數(shù)學(xué)試卷
試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考場號?座位號?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡指定位置上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，
1.橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
2.已知數(shù)列的前項和滿足，則（ ）
A.11 B.13 C.24 D.25
3.若直線與直線平行，則的值為（ ）
A.-2 B.2 C. D.2或
4.已知等比數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的公比為（ ）
A.2 B.-2 C.3 D.-3
5.先后兩次拋一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“第一次拋出的點(diǎn)數(shù)小于3”，事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和大于3”，則（ ）
A. B. C. D.
6.設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，且成等比數(shù)列，則（ ）
A.2024 B.2025 C.4049 D.4050
7.已知正方體的棱長為是棱的中點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（ ）
A. B. C. D.
8.已知數(shù)列的前項和為且，則數(shù)列的前項和（ ）
A. B.
C. D.
二?多選題本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下所示，則（ ）
A. B. C. D.
10.已知數(shù)列滿足，記為數(shù)列的前項和，則（ ）
A. B.
C. D.
11.已知數(shù)列共有項，，且，記這樣的數(shù)列共有個，則（ ）
A. B.
C. D.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，，則__________.（寫出滿足上述條件的一個值即可）
13.已知等差數(shù)列共有項，奇數(shù)項之和為60，偶數(shù)項之和為54，則__________.
14.5位女生和2位男生站成一排，若2位男生相鄰，則不同的排法共有__________.種；若每位女生至少與一位女生相鄰，則不同的排法共有__________種.（第一空2分，第二空3分，用數(shù)字作答）
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知數(shù)列的前項和為，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和.
16.（15分）已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，，記的前項和為.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，判斷數(shù)列的增減性.
17.（15分）已知為拋物線上的一點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，且直線的斜率之積等于2.
（1）求的準(zhǔn)線方程；
（2）證明：.
18.（17分）已知數(shù)列的前項和為，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）記，數(shù)列的前項和為，證明：.
19.（17分）對于數(shù)列，若滿足恒成立的最大正數(shù)為，則稱為“數(shù)列".
（1）已知等比數(shù)列的首項為1，公比為，且為“數(shù)列”，求；
（2）已知等差數(shù)列與其前項和均為“數(shù)列”，且與的單調(diào)性一致，求的通項公式；
（3）已知數(shù)列滿足，若且，證明：存在實(shí)數(shù)，使得是“數(shù)列”，并求的最小值.
2023—2024學(xué)年高二年級第二學(xué)期第一次階段性考試
數(shù)學(xué)參考答案及評分細(xì)則
1.【答案】B
【解析】由題意得，所以離心率.故選B.
2.【答案】C
【解析】因為，所以.故選C.
3.【答案】B
【解析】因為直線與平行，有，即，解得或，當(dāng)時兩直線重合，不符合題意應(yīng)舍去.故選B.
4.【答案】C
【解析】由題意，相減得，所以公比為3.故選C.
5.【答案】B
【解析】由題意可知，所以.故選B.
6.【答案】C
【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，則解得所以.故.故選C.
7.【答案】D
【解析】在棱長為2的正方體中，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有，則，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的
距離，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故選D.
8.【答案】A
【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，不滿足上式，故，故①②，①-②得，，即，令③，
④，③-④得
.故選A.
9.【答案】ABD（每選對1個得2分）
【解析】對于，由分布列的性質(zhì)可得，解得，故A正確；對于0，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選ABD.
10.【答案】BC（每選對1個得3分）
【解析】由題意得，，解得，故A錯誤；由，則，兩式相除得，故B正確；由可得，，故C正確；，故D錯誤.故選BC.
11.【答案】ABD（每選對1個得2分）
【解析】由題意可知，，則或1，則，故A正確；當(dāng)，數(shù)列可以看成時再增加一項，或時再增加一項，因此，故B正確；因為，相加可得：，故C錯誤；又因為，可得，故D正確.故選ABD.
12.【答案】7（或12，或15，或16中任一個均可）
【解析】在等比數(shù)列中，由得，所以，不妨令，則的不同取值有或者或者或者，所以的所有取值為，故答案為中任一個均是正確的.
13.【答案】10
【解析】奇數(shù)項有項，偶數(shù)項有項，故，解得.
14.【答案】1440；2160（第一空2分，第二空3分）
【解析】若2位男生相鄰，則不同的排法共有種；若每位女生至少與一位女生相鄰，若5位女生相鄰，則排法有種，若2位女生相鄰，另外3位女生相鄰，則排法有種，綜上所述，共有2160種排法.
15.解：（1），
兩式相減得，
又當(dāng)時，，滿足上式，
所以.
（2）由（1）得，
.
16.解：（1）由得，即，
與聯(lián)立得，
解得，（4分）
.
（2）由（1）得，
所以，故，所以數(shù)列是遞增數(shù)列.
17.（1）解：由題意可得點(diǎn)在上，所以，
解得，所以的準(zhǔn)線方程為.
（2）證明：設(shè)，由（1）知的方程為，
，同理可得，
所以，即，
聯(lián)立得
所以，
所以，
得.
18.（1）解：由兩邊同時除以，可得，
所以，故數(shù)列是以2為首項?2為公比的等比數(shù)列，
所以，即.
（2）證明：因為，
所以.
因為，
所以，
即.
19.（1）解：由題意得，
①當(dāng)時，，解得或；
②當(dāng)時，不可能為數(shù)列.
綜上所述，或.
（2）解：設(shè)，
，
因為與的單調(diào)性一致，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
，所以，得，
因此.
（3）證明：由得，
累加得，
，其中，
設(shè)，
.
故是遞增數(shù)列，，所以存在，使得是“數(shù)列”，
當(dāng)時，取得最小值為.-2
1
3

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