考卷信息：
本套訓(xùn)練卷共50題，其中選擇題15題，填空題15題，解答題20題. 題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了解直角三角形的中考常考題的綜合問(wèn)題的所有類型！
一、選擇題（共15題）
1．（2023·湖北武漢·中考真題）由4個(gè)形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∠O=60°，則tan∠ABC=（ ）
A．13B．12C．33D．32
2．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于點(diǎn)D，AD=47AC，AB=2，∠ABC=150°，則△DBC的面積是（ ）
A．3314B．9314C．337D．637
3．（2023·浙江寧波·中考真題）如圖，在△ABC中，∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=3．若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為（ ）
A．33B．32C．1D．62
4．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，連接DE，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接OF交CD于點(diǎn)G，連接CF，若CE=4，OF=6．則下列結(jié)論：①GF=2；②OD=2OG；③tan∠CDE=12；④∠ODF=∠OCF=90°；⑤點(diǎn)D到CF的距離為855．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③④B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤
5．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是角平分線AD、BE的交點(diǎn)，若AB＝AC＝10，BC＝12，則tan∠OBD的值是（ ）

A．12B．2C．63D．64
6．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC:BC=1:2，連接AC，過(guò)點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長(zhǎng)線于P．若P1,1，則tan∠OAP的值是（ ）
A．33B．22C．13D．3
7．（2023·四川樂(lè)山·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若tan∠A=12，tan∠ABD=13，則CD的長(zhǎng)為（ ）
A．25B．3C．5D．2
8．（2023·廣西貴港·中考真題）如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若△ABC的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則cs∠BAC的值是（ ）
A．55B．105C．255D．45
9．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在△ABC中，sinB=13， tanC=2，AB=3，則AC的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．52C．5D．2
10．（2023·四川綿陽(yáng)·中考真題）公元三世紀(jì)，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積是125，小正方形面積是25，則sinθ?csθ2=( )
A．15B．55C．355D．95
11．（2023·貴州遵義·中考真題）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計(jì)算tan15°時(shí)，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長(zhǎng)CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=ACCD=12+3=2?32+32?3=2?3．類比這種方法，計(jì)算tan22.5°的值為（ ）
A．2+1B．2﹣1C．2D．12
12．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，csB=14，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使∠ADE=∠B，連結(jié)CE，則CEAD的值為（ ）
A．32B．3C．152D．2
13．（2023·山東淄博·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CE是斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F．若BC=4,△AEF的面積為5，則sin∠CEF的值為（ ）
A．35B．55C．45D．255
14．（2023·四川巴中·中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．sinB=13B．sinC=255
C．tanB=12D．sin2B+sin2C＝1
15．（2023·浙江麗水·中考真題）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC的中點(diǎn)，AF平分∠EAD交CD于點(diǎn)F， FG∥AD 交AE于點(diǎn)G，若csB=14，則FG的長(zhǎng)是（ ）
A．3B．83C．2153D．52
二、填空題（共15題）
16．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BD是對(duì)角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE．若∠ADB=30°，則如tan∠DEC的值為_(kāi)____．
17．（2023·廣東深圳·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC=∠DAC=90°，tan∠ACB=12,BOOD=43，則S△ABDS△CBD=___．
18．（2023·廣東·中考真題）如圖，在?ABCD中，AD=5,AB=12,sinA=45．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，則sin∠BCE=______．
19．（2023·廣西貴港·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BD是對(duì)角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB=12，則tan∠DEC的值是________．
20．（2023·山東濱州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2．若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值為_(kāi)___________．
21．（2023·山東德州·中考真題）如圖．在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).ΔABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則∠BAC的正弦值是__________．
22．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，△ABC中，∠BAC＞90°，BC=5，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在BA的延長(zhǎng)線上．若sin∠B′AC=910，則AC=_____．
23．（2023·上海·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=32，如果將△ABC沿直線l翻折后，點(diǎn)B落在邊AC的中點(diǎn)處，直線l與邊BC交于點(diǎn)D，那么BD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
24．（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在△ABC中，BC=6+2，∠C=45°，AB=2AC，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
25．（2023·四川·中考真題）如圖，由10個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β 如圖所示，則csα+β=______.
26．（2023·江蘇淮安·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，H是AB的中點(diǎn)，將ΔCBH沿CH折疊，點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)P處，連接AP，則tan∠HAP=__．
27．（2023·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E為CD邊上一點(diǎn)，將△BCE沿BE折疊，使得C落到矩形內(nèi)點(diǎn)F的位置，連接AF，若tan∠BAF＝12，則CE＝_____．
28．（2023·山東濰坊·中考真題）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)G，E分別在邊BC,DC上，連接AG,EG,AE，將△ABG和△ECG分別沿AG,EG折疊，使點(diǎn)B，C恰好落在AE上的同一點(diǎn)，記為點(diǎn)F．若CE=3,CG=4，則sin∠DAE=_______．
29．（2023·江蘇常州·中考真題）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2BC，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE、BCFG，連接EC、EG，則tan∠CEG=_________．
30．（2023·江蘇常州·中考真題）如圖，在△ABC中，AC=3,BC=4，點(diǎn)D、E分別在CA、CB上，點(diǎn)F在△ABC內(nèi)．若四邊形CDFE是邊長(zhǎng)為1的正方形，則sin∠FBA=________．
三、解答題（共20題）
31．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段的兩個(gè)端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上.
(1)在圖中畫出以為底、面積為12的等腰，且點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上；
(2)在圖中畫出平行四邊形，且點(diǎn)和點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上，，連接，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng).
32．（2023·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，在?ABCD中 過(guò)點(diǎn)A作AE⊥DC，垂足為E，連接BE，F(xiàn)為BE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠D．
（1）求證：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，sinD=45，求AF的長(zhǎng)．
33．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，將△ABC沿著射線BC方向平移至△A′B′C′，使點(diǎn)A′落在∠ACB的外角平分線CD上，連接AA′．
(1)判斷四邊形ACC′A′的形狀，并說(shuō)明理由；
(2)在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cs∠BAC=1213，求CB′的長(zhǎng)．
34．（2023·山東濰坊·中考真題）如圖，點(diǎn)M是正方形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AM，作DE⊥AM于點(diǎn)E，BF⊥AM于點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：AE=BF；
（2）已知AF=2，四邊形ABED的面積為24，求∠EBF的正弦值．
35．（2023·上海·中考真題）如圖，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=34．
（1）求邊AC的長(zhǎng)；
（2）設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為D，求ADDB的值．
36．（2023·廣西賀州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交DO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE．
(1)求證：四邊形AECD是菱形；
(2)若四邊形AECD的面積為24，tan∠BAC=34，求BC的長(zhǎng)．
37．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD=5，CD=4，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BE=3，連接AE，DF⊥AE交于點(diǎn)F．
(1)求證：△ABE≌△DFA；
(2)連接CF，求sin∠DCF的值；
(3)連接AC交DF于點(diǎn)G，求AGGC的值．
38．（2023·湖南常德·中考真題）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C=45°，sinB=13，AD=1．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）求tan∠DAE的值．
39．（2023·浙江紹興·中考真題）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EC與AD交于點(diǎn)G，點(diǎn)F在BC上．
（1）如圖1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求證∶EF=CD．
（2）如圖2，AC∶AB=1∶3，EF⊥CE，求EF∶EG的值．
40．（2023·廣西梧州·中考真題）如圖，在RtΔABC中，∠C=90°，D為BC上一點(diǎn)，AB=5 , BD=1，tanB=34．
（1）求AD的長(zhǎng)；（2）求sinα的值．
41．（2023·湖北宜昌·中考真題）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，△BCE沿BE折疊為△BFE，點(diǎn)F落在AD上．
（1）求證：△ABF∽△DFE；
（2）若，求tan∠EBC的值．
42．（2023·福建廈門·中考真題）已知ABCD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在邊AD上，過(guò)點(diǎn)P分
別作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分別為E、F，PE＝PF．
（1）如圖，若PE＝3，EO＝1，求∠EPF的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，BF ＝BC＋32－4，求BC的長(zhǎng)．
43．（2023·山東濱州·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為10， ∠ABC=60°，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，連接AE，作∠AEF=120°且邊EF與直線DC相交于點(diǎn)F．
(1)求菱形ABCD的面積；
(2)求證AE=EF．
44．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，連接BD ．
(1)求BD的長(zhǎng)；
(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合）， 點(diǎn)F在邊AD上，且BE=3DF，
①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；
②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+3CF的值是否也最??？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
45．（2023·湖南邵陽(yáng)·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)P為斜邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABP沿直線AP折疊，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，連接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如圖①，若PB′⊥AC，證明：PB′=AB′．
（2）如圖②，若AB=AC，BP=3PC，求cs∠B′AC的值．
（3）如圖③，若∠ACB=30°，是否存在點(diǎn)P，使得AB=CB′．若存在，求此時(shí)PCBC的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
46．（2023·山東濟(jì)南·中考真題）在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝12∠ACB，連接BD，BE，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接CF．
（1）當(dāng)∠CAB＝45°時(shí)．
①如圖1，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠EAB與∠CBA的數(shù)量關(guān)系是 ．線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是 ；
②如圖2，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
學(xué)生經(jīng)過(guò)討論，探究出以下解決問(wèn)題的思路，僅供大家參考：
思路一：作等腰△ABC底邊上的高CM，并取BE的中點(diǎn)N，再利用三角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題；
思路二：取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把△CAG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來(lái)解快問(wèn)題．
（2）當(dāng)∠CAB＝30°時(shí)，如圖3，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
47．（2023·四川南充·中考真題）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD邊AD上，點(diǎn)F是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）．DF交AC于點(diǎn)G，GH⊥AD于點(diǎn)H，AB=1，DE=13．
（1）求tan∠ACE．
（2）設(shè)AF=x，GH=y，試探究y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出x的取值范圍）．
（3）當(dāng)∠ADF=∠ACE時(shí)，判斷EG與AC的位置關(guān)系并說(shuō)明理由．
48．（2023·山東煙臺(tái)·中考真題）
(1)【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接寫出BDCE的值．
(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．連接BD，CE．
①求BDCE的值；
②延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．
49．（2023·貴州安順·中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，E是AD邊上的一點(diǎn)，連接CE，將矩形ABCD沿CE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在AB邊上的點(diǎn)F處，延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
(1)求線段AE的長(zhǎng)；
(2)求證四邊形DGFC為菱形；
(3)如圖2，M，N分別是線段CG，DG上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且∠DMN=∠DCM，設(shè)DN=x，是否存在這樣的點(diǎn)N，使△DMN是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
50．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐
數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對(duì)象的科學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)有利于我們?cè)趫D形運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們?cè)趯W(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會(huì)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)帶給我們的樂(lè)趣．
如圖①，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別為邊BC、AB、AD的中點(diǎn)，連接EF、DF，H為DF的中點(diǎn)，連接GH．將△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，線段DF、GH和CE的位置和長(zhǎng)度也隨之變化．當(dāng)△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：
(1)圖②中，AB=BC，此時(shí)點(diǎn)E落在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F落在線段BC上，連接AF，猜想GH與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
(2)圖③中，AB=2，BC=3，則GHCE= ；
(3)當(dāng)AB=m , BC=n時(shí)． GHCE= ．
(4)在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對(duì)角線AC，并沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，得△ABC（如圖④)．點(diǎn)M、N分別在AC、BC上，連接MN，將△CMN沿 MN翻折，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在AB的延長(zhǎng)線上，若PM平分∠APN，則CM長(zhǎng)為 ．
專題7.3 解直角三角形的中考?？碱}專項(xiàng)訓(xùn)練（50道）
【蘇科版】
考卷信息：
本套訓(xùn)練卷共50題，其中選擇題15題，填空題15題，解答題20題. 題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了解直角三角形的中考常考題的綜合問(wèn)題的所有類型！
一、選擇題（共15題）
1．（2023·湖北武漢·中考真題）由4個(gè)形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∠O=60°，則tan∠ABC=（ ）
A．13B．12C．33D．32
答案:C
分析：證明四邊形ADBC為菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解．
【詳解】解：連接AD，如圖：
∵網(wǎng)格是有一個(gè)角60°為菱形，
∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等邊三角形，
∴AD= BD= BC= AC，
∴四邊形ADBC為菱形，且∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC=30°，
∴tan∠ABC= tan30°=33．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，證明四邊形ADBC為菱形是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于點(diǎn)D，AD=47AC，AB=2，∠ABC=150°，則△DBC的面積是（ ）
A．3314B．9314C．337D．637
答案:A
分析：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由等高三角形的面積性質(zhì)得到S△DBC:S△ABC=3:7，再證明△ADB～△ACE，解得ABAE=47，分別求得AE、CE長(zhǎng)，最后根據(jù)△ACE的面積公式解題．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
∵△DBC與△ADB是等高三角形，
S△ADB:S△DBC=AD:DC=47AC:37AC=4:3
∴S△DBC:S△ABC=3:7
∵BD⊥AB
∴ △ADB～△ACE
∴S△ADBS△ACE=(ADAC)2=(47ACAC)2=1649
∴ABAE=47
∵AB=2
∴AE=72
∴BE=72?2=32
∵∠ABC=150°,
∴∠CBE=180°?150°=30°
∴CE=tan30°?BE=32
設(shè)S△ADB=4x,S△DBC=3x
∴S△ACE=494x
∴ ∴494x=12×72×32
∴x=314
∴3x=3314，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
3．（2023·浙江寧波·中考真題）如圖，在△ABC中，∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=3．若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為（ ）
A．33B．32C．1D．62
答案:C
分析：根據(jù)條件可知△ABD為等腰直角三角形，則BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC長(zhǎng)，再根據(jù)中位線定理可知EF=AC2。
【詳解】解：因?yàn)锳D垂直BC，
則△ABD和△ACD都是直角三角形，
又因?yàn)椤螧=45°,∠C=60°,
所以AD=BD=3，
因?yàn)閟in∠C=ADAC=32，
所以AC=2，
因?yàn)镋F為△ABC的中位線，
所以EF=AC2=1，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形、銳角三角形函數(shù)值、中位線相關(guān)知識(shí)，根據(jù)條件分析利用定理推導(dǎo)，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
4．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，連接DE，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接OF交CD于點(diǎn)G，連接CF，若CE=4，OF=6．則下列結(jié)論：①GF=2；②OD=2OG；③tan∠CDE=12；④∠ODF=∠OCF=90°；⑤點(diǎn)D到CF的距離為855．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③④B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤
答案:C
分析：由題意易得BC=CD,BO=OD=OA=OC,∠BDC=45°,∠BCD=∠DCE=90°，①由三角形中位線可進(jìn)行判斷；②由△DOC是等腰直角三角形可進(jìn)行判斷；③根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解；④根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；⑤過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CF，交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD,BO=OD=OA=OC,∠BDC=45°,∠BCD=∠DCE=90°，AC⊥BD，
∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，
∴OF=12BE,OF//BE，
∵OF=6，CE=4，
∴BE=12，則CD=BC=8，
∵OF∥BE，
∴△DGF∽△DCE，
∴DGCD=GFCE=12，
∴GF=2，故①正確；
∴點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，
∴OG⊥CD，
∵∠ODC=45°，
∴△DOC是等腰直角三角形，
∴OD=2OG，故②正確；
∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°，
∴tan∠CDE=CECD=12，故③正確；
∵tan∠CDE=12≠1，
∴∠CDE≠45°，
∴∠ODF≠90°，故④錯(cuò)誤；
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CF，交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖所示：
∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，
∴CF=DF，
∴∠CDE=∠DCF，
∴tan∠CDE=tan∠DCF=12，
設(shè)DH=x，則CH=2x，
在Rt△DHC中，x2+4x2=64，
解得：x=±855，
∴DH=855，故⑤正確；
∴正確的結(jié)論是①②③⑤；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是角平分線AD、BE的交點(diǎn)，若AB＝AC＝10，BC＝12，則tan∠OBD的值是（ ）

A．12B．2C．63D．64
答案:A
分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得AD⊥BC，BD=12BC=6，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角的面積公式得ABBD=AOOD=106，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：AB＝AC＝10，BC＝12， AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=12BC=6，
∴AD=102?62=8，
過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB，
∵BE平分∠ABC，
∴OF=OD，
∵S△AOBS△DOB=AOOD=12AB?OF12BD?OD=ABBD

∴ABBD=AOOD=106，即：8?ODOD=106，解得：OD=3，
∴tan∠OBD=ODBD=36=12，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，推出ABBD=AOOD，是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC:BC=1:2，連接AC，過(guò)點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長(zhǎng)線于P．若P1,1，則tan∠OAP的值是（ ）
A．33B．22C．13D．3
答案:C
分析：由P1,1可知，OP與x軸的夾角為45°，又因?yàn)镺P∥AB，則△OAB為等腰直角形，設(shè)OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他線段進(jìn)而求解．
【詳解】∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
則OP與x軸正方向的夾角為45°，
又∵OP∥AB，
則∠BAO=45°，△OAB為等腰直角形，
∴OA=OB，
設(shè)OC=x，則OB=2OC=2x，
則OB=OA=3x，
∴tan∠OAP=OCOA=x3x=13．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)的求解，根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)推出特殊角是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·四川樂(lè)山·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若tan∠A=12，tan∠ABD=13，則CD的長(zhǎng)為（ ）
A．25B．3C．5D．2
答案:C
分析：先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出AC=25，再由勾股定理求出AB=5,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，依據(jù)三角函數(shù)值可得DE=12AE,DE=13BE,從而得BE=32AE，再由AE+BE=5得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=5，從而可求出CD．
【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，
∴tan∠A=BCAC=12
∴AC=2BC=25,
由勾股定理得,AB=AC2+BC2=(25)2+(5)2=5
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，如圖，
∵tan∠A=12，tan∠ABD=13，
∴DEAE=12,DEBE=13,
∴DE=12AE,DE=13BE,
∴12AE=13BE
∴BE=32AE
∵AE+BE=5,
∴AE+32AE=5
∴AE=2,
∴DE=1,
在RtΔADE中,AD2=AE2+DE2
∴AD=AE2+DE2=22+12=5
∵AD+CD=AC=25,
∴CD=AC?AD=25?5=5,
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長(zhǎng)，正確作輔助線求出DE的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．
8．（2023·廣西貴港·中考真題）如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若△ABC的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則cs∠BAC的值是（ ）
A．55B．105C．255D．45
答案:C
分析：過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交AB于一點(diǎn)D，如圖所示，
∵每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，
∴AC=5,BC=10,AB=5，
設(shè)AD=x，則BD=5?x，
在Rt△ACD中，DC2=AC2?AD2,
在Rt△BCD中，DC2=BC2?BD2,
∴10?(5?x)2=5?x2，
解得x=2，
∴cs∠BAC=ADAC=25=255，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形．
9．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在△ABC中，sinB=13， tanC=2，AB=3，則AC的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．52C．5D．2
答案:B
分析：過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC于H點(diǎn)，先由sin∠B及AB=3算出AH的長(zhǎng)，再由tan∠C算出CH的長(zhǎng)，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的長(zhǎng)．
【詳解】解：過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC于H點(diǎn)，如下圖所示：
由sin∠B=AHAB=13，且AB=3可知，AH=1，
由tan∠C=AHCH=2，且AH=1可知，CH=12，
∴在RtΔACH中，由勾股定理有：AC=AH2+CH2=12+(12)2=52．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形及勾股定理等知識(shí)，如果圖形中無(wú)直角三角形時(shí)，可以通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形進(jìn)而求解．
10．（2023·四川綿陽(yáng)·中考真題）公元三世紀(jì)，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積是125，小正方形面積是25，則sinθ?csθ2=( )
A．15B．55C．355D．95
答案:A
分析：根據(jù)正方形的面積公式可得大正方形的邊長(zhǎng)為55，小正方形的邊長(zhǎng)為5，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系列式即可求解．
【詳解】解：∵大正方形的面積是125，小正方形面積是25，
∴大正方形的邊長(zhǎng)為55，小正方形的邊長(zhǎng)為5，
∴55csθ?55sinθ=5，
∴csθ?sinθ=55，
∴sinθ?csθ2=15．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理的證明和正方形的面積，難度適中，解題的關(guān)鍵是正確得出csθ?sinθ=55．
11．（2023·貴州遵義·中考真題）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計(jì)算tan15°時(shí)，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長(zhǎng)CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=ACCD=12+3=2?32+32?3=2?3．類比這種方法，計(jì)算tan22.5°的值為（ ）
A．2+1B．2﹣1C．2D．12
答案:B
分析：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長(zhǎng)CB到D，使BD＝AB，連接AD，根據(jù)構(gòu)造的直角三角形，設(shè)AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【詳解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延長(zhǎng)CB到D，使BD＝AB，連接AD，設(shè)AC＝x，則：BC＝x，AB＝2x，CD＝(1+2)x，
tan22.5°=tan∠D=ACCD=x(1+2)x=2?1
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)閱讀構(gòu)造含45°的直角三角形，再作輔助線得到22.5°的直角三角形.
12．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，csB=14，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使∠ADE=∠B，連結(jié)CE，則CEAD的值為（ ）
A．32B．3C．152D．2
答案:D
分析：由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得出AD=BD=CD=12BC，在結(jié)合題意可得∠BAD=∠B=∠ADE，即證明AB//DE，從而得出∠BAD=∠B=∠ADE=∠CDE，即易證△ADE?△CDE(SAS)，得出AE=CE．再由等腰三角形的性質(zhì)可知AE=CE=DE，∠BAD=∠B=∠ADE=∠DAE，即證明△ABD～△ADE，從而可間接推出CEAD=BDAB．最后由csB=ABBC=14，即可求出BDAB的值，即CEAD的值．
【詳解】∵在Rt△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，
∴AD=BD=CD=12BC，
∴∠BAD=∠B=∠ADE，
∴AB//DE．
∴∠BAD=∠B=∠ADE=∠CDE，
∴在△ADE和△CDE中，AD=CD∠ADE=∠CDEDE=DE，
∴△ADE?△CDE(SAS)，
∴AE=CE，
∵△ADE為等腰三角形，
∴AE=CE=DE，∠BAD=∠B=∠ADE=∠DAE，
∴△ABD～△ADE，
∴DEBD=ADAB，即CEAD=BDAB．
∵csB=ABBC=14，
∴ABBD=12，
∴CEAD=BDAB=2．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形與相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形．熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．
13．（2023·山東淄博·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CE是斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F．若BC=4,△AEF的面積為5，則sin∠CEF的值為（ ）
A．35B．55C．45D．255
答案:A
分析：由題意易得△AEF∽△ACB，設(shè)CE=BE=AE=x，則有AB=2x，則有AC=4x2?16，EF=10x，然后可得410x=4x2?16x，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理可求解問(wèn)題．
【詳解】解：∵EF⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠AEF=∠ACB=90°，
∴△AEF∽△ACB，
∵CE是斜邊AB上的中線，
∴CE=BE=AE=12AB，
設(shè)CE=BE=AE=x，則有AB=2x，
∵BC=4，
∴由勾股定理可得AC=AB2?BC2=4x2?16，
∵△AEF的面積為5，
∴EF=10x，
∵△AEF∽△ACB，
∴BCEF=ACAE，即410x=4x2?16x，化簡(jiǎn)得：x4?25x2+100=0，
解得：x2=5或x2=20，
當(dāng)x2=5時(shí)，則AC=2，與題意矛盾，舍去；
∴當(dāng)x2=20時(shí)，即x=25，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，如圖所示：
∴AB=45,AC=8，CE=25，EF//CH，
∴∠CEF=∠ECH，sin∠B=ACAB=255，
∴CH=BC?sin∠B=855，
∴HE=CE2?CH2=655，
∴sin∠CEF=sin∠ECH=HECE=35；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·四川巴中·中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．sinB=13B．sinC=255
C．tanB=12D．sin2B+sin2C＝1
答案:A
分析：根據(jù)勾股定理得出AB，AC，BC的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而解答即可．
【詳解】解：由勾股定理得：AB=22+22=22,AC=12+12=2,BC=12+32=10,
∴BC2=AB2+AC2,
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴sinB=ACBC=210=55，sinC=ABBC=2210=255，tanB=ACAB=222=12，sin2B+sin2C=(55)2+(255)2=1，只有A錯(cuò)誤．
故選擇題：A．
【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出AB，AC，BC的長(zhǎng)解答．
15．（2023·浙江麗水·中考真題）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC的中點(diǎn)，AF平分∠EAD交CD于點(diǎn)F， FG∥AD 交AE于點(diǎn)G，若csB=14，則FG的長(zhǎng)是（ ）
A．3B．83C．2153D．52
答案:B
分析：過(guò)點(diǎn)A作AH垂直BC于點(diǎn)H，延長(zhǎng)FG交AB于點(diǎn)P，由題干所給條件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cs∠AGP=14，即可得到FG的長(zhǎng)；
【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AH垂直BC于點(diǎn)H，延長(zhǎng)FG交AB于點(diǎn)P，
由題意可知，AB=BC=4，E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=2，
又∵csB=14，
∴BH=1，即H是BE的中點(diǎn)，
∴AB=AE=4，
又∵AF是∠DAE的角平分線，F(xiàn)G∥AD，
∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，
又∵PF∥AD，AP∥DF，
∴PF=AD=4，
設(shè)FG=x，則AG=x，EG=PG=4-x，
∵PF∥BC，
∴∠AGP=∠AEB=∠B，
∴cs∠AGP=12PGAG=2?x2x=14，
解得x=83；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和解直角三角形，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和解直角三角形的方法是解決本題的關(guān)鍵．
二、填空題（共15題）
16．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BD是對(duì)角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE．若∠ADB=30°，則如tan∠DEC的值為_(kāi)____．
答案:32
分析：過(guò)C向BD作垂線，可以構(gòu)造出一個(gè)30°直角三角△CDF，進(jìn)而求出△AEB≌△CFD，設(shè)直角△CDF最小邊DF=a,并用a的代數(shù)式表示出其他邊，即可求出答案．
【詳解】解：過(guò)C作CF⊥BD，垂足為F點(diǎn)
∵矩形ABCD, ∠ADB=30°
∴AD∥BC，∠ABC=∠BCD=90°,∠DBC=∠ADB=30°, AB=CD
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠DBC=90°, ∠FBC+∠FCB=∠FCB+∠FCD=90°,
∴∠DBC=∠DCF=∠BAE=30°
設(shè)DF=a,則CF=3a，CD=2a，BD=4a，
∵AE⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=90°
∴△AEB≌△CFD，
∴EB=DF=a
∴EF=4a-a-a=2a
∴tan∠DEC=CFEF=32
故答案是32．
【點(diǎn)睛】本題主要考察了矩形的性質(zhì)和解直角三角形知識(shí)點(diǎn)，三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題關(guān)鍵．
17．（2023·廣東深圳·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC=∠DAC=90°，tan∠ACB=12,BOOD=43，則S△ABDS△CBD=___．
答案:332
分析：過(guò)B點(diǎn)作BE//AD交AC于點(diǎn)E，證明△ADO∽△EBO，得到AO=3OE,再證明∠ABE=∠ACB,利用tan∠ACB=BECE=tan∠ABE=AEBE=12,設(shè)OE=a,利用三角形的面積公式可得答案．
【詳解】解：過(guò)B點(diǎn)作BE//AD交AC于點(diǎn)E，∠DAC=90°,
∴ BE⊥AD，
∴△ADO∽△EBO，
∴AOEO=DOBO,
∵BOOD=43
∴AOEO=DOBO=34,
∴AO=34OE,
由tan∠ACB=12，
∴BECE=12,
∴CE=2BE,
∵∠ABC=90°,BE⊥AC,
∴∠ABE+∠CBE=90°=∠CBE+∠ACB,
∴∠ABE=∠ACB,
∴tan∠ACB=tan∠ABE=AEBE=12,
∴BE=2AE,
∴CE=2BE=4AE,
∴SΔABDSΔCBD=S△OAB+S△OADS△OCB+S△OCD
=12AO?AD+12AO?BE12OC?AD+12OC?BE=AOAD+BEOCAD+BE=AOOC
設(shè)OE=a, 則AO=34a,
∴AE=AO+OE=74a, CE=7a, OC=OE+CE=8a.
SΔABDSΔCBD=AOOC=34a8a=332.
故答案為：332
18．（2023·廣東·中考真題）如圖，在?ABCD中，AD=5,AB=12,sinA=45．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，則sin∠BCE=______．
答案:91050
分析：首先根據(jù)題目中的sinA，求出ED的長(zhǎng)度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四邊形的性質(zhì)，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面積法求出BF的長(zhǎng)，即可求出sin∠BCE．
【詳解】∵DE⊥AB，
∴△ADE為直角三角形，
又∵AD=5,sinA=45，
∴sinA=45=DEAD=DE5 ,
解得DE=4,
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AE=AD2?DE2=52?42=3,
又∵AB=12,
∴BE=AB?AE=12?3=9 ,
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴CD=AB=12,AD=BC=5
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
EC=CD2+DE2=122+42=410,
過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F,如圖
在△EBC中：
S△EBC=12·EB·DE=12×9×4=18 ;
又∵S△EBC=12·CE·BF=12×410·BF=210BF
∴210BF=18 ,
解得BF=91010,
在Rt△BFC中，
sin∠BCF=BFBC=91010÷5=91050,
故填：91050．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的等面積法求一邊上的高線，解題關(guān)鍵在于熟練掌握解直角三角形的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的計(jì)算和等面積法求一邊上的高．
19．（2023·廣西貴港·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BD是對(duì)角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB=12，則tan∠DEC的值是________．
答案:23
分析：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，易證ΔABE?ΔCDF(AAS)，從而可求出AE=CF，BE=FD，設(shè)AB＝a，則AD＝2a，根據(jù)三角形的面積可求出AE，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，設(shè)CD=2a，
在ΔABE與ΔCDF中，
∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDFAB=CD，
∴ΔABE?ΔCDF(AAS)，
∴AE=CF，BE=FD，
∵AE⊥BD，tan∠ADB＝ABAD＝12，
設(shè)AB＝a，則AD＝2a，
∴BD＝5a，
∵S△ABD＝12BD?AE＝12AB?AD，
∴AE＝CF＝255a，
∴BE＝FD＝55a，
∴EF＝BD﹣2BE＝5a﹣255a＝355a，
∴tan∠DEC＝CFEF＝23，
故答案為：23．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·山東濱州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2．若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值為_(kāi)___________．
答案:7
分析：根據(jù)題意，首先以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，作出圖形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根據(jù)勾股定理可以求得CB′的值，從而可以解答本題．
【詳解】解：以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，連接BB′、PP′，CB′，如圖所示，
則∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，
∴△APP′是等邊三角形，
∴AP=PP′，
∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，
∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，
即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，
∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB=AB′=2，
∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB?cs∠BAC=2×cs30°=2×32=3，
∴CB′=AC2+AB′2=7，
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問(wèn)題、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合的思想．
21．（2023·山東德州·中考真題）如圖．在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).ΔABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則∠BAC的正弦值是__________．
答案:55
【詳解】分析：先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．
詳解：∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，則sin∠BAC=BCAB=55．
故答案為55．
點(diǎn)睛：本題考查的是勾股定理以及銳角三角函數(shù)，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．
22．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，△ABC中，∠BAC＞90°，BC=5，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在BA的延長(zhǎng)線上．若sin∠B′AC=910，則AC=_____．
答案:2529
分析：如圖，作CD⊥BB′于D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BCB′為等腰直角三角形，從而可求得CD的長(zhǎng)，在Rt△ACD中，根據(jù)sin∠DAC=CDAC=910，即可求得AC的長(zhǎng).
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BB′于D
∵△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在BA的延長(zhǎng)線上
∴CB=CB′=5，∠BCB′=90°
∴△BCB′為等腰直角三角形
∴BB′=2BC=52
∵CD⊥BB′
∴CD=12BB′=522
在Rt△ACD中，sin∠DAC=CDAC=910
∴AC=522×109=2529
故答案為：2529
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，正確添加輔助線、熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
23．（2023·上海·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=32，如果將△ABC沿直線l翻折后，點(diǎn)B落在邊AC的中點(diǎn)處，直線l與邊BC交于點(diǎn)D，那么BD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
答案:154
【詳解】試題分析：如圖，將△ABC沿直線l翻折后，點(diǎn)B落在邊AC的中點(diǎn)E處，過(guò)點(diǎn)E作AH⊥BC于點(diǎn)H，EF⊥BC于F，則EF是△ACH的中位線
∵AB=AC，BC=8，∴根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得HC=BH=4.
∵tanC=32，即tanC=AHHC=32.
∴AH=6.∴EF=3，F(xiàn)C=2.
設(shè)BD=x，則根據(jù)翻折的性質(zhì)，DE="BD=" x，
又DF=BC-BD-FC=8-x-2=6-x.
在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理，得x2=(6-x)2+32，解得x=154，即BD=154.
24．（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在△ABC中，BC=6+2，∠C=45°，AB=2AC，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
答案:2
分析：過(guò)A點(diǎn)作BC的垂線，則得到兩個(gè)直角三角形，根據(jù)勾股定理和正余弦公式，求AC的長(zhǎng).
【詳解】過(guò)A作AD⊥BC于D點(diǎn)，設(shè)AC=2x，則AB=2x，因?yàn)椤螩=45°，所以AD=CD=x，則由勾股定理得BD=AB2?AD2=3x，因?yàn)锽C=6+2，所以BC=3x+x=6+2，則x=2．則AC=2．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和正余弦公式的運(yùn)用，要學(xué)會(huì)通過(guò)作輔助線得到特殊三角形，以便求解.
25．（2023·四川·中考真題）如圖，由10個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β 如圖所示，則csα+β=______.
答案:217.
分析：給圖中各點(diǎn)標(biāo)上字母，連接DE，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出∠α=30°，同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°結(jié)合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則AE=2a，DE=3a，利用勾股定理可得出AD的長(zhǎng)，再結(jié)合余弦的定義即可求出cs（α+β）的值．
【詳解】給圖中各點(diǎn)標(biāo)上字母，連接DE，如圖所示．
在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，
∴∠α=30°．
同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α．
又∵∠AEC=60°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．
設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則AE=2a，DE=2×sin60°?a=3a，
∴AD=AE2+DE2=7a，
∴cs（α+β）=DEAD=217．
故答案為217．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)以及規(guī)律型：圖形的變化類，構(gòu)造出含一個(gè)銳角等于∠α+∠β的直角三角形是解題的關(guān)鍵．
26．（2023·江蘇淮安·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，H是AB的中點(diǎn)，將ΔCBH沿CH折疊，點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)P處，連接AP，則tan∠HAP=__．
答案:43
分析：連接PB，交CH于E，依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到CH垂直平分BP，∠APB=90°，即可得到AP∥HE，進(jìn)而得出∠BAP=∠BHE，依據(jù)RtΔBCH中，tan∠BHC=BCBH=43，即可得出tan∠HAP=43．
【詳解】如圖，連接PB，交CH于E，
由折疊可得，CH垂直平分BP，BH=PH，
又∵H為AB的中點(diǎn)，
∴AH=BH，
∴AH=PH=BH，
∴∠HAP=∠HPA，∠HBP=∠HPB，
又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB=180°，
∴∠APB=90°，
∴∠APB=∠HEB=90°，
∴AP∥HE，
∴∠BAP=∠BHE，
又∵RtΔBCH中，tan∠BHC=BCBH=43，
∴tan∠HAP=43，
故答案為43．
【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E為CD邊上一點(diǎn)，將△BCE沿BE折疊，使得C落到矩形內(nèi)點(diǎn)F的位置，連接AF，若tan∠BAF＝12，則CE＝_____．
答案:5?52
分析：已知tan∠BAF=12，可作輔助線構(gòu)造直角三角形，設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理可求出FM、BM，進(jìn)而求出FN，再利用三角形相似和折疊的性質(zhì)求出EC．
【詳解】過(guò)點(diǎn)F作MN∥AD，交AB、CD分別于點(diǎn)M、N，則MN⊥AB，MN⊥CD，
由折疊得：EC＝EF，BC＝BF＝5，∠C＝∠BFE＝90°，
∵tan∠BAF＝12＝FMAM，設(shè)FM＝x，則AM＝2x，BM＝4﹣2x，
在Rt△BFM中，由勾股定理得：
x2+（4﹣2x）2＝（5）2，
解得：x1＝1，x2＝115＞2舍去，
∴FM＝1，AM＝BM＝2，
∴FN＝5﹣1，
易證△BMF∽△FNE，
∴BFEF=BMFN，即：5EF=25?1，
解得：EF＝5?52＝EC．
故答案為5?52．
【點(diǎn)睛】考查矩形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，作合適的輔助線，恰當(dāng)?shù)睦妙}目中的已知條件，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
28．（2023·山東濰坊·中考真題）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)G，E分別在邊BC,DC上，連接AG,EG,AE，將△ABG和△ECG分別沿AG,EG折疊，使點(diǎn)B，C恰好落在AE上的同一點(diǎn)，記為點(diǎn)F．若CE=3,CG=4，則sin∠DAE=_______．
答案:725
分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得GE=5，BC=AD=8，證得Rt△EGF~Rt△EAG，求得EA=253，再利用勾股定理得到DE的長(zhǎng)，即可求解．
【詳解】矩形ABCD中，GC=4，CE =3，∠C=90°，
∴GE=GC2+CE2=42+32=5，
根據(jù)折疊的性質(zhì)：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90°，
∴BG=GF=GC=4，
∴BC=AD=8，
∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180°，
∴∠AGE=90°，
∴Rt△EGF~Rt△EAG，
∴EGEA=EFEG，即5EA=35，
∴EA=253，
∴DE=AE2?AD2=(253)2?82=73，
∴sin∠DAE=DEAE=73253=725，
故答案為：725．
【點(diǎn)睛】本考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的知識(shí)等，利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度是本題的關(guān)鍵．
29．（2023·江蘇常州·中考真題）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2BC，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE、BCFG，連接EC、EG，則tan∠CEG=_________．
答案:12
分析：設(shè)BC=a，則AC=2a，然后利用正方形的性質(zhì)求得CE、CG的長(zhǎng)、∠GCD=ECD=45°，進(jìn)而說(shuō)明△ECG為直角三角形，最后運(yùn)用正切的定義即可解答．
【詳解】解：設(shè)BC=a，則AC=2a
∵正方形ACDE
∴EC=2a2+2a2=22a，∠ECD=12∠ACD=45°
同理：CG=2a,∠GCD=12∠BCD=45°
∴tan∠CEG=CGCE=2a22a=12．
故答案為12．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和正切的定義，根據(jù)正方形的性質(zhì)說(shuō)明△ECG是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
30．（2023·江蘇常州·中考真題）如圖，在△ABC中，AC=3,BC=4，點(diǎn)D、E分別在CA、CB上，點(diǎn)F在△ABC內(nèi)．若四邊形CDFE是邊長(zhǎng)為1的正方形，則sin∠FBA=________．
答案:1010
分析：連接AF，CF，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB，由S△ABC=S△ACF+S△BCF+S△ABF，可得FM=1，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，即可求解．
【詳解】解：連接AF，CF，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB，
∵四邊形CDFE是邊長(zhǎng)為1的正方形，
∴∠C=90°，
∴AB=32+42=5，
∵S△ABC=S△ACF+S△BCF+S△ABF，
∴12×3×4=12×3×1+12×4×1+12×5×FM，
∴ FM=1，
∵BF=4?12+12=10，
∴sin∠FBA= 110=1010．
故答案是：1010．
【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，掌握”等積法“是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共20題）
31．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段的兩個(gè)端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上.
(1)在圖中畫出以為底、面積為12的等腰，且點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上；
(2)在圖中畫出平行四邊形，且點(diǎn)和點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上，，連接，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng).
答案:（1）畫圖見(jiàn)解析；（2）畫圖見(jiàn)解析，CD= .
【詳解】試題分析：（1）因?yàn)锳B為底、面積為12的等腰△ABC，所以高為4，點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上，由此即可畫出圖形；
（2）根據(jù)tan∠EAB=的值確定點(diǎn)E的位置，由此即可解決問(wèn)題，利用勾股定理計(jì)算CD的長(zhǎng)；
試題解析：（1）如圖所示；
（2）如圖所示，CD= =．
考點(diǎn)：1.作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；2.勾股定理；3.平行四邊形的判定；4.解直角三角形．
32．（2023·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，在?ABCD中 過(guò)點(diǎn)A作AE⊥DC，垂足為E，連接BE，F(xiàn)為BE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠D．
（1）求證：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，sinD=45，求AF的長(zhǎng)．
答案:（1）證明見(jiàn)解析；（2）25．
分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，證出∠C=∠AFB，即可得出結(jié)論；
（2）由勾股定理求出BE，由三角函數(shù)求出AE，再由相似三角形的性質(zhì)求出AF的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，
∵∠AFB+∠AFE=180°，
∴∠C=∠AFB，
∴△ABF∽△BEC；
（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得：
BE=AE2+AB2=42+82=45,
在Rt△ADE中，AE=AD?sinD=5×45=4，
∵BC=AD=5，
由（1）得：△ABF∽△BEC，
∴AFBC=ABBE，
即AF5=845，
解得：AF=25 ．
33．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，將△ABC沿著射線BC方向平移至△A′B′C′，使點(diǎn)A′落在∠ACB的外角平分線CD上，連接AA′．
(1)判斷四邊形ACC′A′的形狀，并說(shuō)明理由；
(2)在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cs∠BAC=1213，求CB′的長(zhǎng)．
答案:(1)四邊形ACC′A′是菱形；理由見(jiàn)解析
(2)CB′=16
分析：（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理（有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平四邊形）推知四邊形ACC′A′是平行四邊形，再根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可得出答案；
（2）通過(guò)解直角△ABC得到AC、BC的長(zhǎng)度，由（1）中菱形ACC′A′的性質(zhì)推知AC=AA′，由平移的性質(zhì)得到四邊形ABB′A′是平行四邊形，則AA′=BB′，所以CB′=BB′?BC．
（1）
解：四邊形ACC′A′是菱形．理由如下：
由平移的性質(zhì)得到：AC∥A′C′，且AC=A′C′，
∴四邊形ACC′A′是平行四邊形，
∴∠ACC′=∠AA′C′，
∵CD平分∠ACB的外角，即CD平分∠ACC′，
∴∠ACA′=∠C′CA′，
∵AC∥A′C′，
∴∠AA′C=∠C′CA′，
∴∠ACA′=∠AA′C，
∴AA′=AC，
∴四邊形ACC′A′是菱形．
（2）
解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cs∠BAC=1213，
∴cs∠BAC=ABAC=1213，
即24AC=1213，
∴AC=26，
∴由勾股定理知：BC=AC2?AB2 =262?242 =10，
由（1）可知，四邊形ACC′A′是菱形，
∴AC=AA′=26，
由平移的性質(zhì)得到：AB∥A′B′，AB=A′B′，則四邊形ABB′A′是平行四邊形，
∴AA′=BB′=26，
∴CB′=BB′?BC=16．
【點(diǎn)睛】本題主要考查四邊形綜合題，涉及到菱形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、解直角三角形等，掌握相關(guān)性質(zhì)并結(jié)合圖形進(jìn)行應(yīng)用是關(guān)鍵．
34．（2023·山東濰坊·中考真題）如圖，點(diǎn)M是正方形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AM，作DE⊥AM于點(diǎn)E，BF⊥AM于點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：AE=BF；
（2）已知AF=2，四邊形ABED的面積為24，求∠EBF的正弦值．
答案:（1）證明見(jiàn)解析；（2）sin∠EBF=21313．
分析：（1）通過(guò)證明△ABF≌△DAE得到BF=AE；
（2）設(shè)AE=x，則BF=x，DE=AF=2，利用四邊形ABED的面積等于△ABE的面積與△ADE的面積之和得到12?x?x+12?x?2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，則EF=x﹣2=4，然后利用勾股定理計(jì)算出BE，最后利用正弦的定義求解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴BA=AD，∠BAD=90°，
∵DE⊥AM于點(diǎn)E，BF⊥AM于點(diǎn)F，
∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，
∴∠ABF=∠EAD，
在△ABF和△DAE中，
∠BFA=∠DEA∠ABF=∠EADAB=DA，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE；
（2）設(shè)AE=x，則BF=x，DE=AF=2，
∵四邊形ABED的面積為24，
∴12?x?x+12?x?2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去），
∴EF=x﹣2=4，
在Rt△BEF中，BE=42+62=213，
∴sin∠EBF=EFBE=4213=21313．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、解直角三角形等，熟知正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用全等三角形的知識(shí)解決線段相等問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
35．（2023·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=34．
（1）求邊AC的長(zhǎng)；
（2）設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為D，求ADDB的值．
答案:（1）AC=10；（2）ADBD=35
分析：（1）過(guò)A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC的長(zhǎng)即可；
（2）由DF垂直平分BC，求出BF的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AD的長(zhǎng)，即可求出所求．
【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，tan∠ABC=AEBE=34，AB=5，
∴AE=3，BE=4，
∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，
在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理得：AC=32+12=10；
（2）∵DF垂直平分BC，
∴BD=CD，BF=CF=52，
∵tan∠DBF=DFBF=34，
∴DF=158，
在Rt△BFD中，根據(jù)勾股定理得：BD=522+1582=258，
∴AD=5﹣258=158，
則ADBD=35．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確添加輔助線、根據(jù)邊角關(guān)系熟練應(yīng)用三角函數(shù)進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵.
36．（2023·廣西賀州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交DO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE．
(1)求證：四邊形AECD是菱形；
(2)若四邊形AECD的面積為24，tan∠BAC=34，求BC的長(zhǎng)．
答案:(1)證明見(jiàn)解析；
(2)BC=6．
分析：（1）由ASA證明△AOD≌△COE，得出對(duì)應(yīng)邊相等AD=CE，證出四邊形AECD是平行四邊形，即可得出四邊形AECD是菱形；
（2）由菱形的性質(zhì)得出AC⊥ED，再利用三角函數(shù)解答即可．
（1）
證明：∵點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，
∴OA=OC，
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
在△AOD和△COE中，
∠DAO=∠ECOOA=OC∠AOD=∠COE，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴AD=CE，
∵CE∥AB，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
又∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，
∴CD=AD，
∴四邊形AECD是菱形；
（2）
解：由（1）知，四邊形AECD是菱形，
∴AC⊥ED，
在Rt△AOD中， tan∠DAO=ODOA=tan∠BAC=34，
設(shè)OD=3x，OA=4x，
則ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由題意可得：6x?8x2=24，
解得：x=1，
∴OD=3，
∵O，D分別是AC，AB的中點(diǎn)，
∴OD是△ABC的中位線，
∴BC=2OD=6．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等，熟練掌握菱形的判定方法，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
37．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD=5，CD=4，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BE=3，連接AE，DF⊥AE交于點(diǎn)F．
(1)求證：△ABE≌△DFA；
(2)連接CF，求sin∠DCF的值；
(3)連接AC交DF于點(diǎn)G，求AGGC的值．
答案:(1)證明見(jiàn)解析；(2)sin∠DCF=255；(3)AGGC=1516．
分析：(1)根據(jù)勾股定理求出AE，矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理證明；
(2)連接DE交CF于點(diǎn)H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AB=CD=4，AF=BE=3，證明∠DCH=∠DEC，求出sin∠DEC，得到答案；
(3)過(guò)點(diǎn)C作CK⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AGGC=AFFK，根據(jù)余弦的概念求出EK，計(jì)算即可．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD//BC，
∴∠AEB=∠DAF，
在△ABE和△AFD中，
∠AEB=∠DAF∠B=∠AFDAE=AD，
∴△ABE≌△AFD；
(2)連接DE交CF于點(diǎn)H，如圖，
∵△ABE≌△DFA，
∴DF=AB=CD=4，AF=BE=3，
∴EF=CE=2．
∴DE⊥CF．
∴∠DCH+∠HDC=∠DEC+∠HDC=90°．
∴∠DCH=∠DEC．
在Rt△DCE中，CD=4，CE=2，
∴DE=25，
∴sin∠DCF=sin∠DEC=CDDE=255．
(3) 如圖，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，則有FG//CK，
∴AGGC=AFFK．
在Rt△CEK中，
EK=CE?cs∠CEK=CE?∠AEB=2×35=65，
∴FK=FE+EK=165，
∴AGGC=AFFK=1516．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理的應(yīng)用，平行線分線段成比例定理、三角函數(shù)的應(yīng)用等，正確添加輔助線、熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.
38．（2023·湖南常德·中考真題）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C=45°，sinB=13，AD=1．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）求tan∠DAE的值．
答案:（1）22+1；（2）2?12
分析：（1）先由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根據(jù)勾股定理求出BD=22，然后根據(jù)BC=BD+DC即可求解．
（2）先由三角形的中線的定義求出CE的值，則DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．
【詳解】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC邊上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，
∴DC=AD=1．
在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=13，AD=1，
∴AB=ADsinB=113=3．
∴BD=AB2?AD2=32?12=22．
∴BC=BD+DC=22+1．
（2）∵AE是BC邊上的中線，∴CE=12BC=2+12．
∴DE=CE﹣CD=2?12．
∴tan∠DAE=DEAD=2?12．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，難度中等，分別解Rt△ADC與Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解題的關(guān)鍵．
39．（2023·浙江紹興·中考真題）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EC與AD交于點(diǎn)G，點(diǎn)F在BC上．
（1）如圖1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求證∶EF=CD．
（2）如圖2，AC∶AB=1∶3，EF⊥CE，求EF∶EG的值．
答案:（1）見(jiàn)解析；（2）1∶3
分析：（1）根據(jù)同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根據(jù)AC∶AB=1∶2及點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，得出AC=BE，再利用AAS證明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD．
（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先證明四邊形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，則∠FEQ=∠GEH，再由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH，得出EF∶EG=EQ∶EH，然后在△BEQ中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出EQ=12BE，在△AEH中，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出EH=32AE，又BE=AE，進(jìn)而求出EF∶EG的值．
【詳解】解∶（1）證明∶如圖1，
在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠CAD=∠B=90°－∠ACB．
∵AC∶AB=1∶2，
∴AB=2AC．
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴AB=2BE．
∴AC=BE．
在△ACD與△BEF中，
∠CAD=∠B∠ADC=∠BFE=90°AC=BE，
∴△ACD≌△BEF（AAS）．
∴CD=EF，即EF=CD．
（2）如圖2，
作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，
∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，
∴四邊形EQDH是矩形．
∴∠QEH=90°．
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG．，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，
∴△EFQ∽△EGH．
∴EF∶EG=EQ∶EH．
∵AC∶AB=1∶3，∠CAB=90°，
∴∠B=30°．
在△BEQ中，∵∠BQE=90°，
∴sinB=EQBE=12．∴EQ=12BE．
在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，
∴cs∠AEH=EHAE=32．∴EH=32AE．
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴BE=AE，
∴EF∶EG=EQ∶EH=12BE∶32AE=1∶3．
40．（2023·廣西梧州·中考真題）如圖，在RtΔABC中，∠C=90°，D為BC上一點(diǎn)，AB=5 , BD=1，tanB=34．
（1）求AD的長(zhǎng)；（2）求sinα的值．
答案:（1）AD=32；（2）sinα=1102.
分析：（1）根據(jù)tanB=34，可設(shè)AC=3x，得BC=4x，再由勾股定理列出x的方程求得x，進(jìn)而由勾股定理求AD；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，解直角三角形求得BE與DE，進(jìn)而求得結(jié)果．
【詳解】解：（1）∵tanB=34，可設(shè)AC=3x，得BC=4x，
∵AC2+BC2=AB2，
∴3x2+4x2=52，
解得，x=?1（舍去），或x=1，
∴AC=3 , BC=4，
∵BD=1，
∴CD=3，
∴AD=CD2+AC2=32；
（2）過(guò)點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，
∵tanB=34，可設(shè)DE=3y，則BE=4y，
∵AE2+DE2=BD2，
∴3y2+4y2=12，
解得，y=?15（舍），或y=15，
∴DE=35，
∴sinα=DEAD=1102．
【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形.理解三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵.
41．（2023·湖北宜昌·中考真題）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，△BCE沿BE折疊為△BFE，點(diǎn)F落在AD上．
（1）求證：△ABF∽△DFE；
（2）若sin∠DFE=13，求tan∠EBC的值．
答案:見(jiàn)解析
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°．
∵△BCE沿BE折疊為△BFE，∴∠BFE＝∠C＝90°．
∴∠AFB＋∠DFE＝180°－∠BFE＝90°．
又∠AFB＋∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE．
（2）在Rt△DEF中，sin∠DFE=DEEF=13，
∴設(shè)DE＝a，則EF＝3a，
∴DF=EF2?DE2=22a．
∵△BCE沿BE折疊為△BFE，
∴CE＝EF＝3a，∠EBC＝∠EBF，
∴CD＝DE＋CE＝4a，
∴AB＝4a．
又由（1）知△ABF∽△DFE，
∴FEBF=DFAB=22a4a=22．
∴tan∠EBF=FEBF=22，即tan∠EBC=tan∠EBF=22．
42．（2023·福建廈門·中考真題）已知ABCD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在邊AD上，過(guò)點(diǎn)P分
別作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分別為E、F，PE＝PF．
（1）如圖，若PE＝3，EO＝1，求∠EPF的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，BF ＝BC＋32－4，求BC的長(zhǎng)．
答案:（1）60°（2）4
分析：（1）連接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”證明△PEO和△PFO全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠FPO=∠EPO，從而得解．
（2）根據(jù)條件證出 ?ABCD是正方形．根據(jù)正方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的關(guān)系列式計(jì)算即可得解．
【詳解】解：（1）連接PO ,
∵ PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD，
∴ Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）．
∴∠EPO＝∠FPO．
在Rt△PEO中， tan∠EPO＝EOPE＝33，
∴∠EPO＝30°．
∴∠EPF＝60°．
（2）∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，
∴ AP＝DP．
又∵ PE＝PF，
∴ Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）．
∴∠OAD＝∠ODA．
∴ OA＝OD．
∴ AC＝2OA＝2OD＝BD．
∴?ABCD是矩形．
∵ 點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，
∴ AO∥PF．
∵ PF⊥BD，
∴ AC⊥BD．
∴?ABCD是菱形．
∴?ABCD是正方形．
∴ BD＝2BC．
∵ BF＝34BD，
∴BC＋32－4＝324BC，
解得，BC＝4．
43．（2023·山東濱州·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為10， ∠ABC=60°，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，連接AE，作∠AEF=120°且邊EF與直線DC相交于點(diǎn)F．
(1)求菱形ABCD的面積；
(2)求證AE=EF．
答案:(1)503
(2)見(jiàn)解析
分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，再根據(jù)題意及特殊角的三角函數(shù)值求出AC和BD的長(zhǎng)度，根據(jù)菱形的面積＝對(duì)角線乘積的一半即可求解．
（2）連接EC，設(shè)∠BAE的度數(shù)為x，易得EC=AE，利用三角形的內(nèi)角和定理分別表示出∠EFC和∠ECF的度數(shù)，可得∠EFC=∠ECF，即EC=EF，又因?yàn)镋C=AE，即可得到AE=EF．
(1)
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，
∵∠ABC=60°
∴∠ABO=30°,∠AOB=90°
∵AB=10，
∴AO=ABsin30°=5，BO=ABcs30°=53
∴AC=2AO=10，BD=2BO=103
∴菱形ABCD的面積=12AC×BD=12×10×103=503
(2)
證明：如圖，連接EC，
設(shè)∠BAE的度數(shù)為x，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BD是AC的垂直平分線，
∴AE=CE，∠AED=∠CED，∠EAC=∠ECA=60°-x，
∵∠ABD=30°，
∴∠AED=∠CED =30°+x，
∴∠DEF=∠AEF-∠AED=120°-（30°+x）=90°-x
∵∠BDC=12∠ADC=30°
∴∠EFC=180°-（∠DEF+∠BDC）=180°-（90°-x+30°）= x+60°，
∵∠CED =30°+x，
∴∠ECD =180°-（∠CED+∠BDC）=180°-（30°+x+30°）=120°- x，
∴∠ECF =180°-∠ECD =180°-（120°- x）= x+60°，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EF=EC，
∵AE=CE，
∴AE=EF．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、菱形面積的求解、特殊角的三角函數(shù)值以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
44．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，連接BD ．
(1)求BD的長(zhǎng)；
(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合）， 點(diǎn)F在邊AD上，且BE=3DF，
①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；
②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+3CF的值是否也最?。咳绻?，求CE+3CF的最小值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
答案:(1)BD=63；
(2)①四邊形ABEF的面積為73；②最小值為12
分析：（1）證明△ABC是等邊三角形，可得BO= 33，即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N， 根據(jù)菱形的面積可求出MN=33，設(shè)BE=x，則EN=12x，從而得到EM=MN-EN=33?12x，再由BE=3DF，可得DF=33x，從而得到四邊形ABEF的面積s= S△ABD - S△DEF =312x?332+2734，①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，可得點(diǎn)E是△ABC重心，從而得到BE=CE=23BO=23×33=23，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；再由s=312x?332+2734，可得當(dāng)x=33，即BE=33時(shí)， s達(dá)到最小值，從而得到此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置，即可求解．
(1)
解∶連接AC，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，如圖，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BO=AB?sin60°=6×32=33，
∴BD=2BO=63；
(2)
解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=6，
由（1）得：BD=63；
菱形ABCD中，對(duì)角線BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，
∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBN=30°；
∴EN=12BE
∵S菱形ABCD=12AC?BD=MN?BC，
∴MN=33，
設(shè)BE=x，則EN=12x，
∴EM=MN-EN=33?12x，
∵S菱形ABCD= AD?MN=6×33=183，
∴S△ABD= 12S菱形ABCD=93，
∵BE=3DF，
∴DF=BE3=33x，
∴S△DEF=12DF ?EM=12?33x33?12x =?312x2+32x，
記四邊形ABEF的面積為s，
∴s= S△ABD - S△DEF =93-（?312x2+32x）=312x?332+2734，
∵點(diǎn)E在BD上，且不在端點(diǎn)，∴00)，則BC=42a，
∵BP=3PC，
∴BP=32a,PC=2a，
由折疊的性質(zhì)得：∠AB′P=∠ABP=45°,PB′=PB=32a,AB′=AB=4a，
在△COP和△B′OA中，∠OCP=∠OB′A=45°∠COP=∠B′OA，
∴△COP～△B′OA，
∴OCOB′=OPOA=PCAB′=2a4a=24，
設(shè)OC=2b(b>0)，則OB′=4b,OP=32a?4b,OA=4a?2b，
∴OPOA=32a?4b4a?2b=24，
解得b=427a，
∴OA=4a?2×427a=207a，
在Rt△B′OD中，B′D=OB′?cs∠AB′P=22b=167a，
∴AD=AB′?B′D=127a，
則cs∠B′AC=ADOA=127a207a=35；
（3）∵∠ACB=30°,∠BAC=90°，
∴∠ABC=60°，
設(shè)AB=CB′=2m(m>0)，則BC=4m,AC=BC2?AB2=23m，
由折疊的性質(zhì)得：∠AB′P=∠ABP=60°,AB′=AB=2m，
∴AB′=CB′=2m，
由題意，分以下兩種情況：
①如圖，當(dāng)點(diǎn)B′在直線AC的左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B′作B′E⊥AC于點(diǎn)E，
∴CE=12AC=3m（等腰三角形的三線合一），
∴B′E=B′C2?CE2=m=12B′C，
∴在Rt△B′CE中，∠B′CE=30°，
∴∠B′CP=∠B′CE+∠ACB=30°+30°=60°，
又∵AB′=CB′，
∴∠B′AC=∠B′CE=30°，
∴∠AB′C=180°?∠B′AC?∠B′CE=120°，
∴∠CB′P=∠AB′C?∠AB′P=120°?60°=60°，
∴△CB′P是等邊三角形，
∴PC=CB′=2m，
∴PCBC=2m4m=12；
②如圖，當(dāng)點(diǎn)B′在直線AC的右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B′作B′F⊥AC于點(diǎn)F，
同理可得：∠B′CF=30°，
∴∠B′CF=∠ACB，
∴點(diǎn)B′在BC上，
由折疊的性質(zhì)得：AP⊥BB′，
在Rt△ABP中，BP=AB?cs∠ABC=m，
∴PC=BC?BP=3m，
∴PCBC=3m4m=34，
綜上，存在點(diǎn)P，使得AB=CB′，此時(shí)PCBC的值為12或34．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．
46．（2023·山東濟(jì)南·中考真題）在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝12∠ACB，連接BD，BE，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接CF．
（1）當(dāng)∠CAB＝45°時(shí)．
①如圖1，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠EAB與∠CBA的數(shù)量關(guān)系是 ．線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是 ；
②如圖2，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
學(xué)生經(jīng)過(guò)討論，探究出以下解決問(wèn)題的思路，僅供大家參考：
思路一：作等腰△ABC底邊上的高CM，并取BE的中點(diǎn)N，再利用三角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題；
思路二：取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把△CAG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來(lái)解快問(wèn)題．
（2）當(dāng)∠CAB＝30°時(shí)，如圖3，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
答案:（1）①∠EAB=∠ABC，CF=12BE；②仍然成立，證明見(jiàn)解析；（2）BE=23CF，理由見(jiàn)解析．
分析：（1）①如圖1中，連接BE，設(shè)DE交AB于T．首先證明AD=AE,BD=BE,再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．②解法一：如圖2﹣1中，取AB的中點(diǎn)M，BE的中點(diǎn)N，連接CM，MN．證明△CMF≌△BMN（SAS），可得結(jié)論．解法二：如圖2﹣2中，取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把△CAG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT，GT，BG．證明四邊形BEGT是平行四邊形，四邊形DGBT是平行四邊形，可得結(jié)論．
（2）結(jié)論：BE＝23CF．如圖3中，取AB的中點(diǎn)T，連接CT，F(xiàn)T．證明△BAE∽△CTF，可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）①如圖1中，連接BE，設(shè)DE交AB于T．
∵CA＝CB，∠CAB＝45°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADE＝12∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AD＝AE，
∵∠DAE=90°,
∴∠EAB=∠DAT=∠ABC=45°,
∴AT⊥DE，DT＝ET，
∴AB垂直平分DE，
∴BD＝BE，
∵∠BCD＝90°，DF＝FB，
∴CF＝12BD，
∴CF＝12BE．
故答案為：∠EAB＝∠ABC，CF＝12BE．
②結(jié)論不變．
解法一：如圖2﹣1中，取AB的中點(diǎn)M，BE的中點(diǎn)N，連接CM，MN．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，
∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，
由①得：AD=AE,
設(shè)AD＝AE＝y(tǒng)．FM＝x，DM＝a，
∵ 點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，
則DF＝FB＝a+x，
∵AM＝BM，
∴y+a＝a+2x，
∴y＝2x，即AD＝2FM，
∵AM＝BM，EN＝BN，
∴AE＝2MN，MN∥AE，
∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，
∴∠CMF＝∠BMN＝90°，
∴△CMF≌△BMN（SAS），
∴CF＝BN，
∵BE＝2BN，
∴CF＝12BE．
解法二：如圖2﹣2中，取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把△CAG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT，GT，BG．
∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，
∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAG＝90°，
∴AC⊥AG，
∴AC∥DE，
∵∠ACB＝∠CBT＝90°，
∴AC//BT,
∴AC∥BT∥DE，
∵AG＝BT，
∴DG＝BT＝EG，
∴四邊形BEGT是平行四邊形，四邊形DGBT是平行四邊形，
∴BD與GT互相平分，BE=GT,
∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，
∴BD與GT交于點(diǎn)F，
∴GF＝FT，
由旋轉(zhuǎn)可得；CG=CT,∠GCT=90°,
∴ △GCT是等腰直角三角形，
∴CF＝FG＝FT，
∴CF＝12BE．
（2）結(jié)論：BE＝23CF．
理由：如圖3中，取AB的中點(diǎn)T，連接CT，F(xiàn)T．
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，
∵AT＝TB，
∴CT⊥AB，
∴tan30°=CTAT=33,
∴AT＝3CT，
∴AB＝23CT，
∵DF＝FB，AT＝TB，
∴TF∥AD，AD＝2FT，
∴∠FTB＝∠CAB＝30°，
∵∠CTB＝∠DAE＝90°，
∴∠CTF＝∠BAE＝60°，
∵∠ADE＝12∠ACB＝60°，
∴tan60°=AEAD=3,
∴AE＝3AD＝23FT，
∴ABCT=AEFT=23，
∴△BAE∽△CTF，
∴BECF=BACT=23，
∴BE=23CF．
【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
47．（2023·四川南充·中考真題）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD邊AD上，點(diǎn)F是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）．DF交AC于點(diǎn)G，GH⊥AD于點(diǎn)H，AB=1，DE=13．
（1）求tan∠ACE．
（2）設(shè)AF=x，GH=y，試探究y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出x的取值范圍）．
（3）當(dāng)∠ADF=∠ACE時(shí)，判斷EG與AC的位置關(guān)系并說(shuō)明理由．
答案:（1）12；（2）y=xx+1(0

相關(guān)試卷

蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題7.4解直角三角形的應(yīng)用中考真題專項(xiàng)訓(xùn)練(50道)(原卷版+解析)：

這是一份蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題7.4解直角三角形的應(yīng)用中考真題專項(xiàng)訓(xùn)練(50道)(原卷版+解析)，共82頁(yè)。

蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三專題7.3解直角三角形的中考常考題專項(xiàng)訓(xùn)練(50道)(原卷版+解析)：

這是一份蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三專題7.3解直角三角形的中考?？碱}專項(xiàng)訓(xùn)練(50道)(原卷版+解析)，共82頁(yè)。

北師大版九年級(jí)下冊(cè)4 解直角三角形綜合訓(xùn)練題：

這是一份北師大版九年級(jí)下冊(cè)4 解直角三角形綜合訓(xùn)練題，文件包含北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題13解直角三角形的中考?？碱}專項(xiàng)訓(xùn)練50道原卷版docx、北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題13解直角三角形的中考?？碱}專項(xiàng)訓(xùn)練50道解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共84頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題28.3 解直角三角形的中考?？碱}專項(xiàng)訓(xùn)練（50道）（舉一反三）（人教版）（原卷版+解析卷）

九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題28.3 解直角三角形的中考?？碱}專項(xiàng)訓(xùn)練（50道）（舉一反三）（人教版）（原卷版+解析卷）
專題28.3 解直角三角形的中考?？碱}專項(xiàng)訓(xùn)練（50道）（原卷版+解析版）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列（人教版）

專題28.3 解直角三角形的中考?？碱}專項(xiàng)訓(xùn)練（50道）（原卷版+解析版）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列（人教版）
初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)28.2 解直角三角形及其應(yīng)用同步訓(xùn)練題

初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)28.2 解直角三角形及其應(yīng)用同步訓(xùn)練題
數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第一章 解直角三角形1.3 解直角三角形課堂檢測(cè)

數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第一章 解直角三角形1.3 解直角三角形課堂檢測(cè)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部