中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題5.4 平行線中的四大經(jīng)典模型（華東師大版）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【模型1 “豬蹄”型（含鋸齒型）】
1．（2020下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，EF平分∠BED，∠DEF+∠D=66°，∠B?∠D=28°，則∠BED= ．
【答案】80°
【分析】過E點作EM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分線的定義可求得∠B+3∠D=132°，結(jié)合∠B-∠D=28°即可求解．
【詳解】解：過E點作EM∥AB，
∴∠B=∠BEM，
∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∴∠MED=∠D，
∴∠BED=∠B+∠D，
∵EF平分∠BED，
∴∠DEF=12∠BED，
∵∠DEF+∠D=66°，
∴12∠BED+∠D=66°，
∴∠BED+2∠D=132°，
即∠B+3∠D=132°，
∵∠B-∠D=28°，
∴∠B=54°，∠D=26°，
∴∠BED=80°．
故答案為：80°．
【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，作出輔助線證出∠BED=∠B+∠D是解題的關(guān)鍵．
2．（2023上·遼寧鞍山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，∠BCD=n°，則∠BED的度數(shù)為．（用含n的式子表示）
【答案】40°+12n°
【分析】首先過點E作EF∥AB，由平行線的傳遞性得AB∥CD∥EF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得出∠BCD=∠ABC=n°，∠BAD=∠ADC=80°，由角平分線的定義得出∠ABE=12n°，∠EDC=40°，再由兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出∠BEF=∠ABE=12n° ∠FED=∠EDC=40°，由∠BED=∠BEF+∠FED即可得出答案．
【詳解】解：如圖，過點E作EF∥AB，則AB∥CD∥EF，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠ABC=n°，∠BAD=∠ADC=80°，
又∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=12∠ABC=12n°，
∠EDC=12∠ADC=12×80°=40°，
∵AB∥EF∥CD，
∴∠BEF=∠ABE=12n° ，
∠FED=∠EDC=40°，
∴∠BED=∠FED+∠BEF=40°+12n°，
故答案為：40°+12n°．
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義．
3．（2023下·廣東河源·七年級河源市第二中學(xué)校考期中）已知直線l1∥l2， A是l1上的一點，B是l2上的一點，直線l3和直線l1，l2交于C和D，直線CD上有一點P．
(1)如果P點在C，D之間運動時，問∠PAC，∠APB，∠PBD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
(2)若點P在C，D兩點的外側(cè)運動時（P點與C，D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系又是如何？（請直接寫出答案，不需要證明）
【答案】(1)∠PAC+∠PBD=∠APB
(2)當點P在直線l1上方時，∠PBD?∠PAC=∠APB；當點P在直線l2下方時，∠PAC?∠PBD=∠APB．
【分析】（1）過點P作PE∥l1，由“平行于同一條直線的兩直線平行”可得出PE∥l1∥l2，再由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得出∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論；
（2）按點P的兩種情況分類討論：①當點P在直線l1上方時；②當點P在直線l2下方時，同理（1）可得∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∠PAC+∠PBD=∠APB．
過點P作PE∥l1，如圖1所示．
∵ PE∥l1，l1∥l2，
∴ PE∥l1∥l2，
∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，
∵∠APB=∠APE+∠BPE，
∴∠PAC+∠PBD=∠APB．
（2）解：結(jié)論：當點P在直線l1上方時，∠PBD?∠PAC=∠APB；當點P在直線l2下方時，∠PAC?∠PBD=∠APB．
①當點P在直線l1上方時，如圖2所示．過點P作PE∥l1．
∵ PE∥l1，l1∥l2，
∴ PE∥l1∥l2，
∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，
∵∠APB=∠BPE?∠APE，
∴∠PBD?∠PAC=∠APB．
②當點P在直線l2下方時，如圖3所示．過點P作PE∥l1．
∵ PE∥l1，l1∥l2，
∴ PE∥l1∥l2，
∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，
∵∠APB=∠APE?∠BPE，
∴∠PAC?∠PBD=∠APB．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”找到相等的角．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等（或互補）的角是關(guān)鍵．
4．（2023下·山東聊城·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線AB//CD，EF是截線，點M在直線AB、CD之間．
(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)證明見詳解
(2)∠GQH=180°?∠M；理由見詳解
【分析】（1）過點M作MN∥AB，由AB∥CD，可知MN∥AB∥CD．由此可知：∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，故∠AGM+∠CHM=∠GMN+∠HMN=∠M；
（2）由（1）可知∠AGM+∠CHM=∠M．再由∠CHM=∠GHM，∠AGM＝∠HGQ，可知：∠M=∠HGQ+∠GHM，利用三角形內(nèi)角和是180°，可得∠GQH=180°?∠M．
【詳解】（1）
解：如圖：過點M作MN∥AB，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，
∵∠M=∠GMN+∠HMN，
∴∠M=∠AGM+∠CHM．
（2）解：∠GQH=180°?∠M，理由如下：
如圖：過點M作MN∥AB，
由（1）知∠M=∠AGM+∠CHM，
∵HM平分∠GHC，
∴∠CHM=∠GHM，
∵∠AGM＝∠HGQ，
∴∠M=∠HGQ+∠GHM，
∵∠HGQ+∠GHM+∠GQH=180°，
∴∠GQH=180°?∠M．
【點睛】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，正確的作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵，同時這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應(yīng)用．
5．（2023下·福建莆田·七年級莆田第二十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，AB//CD，點E在直線AB，CD內(nèi)部，且AE⊥CE．
（1）如圖1，連接AC，若AE平分∠BAC，求證：CE平分∠ACD；
（2）如圖2，點M在線段AE上，
①若∠MCE=∠ECD，當直角頂點E移動時，∠BAE與∠MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說明理由；
②若∠MCE=1n∠ECD（n為正整數(shù)），當直角頂點E移動時，∠BAE與∠MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）①∠BAE+12∠MCD=90°，理由見解析；②∠BAE+nn+1∠MCD=90°，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)平行的性質(zhì)可得∠BAC+∠DCA=180°，再根據(jù)AE⊥CE可得∠EAC+∠ECA=90°，根據(jù)AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代換可得∠ECD+∠EAC=90°，繼而求得∠DCE=∠ECA；
（2）①過E作EF∥AB，先利用平行線的傳遞性得出EF∥AB∥CD，再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推得答案；
②過E作EF∥AB，先利用平行線的傳遞性得出EF∥AB∥CD，再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推得答案.
【詳解】（1）解：因為AB//CD，
所以∠BAC+∠DCA=180°，
因為AE⊥CE，
所以∠EAC+∠ECA=90°，
因為AE平分∠BAC，
所以∠BAE=∠EAC，
所以∠BAE+∠DCE=90°，
所以∠EAC+∠DCE=90°，
所以∠DCE=∠ECA，
所以CE平分∠ACD；
（2）①∠BAE與∠MCD存在確定的數(shù)量關(guān)系：∠BAE+12∠MCD=90°，
理由如下：過E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=∠ECD，
∴∠BAE+12∠MCD=90°；
②∠BAE與∠MCD存在確定的數(shù)量關(guān)系：∠BAE+nn+1∠MCD=90°，
理由如下：過E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=1n∠ECD，
∴∠BAE+nn+1∠MCD=90°.
【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是要添加輔助線利用平行性質(zhì).
6．（2023·全國·七年級專題練習(xí)）（1）如圖1，已知AB//CD，∠ABF=∠DCE，求證：∠BFE=∠FEC
（2）如圖2，已知AB//CD，∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，求證：∠AFC=34∠AEC
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）如圖：延長BF、DC相較于E，由AB//CD可得∠ABF=∠E，再結(jié)合∠ABF=∠DCE
可得∠DCE=∠E，即可得當BE//DE，最后運用兩直線平行、內(nèi)錯角相等即可證明結(jié)論；
（2）如圖2：連接AC，設(shè)∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），再求出∠AEC和∠AFC，最后比較即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖：延長BF、DC相較于G
∵AB//CD
∴∠ABF=∠G
∵∠ABF=∠DCE
∴∠DCE=∠G
∴BG//CE
∴∠BFE=∠FEC；
（2）如圖2：連接AC，設(shè)∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，
∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°
∴∠CAE+4x+∠ACE+4y=180°
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），∠FAC+∠FCA=180°-（3x+3y），
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[80°-（4x+4y）]
=4x+4y
=4（x+y）
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x+3y））]
=3x+3y
=3（x+y），
∴∠AFC=34∠AEC．
【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用等知識點，靈活應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理正確的表示角成為解答本題的關(guān)鍵．
7．（2017下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，則∠F＝；
(2)請?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；
(3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長FG交EP于點P，求∠P的度數(shù)．
【答案】(1)90°
(2)∠F=∠E+30°，理由見解析
(3)15°
【分析】（1）如圖1，分別過點E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠D+∠DFN=180°，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；
（2）如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，由AB//CD，AB//FN，得到CD//FN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D+∠DFN=180°，于是得到結(jié)論；
（3）如圖2，過點F作FH//EP，設(shè)∠BEF=2x°，則∠EFD=(2x+30)°，根據(jù)角平分線的定義得到∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12∠EFD=(x+15)°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，于是得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖1，分別過點E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB，
∴EM//AB//FN，
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，
又∵AB//CD，AB//FN，
∴CD//FN，
∴∠D+∠DFN=180°，
又∵∠D=120°，
∴∠DFN=60°，
∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，
∴∠EFD=∠MEF+60°
∴∠EFD=∠BEF+30°=90°；
故答案為：90°；
（2）解：如圖1，分別過點E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB，
∴EM//AB//FN，
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，
又∵AB//CD，AB//FN，
∴CD//FN，
∴∠D+∠DFN=180°，
又∵∠D=120°，
∴∠DFN=60°，
∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，
∴∠EFD=∠MEF+60°，
∴∠EFD=∠BEF+30°；
（3）解：如圖2，過點F作FH//EP，
由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，
設(shè)∠BEF=2x°，則∠EFD=(2x+30)°，
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，
∴∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12∠EFD=(x+15)°，
∵FH//EP，
∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，
∵∠HFG=∠EFG?∠EFH=15°，
∴∠P=15°．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
8．（2020下·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）問題情境：如圖1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度數(shù)．

經(jīng)過思考，小敏的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得∠PAB+∠PCD=360°?∠APC=252°．
問題遷移：如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動， ∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．
(1)當點P在A、B兩點之間運動時， ∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
(2)如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．
(3)問題拓展：如圖4，MA1∥NAn，A1?B1?A2???Bn?1?An是一條折線段，依據(jù)此圖所含信息，把你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，用簡潔的數(shù)學(xué)式子表達為．
【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β，理由見解析
(2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β
(3)∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn?1
【分析】（1）過P作PE∥AD，根據(jù)平行線的判定可得PE∥AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；
（2）過P作PE∥AD，根據(jù)平行線的判定可得PE∥AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；
（3）問題拓展：分別過A2，A3…，An-1作直線∥A1M，過B1，B2，…，Bn-1作直線∥A1M，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如圖，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（2）當P在BA延長線時，∠CPD=∠β-∠α；理由：
如圖，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；
當P在BO之間時，∠CPD=∠α-∠β．理由：
如圖，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．
（3）問題拓展：分別過A2，A3…，An-1作直線∥A1M，過B1，B2，…，Bn-1作直線∥A1M，
由平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn?1．
故答案為：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn?1．
【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，第（2）問在解題時注意分類思想的運用．
9．（2020下·重慶九龍坡·七年級統(tǒng)考期末）已知，AB∥CD．點M在AB上，點N在CD上．
（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）
如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）
（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；
（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．
【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不變，30°
【分析】（1）過E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；過F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及角平分線的定義可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，進而可求解；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知∠FEQ=12∠BME，進而可求解．
【詳解】解：（1）過E作EH∥AB，如圖1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如圖2，過F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案為∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小沒發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝12∠MEN＝12（∠BME＋∠END），∠ENP＝12∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝12（∠BME＋∠END）﹣12∠END＝12∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝12×60°＝30°．
【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關(guān)鍵．
10．（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD，點O在直線CD上，點P在直線AB和CD之間，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．
（1）求∠BPD的度數(shù)（用含α的式子表示）；
（2）過點D作DE//PQ交PB的延長線于點E，作∠DEP的平分線EF交PD于點F，請在備用圖中補全圖形，猜想EF與PD的位置關(guān)系，并證明；
（3）將（2）中的“作∠DEP的平分線EF交PD于點F”改為“作射線EF將∠DEP分為1:3兩個部分，交PD于點F”，其余條件不變，連接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，請直接寫出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．
【答案】（1）∠BPD=2α；（2）畫圖見解析，EF⊥PD，證明見解析；（3）45°?α2或45°?32α
【分析】（1）根據(jù)平行線的傳遞性推出PG//AB//CD，再利用平行線的性質(zhì)進行求解；
（2）猜測EF⊥PD，根據(jù)PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，推導(dǎo)出∠BPD=∠DPQ=2α，再根據(jù)DE//PQ、EF平分∠DEP，通過等量代換求解；
（3）分兩種情況進行討論，即當∠PEF:∠DEF=1:3與∠DEF:∠PEF=1:3，充分利用平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等量代換的思想進行求解．
【詳解】（1）過點P作PG//AB，
∵AB//CD,PG//AB，
∴PG//AB//CD，
∴∠BPG=∠ABP=α,∠DPG=∠PDQ=α，
∴∠BPD=∠BPG+∠DPG=2α．
（2）根據(jù)題意，補全圖形如下：
猜測EF⊥PD，
由（1）可知：∠BPD=2α，
∵PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，
∴∠BPD=∠DPQ=2α，
∵DE//PQ，
∴∠EDP=∠DPQ=2α，
∴∠DEP=180°?∠BPD?∠EDP=180°?4α，
又EF平分∠DEP，
∠PEF=12∠DEP=90°?2α，
∴∠EFD=180°?∠PEF?∠BPD=90°，
∴EF⊥PD．
（3）①如圖1，
∠PEF:∠DEF=1:3，
由（2）可知：∠EPD=∠DPQ=∠EDP=2α,∠DEP=180°?4α，
∵∠PEF:∠DEF=1:3，
∴∠PEF=14∠DEP=45°?α，
∠DEF=34∠DEP=135°?3α，
∵DE//PQ，
∴∠DEQ=∠PQE，
∠EDQ+∠PQD=180°，
∵∠EDP=2α,∠PDQ=α，
∴∠EDQ=∠EDP+∠PDQ=3α，
∠PQD=180°?∠EDQ=180°?3α，
又EQ平分∠PQD，
∴∠PQE=∠DQE=∠DEQ=12∠PQD=90°?32α，
∴∠FEQ=∠DEF?∠DEQ=135°?3α?(90°?32α)=45°?32α；
②如圖2，
∠DEP=180°?4α，∠PQD=180°?3α（同①）；
若∠DEF:∠PEF=1:3，
則有∠DEF=14∠DEP=14×(180°?4α)=45°?α，
又∠PQE=∠DQE=12∠PQD=12×(180°?3α)=90°?32α，
∵DE//PQ，
∴∠DEQ=∠PQE=90°?32α，
∴∠FEQ=∠DEQ?∠DEF=45°?12α，
綜上所述：∠FEQ=45°?32α或45°?α2，
故答案是：45°?α2或45°?32α．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線、三角形內(nèi)角和定理、垂直等相關(guān)知識點，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識點，作出適當?shù)妮o助線，通過分類討論及等量代換進行求解．
【模型2 “鉛筆”型】
1．（2012下·廣東茂名·七年級統(tǒng)考期中）如圖，AB∥ED，∠B+∠C+∠D=（）

A．180°B．360°C．540°D．270°
【答案】B
【分析】過C點作直線CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B+∠BCF=180°，∠FCD+∠D=180°，然后再計算∠B+∠C+∠D即可.
【詳解】
如圖，過C點作直線CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴CF∥ED，
∴∠B+∠BCF=180°，∠FCD+∠D=180°，
∴∠B+∠BCF+∠FCD+∠D=360°，
即∠B+∠BCD+∠D=360°.
故選：B
【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
2．（2012·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期中）一大門的欄桿如圖所示，BA垂直地面AE于點A，CD平行于地面AE，則∠ABC＋∠BCD＝．
【答案】270°
【分析】過B作BF∥AE，則CD∥BF∥AE．根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】過B作BF∥AE，
∵CD∥ AE，
則CD∥BF∥AE，
∴∠BCD+∠1=180°，
又∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．
故答案為：270．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
3．（2023下·陜西西安·七年級西安市第八十三中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖1所示的是一個由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動變速箱托架，其主要作用是動力傳輸．如圖2所示的是手動變速箱托架工作時某一時刻的示意圖，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠DEF=130°，則∠AGC的度數(shù)是．
【答案】80°
【分析】過點F作FM∥CD，因為AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求出∠MFA，∠EFM，進而可求出∠EFA，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得∠AGC．
【詳解】解：如圖，過點F作FM∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FM，
∴∠DEF+∠EFM=180°，∠MFA+∠BAG=180°，
∵∠BAG=150°，∠DEF=130°，
∴∠MFA=30°，∠EFM=50°，
∴∠EFA=∠EFM+∠AFM=80°，
∵CG∥EF，
∴∠AGC=∠EFA=80°．
故答案為80°．
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進行角的轉(zhuǎn)化和計算．
4．（2023下·廣東東莞·七年級東莞市長安實驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知AB∥CD．
（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；
（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫出求解過程．
（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；
（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．
【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°
【分析】（1）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，可得答案；
（2）過點E作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成兩個圖1，同理可得答案；
（3）過點E，點F分別作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成3個圖1，可得答案；
（4）由（2）（3）類比可得答案．
【詳解】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．
故答案為：180°；
（2）如圖2，過點E作AB的平行線EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）如圖3，過點E，點F分別作AB的平行線，
類比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案為：540°；
（4）如圖4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案為：（n-1）×180°．
【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．
5．（2020下·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．
思路點撥：
小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；
小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識可求出∠APC的度數(shù)；
小芳的思路是：如圖4，延長AP交DC的延長線于E，通過平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識可求出∠APC的度數(shù)．
問題解決：請從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進行推理計算，你求得的∠APC的度數(shù)為 °；
問題遷移：
（1）如圖5，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（2）在（1）的條件下，如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】110；（1）∠CPD=∠α+∠β，理由見解析；（2）∠CPD=∠β?∠α或∠CPD=∠a?∠β，理由見解析
【分析】小明的思路是：過P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，利用平行線性質(zhì)，可得∠APC=110°．
（1）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠a=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）畫出圖形（分兩種情況：①點P在BA的延長線上，②點P在AB的延長線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【詳解】解：小明的思路：如圖2，過P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=180°?∠A=50°，∠CPE=180°?∠C=60°，
∴∠APC=50°+60°=110°，
故答案為：110；
（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠a=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠a+∠β；
（2）當P在BA延長線時，∠CPD=∠β?∠α；
理由：如圖6，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE?∠DPE=∠β?∠α；
當P在BO之間時，∠CPD=∠a?∠β．
理由：如圖7，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE?∠CPE=∠α?∠β．
【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角．
6．（2020下·內(nèi)蒙古·七年級校考期中）綜合與探究：
（1）問題情境：如圖1，AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°．求∠APC的度數(shù)．
小明想到一種方法，但是沒有解答完：
如圖2，過P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB=180°．
∴∠APE=180°?∠PAB=180°?130°=50°．
∵AB∥CD．∴PE∥CD．
…………
請你幫助小明完成剩余的解答．
（2）問題探究：請你依據(jù)小明的思路，解答下面的問題：
如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，∠ADP=∠α,∠BCP=∠β．當點P在A，B兩點之間時，∠CPD,∠α,∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
【答案】（1）110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由見解析
【分析】（1）過P作PE//AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC=50°+60°=110°．
（2）過P作PE//AD交CD于E，推出AD//PE//BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【詳解】解：（1）過P作PE∥AB，
∴∠APE+∠PAB=180°，
∴∠APE=180°?∠PAB=180°?130°=50°．
∵AB∥CD，
∴PE∥CD．
∴∠CPE+∠PCD=180°，
∴∠CPE=180°?120°=60°，
∴∠APC=50°+60°=110°．
（2）∠CPD=∠α+∠β，
如圖3，過P作PE//AD交CD于E，
∵AD//BC，
∴AD//PE//BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角．
7．（2020下·天津濱海新·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，四邊形MNBD為一張長方形紙片．

（1）如圖2，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），則∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．
（2）如圖3，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．
（3）如圖4，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．
（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是____________°．
【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．
【分析】（1）過點E作EH∥AB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到三個角的和等于180°的2倍；
（2）分別過E、F分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到四個角的和等于180°的三倍；
（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到四個角的和等于180°的三倍；
（4）根據(jù)前三問個的剪法，剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度．
【詳解】（1）過E作EH∥AB（如圖②）．
∵原四邊形是長方形，
∴AB∥CD，
又∵EH∥AB，
∴CD∥EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．
∵EH∥AB，
∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．
∵CD∥EH，
∴∠2+∠C=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，
又∵∠1+∠2=∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；

（2）分別過E、F分別作AB的平行線，如圖③所示，

用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；
（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示，

用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；
（4）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度．
故答案為：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．
【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解本題的關(guān)鍵，總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點．
8．（2023下·浙江·七年級期末）已知AB//CD，定點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一動點P．
（1）如圖1所示時，試問∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由．
（2）除了（1）的結(jié)論外，試問∠AEP，∠EPF，∠PFC還可能滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請畫圖并證明
（3）當∠EPF滿足0°

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