中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題7.8 平行線中的折疊問題的四大題型（北師大版）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考卷信息：
本套訓(xùn)練卷共40題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學(xué)生對平行線中的折疊問題的四大題型的理解！
【題型1 利用平行線的性質(zhì)解決長方形中的折疊問題】
1．（2023下·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，將長方形ABCD沿EF翻折，使得點D落在AB邊上的點G處，點C落在點H處，若∠1=32°，則∠2=（）

A．112°B．110°C．108°D．106°
【答案】D
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，可以得到∠3的度數(shù)和∠3+∠2=180°，從而可以得到∠2的度數(shù)．
【詳解】解：由題意可得，∠3=∠4，
∵∠1=32°，∠1+∠3+∠4=180°，
∴∠3=∠4=74°，
∵四邊形ABCD是長方形，
∴AD∥BC，
∴∠3+∠2=180°，
∴∠2=106°，
故選：D．

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
2．（2023下·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點E，F(xiàn)分別為長方形紙片ABCD的邊AB，CD上的點，將長方形紙片沿EF翻折，點C，B分別落在點C'，B'處．若∠DFC'=α，則∠FEA?∠AEB′的度數(shù)為（）

A．45°+12αB．60°?12αC．90°?12αD．90°?32α
【答案】D
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，∠CFE=∠C′FE，∠BEF=∠B′EF，進而利用鄰補角得∠CFE=∠C′FE=90°?12α，利用平行線的性質(zhì)得∠FEA=∠CFE=90°?12α，進而求得而∠AEB′=α，于是即可得解．
【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，∠CFE=∠C′FE，∠BEF=∠B′EF，
∵∠DFC′=α，∠CFE=∠C′FE，
∴∠CFE=∠C′FE=12180°?α=90°?12α，
∵∠BEF=∠B′EF，CD∥AB，
∴∠BEF=∠B′EF=∠DFE=180°?∠CFE=180°?90°?12α=90°+12α，∠FEA=∠CFE=90°?12α，
∴∠AEB′=∠FEB′?∠FEA=90°+12α?90°?12α=α，
∴∠FEA?∠AEB′=90°?12α?α=90°?32α，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023下·重慶沙坪壩·八年級校考階段練習(xí)）如圖，長方形ABCD中將△ABF沿AF翻折至△AB′F處，若AB′∥BD，∠1=28°則∠BAF的度數(shù)為．

【答案】59°
【分析】根據(jù)長方形的性質(zhì)可得，∠ABC=90°，AD∥BC，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得∠B′=∠ABC=90°，∠BFA=∠B′FA，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B′ND=∠B′=90°，進一步可得∠DMN=62°，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠BFM=∠DMN=62°，求出∠BFA=∠B′FA=31°，進一步可得答案．
【詳解】解：在長方形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得∠B′=∠ABC=90°，∠BFA=∠B′FA，
∵AB′∥BD，
∴∠B′ND=∠B′=90°，
∵∠1=28°，
∴∠DMN=180°?90°?28°=62°，
∵AD∥BC，
∴∠BFM=∠DMN=62°，
∴∠BFA=∠B′FA=31°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAF=180°?90°?31°=59°，
故答案為：59°．
【點睛】本題考查了長方形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），平行線的性質(zhì)等，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，一張矩形ABCD紙片，點P和點Q分別在AD和BC上，沿PQ折疊紙片，點E和點F分別是點D和點C的對應(yīng)點，如果翻折之后測量得∠BQF=46°，則∠DPQ的度數(shù)是．
【答案】67°或113°
【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠PQC=∠PQF，再分情況討論，向下翻折時，向上翻折時，并利用平行線的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：如圖，向下翻折時，
∵沿PQ折疊，點E和點F分別是點D和點C的對應(yīng)點，
∴∠PQC=∠PQF，
∵∠BQF=46°，
∴∠PQF=∠PQB+∠BQF=∠PQB+46°，
∴∠PQC=∠PQF=∠PQB+46°，
∵∠PQB+∠PQC=∠BQC=180°，
∴∠PQB+∠PQB+46°=180°，
∴∠PQB=67°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DPQ=∠PQB=67°，
如圖，當(dāng)向上翻折時，
同理可得，∠PQC=∠PQF，
∴2∠PQC+∠BQF=180°，
∴∠PQC=12180°?∠BQF=67°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DPQ=180°?∠PQC=113°，
故答案為：67°或113°．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平角的定義，熟練掌握知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．
5．（2023下·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，將一張長方形的紙片沿折痕EF翻折，使點B、C分別落在點M、N的位置，且∠NED=12∠EFM，則∠MFA= °．
【答案】36
【分析】先由折疊的性質(zhì)得到∠NEF=∠CEF，∠MFE=∠BFE，再由平行線的性質(zhì)得到∠DEF=∠BFE，結(jié)合已知條件推出∠NED=12∠DEF，則∠CEF=∠NEF=32∠DEF，再由平角的定義求出∠DEF=72°，則∠MFE=∠BFE=72°，由此即可求出∠MFA的度數(shù)．
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得∠NEF=∠CEF，∠MFE=∠BFE，
∵AB∥CD，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠DEF=∠MFE，
∵∠NED=12∠EFM，
∴∠NED=12∠DEF，
∴∠CEF=∠NEF=32∠DEF，
∵∠CEF+∠DEF=180°，
∴∠DEF+32∠DEF=180°，
∴∠DEF=72°，
∴∠MFE=∠BFE=∠DEF=72°，
∴∠AFM=180°?∠MFE?∠BFE=36°，
故答案為：36．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．
6．（2023下·河北保定·八年級?？计谀┤鐖D，將一張長方形的紙片沿折痕EF翻折，使點C，D分別落在點M，N的位置．
（1）若∠AEN=20°，則∠AEF的度數(shù)為；
（2）若∠BFM=12∠EFM，則∠DEF的度數(shù)為．
【答案】 80°/80度 108°/108度
【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠NEF=∠DEF，再由平角的定義得到∠AEF+∠DEF=180°，由此求解即可；
（2）先根據(jù)折疊的性質(zhì)與平角的定義結(jié)合已知條件求出∠EFC=72°，再由AD∥BC，即可得到∠DEF=180°-∠EFC=108°．
【詳解】解：（1）由折疊的性質(zhì)可知∠NEF=∠DEF，
∵∠NEF=∠AEN+∠AEF，∠AEF+∠DEF=180°，∠AEN=20°，
∴∠AEF+∠AEF+20°=180°，
∴∠AEF=80°，
故答案為：80°；
（2）由折疊的性質(zhì)可得∠EFM=∠EFC，
∵∠EFC+∠EFM+∠BFM=180°，∠BFM=12∠EFM，
∴12∠EFC+2∠EFC=180°，
∴∠EFC=72°，
由題意得AD∥BC，
∴∠DEF=180°-∠EFC=108°，
故答案為：108°．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟知折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023下·重慶·八年級四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考期末）如圖，在長方形ABCD中，點P在AB上，連接PC、PD，將△APD沿PD翻折得到△A′PD，△BCP沿PC翻折得到△B′CP，已知∠A′PB′＝30°，∠PCD＝40°．則∠A′DC的度數(shù)為．
【答案】40°
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BPC的度數(shù)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠B′PC=∠BPC，∠A′PD=∠APD，∠A′=∠A=90°，可得∠A′PD的度數(shù)，進一步可得∠A′DP的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠A′DC的度數(shù)．
【詳解】解：在長方形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠ADC＝90°，
∴∠BPC＝∠PCD，
∵∠PCD＝40°，
∴∠BPC＝40°，
根據(jù)翻折，可得∠B'PC=∠BPC，∠A′PD=∠APD，∠A'=∠A=90°，
∴∠B'PC＝40°．
∵∠A'PB'＝30°，
∴∠BPA'＝∠B'PC+∠BPC?∠A'PB'=50°，
∴∠A'PD＝∠APD＝65°，
∴∠A'DP＝25°．
∵AB∥CD，
∴∠PDC＝∠APD＝65°，
∴∠A'DC＝65°?25°＝40°．
故答案為：40°．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2023下·重慶·八年級重慶實驗外國語學(xué)校校考期中）如圖，將長方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″=105°，則∠CFE= 度．
【答案】155
【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)，可設(shè)∠DEF=∠BFE=x°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，∠DEA'=∠DEA''=105°+x°，∠AEF=∠FEA'=105°+2x°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠AEF+∠BFE=180°，即可求得x的值，據(jù)此即可求得．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
設(shè)∠DEF=∠BFE=x°，
∵∠DEA''=∠FEA''+∠DEF，∠FEA″=105°，
∴∠DEA''=105°+x°，
由沿AD折疊可知：∠DEA'=∠DEA''=105°+x°，
∴∠FEA'=∠DEA'+∠DEF=105°+2x°，
由沿EF折疊可知：∠AEF=∠FEA'=105°+2x°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE=180°，
即105°+2x°+x°=180°，
解得x=25，
∴∠BFE=25°，
∴∠CFE=180°?∠BFE=180°?25°=155°，
故答案為：155．
【點睛】本題考查了矩形中的折疊問題，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，找準相等的角是解決本題的關(guān)鍵．
9．（2023下·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）小明想玩一個折紙游戲，分以下三步進行∶第一步，將長方形紙條ABCD向上翻折，記點C、D的對應(yīng)點分別為C′、D′，折痕為EF，且C′E交AD于點G（如圖1；第二步，將四邊形GFD′C′沿GF向下翻折，記C′、D′的對應(yīng)點分別為C″、D″（如圖2）；第三步，將長方形ABCD向下翻折，記A、B的對應(yīng)點分別為A′、B′，折痕為HM（如圖3）．
（1）若∠CEF=20°，則∠EFD″= 度．
（2）若∠CEF=17°，則當(dāng)A′H∥C″G時，∠EMB′= 度．
【答案】 120 34
【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)求解即可；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求解即可．
【詳解】∵∠CEF=20°
∴由題意可得，∠GEF=∠CEF=20°
∵AD∥BC
∴∠GFE=∠CEF=20°
∴∠C′GF=∠GEF+∠GFE=40°
∵GC′∥FD′
∴∠GFD′=180°?∠C′GF=140°
∴由折疊可得，∠GFD″=∠GFD′=140°
∴∠EFD″=GFD″?GFE=120°；
（2）如圖所示，
∵∠CEF=20°
∴由題意可得，∠GEF=∠CEF=17°
∵AD∥BC
∴∠GFE=∠CEF=17°
∴∠C′GF=∠GEF+∠GFE=34°
∵GC′∥FD′
∴∠GFD′=180°?∠C′GF=146°
∵FD″∥CG″
∴∠FGC″=180°?∠GFD″=34°
∵A′H∥C″G
∴∠GHA′=∠FGC″=34°
∵AG∥BE
∴∠ENA′=∠GHA′=34°
∵HA′∥MB′
∴∠EMB′=∠ENA′=34°．
【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．
10．（2023下·上海靜安·八年級新中初級中學(xué)?？计谥校┮阎?，如圖1，四邊形ABCD，∠D=∠C=90°，點E在BC邊上，P為邊AD上一動點，過點P作PQ⊥PE，交直線DC于點Q．
(1)當(dāng)∠PEC=70°時，求∠DPQ；
(2)當(dāng)∠PEC=4∠DPQ時，求∠APE；
(3)如圖3，將△PDQ沿PQ翻折使點D的對應(yīng)點D′落在BC邊上，當(dāng)∠QD′C=40°時，請直接寫出∠PEC的度數(shù)，答：．
【答案】(1)20°；
(2)72°或120°；
(3)65°．
【分析】（1）結(jié)合已知先證AD∥BC，利用平行線和平角的性質(zhì)得到∠PEC+∠DPQ=90°可求解；
（2）當(dāng)點Q在邊CD上時，利用（1）中關(guān)系可求解，當(dāng)點Q在CD的延長線上時，如圖，由（1）可知AD∥BC，∠EPQ=90°可求得∠DPE=90°?∠DPQ，結(jié)合已知利用同旁內(nèi)角互補可求解；
（3）由翻折和已知可求得∠PD′E=50°，從而得到∠DPD′，再由翻折可求得∠DPQ，最后結(jié)合（1）中的關(guān)系可求解．
【詳解】（1）∵∠D=∠C=90°
∴∠D+∠C=180°
∴AD∥BC
∴∠APE=∠PEC=70°
∵PQ⊥PE
∴∠EPQ=90°
∴∠APE+∠DPQ=90°
∴∠PEC+∠DPQ=90°
∠DPQ=90°?∠PEC=90°?70°=20°
（2）當(dāng)點Q在邊CD上時，
由（1）有，∠PEC+∠DPQ=90°，∠APE=∠PEC
∵∠PEC=4∠DPQ，
∴∠DPQ=18°，∠PEC=72°，
∴∠APE=72°；
當(dāng)點Q在CD的延長線上時，如圖，
由（1）可知AD∥BC，∠EPQ=90°
∴∠DPE=90°?∠DPQ
∠DPE+∠PEC=180°，∠APE=∠PEC
∵∠PEC=4∠DPQ，
∴90°?∠DPQ+4∠DPQ=180°
解得：∠DPQ=30°
∴∠APE=∠PEC=4∠DPQ=120°
即∠APE為72°或120°．
（3）∵∠D=∠D′=90°，
∴∠QD′C+∠PD′E=90°，
∵∠QD′C=40°，
∴∠PD′E=50°，
由（1）可知AD∥BC，∠PEC+∠DPQ=90°
∴∠DPD′=∠PD′E=50°
由翻折可知
∴∠DPQ=12∠DPD′=25°
∠PEC=90°?∠DPQ=65°
故答案為65°．
【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，翻折的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是證明AD∥BC并靈活應(yīng)用平行線的性質(zhì)求解．
11．（2023下·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖將長方形紙帶沿DE折疊，∠DEC=75°，且點C落在點C′ ．若折疊后點A，點C′和點E恰好在同一直線上，則∠ADC′的度數(shù)為．

【答案】60°
【分析】由折疊可得∠DC′E=∠C=90°，∠DEC′=∠DEC=75°，從而可求得∠EDC′=15°，再由平行線的性質(zhì)可得∠ADE=∠DEC=75°，即可求∠ADC′的度數(shù)．
【詳解】解：由題意可得：∠C=90°，AD∥BC，
由折疊得：∠DC′E=∠C=90°，∠DEC′=∠DEC=75°，
∴∠EDC′=180°?∠DEC′?∠DC′E=15°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC=75°，
∴∠ADC′=∠ADE?∠EDC′=60°．
故答案為：60°
【點睛】本題主要考查折疊和平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵熟記平行線的性質(zhì)并靈活運用．
12．（2023下·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖①，在長方形ABCD中，E點在AD上，并且∠ABE=30°，分別以BE、CE為折痕進行折疊并壓平，如圖②，若圖②中∠BCE=n°，則∠AED的度數(shù)為 °(用含n的代數(shù)式表示)

【答案】2n?60
【分析】由題意得：∠A=∠A′=90°，即可得△ABE、△ A′ BE為直角三角形，然后可求得∠AE D′的度數(shù)，又由∠BCE=n°，即可求得∠AED的度數(shù)．
【詳解】解：根據(jù)題意得：∠A=∠ A′ =90°，△ A′ BE為直角三角形，

∴∠1=∠AEB=60°，
∵∠BCE=n°，A′ D′ ∥BC
∴∠ECB=∠2= n°，
∴∠AE D′ =180°?∠1?∠AEB=180°?60°?60°=60°，
∴∠DE D′ =∠AED+∠AE D′ =2n°，
∴∠AED=∠DE D′ –∠AE D′ = 2n?60 °，
故答案為2n?60．
【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意折疊中的對應(yīng)關(guān)系．
13．（2023下·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，把一張長方形紙條ABCD沿AF折疊，已知∠ADB=36°，那么：

(1)試探究∠MAF與∠MFA有何數(shù)量關(guān)系？
(2)試說明，當(dāng)∠BAF為多少度時，AE∥BD？
【答案】(1)∠MAF=∠MFA
(2)∠BAF應(yīng)為63°時，AE∥BD，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠MAF=∠BFA，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠BFA=∠MFA，從而可得出∠MAF=∠MFA；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠BAF=∠EAF，要AE∥BD，則要有∠BAE=126°，從而可求出∠BAF．
【詳解】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠MAF=∠BFA，
根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠BFA=∠MFA，
∴∠MAF=∠MFA；
（2）解：∠BAF應(yīng)為63°．
理由是：∵∠ADB=36°，四邊形ABCD是長方形，
∴∠ABD=54°．
∵要使AE∥BD，需使∠BAE=126°，
由折疊可知∠BAF=∠EAF，
∴∠BAF應(yīng)為63°．
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等．也考查了直線平行的判定．
14．（2023下·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，有一張長方形紙條ABCD，AD∥BC，在線段DE，CF上分別取點G，H，將四邊形CDGH沿直線GH折疊，點C，D的對應(yīng)點為C′，D′，將四邊形ABFE沿直線EF折疊，點A，B的對應(yīng)點為A′，B′，設(shè)∠EFB=α0

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