根，
，，
，
（舍去）或，故④錯誤，
故選：．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，根的判別式，二次函數(shù)的最值問題，通過函數(shù)圖像判斷出，，的正負，找到函數(shù)與坐標軸的交點是解答本題的關鍵．
20．（2023·四川雅安·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，B兩點，對稱軸是直線，下列結論中，①；②點B的坐標為；③；④對于任意實數(shù)m，都有，所有正確結論的序號為（）

A．①②B．②③C．②③④D．③④
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線開口方向可得a的符號，可對①進行判斷；根據(jù)拋物線的對稱軸，由二次函數(shù)的對稱性可得B點坐標，由圖象即可對②進行判斷；根據(jù)點A，點B 代入解析式利用加減消元法可得，從而判定③，再由時函數(shù)取最大值判定④．
【詳解】解：∵拋物線開?向下，
∴，故①錯誤，
∵拋物線與y軸交于正半軸，
∴，
∴，
設點B坐標為
∵拋物線對稱軸為直線，點A的坐標為，
∴，解得：，
∴點B的坐標為，故②正確，
∵點A的坐標為，點B的坐標為，
∴
∴由得，即，故③正確；
∵，拋物線對稱軸為直線，
∴當時，時函數(shù)最大值，
當時，，
∴，即，
綜上所述：正確的結論有②③④，
故選：C．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，掌握數(shù)形結合思想的應用和二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)的對稱性是解題關鍵．
考向三：二次函數(shù)與一元二次方程
【題型5 拋物線與x軸交點問題】
21．（2024·湖北·一模）已知拋物線（a，b，c為常數(shù)，）的對稱軸為直線，與x軸交于，兩點，，下列結論正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意知，，即，當時，，由題意可得，，進而可判斷B、C的正誤；由與關于直線對稱，，可得，則，可判斷A的正誤；由圖象開口向上，可知當時，，可判斷D的正誤．
【詳解】解：由題意知，，即，
又∵拋物線與x軸交于，兩點，
∴，，
∴，B、C錯誤，故不符合要求；
∵與關于直線對稱，，
∴，
∴，
∴，A錯誤，故不符合要求；
∵，圖象開口向上，當時，y隨著x的增大而減小，，
∴當時，，D正確，故符合要求；
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，二次函數(shù)圖象與軸的交點坐標，一元二次方程的判別式，一元二次方程的根與系數(shù)的關系等知識．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質，二次函數(shù)圖象與軸的交點坐標，一元二次方程的判別式，一元二次方程的根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．
22．（2023·江蘇淮安·三模）關于的方程的兩根分別是，，若點是二次函數(shù)的圖象與軸的交點，過作軸交拋物線于另一交點，則的長為（）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】將，代入方程，求得，的值，得到二次函數(shù)解析式，進而求得點和點的坐標，即可求得答案．
【詳解】解：將，代入方程，得
解得
二次函數(shù)解析式為．
點坐標為．
將代入二次函數(shù)，得
，
解得，．
點坐標為．
的長為．
故選：C．
【點睛】本題主要考查一元二次方程的根與系數(shù)的關系，以及二次函數(shù)的圖象和性質，牢記一元二次方程及二次函數(shù)的有關知識是解題的關鍵．
23．（2024·陜西西安·一模）對于二次函數(shù)，規(guī)定函數(shù)是它的相關函數(shù)．已知點的坐標分別為，連接，若線段與二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖象有兩個公共點，則的取值范圍為（）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【分析】首先確定出二次函數(shù)的相關函數(shù)與線段恰好有個交點、個交點、個交點時的值，然后結合函數(shù)圖象可確定出的取值范圍．
【詳解】解：如圖所示：線段與二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖象恰有個公共點時，則線段恰好經過二次函數(shù)的頂點，

∴當時，，即，解得．
如圖所示：線段與二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖象恰有個公共點．

拋物線與軸交點縱坐標為，
，解得：．
當時，線段與二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖象恰有個公共點．
如圖所示：線段與二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖象恰有個公共點．

拋物線經過點，
．
如圖所示：線段與二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖象恰有個公共點．

拋物線經過點，
，解得：．
時，線段與二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖象恰有個公共點．
綜上所述，的取值范圍是或，
故選：A．
【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了二次函數(shù)的圖象和性質、函數(shù)圖象上點的坐標與函數(shù)解析式的關系，求得二次函數(shù)的相關函數(shù)與線段恰好有個交點、個交點、個交點時的值是解題的關鍵．
24．（2023·遼寧丹東·二模）已知拋物線交軸于點，，且，點在該拋物線上，下列四個判斷：①；②若，則該拋物一定經過點；③方程的解是；④當時，的面積最大，其中正確結論的個數(shù)是（）
A．個B．個C．D．個
【答案】D
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，根據(jù)拋物線與軸的交點個數(shù)判斷①；特殊點判斷②；圖象法判斷③；根與系數(shù)的關系判斷④．掌握二次函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：拋物線與軸交于點，，且，
，所以錯誤；
若，即，則該拋物線一定經過點，所以錯誤；
當為拋物線的頂點時，方程的解是；若不為拋物線的頂點，則方程有兩個不相等的實數(shù)解，所以錯誤；
當點為頂點時，的面積最大．此時，
、為方程的兩不相等的實數(shù)解，
，
，所以正確．
故選：D．
25．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A，B兩點，與y軸交于點C，，對稱軸為直線，則下列結論：①；②；③；④是關于x的一元二次方程的一個根．其中正確的有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】本題考查了拋物線與x軸交點及與二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，根據(jù)二次函數(shù)的開口方向，與y軸的交點，對稱軸可知，，由此即可判斷①②；再根據(jù)，，得到，即可推出，即可判斷③；根據(jù)對稱性求出，即可判斷④．
【詳解】解：∵拋物線開口向下，
∴，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴，
∴，所以①正確；
∵點A到直線的距離大于1，
∴點B到直線的距離大于1，
即點B在的右側，
∴當時，，
即，
∴，所以②錯誤；
∵，，
∴，
∴，即，所以③錯誤；
∵點A與點B關于直線對稱，
∴，
∴是關于x的一元二次方程的一個根，所以④正確．
故選：B．
【題型6 二次函數(shù)與不等式】
26．（2023·廣東深圳·模擬預測）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）

A．，B．
C．D．時，不等式一定成立
【答案】D
【分析】根據(jù)拋物線開口方向和拋物線的對稱軸位置對A進行判斷；根據(jù)拋物線與軸的交點個數(shù)對B進行判斷；根據(jù)拋物線對稱軸對C進行判斷；根據(jù)拋物線與軸的交點的坐標對D進行判斷．
【詳解】解：拋物線開口向下，
，
拋物線的對稱軸在軸右側，
，
，所以不符合題意；
拋物線與軸有個交點，
，所以B不符合題意；
由圖可知：拋物線的對稱軸是直線，
，
，所以C不符合題意；
由對稱可知：拋物線與軸的交點為：，，又由圖象可知：當時，拋物線位于軸的上方，
當時，不等式一定成立，所以D符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)，二次項系數(shù)決定拋物線的開口方向和大小，當時，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)和二次項系數(shù)共同決定對稱軸的位置：當與同號時即，對稱軸在軸左側；當與異號時即，對稱軸在軸右側．簡稱：左同右異；常數(shù)項決定拋物線與軸交點：拋物線與軸交于．拋物線與軸交點個數(shù)由決定：時，拋物線與軸有個交點；時，拋物線與軸有個交點；時，拋物線與軸沒有交點．
27．（2023·江蘇常州·一模）函數(shù)和的圖象如圖所示若，分別為方程和，的一個解，則根據(jù)圖像可知、的大小關系為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
本題考查了反比例函數(shù)的應用，函數(shù)圖象與方程的解之間的關系，關鍵是利用數(shù)形結合，把方程的解轉化為函數(shù)圖象之間的關系．根據(jù)方程的解是函數(shù)圖象交點的橫坐標，結合圖象得出結論．
【詳解】
解：方程的解為函數(shù)圖象與直線的交點的橫坐標，
的一個解為函數(shù)的圖象與直線交點的橫坐標，
如圖所示：

由圖象可知：．
故選：C．
28．（2023·浙江衢州·中考真題）已知二次函數(shù)（a是常數(shù)，）的圖象上有和兩點．若點，都在直線的上方，且，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件列出不等式，利用二次函數(shù)與軸的交點和二次函數(shù)的性質，即可解答．
【詳解】解：，
，
點，都在直線的上方，且，
可列不等式：，
，
可得，
設拋物線，直線，
可看作拋物線在直線下方的取值范圍，
當時，可得，
解得，
，
的開口向上，
的解為，
根據(jù)題意還可列不等式：，
，
可得，
整理得，
設拋物線，直線，
可看作拋物線在直線下方的取值范圍，
當時，可得，
解得，
，
拋物線開口向下，
的解為或，
綜上所述，可得，
故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，正確列出不等式是解題的關鍵．
29．（2023·福建寧德·一模）如圖，拋物線與直線交于兩點，則不等式的解集為（）

A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】觀察兩函數(shù)圖象的上下位置關系，即可得出結論．
【詳解】解：∵拋物線與直線交于，兩點，
由圖可知：拋物線在直線上方時，x的范圍是：或，
即的解集是或，
故選D．
【點睛】本題考查二次函數(shù)與不等式，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．
30．（2023·湖北隨州·二模）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象過點，對稱軸為直線，下列結論：（1）；（2）；（3）若點、點、點在該函數(shù)圖象上，則；（4）若方程的兩根為和，且，則．其中正確的結論有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】（1）正確，根據(jù)對稱軸公式計算即可；
（2）錯誤，利用時，，即可判斷；
（3）錯誤，利用函數(shù)圖象即可判斷；
（4）正確，利用二次函數(shù)與二次不等式關系即可判斷．
【詳解】（1）∵，
∴，故正確；
（2）∵時，，
∴，
∴，故錯誤；
（3）∵點、點、點，
∴，
∴
∴點離對稱軸的距離近，
∴
∵，
∴
∴
故錯誤；
（4）∵，
∴
∴
解之得：或，
∴，故正確．
故：（1）（4）正確，選B．
【點睛】本題考查二次函數(shù)與系數(shù)關系，靈活掌握二次函數(shù)的性質，學會利用圖象信息解決問題是解決問題的關鍵．
考向四：二次函數(shù)實際應用
【題型7：二次函數(shù)的實際應用】
31．（2024·陜西西安·一模）如圖是某新建住宅小區(qū)修建的一個橫斷面為拋物線的拱形大門，點Q為頂點，其高為6米，寬為12米．以點O為原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系．

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；（不需寫自變量的取值范圍）
(2)如圖2，小區(qū)物業(yè)計劃在拱形大門處安裝一個矩形“光帶”，使點A，D在拋物線上，點B，C在上，求所需的三根“光帶”的長度之和的最大值．
【答案】(1)這條拋物線的函數(shù)解析式為
(2)三根“光帶”長度之和的最大值為15米
【分析】此題考查了二次函數(shù)的應用，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵．
（1）根據(jù)題意可設，拋物線過，可求得到，即可求出拋物線的解析式；
（2）設點A的坐標為，設三根“光帶”長度之和為L米，列出L的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質求出答案即可．
【詳解】（1）解：由題意可設這條拋物線的函數(shù)解析式為，
∵拋物線過，
∴，
解得，
∴這條拋物線的函數(shù)解析式為；
（2）設點A的坐標為，
則，
根據(jù)拋物線的軸對稱，可得：，，
設三根“光帶”長度之和為L米，
令
，
∵，開口向下，
∴當時，最大值為15，
∴當米時，三根“光帶”長度之和的最大值為15米．
32．（2024·安徽阜陽·一模）某加工廠加工某海產品的成本為30元/千克．根據(jù)市場調查發(fā)現(xiàn)，該海產品批發(fā)價定為48元/千克的時候，每天可銷售500千克，為增大市場占有率，在保證盈利的情況下，加工廠采取降價措施，批發(fā)價每千克降低1元，每天銷量可增加50千克．
(1)寫出加工廠每天的利潤W元與降價x元之間的函數(shù)表達式．當降價2元時，加工廠每天的利潤為多少元？
(2)當降價多少元時．加工廠每天的利潤最大，最大利潤為多少元？
【答案】(1)，當降價2元時，加工廠每天的利潤為9600元；
(2)當降價4元時，加工廠每天的利潤最大，最大利潤為9800元．
【分析】（1）本題考查了二次函數(shù)的實際運用，根據(jù)題意即可得出銷量和批發(fā)價的關系，從而列出函數(shù)表達式，再將降價2元時的情況代入函數(shù)表達式即可得出利潤；
（2）本題考查了二次函數(shù)的實際運用和函數(shù)的性質，將（1）中的表達式化為，即可根據(jù)性質得出最大利潤最大時的情況．
【詳解】（1）解：由題可知，若降價x元，則每天銷量可增加千克，
，
整理得：．
當時，，
當降價2元時，加工廠每天的利潤為9600元；
（2）解：，
，則函數(shù)開口向下，有最大值，
當時，W取得最大值，最大值為9800，
當降價4元時，加工廠每天的利潤最大，最大利潤為9800元．
33．（23-24九年級上·河北唐山·期末）嘉琪同學經常運用數(shù)學知識對羽毛球比賽進行技術分析，下面是他對擊球線路的分析．如圖，在平面直角坐標系中，點，在軸上，球網與軸的水平距離，，擊球點在軸上．若選擇吊球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足二次函數(shù)關系：；若選擇扣球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足一次函數(shù)關系：，且當羽毛球的水平距離為1m時，飛行高度為2.4m：
(1)求，的值；
(2)①嘉琪經過分析發(fā)現(xiàn)，若選擇扣球的方式，剛好能使球過網，求球網的高度為多少m？并通過計算判斷如果選擇吊球的方式能否使球過網；
②要使球的落地點到點的距離更近，請通過計算判斷應選擇哪種擊球方式．
(3)通過對本次訓練進行分析，若吊球路線的形狀、最大高度均保持不變，直接寫出他應該向正前方移動______米吊球，才能讓羽毛球經過點正上方0.7m處？
【答案】(1)，
(2)①球網的高度為1.6m；選擇吊球的方式也剛好能使球過網；②選擇吊球，使球的落地點到點的距離更近
(3)1.5
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式和過點解得b，再求得點P，代入二次函數(shù)求得a；
（2）①選擇扣球，利用一次函數(shù)求得網高；選擇吊球，結合，利用二次函數(shù)求得值與網高進行判斷即可；②令，分別解得對應函數(shù)的水平距離，再與做差比較大小即可知選擇吊球，球的落地點到點的距離更近；
（3）向正前方移動m米吊球，二次函數(shù)關系變?yōu)?，將點，即可求得向正前方移動距離．
【詳解】（1）解：羽毛球的水平距離為1m時，飛行高度為2.4m，則，解得，
那么一次函數(shù)關系：，當，，則點，
，解得，
故，；
（2）①選擇扣球，一次函數(shù)：，且，
則，
那么球網的高度為1.6m；
選擇吊球，二次函數(shù)關系：，
那么選擇吊球的方式也剛好能使球過網；
②令，，解得，（舍去），
，解得，
∵，，
∴，
∵，，
∴選擇吊球，使球的落地點到點的距離更近；
（3）向正前方移動m米吊球，二次函數(shù)關系為：
根據(jù)題意過點，則，解得，（舍去），
故他應該向正前方移動1.5米吊球．
故答案為：1.5．
【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)解析式、實數(shù)大小比較和函數(shù)平移，解題的關鍵是熟悉二次函數(shù)的平移．
34．（2024·陜西西安·模擬預測）某公園的人工湖里安裝一個噴泉，在湖中心豎直安裝了一根高為3米的噴水管，它噴出的拋物線形水柱在與噴水管的水平距離為 1 米處達到最高，水柱落地處離噴水管3米．以噴水管與湖面的交點為原點，建立如圖的平面直角坐標系．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)現(xiàn)公園準備通過只調節(jié)噴頭露出湖面的高度，使得游船能從拋物線水柱下方正中間通過．為避免游客被噴泉淋濕，要求游船從拋物線水柱下方正中間通過時，游船頂棚上任意一點到水柱的豎直距離均不小于 1.5米，已知游船頂棚寬度為 1米，頂棚到湖面的高度為 2.5米，那么公園應將噴頭至少向上移動多少米才能符合要求？
【答案】(1)
(2)應將噴頭至少向上移動米才能符合要求．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，求出函數(shù)解析式是解答本題的關鍵．
（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）如圖，設平移后的解析式，先求出，然后把代入解析式即可求解.
【詳解】（1）設，把，代入得，
，
∴，
∴；
（2）如圖，設平移后的解析式，
∴拋物線對稱軸是直線．
∵頂棚寬度為 1米，頂棚到湖面的高度為 2.5米，
∴，
∵頂棚上任意一點到水柱的豎直距離均不小于 1.5米，
∴把代入解析式得，
，
∴，
∴應將噴頭至少向上移動米才能符合要求．
35．（2021·江蘇鹽城·一模）為積極響應國家“舊房改造”工程，該市推出《加快推進舊房改造工作的實施方案》推進新型城鎮(zhèn)化建設，改善民生，優(yōu)化城市建設．
（1）根據(jù)方案該市的舊房改造戶數(shù)從2020年底的3萬戶增長到2022年底的4.32萬戶，求該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率；
（2）該市計劃對某小區(qū)進行舊房改造，如果計劃改造300戶，計劃投入改造費用平均20000元/戶，且計劃改造的戶數(shù)每增加1戶，投入改造費平均減少50元/戶，求舊房改造申報的最高投入費用是多少元？
【答案】（1）20%；（2）6125000（元）
【分析】（1）設平均增長率為x，根據(jù)題意列式求解即可；
（2）設多改造y戶，最高投入費用為w元，根據(jù)題意列式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求出最大值．
【詳解】解：（1）設平均增長率為x，則x>0，
由題意得：，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率為20%；
（2）設多改造a戶，最高投入費用為w元，
由題意得：，
∵a=-50，拋物線開口向下，
∴當a-50=0，即a=50時，w最大，此時w=612500元，
答：舊房改造申報的最高投入費用為612500元．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應用，解題的關鍵是正確讀懂題意列出式子，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質進行求解．
【題型8 二次函數(shù)動點問題】
36．（2023·內蒙古呼倫貝爾·一模）如圖，菱形的邊長是4厘米，，動點P以1厘米/秒的速度自A點出發(fā)沿方向運動至B點停止，動點Q以2厘米/秒的速度自B點出發(fā)沿折線運動至D點停止．若點P，Q同時出發(fā)運動了t秒，記的面積為S厘米，下面圖象中能表示S與t之間的函數(shù)關系的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，利用圖形的關系求函數(shù)的解析式，注意數(shù)形結合是解決本題的關鍵．
應根據(jù)和兩種情況進行討論．把t當作已知數(shù)值，就可以求出S，從而得到函數(shù)的解析式，進一步即可求解．
【詳解】
解：作于點E，
當時，
，
，
；
當時，作于N，作于M，
，
，
，
；
只有選項D的圖形符合．
故選：D．
37．（2023·遼寧盤錦·二模）如圖，矩形中，，，連接，動點P沿運動，過點P作直線與射線相交于點Q，使，設的面積為s，點P運動路徑為x，則表示s與x之間函數(shù)關系的大致圖象為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查的是動點函數(shù)圖象題型，解直角三角形，二次函數(shù)的應用，解題關鍵：一是分情況談論，二是寫出對應情況的函數(shù)關系式．
根據(jù)動點的運動情況可分點在邊上運動、點在邊上運動和點在邊上運動這三種情況，就這三種情況分別寫出的面積為關于的函數(shù)表達式，并判斷是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，即可選出答案．
【詳解】解：①當點在邊上運動時，此時，且，
如圖所示，，
，
，即，
，
，此時是開口向上的二次函數(shù)；
②如圖所示，當點在邊上運動時，過點作于點，此時，且，
則此時四邊形為矩形，
，，
，
，
，即，
，
，
，此時是一次函數(shù)；
③如圖所示，當點在邊上運動時，此時，且，
，
，
，即，
，
，
，此時是開口向上的二次函數(shù)，
綜上所述：；
故答案選：C．
38．（2023·河南鄭州·三模）如圖；點、、是等邊三角形三條邊不含端點上的點，，設線段的長為，三角形的面積為，則能夠反映與之間函數(shù)關系的圖象大致是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的面積等，解答此題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的面積相等，難點是根據(jù)三角形的面積公式求出關于的函數(shù)解析式，過點作于，設，則，的面積為定值（常數(shù)），然后在中求得，進而得，再證得：，最后根據(jù)求出關于的函數(shù)解析式即可得出答案．
【詳解】解：過點作于，如圖所示：

不妨假設，
，則，
，
為等邊三角形，
，，的面積為定值（常數(shù)），設為，
在中，，，，
，
，
，，
，
在和和中，
，
，
，
，
，
即：，其中，
關于的函數(shù)是二次函數(shù)，其中，
該函數(shù)的圖象為拋物線的一部分．
故選：B
39．（2023·甘肅白銀·二模）如圖，矩形中，，，點在上，且，點、同時從點出發(fā)，點沿運動到點停止，點沿運動到點停止，它們的運動速度都是，設、出發(fā)秒，的面積為則與的函數(shù)關系圖象大致是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得的長，再分、、三種情況，分別求得對應的與的函數(shù)關系時，進而利用二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象特點逐項判斷即可．
【詳解】解：在矩形中，，，，點在上，且，
則在直角中，根據(jù)勾股定理得到，
當，即點在線段上，點在線段上時，過點P作于F，
∵，
∴，
∴，則，
∴
此時，該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線在第一象限的部分；
當，即點在線段上，點在點的位置，此時的面積且保持不變；
當，即點在線段上，點在點時，，此時該函數(shù)圖象是直線的一部分；
綜上所述，B正確．
故選：B
【點睛】本題考查矩形的性質、勾股定理、二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象、銳角三角函數(shù)，理解題意，分類討論以及求得各段函數(shù)解析式是關鍵．
40．（2023·廣東肇慶·一模）如圖，在中，，，，，垂足為點D，動點M從點A出發(fā)沿方向以的速度勻速運動到點B，同時動點N從點C出發(fā)沿射線方向以的速度勻速運動．當點M停止運動時，點N也隨之停止，連接．設運動時間為，的面積為，則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關系的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結合，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．分別求出M在和在上時的面積為S關于t的解析式即可判斷．
【詳解】解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，，，
∴當M在上時，，
，，
∴，
∴此時函數(shù)圖象是：對稱軸在y軸且開口向下的拋物線在上的部分；
當M在上時，，
，
∴，
∴此時函數(shù)圖象是：對稱軸在y軸且開口向上的拋物線在上的部分；
故選：B．
考向四：二次函數(shù)性質的綜合應用
【題型9 二次函數(shù)壓軸類型】
41．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知：在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線的頂點為點A，交y軸于點B，過點B作軸交拋物線于點C，且點C的橫坐標為．
(1)如圖1，求m的值；
(2)如圖2，作直線，點D為直線右側拋物線上的一個動點，連接，，設的面積為S，點D的橫坐標為t，求S與t之間的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；
(3)如圖3，在（2）的條件下，作拋物線的對稱軸l，線段分別交直線l，線段于點E，F(xiàn)，點G為的延長線上一點，連接，其中，且，點H在線段上，連接，，當，且時，求S的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）設點D的坐標為，用三角形面積公式表示即可；
（3）連接，作射線作于K，作交的延長線于P，作于M，作于N，證明平分，證明，設直線與交于點Q，求出直線，與二次函數(shù)表達式聯(lián)立，解方程，得出點D的橫坐標，代入即可．
【詳解】（1）解：點B與點C關于直線對稱，且點C的橫坐標為，
，
；
（2）解：，
∴拋物線的表達式為，
，
∵點D的橫坐標為t，
∴點D的縱坐標為，
的高為，
，
即；
（3）解：如圖，連接，作于M，作于K，作交的延長線于P，設直線與交于點Q，
點B、C關于直線l對稱，點E在直線l上，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
作于M，作于N，
，都是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
點G的縱坐標是，
設直線為，
將點代入，得，
，
，
點E的橫坐標是，
時，，
，
，
，
將代入，
，
（舍），
，
將與聯(lián)立，得
解得，（舍），
此時．
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式、利用三角函數(shù)解直角三角形、相似三角形的判定和性質以及解一元二次方程的問題．
42．（23-24九年級上·廣西玉林·期末）已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)點P在直線下方的拋物線上，連接交于點M，當最大時，求點P的坐標；
(3)在（2）的條件下，過點P作x軸的垂線l，在l上是否存在點D，使是直角三角形若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或或
【分析】（1）將、、代入即可求解析式；
（2）過點作軸交直線于點，過作軸交直線于點，由，可得，則求的最大值即可；
（3）分三種情況討論：當時，過點作軸，過點作軸，與交于點，過點作軸，與交于點，可證明，求出；當時，過點作軸交于點，可證明，求出；當時，線段的中點，設，由，可求或．
【詳解】（1）解：將點、、代入，
得，
解得，
；
（2）解：如圖1，過點作軸交直線于點，過作軸交直線于點，
，
，
設直線的解析式為，
，
，
，
設，則，
，
，
，
，
，
當時，有最大值，
；
（3），點在上，
如圖2，當時，
過點作軸，過點作軸，與交于點，過點作軸，與交于點，
，，
，
，
，即，
，
；
如圖3，當時，
過點作軸交于點，
，，
，
，
，即，
，
；
如圖4，當時，
線段的中點，，
設，
，
，
或，
或；
綜上所述：是直角三角形時，點坐標為或或或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，通過構造平行線將的最大值問題轉化為求的最大值問題是解題的關鍵．
43．（2024·湖南長沙·三模）若兩條拋物線相交于兩點，并滿足，其中為常數(shù)，我們不妨把叫做這兩條拋物線的“依賴系數(shù)”．
(1)若兩條拋物線相交于兩點，求這兩條拋物線的“依賴系數(shù)”；
(2)若拋物線與拋物線相交于兩點，其中，求拋物線1與拋物線2的“依賴系數(shù)”；
(3)如圖，在（2）的條件下，設拋物線1和2分別與軸交于兩點，所在的直線與軸交于點，若點在軸上，，拋物線2與軸的另一個交點為點，以為圓心，為半徑畫圓，連接，與圓相交于點，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)新定義，將點，代入，即可求解；
（2）根據(jù)新定義，得出，根據(jù)可得，聯(lián)立拋物線1和2得，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得，進而即可求解；
（3）根據(jù)題意得出，根據(jù)，由勾股定理可得，得出或，根據(jù)得出，則，根據(jù)得出直線，進而得出，則，將代入拋物線，得出，設，根據(jù)根與系數(shù)的關系得出，可得，則，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)等角的余角相等可得，根據(jù)正切的定義，即可求解．
【詳解】（1）解：兩條拋物線相交于兩點，
，
．
（2）拋物線與拋物線相交于兩點，
，
，
，
，
，
①，
聯(lián)立拋物線1和2得，
的兩根為和，
②，
②代入①并解得：．
（3）拋物線與拋物線的交點在軸上，
，
，
，
，
，
或，
當時，，則，
，
，
，
，
直線，
令，則,
，則，
將代入拋物線，
，
，即，
設，
∵拋物線
令，即，
則，
，則，
，
是的中點，
為圓的直徑，點在圓上，
，又,
，
．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題；二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，一元二次方程根與系數(shù)的關系，直徑所對的圓周角是直角，求正切，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
44．（2024·江蘇淮安·模擬預測）如圖，二次函數(shù) 的圖象與x軸交于點A和點，以為邊在x軸上方作正方形，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿勻速運動，設運動時間為t秒，連接，過點P作P的垂線與y軸交于點E．

(1)求二次函數(shù)的解析式及點A的坐標；
(2)當點P在線段(點P不與A、O重合)上運動至何處時，的面積的最小值，并求出這個最小值；
(3)在P，Q運動過程中，當時，求t的值；
(4)在P，Q運動過程中，是否存在t，使度，若存在請求出t的值，若不存在，請說明理由．
【答案】(1),
(2)點P運動至線段的中點時，的面積的有最小值
(3)
(4)存在，使得度
【分析】（1）將代入即可求解；
（2）由題意得當最大時，點到線段的距離最小，此時的面積的最??；設，證即可求解；
（3）由（2）得，結合得，可推出，即可求解；
（4）延長至點，使得，連接，證得，再證得即可求解．
【詳解】（1）解：將代入得：，
∴
∴
令，即：，
解得：
∴；
（2）解：∵為定值，
∴當最大時，點到線段的距離最小，此時的面積最小
∵
∴
∵
∴
∴
設，
∵
∴
得：,
∵
∴當時，
即：，此時點P運動至線段的中點時，，
∴點到線段的距離，的面積的最小值為：；
（3）解：由（2）得：，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
解得：；
（4）解：如圖所示：

延長至點，使得，連接，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
解得：（舍）
【點睛】本題綜合考查了二次函數(shù)的解析式求解、相似三角形的判定與性質、全等三角形的常見模型等知識點，綜合性較強，需要學生具備扎實的函數(shù)和幾何基礎．
45．（2024·四川涼山·模擬預測）如圖，拋物線的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式及頂點的坐標；
(2)若點在拋物線上，且，求點的坐標；
(3)點是拋物線上、之間的一點，過點作軸于點，過點作交拋物線于點，過點作軸于點．設點的橫坐標為點，請用含的代數(shù)式表示矩形的周長，并求矩形周長的最大值．
【答案】(1)，頂點D的坐標為
(2)
(3)矩形的周長為，矩形的周長最大值為
【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，線段周長問題；
（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求得E點的橫坐標為，即可求解；
（3）根據(jù)對稱軸為直線，設M點的橫坐標為m，則，表示出矩形的周長，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質求得最值，即可求解．
【詳解】（1）解：由拋物線經過點、，
所以有，解得．
∴拋物線的解析式為．
（2）將代入，解得，，
∴
∵，
∴E點的橫坐標為，
把代入
∴，
（3）由拋物線可知，對稱軸為直線，
∵P點的橫坐標為m，軸，
則，
，
∴矩形的周長，
∴當時矩形的周長最大值為．
（建議用時：15分鐘）
46．（23-24九年級上·山東青島·期末）將拋物線向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，所得拋物線的表達式為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移，正確理解二次函數(shù)的平移規(guī)律是解答本題的關鍵．根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律，即得答案．
【詳解】將拋物線向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，所得拋物線的表達式為．
故選B．
47．（2024·浙江寧波·一模）關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且較小的根為2，則下列結論：
①；
②；
③關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根；
④拋物線的頂點在第四象限．
其中正確的結論有（）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，主要利用了一元二次方程的根的定義，根與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象與幾何變換，把方程的根代入計算即可求出，判定①正確；利用根與系數(shù)的關系求出，從而判定②正確；根據(jù)二次函數(shù)與x軸有兩個交點，且頂點坐標在第四象限，向上平移2個單位，與x軸不一定有交點，判定③錯誤，向下平移2個單位，頂點一定在第四象限，判定④正確③④兩題考慮用二次函數(shù)的平移求解是解題的關鍵．
【詳解】解：是方程的根，
，
，故①正確；
是方程的兩個根中較小的根，
∴，，
，
，故②正確；
∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，且較小的根為2，
∴二次函數(shù)與x軸有兩個交點，且對稱軸在直線的右邊，
∴二次函數(shù)頂點坐標在第四象限，
向上平移2個單位得到二次函數(shù)，與x軸不一定有交點，
∴關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根錯誤，故③錯誤；
向下平移2個單位得到二次函數(shù)，頂點坐標一定在第四象限，故④正確；
綜上所述，正確的結論有①②④共3個．
故選：C．
48．（2024·湖南岳陽·一模）對于二次函數(shù)，下列說法正確的是（）
A．開口方向向下B．頂點坐標
C．對稱軸是y軸D．當時，y有最小值
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質：根據(jù)拋物線的性質，由得到圖象開口向上，根據(jù)頂點式得到頂點坐標為，對稱軸為直線，當時，有最小值3，再進行判斷即可．
【詳解】解：二次函數(shù)的圖象開口向上，頂點坐標為，對稱軸為直線，當時，有最小值3．
故選項D正確，
故選：D
49．（23-24九年級上·山東煙臺·期末）函數(shù)與在同一直角坐標系中的圖象可能是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)及反比例函數(shù)和圖象，解決此類問題步驟一般為：（1）先根據(jù)圖象的特點判斷k取值是否矛盾；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷拋物線與y軸的交點是否符合要求．根據(jù)，，結合兩個函數(shù)的圖象及其性質分類討論．
【詳解】解：分兩種情況討論：
①當時，反比例函數(shù)，在二、四象限，而二次函數(shù)開口向上，與軸交于負半軸，故A、B、C、D都不符合題意；
②當時，反比例函數(shù)，在一、三象限，而二次函數(shù)開口向下，與y軸交點在原點上方，故選項A正確，
故選：A．
50．（23-24九年級上·山東聊城·期末）如圖，正方形的邊長為，動點，同時從點出發(fā)，以的速度分別沿和的路徑向點運動．設運動時間為（單位：），四邊形的面積為（單位：），則與之間的函數(shù)圖象大致是下列圖中的（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用、正方形的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題關鍵．先求出點從點運動到點，點從點運動到點的時間為；點從點運動到點，點從點運動到點的時間為，再分兩種情況：①和②，利用面積關系求出與之間的函數(shù)關系式，由此即可得．
【詳解】解：∵正方形的邊長為，
，，
，
由題意可知，點從點運動到點，點從點運動到點的時間為；點從點運動到點，點從點運動到點的時間為，
①當時，，
則；
②當時，，
則；
綜上，與之間的函數(shù)關系式為，
故選：C．
51．（2024·廣東東莞·一模）已知點都在函數(shù)的圖象上，則的大小關系為．
【答案】/
【分析】本題主要考查了比較二次函數(shù)值的大小，根據(jù)函數(shù)解析式得到對稱軸為y軸，且離對稱軸越遠函數(shù)值越小，再求出三個點到y(tǒng)軸的距離即可得到答案．
【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為，，
∴二次函數(shù)開口向下，對稱軸為y軸，
∴離對稱軸越遠函數(shù)值越小，
∵點都在函數(shù)的圖象上，且，
∴，
故答案為：．
52．（2024·江蘇淮安·模擬預測）直線和拋物線在同一坐標系中的位置如圖所示，那么不等式的解集是．
【答案】或
【分析】本題考查了根據(jù)交點確定不等式的解集，旨在考查學生的數(shù)形結合能力，將不等式轉化為對應函數(shù)圖象的位置關系是解題關鍵．
【詳解】解：由題意得：不等式表示直線在拋物線下方的部分，
∵兩圖象的交點橫坐標為：，
∴不等式的解集是：或
故答案為：或
53．（2024·江西·一模）如圖，這是某市文化生態(tài)園中拋物線型拱橋及其示意圖，已知拋物線型拱橋的函數(shù)表達式為，為了美化拱橋夜景，擬在該拱橋上距水面處安裝夜景燈帶，則夜景燈帶的長是．

【答案】
【分析】本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應用，根據(jù)題意得到，代入解析式求解即可．
【詳解】由題意得
，
解得：，，
．
故答案為：．
54．（2024·江西·一模）小明大學畢業(yè)后積極自主創(chuàng)業(yè)，在網上創(chuàng)辦了一個微店，銷售一款鄉(xiāng)村太陽能美化路燈，該燈成本是40元/盞．通過調研發(fā)現(xiàn)，若按50元/盞銷售，一個月可售500盞；若銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10盞．
(1)月銷售量m（盞）與銷售單價x（元/盞）之間的函數(shù)關系式為______．
(2)小明若想讓太陽能美化路燈的月銷售利潤達到8000元，則太陽能美化路燈銷售單價應定為多少元？
(3)太陽能美化路燈的銷售單價定為多少元時，月銷售能獲得最大利潤？最大利潤是多少元？
【答案】(1)
(2)60元或80元
(3)當銷售單價定為70元時獲得利潤最大，最大利潤是9000元
【分析】
本題考查了一元二次方程的應用，二次函數(shù)的最值問題，理解題意，掌握二次函數(shù)的性質是解題關鍵．
（1）根據(jù)題意列代數(shù)式即可；
（2）設銷售單價為元/盞，根據(jù)總利潤單個利潤數(shù)量，列一元二次方程求解即可；
（3）設月銷售利潤元，銷售單價元/盛，根據(jù)題意得出與的關系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質，即可求出最大值．
【詳解】（1）解：由題意得：，
故答案為：；
（2）解：設銷售單價為元/盞，
由題意，得，
解得：，
答：銷售單價應定為60元或80元．
（3）
解：設月銷售利潤元，銷售單價元/盛，
則，
整理得．
，
當時，有最大值，最大值為9000，
當銷售單價定為70元時獲得利潤最大，最大利潤是9000元．
55．（2024·江西·一模）已知關于的二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線，其最大值是，經過點，交軸于點，請僅用無刻度直尺按下列要求作圖．
(1)在圖1中作二次函數(shù)圖象上的點；
(2)在圖2中二次函數(shù)圖象的對稱軸上找一點，使的周長最短．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】
本題考查二次函數(shù)綜合題，軸對稱圖形的畫法，拋物線的性質，熟練掌握拋物線的性質以及畫對稱軸的作圖技巧是解題的關鍵．
（）先求出函數(shù)解析式，再得出點的具體位置；
（）求的周長最小，是固定值，即最小，即找到的對稱點，連接另一個點和對稱點，點即是與對稱軸的交點．
【詳解】（1）
根據(jù)題意可得：解得：，
即二次函數(shù)，
在圖上找到點關于對稱軸對稱的點即是點；
（2）
由（）得：，，
令的解析式為，
將點點代入解析式得：，解得：，
的解析式為，
因為點在對稱軸上，時，，故點
（建議用時：20分鐘）
一、單選題
56．（23-24九年級上·浙江寧波·期末）已知關于x的二次函數(shù)（m，n為常數(shù)），則下列說法正確的是（）
A．開口向上
B．對稱軸在y軸的左側
C．若，該函數(shù)圖象與x軸沒有交點
D．當時，該函數(shù)的最大值與最小值的差為4
【答案】D
【分析】此題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象與x軸交點問題，二次函數(shù)的最值問題，正確掌握二次函數(shù)的知識是解題的關鍵．
【詳解】解：由，所以開口向下，故A選項錯誤；
拋物線對稱軸為，不能確定對稱軸的位置，故B選項錯誤；
若，即，所以，該函數(shù)圖象與x軸交點無法確定，故C選項錯誤；
當時，有最小值為，當時，有最大值為，所以最大值與最小值的差為4，故D選項正確；
故選：D．
57．（23-24九年級上·遼寧朝陽·期末）如圖，對稱軸為直線的拋物線中，以下結論：①；②；③；④；⑤ （為任意實數(shù)）；⑥當時，隨的增大而增大.其中正確的結論有（）
A．②③⑤B．②④⑤C．①②③④D．①②③④⑥
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像與性質，解題的關鍵是數(shù)形結合．由拋物線的開口方向判斷的符號，由拋物線與軸的交點判斷的符號，結合對稱軸判斷①，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與軸交點情況判斷②，根據(jù)對稱性求得時的函數(shù)值小于，判斷③；根據(jù)時的函數(shù)值，結合，代入即可判斷④，根據(jù)頂點坐標即可判斷⑤，根據(jù)函數(shù)圖像即可判斷⑥．
【詳解】解：①由圖像可知：，，
對稱軸為直線：，
，
，故①錯誤；
②拋物線與軸有兩個交點，即有兩個不相同的根，
，
，故②正確；
③對稱軸為直線，則與的函數(shù)值相等，
當時，，故③錯誤；
④當時，，
，故④正確；
⑤當時，取到最小值，此時，，
而當時，，
，
故，
即，故⑤正確，
⑥當時，隨的增大而減小，故⑥錯誤，
故正確的有：②④⑤，
故選：B．
58．（2023·遼寧盤錦·一模）二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出四個結論：①；②；③對于任意實數(shù)m，有；④，其中正確的有（）

A．①②B．①④C．②③D．③④
【答案】A
【分析】本題主要考查了拋物線與坐標軸的交點，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．二次函數(shù)的系數(shù)確定了拋物線開口方向、對稱軸、與y軸的交點等．對于①，先根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質判斷a，b，c的正負，進而得出答案；對于②，令求出y值，判斷即可；對于③，先求出當時，求初最大值，再比較即可；對于④，根據(jù)對稱軸求出a，b的關系，再將代入關系式，即可判斷．
【詳解】解：①∵對稱軸位于x軸的左側，
∴，
∴a，b同號，即．
∵拋物線與y軸交于正半軸，則，
∴．故①正確；
②∵時，，
∴，故②正確；
③當時，，當時，，
∴對于任意實數(shù)m，有，故③錯誤；
④∵拋物線的對稱軸為直線，
∴．
∵時，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④錯誤；
綜上所述，正確的結論有：①②，
故選A．
59．（2023·山東濟南·三模）已知在平面直角坐標系中，點為，點為，將拋物線：，繞原點旋轉得到拋物線，若拋物線與線段只有一個公共點，則的取值范圍是( )
A．B．
C．或D．或
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是得到二次函數(shù)圖象繞原點旋轉得到拋物線的解析式．先得出該二次函數(shù)繞原點旋轉得到拋物線的解析式，再把點A和點B分別代入，求出m的值，即可解答．
【詳解】解：將拋物線：，繞原點旋轉得到拋物線：，即，
當拋物線經過點時，則，解得；
當拋物線經過點時，則，解得，
當拋物線與軸有一個交點時，則，
，
解得，
此時，與軸的交點為，不合題意，
若拋物線與線段只有一個公共點，則的取值范圍是．
故選：A．
二、填空題
60．（2024·福建南平·一模）如圖，矩形中，，，的平分線交于點，為線段上一動點，點為的中點，則線段長的最大值是．
【答案】
【分析】本題考查了矩形的性質，二次函數(shù)的性質，兩點距離公式等知識．建立平面直角坐標系，求出的解析式，設點，可求點坐標，由兩點距離公式和二次函數(shù)性質可求的最大值．
【詳解】解：以點為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，

，，
點，點，點，
為的角平分線，
，
，
，
點，
設直線的解析式為，
將點，代入上式，得：
，解得：
直線解析式為，
設點，
為的中點，
點，
，
，
當時，的長有最大值，最大值為，
故答案為：．
61．（2023·吉林·三模）如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線、均為常數(shù)且，．過點作軸垂線交拋物線于、兩點、在點的右側），連結、．當，且的面積為2時，則的值為．
【答案】2
【分析】
本題考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積．設，則，由的面積為2，得出，即可根據(jù)拋物線的對稱性得出，，把代入解析式即可求得，進一步得到．
【詳解】
解：設，
，
，
，
點，的面積為2，
，
，
，，
拋物線為，
把代入得，，
解得，
，
故答案為：2．
62．（2023·四川瀘州·二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點，若點為拋物線上一點且橫坐標為，點為軸上一點，點在以點為圓心，為半徑的圓上，則的最小值．
【答案】/
【分析】先求出點，點，作點關于軸對稱的點，則點，連接交與軸于，交于，過點作軸于，連接，當點與點重合，點與點重合時，為最小，最小值為線段的長，然后可在中由勾股定理求出，進而可得，據(jù)此可得出答案．
【詳解】解：對于，當時，，
解得：，，
點的坐標為，
對于，當時，，
點的坐標為，
作點關于軸對稱的點，則點，
連接交與y軸于，交于，過點作軸于，連接，

當點與點重合，點與點重合時，為最小，最小值為線段的長．
理由如下：
當點與點不重合，點與點不重合時，
根據(jù)軸對稱的性質可知：，
，
根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：，
即：，
，
，
即：，
當點與點重合，點與點重合時，為最?。?br>點，，
，，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
．
即為最小值為．
故答案為：．
【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)與軸的交點，利用軸對稱求最短路線，圓的性質，勾股定理等，解答此題的關鍵是準確的求出二次函數(shù)與軸的交點坐標，難點是確定當為最小時，點，的位置．
三、解答題
63．（2024·江西·一模）已知二次函數(shù)經過兩定點（點在點的左側），頂點為．
(1)求定點的坐標；
(2)把二次函數(shù)的圖象在直線下方的部分向上翻折，將向上翻折得到的部分與原二次函數(shù)位于直線上方的部分的組合圖象記作圖象，求向上翻折部分的函數(shù)解析式；
(3)在（2）中，已知的面積為8．
①當時，求圖象中的取值范圍；
②若直線與圖象從左到右依次交于四點，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】
本題考查二次函數(shù)與x軸交點坐標，二次函數(shù)的圖像和性質，翻折的性質，掌握二次函數(shù)的圖像和性質是解題的關鍵．
（1）將原函數(shù)可化為，令，即可得到定點坐標；
（2）根據(jù)翻折的性質即可得到解析式；
（3）①根據(jù)自變量的取值范圍，結合圖象求出最值即可；
②根據(jù)題意確定圖象與直線交于點，與直線交于點，然后表示出，，根據(jù)題意列方程解題即可．
【詳解】（1）原函數(shù)可化為，
可得該函數(shù)圖象恒過兩點，，
故定點為．
（2）解：∵直線就是x軸，
∴折疊即為沿x軸向上折疊，
∴解析式為；
（3）①∵
∴對稱軸，代入得
的面積為8，
．
∴圖象向上翻折部分的函數(shù)解析式為．
，頂點在之間的圖象上，該段拋物線開口向下，對稱軸為直線，
當時，；當時，的最小值為0．
在圖象中，的取值范圍為．
②若直線與圖象從左到右依次交于四點，
∴圖象與直線交于點，可得，
∴
∵與直線交于點，
∴，則．
，
，即，
兩邊平方解得．
64．（2024·四川瀘州·一模）如圖，一位籃球運動員在與籃圈水平距離為4m處起跳投籃時，球運行的高度與運行的水平距離之間滿足關系式，當球運行的水平距離為球離地面高度為，球在空中達到最大高度后，準確落入籃框內．已知籃框中心與地面的距離為3.05m．當球運行的水平距離為多少時，球在空中達到最大高度？最大高度為多少？
【答案】當球運行的水平距離為時，球在空中達到最大高度，最大高度為
【分析】本題考查了函數(shù)類綜合應用題，對函數(shù)定義、性質，以及在實際問題中的應用等技能進行了全面考查，對學生的數(shù)學思維具有很大的挑戰(zhàn)性．
利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，然后配方成頂點式的形式即可確定答案．
【詳解】解：依題意，拋物線經過點和，
解得
∴，
∵，
∴當時，取得最大值3.5，
當球運行的水平距離為時，球在空中達到最大高度，最大高度為．
65．（2024·新疆克孜勒蘇·二模）某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）之間存在一次函數(shù)關系（其中且x為整數(shù)）．當每件消毒用品售價為9元時，每天的銷售量為105件；當每件消毒用品售價為12元時，每天的銷售量為90件．
(1)求y與x之間的函數(shù)關系式．
(2)若該商店銷售這種消毒用品每天想獲得425元的利潤，為讓消費者獲得更多實惠，則每件消毒用品的售價為多少元？
(3)設該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
【答案】(1)
(2)每件消毒用品的售價為13元
(3)每件消毒用品的售價為19元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是605元
【分析】本題考查一次函數(shù)的應用、一元二次方程的應用、二次函數(shù)的應用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)關系式、一次函數(shù)的性質、二次函數(shù)的性質，理解題意，正確求得函數(shù)關系式和方程是解答的關鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求解函數(shù)關系式即可；
（2）根據(jù)利潤=單件利潤×銷售量列方程求解即可；
（3）根據(jù)利潤=單件利潤×銷售量列函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)的性質求解即可．
【詳解】（1）解：設y與x之間的函數(shù)關系式為，
根據(jù)題意，得，解得，
∴y與x之間的函數(shù)關系式為；
（2）解：根據(jù)題意，得，即，
解得，，
∵讓消費者獲得更多實惠，
∴，
答：每件消毒用品的售價為13元；
（3）解：根據(jù)題意，得，
∵，，
∴當時，w有最小值，最小值為605，
答：每件消毒用品的售價為19元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是605元．
66．（2024·廣東東莞·一模）如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸于點，連接，．
(1)求的面積；
(2)點為軸上一點，是否存在點，使得與相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)點為拋物線上一點（點與點不重合），且使得中有一個角是，請直接寫出點的坐標．
【答案】(1)6
(2)存在，點的坐標為，理由見詳解
(3)點坐標為或
【分析】（1）分別確定點的坐標，進而可得的長度，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；
（2）若與相似，則有，由相似三角形的性質可得，即，即可求解；
（3）分三種情況討論：根據(jù)題意，點與點不重合，則；當時，設交軸于點，過點作于點，證明為等腰直角三角形，結合點坐標可得，設，則，，進而解得，即可確定點坐標，利用待定系數(shù)法解得直線的解析式，聯(lián)立直線的解析式與拋物線解析式，求解即可確定點坐標；當時，同理可解．
【詳解】（1）解：對于拋物線，
當時，可有，即，
當時，可有，
解得，，
即，，
∴，，
∴；
（2）存在，點的坐標為，
理由如下：
∵，，，
∴，，，
如下圖，當時，
則有，即，
∴，
∴，
∴；
（3）根據(jù)題意，點與點不重合，則；
當時，如下圖，
設交軸于點，過點作于點，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
設，則，，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
設直線的解析式為，將點，代入，
可得，解得，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立直線的解析式與拋物線解析式，
可得，解得（舍去）或，
∴點；
當時，如下圖，
設交軸于點，過點作于點，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設，則，，
∴，解得，
∴，
∴，
設直線的解析式為，將點，代入，
可得，解得，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立直線的解析式與拋物線解析式，
可得，解得（舍去）或，
∴點．
綜上所述，點坐標為或．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合應用，主要考查了坐標與圖形、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、解直角三角形、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、相似三角形的性質等知識，綜合性強，難度較大，解題關鍵是運用數(shù)形結合和分類討論的思想分析問題．
67．（2024·陜西西安·二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸分別交于，兩點，點的坐標是，點的坐標是，與軸交于點，是拋物線上一動點，且位于第二象限，過點作軸，垂足為，線段與直線相交于點

(1)求該拋物線的解析式；
(2)連接，是否存在點，使得？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線的解析式為；
(2)點的橫坐標為．
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關點坐標和相關線段的長度．
（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）證明，則，由，即可求解．
【詳解】（1）解：設拋物線的表達式為：，
則，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2）解：設存在點，使得，理由如下：
延長到，設，連接，如圖：

，
，
，
，
，
，
，
，
設，則，，
，
，
，
，
，
解得（舍去）或（舍去）或，
點的橫坐標為．
68．（2024·山東濟寧·一模）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點，頂點為點．
(1)當時，直接寫出點，，的坐標；
(2)如圖，直線交x軸于點，若，
求的值；
將直線向上平移個單位得到直線，直線與拋物線只有一個公共點，求的值；
(3)如圖，在（）的條件下，若點為的中點，連接，動點在第一象限的拋物線上運動，點作軸的垂線．垂足為，交于點，交直線于點，過點作，垂足為．是否存在與和的最大值？若存在，求出與和的最大值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)點，，；
(2)，，
(3)當時，有最大值，最大值即為．
【分析】（）把代入拋物線解析式得，然后問題可求解；
（）過點作于點，過點作于點，由題意易得頂點，
，則有，，然后根據(jù)三角函數(shù)可求的值，進而根據(jù)待定系數(shù)法求解直線的解析式，與二次函數(shù)聯(lián)立一元二次方程，當時即可求解；
（）由（）可知二次函數(shù)的解析式為，則有，，然后可得直線的解析式為，設，則有，，進而可得，，則可得，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質可進行求解；
本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質及解直角三角形，熟練掌握二次函數(shù)與幾何的綜合及解直角三角形是解題的關鍵.
【詳解】（1）把代入拋物線得，
令時，則，
則，，
∵點在點的左側，
∴，
令時，則，即，
當時
則，
∴，
∴綜上，點，，；
（2）過點作于點，過點作于點，如圖所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
由可知頂點，
令時，則，即，
∴ ，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，
設直線的解析式為，
則有：
解得：，
∴直線的解析式為，
則直線向上平移個單位得到直線為，
當直線與拋物線只有一個公共點時，
則，整理得，
∴，解得：，
（3）存在，理由如下：
由（）可知：直線的解析式為，，，
∴，，
令時，則，
解得：，，
∴，
∵點為的中點，
∴，
設直線的解析式為，
則有：，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
設，即則有，，
∴ ，，
∴，
∴，
∵ 且，
綜上所述，存在，當時，有最大值，最大值即為．
1．滿分技巧
對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象：
形狀：拋物線；對稱軸：直線；頂點坐標：；
2、拋物線的增減性問題，由a的正負和對稱軸同時確定，單一的直接說y隨x的增大而增大（或減?。┦遣粚Φ?，必須在確定a的正負后，附加一定的自變量x取值范圍；
3、當a＞0，拋物線開口向上，函數(shù)有最小值；當a＜0，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值；而函數(shù)的最值都是定點坐標的縱坐標。
滿分技巧
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質：
①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減??；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．
②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減??；x＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．
③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．
…
0
…
…
p
1
p
m
…
滿分技巧
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?br>當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越?。?br>②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側．（簡稱：左同右異）
③．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點個數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
滿分技巧
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（﹣，）．
①拋物線是關于對稱軸x＝﹣成軸對稱，所以拋物線上的點關于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．
②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數(shù)解析中的c值．
③拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，設兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x＝．
滿分技巧
1、求拋物線與x軸的交點，就是讓拋物線解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判別式、③根與系數(shù)的關系等性質也就分別對應①拋物線與x軸交點橫坐標、②交點個數(shù)、③交點橫坐標與其對稱軸的關系的考點；
2、求拋物線與直線的交點時，聯(lián)立拋物線與直線的解析式，得新的一元二次方程時，上述結論與用法大多依然適用，使用時注意聯(lián)想和甄別。
滿分技巧
1、當拋物線與x軸相交、與直線相交時，只要有交點，就可以接著考察兩圖象的上下關系，進而得不等式，根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集。
2、由函數(shù)圖象直接寫出不等式解集的方法歸納：①根據(jù)圖象找出交點橫坐標，②不等式中不等號開口朝向的一方，圖象在上方，對應交點的左邊或右邊符合，則x取對應一邊的范圍。
滿分技巧
二次函數(shù)在實際生活中的應用題
從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數(shù)模型．關鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義．
（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題
在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．
（2）幾何圖形中的最值問題
幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．
（3）構建二次函數(shù)模型解決實際問題
利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．
滿分技巧
合理建立直角坐標系，把已知數(shù)據(jù)轉化為點的坐標；
②根據(jù)題意，把所求問題轉化為求最值或已知x的范圍就y的值的問題。
函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結合，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖．
滿分技巧
1.二次函數(shù)性質的綜合應用
（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結合問題
解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．
（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用
將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數(shù)問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．

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