1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì)．
2.探索并掌握三角形相似的性質(zhì)及條件，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．
3.掌握?qǐng)D形位似的概念，能用位似的性質(zhì)將一個(gè)圖形放大或縮?。?br>4.掌握用坐標(biāo)表示圖形的位置與變換，在給定的坐標(biāo)系中，會(huì)根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置或由點(diǎn)的位置寫出
它的坐標(biāo)，靈活運(yùn)用不同方式確定物體的位置。
考點(diǎn)1：比例線段
1. 比例線段的相關(guān)概念
如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段a，b的長(zhǎng)度分別為m，n，那么就說(shuō)這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng).
在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.
若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng).
如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項(xiàng).
2.比例的基本性質(zhì)：①a：b=c：dad=bc ②a：b=b：c.
3.黃金分割
把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB≈0.618AB.
考點(diǎn)2：相似圖形
相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.
也就是說(shuō)：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似圖形).
2.相似多邊形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.
3.相似多邊形的性質(zhì)：
相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成的比相等.
相似多邊形的周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.
4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.
5.相似三角形的性質(zhì)：
(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.
(2)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線的比相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.
(3)相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.
6.相似三角形的判定：
(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；
(2)如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
(3)如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
(4)如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.
(5)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊的比對(duì)應(yīng)相 等，那么這兩個(gè)三角形相似.
考點(diǎn)3：位似圖形
1.位似圖形的定義
兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的對(duì)應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫位似中心.
2.位似圖形的分類
(1)外位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外.
(2)內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上.
3.位似圖形的性質(zhì)
位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；
位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；
位似圖形中不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.
4.作位似圖形的步驟
第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；
第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；
第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；
第四步：順次連接截取點(diǎn).
【注意】在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.
【題型1：相似三角形的相關(guān)計(jì)算】
【典例1】（2023?雅安）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，CF交BD于點(diǎn)E，CF的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，EF＝1，EC＝3，則GF的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴，
∵EF＝1，EC＝3，
∴，
即，
∴，
∵AB∥CD，
∴△DFC∽△AFG，
∴，
∵EF＝1，EC＝3，
∴CF＝4，
∴，
∴GF＝8，
故選：C
1．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝＝＝．
故選：A．
2．（2023?內(nèi)江）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E為邊AB的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F、G在邊BC上，AC∥DG∥EF，點(diǎn)H為AF與DG的交點(diǎn)．若AC＝12，則DH的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】C
【解答】解：∵點(diǎn)D、E為邊AB的三等分點(diǎn)，
∴AD＝DE＝EB，
∴AB＝3BE，AE＝2AD，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC＝BE：AB，
∵AC＝12，AB＝3BE，
∴EF：12＝BE：3BE，
∴EF＝4，
∵DG∥EF，
∴△ADH∽△AEF，
∴DH：EF＝AD：AE，
∵EF＝4，AE＝2AD，
∴DH：4＝AD：2AD，
∴DH＝2．
故選：C．
3．（2023?東營(yíng)）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長(zhǎng)為（ ）
A．1.8B．2.4C．3D．3.2
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠CAD+∠ADC＝120°，
∵∠ADE＝60°．
∴∠BDE+∠ADC＝120°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴，
∵BD＝4DC，
∴設(shè)DC＝x，
則BD＝4x，
∴BC＝AC＝5x，
∴，
∴AD＝3，
故選：C．
4．（2023?綿陽(yáng)）黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛好者和藝術(shù)家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形ABCD的底邊BC取中點(diǎn)E，以E為圓心，線段DE為半徑作圓，其與底邊BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，這樣就把正方形ABCD延伸為矩形ABFG，稱其為黃金矩形．若CF＝4a，則AB＝（ ）
A．（﹣1）aB．（﹣2）aC．（+1）aD．（+2）a
【答案】D
【解答】解：設(shè)AB＝x，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝x，
∵矩形ABFG是黃金矩形，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝（2+2）a，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝（2+2）a是原方程的根，
∴AB＝（2+2）a，
故選：D．
5．（2023?哈爾濱）如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，AB∥DC，M是AB的中點(diǎn)，MN∥AC，交BD于點(diǎn)N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，則MN的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解答】解：∵AB∥DC，
∴△CDO∽△ABO，
∴，
∵DO：OB＝1：2，
∴＝，
∴OC＝OA，
∵AC＝OA+OC＝12，
∴OA+OA＝12，
∴OA＝8，
∵M(jìn)N∥AC，M是AB的中點(diǎn)，
∴MN為△AOB的中位線，
∴MN＝OA＝＝4．
故選：B．
【題型2：相似三角形的實(shí)際應(yīng)用】
【典例2】（2022?廣西）古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯曾利用立桿測(cè)影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽(yáng)光測(cè)金字塔的高度．如圖，木桿EF長(zhǎng)2米，它的影長(zhǎng)FD是4米，同一時(shí)刻測(cè)得OA是268米，則金字塔的高度BO是 134 米．
【答案】134
【解答】解：據(jù)相同時(shí)刻的物高與影長(zhǎng)成比例，
設(shè)金字塔的高度BO為x米，則可列比例為，，
解得：x＝134，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝134是原方程的解，
∴BO＝134．
故答案為：134．
1．（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（ ）
A．6.4mB．8mC．9.6mD．12.5m
【答案】B
【解答】解：如圖：
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
即，
∴DE＝8（m），
故選：B．
2．（2023?達(dá)州）如圖，樂(lè)器上的一根弦AB＝80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂(lè)器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C，D之間的距離為 （80﹣160） cm．（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】（80﹣160）．
【解答】解：∵點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，AB＝80cm，
∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，
∵點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，AB＝80cm，
∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，
∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，
∴支撐點(diǎn)C，D之間的距離為（80﹣160）cm，
故答案為：（80﹣160）．
3．（2023?濰坊）在《數(shù)書九章》（宋?秦九韶）中記載了一個(gè)測(cè)量塔高的問(wèn)題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點(diǎn)F遠(yuǎn)眺塔頂B，視線恰好經(jīng)過(guò)竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為 18.2 米．
【答案】18.2．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD，垂足為G，延長(zhǎng)FG交AB于點(diǎn)H，
由題意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，
∴∠DGF＝∠BHF＝90°，
∵CD＝7米，
∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），
∵∠DFG＝∠BFH，
∴△FDG∽△FBH，
∴＝，
∴＝，
∴BH＝16.8，
∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），
∴塔的高度為18.2米，
故答案為：18.2．
【題型3：位似】
【典例3】（2023?朝陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，2），B（4，1），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（ ）
A．（1，1）B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4）D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
【答案】D
【解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），
∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），
故選：D．
1．（2023?浙江）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（6，4）D．（5，4）
【答案】C
【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′位似，△A′B′C′與△ABC的相似比為2：1，
∴△ABC與△A′B′C′位似比為1：2，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2），
∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（3×2，2×2），即（6，4），
故選：C．
2．（2023?長(zhǎng)春）如圖，△ABC和△A'B'C'是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，點(diǎn)A在線段OA′上．若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A'B'C'的周長(zhǎng)之比為 1：3 ．
【答案】1：3．
【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，
∴OA：OA′＝1：3，
∵△ABC和△A′B′C′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，
∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，
∴△ABC與△A′B′C′的周長(zhǎng)比為1：3，
故答案為：1：3．
3．（2023?煙臺(tái)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形PA1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點(diǎn)A100的坐標(biāo)為（ ）
A．（31，34）B．（31，﹣34）C．（32，35）D．（32，0）
【答案】A
【解答】解：由題意可知：點(diǎn)A1（﹣2，1），點(diǎn)A4（﹣1，2），點(diǎn)A7（0，3），
∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝0+1，2＝1+1，3＝2+1，
∴頂點(diǎn)A100的坐標(biāo)為（33﹣2，33+1），即（31，34），
故選：A．
一．選擇題（共10小題）
1．已知，則的值是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∴＝﹣1＝﹣1＝．
故選：D．
2．如圖，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（ ）
A．75°B．105°C．60°D．45°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，∠ABC＝45°，
∴∠ADE＝∠ABC＝45°．
在△ADE中，
∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°，∠A＝60°，
即∠AED+45°+60°＝180°，
∴∠AED＝75°．
故選：A．
3．如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段BC＝4cm，則線段AC的長(zhǎng)是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
【答案】C
【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作平行橫線的垂線，交點(diǎn)B所在的平行橫線于D，交點(diǎn)C所在的平行橫線于E，
則＝，即＝，
解得：AB＝2，
∴AC＝2+4＝6（cm）．
故選：C．
4．下列各組中的四條線段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm，6cmD．3cm，4cm，6cm，9cm
【答案】C
【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四條線段不成比例，不符合題意；
B、∵2×5≠3×4，∴四條線段不成比例，不符合題意；
C、∵2×6＝3×4，∴四條線段成比例，符合題意；
D、∵3×9≠4×6，∴四條線段成比例，不符合題意；
故選：C．
5．美是一種感覺，當(dāng)人體下半身長(zhǎng)與身高的比值越接近0.618時(shí)，越給人一種美感．如圖，某女士身高165cm，下半身長(zhǎng)x與身高l的比值是0.60，為盡可能達(dá)到美的效果，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【答案】C
【解答】解：根據(jù)已知條件得下半身長(zhǎng)是165×0.60＝99cm，
設(shè)需要穿的高跟鞋是ycm，則根據(jù)黃金分割的定義得：
＝0.618，
解得：y≈8cm．
故選：C．
6．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，則下列比例式中正確的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【答案】D
【解答】解：A、因?yàn)镈F∥AC，所以＝，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、由DF∥AC得＝，由DE∥BC得＝，則＝，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、由DF∥AC得＝，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、由DF∥AC得＝，由DE∥BC得＝，則＝，故D選項(xiàng)正確．
故選：D．
7．如圖，直線l1∥l2∥l3，分別交直線m、n于點(diǎn)A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，則EF的長(zhǎng)為（ ）
A．6B．9C．10D．25
【答案】B
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，DE＝15，
∴＝＝，即＝，
解得，EF＝9，
故選：B．
8．△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原點(diǎn)O為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來(lái)的，可以得到△A'B'O，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（ ）
A．（1，2）B．（1，2）或（﹣1，﹣2）
C．（2，1）或（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
【答案】B
【解答】解：以原點(diǎn)O為位似中心，把△ABO縮小為原來(lái)的，得到△A'B'O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），
則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]，即（1，2）或（﹣1，﹣2），
故選：B．
9．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE：EC＝3：1，連接AE交BD于點(diǎn)F，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為（ ）
A．3：4B．3：1C．9：1D．9：16
【答案】D
【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：DC＝3：4，
∴DE：AB＝3：4，
∴S△DFE：S△BFA＝9：16，
故答案為：D．
10．小明用地理中所學(xué)的等高線的知識(shí)在某地進(jìn)行野外考察，他根據(jù)當(dāng)?shù)氐匦萎嫵隽恕暗雀呔€示意圖”，如圖所示（注：若某地在等高線上，則其海拔就是其所在等高線的數(shù)值；若不在等高線上，則其海拔在相鄰兩條等高線的數(shù)值范圍內(nèi)），若A，B，C三點(diǎn)均在相應(yīng)的等高線上，且三點(diǎn)在同一直線上，則的值為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解答】解；∵點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)均在相應(yīng)的等高線上，且三點(diǎn)在同一直線上，
∴＝＝，
故選：B．
二．填空題（共5小題）
11．如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為2：3，那么它們的對(duì)應(yīng)高的比為 2：3 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為2：3，
∴這兩個(gè)相似三角形的相似比為2：3，
∴它們的對(duì)應(yīng)高的比為：2：3，
故答案為：2：3．
12．如圖，利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度．若標(biāo)桿BE的高為1.2m，測(cè)得AB＝1.6m，BC＝12.4m，則樓高CD為 10.5 m．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴CD＝10.5（米）．
故答案為10.5．
13．如圖，在某校的2022年新年晚會(huì)中，舞臺(tái)AB的長(zhǎng)為20米，主持人站在點(diǎn)C處自然得體，已知點(diǎn)C是線段AB上靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，則此時(shí)主持人與點(diǎn)A的距離為 （10﹣10） 米．
【答案】（10﹣10）．
【解答】解：∵點(diǎn)C是線段AB上靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，AB＝20米，
∴AC＝AB＝×20＝（10﹣10）（米），
故答案為：（10﹣10）．
14．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，書中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步．問(wèn)勾中容方幾何．”其大意是：如圖，Rt△ABC的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5和12，則它的內(nèi)接正方形CDEF的邊長(zhǎng)為 ．
【答案】．
【解答】解：設(shè)正方形CDEF邊長(zhǎng)為x，則CD＝DE＝x，
由Rt△ABC的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5和12可知AC＝5，AD＝5﹣x，BC＝12，
∵正方形CDEF，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ACB，
又∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
解得x＝．
故答案為：．
15．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D為格點(diǎn)，連接AB、CD相交于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為 ．
【答案】．
【解答】解：根據(jù)題意可知：AB＝3，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，
∴△AEC∽△BED，
∴＝，
∴＝，
解得AE＝．
故答案為：．
三．解答題（共5小題）
16．在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．
（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1；
（2）以點(diǎn)O為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2，使△A2B2C2與△A1B1C1的相似比為2：1；
（3）設(shè)點(diǎn)P（a，b）為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則依上述兩次變換后點(diǎn)P在△A2B2C2內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)是 （2a，﹣2b） ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；
（2）如圖，△A2B2C2為所作；
（3）點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)是（2a，﹣2b）．
故答案為（2a，﹣2b）．
17．如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠BAD＝∠C．
（1）求證：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見解析過(guò)程；
（2）9．
【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA；
（2）∵△ABD∽△CBA，
∴，
∵AB＝6，BD＝3，
∴，
∴BC＝12，
∴CD＝BC﹣BD＝12﹣3＝9．
18．如圖，矩形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，EM⊥AM交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：△ABM∽△EMA；
（2）若AB＝4，BM＝3，求ME的長(zhǎng)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠EAM＝∠AMB．
∵EM⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∵∠B＝∠AME，∠AMB＝∠EAM，
∴△ABM∽△EMA；
（2）解：∵AB＝4，BM＝3，
∴，
∵△ABM∽△EMA，
∴，即，
∴．
19．某數(shù)學(xué)興趣小組要完成一個(gè)項(xiàng)目學(xué)習(xí)，測(cè)量凌霄塔的高度AB．如圖，塔前有一棵高4米的小樹CD，發(fā)現(xiàn)水平地面上點(diǎn)E、樹頂C和塔頂A恰好在一條直線上，測(cè)得BD＝57米，D、E之間有一個(gè)花圃距離無(wú)法測(cè)量；然后，在E處放置一平面鏡，沿BE后退，退到G處恰好在平面鏡中看到樹頂C的像，EG＝2.4米，測(cè)量者眼睛到地面的距離FG為1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，F(xiàn)G⊥BG，點(diǎn)B、D、E、G在同一水平線上．請(qǐng)你求出凌霄塔的高度AB．（平面鏡的大小厚度忽略不計(jì)）
【答案】凌霄塔的高度AB為42米，見解析．
【解答】解：∵CD⊥BG，F(xiàn)G⊥BG，
∴∠CDE＝∠FGE＝90°，
∵∠CED＝∠FEG，
∴△CDE∽△FGE，
∴，
∵CD＝4，F(xiàn)G＝1.6，EG＝2.4，
∴，
解得：DE＝6，
∵BD＝57，
∴BE＝BD+DE＝57+6＝63，
∵AB⊥BG，CD⊥BG，
∴∠ABE＝∠CDE＝90°，
∵∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
即，
解得：AB＝42，
∴凌霄塔的高度AB為42米．
20．如圖，已知AD，BC相交于點(diǎn)E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)G，使CG＝CD，連接AG．
（1）求證：四邊形ABCG是平行四邊形；
（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的長(zhǎng)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：∵△AEB∽△DEC，
∴∠B＝∠BCD，
∴AB∥CD，
即AB∥CG，
∵CD＝2AB，CG＝CD，
∴AB＝CG，
∴四邊形ABCG是平行四邊形；
（2）解：∵四邊形ABCG是平行四邊形，AE＝2，CG＝3，
∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3，
∵∠GAD＝90°，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
BE＝，
即BE＝＝，
∵△AEB∽△DEC，
∴＝＝，
∴CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝3，
∴AG＝BC＝3．
一．選擇題（共10小題）
1．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AC上的點(diǎn)，∠ADE＝60°，AB＝4，CD＝1，AE＝（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【解答】方法一：∵AB＝4＝BC，CD＝1，
∴BD＝BC﹣CD＝3，
∵∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠CDE，
∴∠CDE＝∠BAD，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝，即＝，
∴CE＝，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣＝；
故選：D；
方法二：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，如圖，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BF＝CF＝BC＝2，AF＝AB＝2，
∵CD＝1，
∴DF＝1，
∴AD＝＝，
∵∠ADE＝∠ACD＝60°，∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴＝，即＝，
解得：AE＝，
故選：D．
2．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，∠ADE＝60°，若AD＝4，＝，則DE的長(zhǎng)度為（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．
∴∠ADB+∠BAD＝180°﹣∠B＝120°．
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE＝120°，
∴∠ADB+∠BAD＝∠ADB+∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC，
∴△BAD∽△CDE，
∴，
∴，
∴DE＝．
故選：D．
3．如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點(diǎn)G，若AE＝3ED，DF＝CF，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．
∵AE＝3DE，設(shè)DE＝a，則AE＝3a，AD＝AB＝CD＝BC＝4a，DF＝2a，
∵CM∥AB，
∴＝＝，
∴DM＝a，
∴FM＝DF+DM＝a，
∴＝＝＝．
故選：C．
4．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為線段BC上一點(diǎn)，以AD為一邊構(gòu)造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列說(shuō)法正確的是（ ）
①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．
A．僅有①②B．僅有①②③C．僅有②③④D．①②③④
【答案】D
【解答】解：①∵∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝135°﹣∠BDA，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠BDA＝135°﹣∠BDA，
∴∠BAD＝∠EDC，
故①正確；
②∵∠ADE＝∠ACB，∠CAD＝∠OAD，
∴△ADO∽△ACD．
故②正確；
③∵∠ABD＝∠AEO，∠BAD＝∠EAO，
∴△BAD∽△EAO，
∴．
故③正確；
④如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M，N，
在Rt△AED中，DE2＝AD2+AE2，AD＝AE，
∴DE2＝2AD2，
同理，在Rt△BMD中，BD2＝2MD2；在Rt△DCN中，CD2＝2DN2．
∵∠DMA＝∠MAN＝∠DNA＝90°，
∴四邊形AMDN是矩形，
∴DN＝AM，
在Rt△AMD中，AD2＝AM2+MD2，
∴2AD2＝2AM2+2MD2，
∴2AD2＝BD2+CD2．
故④正確．
故選：D．
5．凸透鏡成像的原理如圖所示，AD∥l∥BC．若物體到焦點(diǎn)的距離與焦點(diǎn)到凸透鏡中心線DB的距離之比為5：4，則物體被縮小到原來(lái)的（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵BC∥l，CG⊥l，BO⊥l，
∴四邊形OBCG為矩形，
∴OB＝CG，
∵AH⊥HO，BO⊥HO，
∴△AHF1∽△BOF1，
∴＝＝，
∴＝，
∴物體被縮小到原來(lái)的．
故選：A．
6．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H，給出下列結(jié)論：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解答】解：∵△BPC是等邊三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正確；
∵△BPC是等邊三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠PEF＝∠PFE＝60°，
∴△PEF是等邊三角形，
∴PE＝PF，
∴CP+PF＝CP+PE，
∴CF＝BE，
在Rt△ABE中，
∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝30°，
∴BE＝2AE，
∴CF＝2AE，故②正確；
∴∠PDE＝15°，
∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EBD＝∠EDP，
∵∠DEP＝∠DEB，
∴△BDE∽△DPE，
∴∠EPD＝∠BDE＝45°，
∵∠BPC＝∠EPF＝60°，
∴∠FPD＝105°，
∵∠BHP＝∠BCH+∠HBC＝105°，
∴∠DPF＝∠BHP，
又∵∠PDF＝∠DBP＝15°，
∴△BHP∽△DPF，故④正確；
∴，
∴＝，
∵∠DCF＝30°，
∴DC＝DF，
∴＝，
∴＝＝，故③錯(cuò)誤，
故選：B．
7．如圖，在邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，AE＝2，CE交BD于點(diǎn)F，則DF的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝5，∠BCD＝90°，AD∥BC，
∴△DBC是等腰直角三角形，
∴BD＝＝5，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴DE：BC＝DF：BF，
∵AE＝2，
∴DE＝AD﹣AE＝3，
∴3：5＝DF：（5﹣DF），
∴FD＝．
故選：C．
8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)O，則的值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解答】解：過(guò)C作CN∥AB交AE延長(zhǎng)線于N，過(guò)E作EM∥BD交AC于M，
∴∠BAE＝∠N，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠N＝∠CAE，
∴CN＝CA＝5，
∵AB∥CN，
∴△ABE∽△NCE，
∴BE：EC＝AB：CN＝4：5，
∵EM∥BD，
∴DM：MC＝BE：EC＝4：5，
∴DC：DM＝9：4，
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴AD＝CD，
∴AD：DM＝9：4，
∵OD∥EM，
∴＝＝．
故選：B．
9．如圖，有一塊直角邊AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的鐵片，現(xiàn)要把它加工成一個(gè)正方形（加工中的損耗忽略不計(jì)），則正方形的邊長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BP⊥AC，垂足為P，BP交DE于Q．
∵S△ABC＝?AB?BC＝?AC?BP，
∴BP＝＝＝．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝．
設(shè)DE＝x，則有：＝，
解得x＝，
故選：D．
10．如圖1，在△ABC中，∠B＝36°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A→B→C勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C停止．點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），AP的長(zhǎng)度為y（cm），y與t的函數(shù)圖象如圖2所示．當(dāng)AP恰好平分∠BAC時(shí)，BP的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：如圖1，作∠BAC的平分線AP交BC于點(diǎn)P，由題意中的函數(shù)圖象知AB＝BC＝4，
∵∠B＝36°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C＝72°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，
∴AP＝BP，∠APC＝∠B+∠BAP＝72°＝∠C，
∴AP＝AC＝BP，
∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△APC∽△BAC，
∴，
∴AP?AC＝AB?PC，
∴AP2＝AB?PC＝4（4﹣AP），
解得：或（舍），
∴，
故選：D．
二．填空題（共6小題）
11．如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，點(diǎn)D、E分別是AC、AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，折疊△ADE得到△A′DE，且點(diǎn)A′落在BC邊上，若△A′DC恰好與△ABC相似，AD的長(zhǎng)為 2.4或 ．
【答案】2.4或．
【解答】解：設(shè)AD＝x，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣x，
∵折疊△ADE得到△A′DE，
∴A′D＝AD＝x，
當(dāng)△A′DC∽△BAC時(shí)，
∴A′D：AB＝CD：AC，
∴x：4＝（6﹣x）：6，
∴x＝2.4；
當(dāng)△A′DC∽△ABC時(shí)，
∴A′D：AB＝DC：BC，
∴x：4＝（6﹣x）：5，
∴x＝，
∴AD長(zhǎng)是2.4或．
故答案為：2.4或．
12．如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)D在BC上，DE交AC于點(diǎn)F，若DF＝2，EF＝4，則CD的長(zhǎng)是 ．
【答案】．
【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AD＝AE＝DE＝DF+EF＝2+4＝6，∠ABD＝∠DCF＝60°，
∵∠BAD+∠ABD＝∠ADC＝∠ADF+∠CDF，∠ABD＝∠ADF＝60°，
∴∠BAD＝∠CDF，
∴△ABD∽△DCF，
∴＝＝，
∴＝3，
設(shè)CD＝x，則AB＝3x，BD＝2x，
∴＝＝＝，
∴CF＝x，則AF＝AC﹣CF＝AB﹣CF＝3x﹣x＝x，
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴∠ADF＝∠ACD，∠DAF＝∠CAD，
∴△ADF∽△ACD，
∴＝，
即＝，
AF＝，
∴AF＝＝x，
解得：x＝．
故答案為：．
13．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝1，CD＝4，則AD的長(zhǎng)為 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，BD＝1，CD＝4，
∴AD2＝CD?BD＝4，
∴AD＝2，
故答案為：2．
14．如圖，一張矩形紙片ABCD中，（m為常數(shù)），將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)H處，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，CD與HM交于點(diǎn)P．當(dāng)點(diǎn)H落在BC的中點(diǎn)時(shí)，且，則m＝ ．
【答案】．
【解答】解：∵＝，
設(shè)CP＝t，則CD＝AB＝4t，
∵點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，
∴CH＝BH＝；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠CHP+∠CPH＝90°，
∵∠MHE＝∠A＝90°，
∴∠CHP+∠BHE＝90°，
∴∠CPH＝∠BHE，
∴△CHP∽△BEH，
∴，
即，
∴BC2＝4BE?t①，
∵AE＝AB﹣BE，AE＝EH，CD＝AB＝4t，
∴AE＝EH＝4t﹣BE，
在Rt△BEH中，EH2＝BE2+BH2，
∴（4t﹣BE）2＝②，
聯(lián)立①②并解得：BE＝t，BC＝t，
∴m＝＝＝，
故答案為：．
15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，連接CD交AE于點(diǎn)F．若AC＝5，BC＝12，則EF的長(zhǎng)是 ．
【答案】．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G，過(guò)點(diǎn)D作DH∥BC，交AE于點(diǎn)H，
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵AE平分∠BAC，
∴EC＝EG，
∵△ABC的面積＝△ACE的面積+△ABE的面積，
∴AC?BC＝AC?CE+AB?EG，
∴AC?BC＝AC?CE+AB?EG，
∴5×12＝5CE+13EG，
∴CE＝CG＝，
∴BE＝BC﹣CE＝，
在Rt△ACE中，AE＝＝＝，
∵D是AB的中點(diǎn)，DH∥BC，
∴AH＝HE＝AE＝，
∴DH是△ABE的中位線，
∴DH＝BE＝，
∵DH∥CE，
∴∠DHF＝∠CEF，∠HDF＝∠ECF，
∴△DHF∽△CEF，
∴＝＝＝，
∴EF＝EH＝×＝，
故答案為：．
16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），B（2，0），C（0，1），在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)P，它與A、C兩點(diǎn)形成的三角形與△ABC相似，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是 （3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0） ．
【答案】（3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0）．
【解答】解：如圖，
∵A（1，0），B（2，0），C（0，1），
∴OA＝OC＝1，OB＝2，AB＝OB﹣OA＝1，
∴AC＝，
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，△PAC∽△CAB時(shí)，
∴＝，
∴＝，
∴PA＝2，
∴OP＝3，
∴P（3，0），
當(dāng)點(diǎn)P′在y軸上時(shí)，△P′CA∽△BAC，
∵AC＝CA，
∴AB＝CP′＝1，
∴OP′＝2，
∴P′（0，2）．
根據(jù)對(duì)稱性可知．P（0，3）也符合題意．
P與B重合，也符合題意，此時(shí)P（2，0）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0）．
三．解答題（共3小題）
17．如圖，點(diǎn)P在△ABC的外部，連結(jié)AP、BP，在△ABC的外部分別作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，連結(jié)PQ．
（1）求證：AC?AP＝AB?AQ；
（2）判斷∠PQA與∠ACB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）證明過(guò)程見解答；
（2）∠PQA＝∠ACB，理由見解答．
【解答】（1）證明：∵∠1＝∠BAC，
∴∠1+∠PAC＝∠BAC+∠PAC，
∴∠CAQ＝∠BAP，
∵∠2＝∠ABP，
∴△CAQ∽△BAP，
∴＝，
∴AC?AP＝AB?AQ．
（2）解：∠PQA＝∠ACB，
理由：∵AC?AP＝AB?AQ，
∴＝，
∵∠1＝∠BAC，
∴△APQ∽△ABC，
∴∠PQA＝∠ACB．
18．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，AD與BE相交于點(diǎn)O，且AB＝AD，AE2＝OE?BE．
（1）求證：①∠EAD＝∠ABE；②BE＝EC；
（2）若BD：CD＝4：3，CE＝8，求線段AE的長(zhǎng)．
【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）．
【解答】（1）①證明：∵AE2＝OE?BE，
∴，
∵∠AEO＝∠BEA，
∴△AEO∽△BEA，
∴∠EAD＝∠ABE；
②證明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB．
∵∠ABD＝∠ABE+∠CBE，∠ADB＝∠EAD+∠C，
由①知：∠EAD＝∠ABE，
∴∠CBE＝∠C，
∴BE＝EC；
（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，交BE于點(diǎn)G，連接GD，如圖，
∵AB＝AD，AF⊥BD，
∴BF＝FD，
即AF為BD的垂直平分線，
∴GB＝GD，
∴∠GBC＝∠GDB，
由（1）②知：∠CBE＝∠C，
∴∠GDB＝∠C，
∴GD∥EC，
∴△BGD∽△BEC，
∴．
∵BD：CD＝4：3，
∴，
∴，
∴GD＝．
∵BD：CD＝4：3，BF＝FD，
∴FD：DC＝2：3，
∴．
∵GD∥EC，
△FGD∽△FAC，
∴，
∴，
∴AC＝．
∴AE＝AC﹣EC＝﹣8＝．
19．某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：
【觀察與猜想】
（1）如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB、AD上的兩點(diǎn)，連接DE，CF，DE⊥CF，求證△AED≌△DFC．
【類比探究】
（2）如圖②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連接CE，BD，且CE⊥BD，求的值．
【拓展延伸】
（3）如圖③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在BC邊上，連結(jié)AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，CE的延長(zhǎng)線交AB邊于點(diǎn)F．若AC＝3，BC＝4，，求CD的值．
【答案】（1）見解析；
（2）；
（3）．
【解答】（1）證明：如圖1，設(shè)DF與CF的交點(diǎn)為G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，
∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS）；
（2）解：如圖2，設(shè)DB與CE交于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠CDG+∠ECD＝90°，
∠ADB+∠CDG＝90°，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵∠CDE＝∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴；
（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作GA∥BC，延長(zhǎng)CF交AG于點(diǎn)G，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
∵，
∴，
∵GA∥BC，
∴△AFG∽△BFC，∠GAC＝∠ACB＝90°，
∴＝，
∴，
∵CE⊥AD，∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
又∵∠CAE+∠ADC＝90°，
∴∠ACG＝∠ADC，
∴△ACG∽△CDA，
∴，
∴CD＝＝．
20．（2023?武漢）問(wèn)題提出 如圖（1），E是菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α （α≥90°），AF交CD于點(diǎn)G，探究∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．
問(wèn)題探究 （1）先將問(wèn)題特殊化，如圖（2），當(dāng)α＝90°時(shí)，直接寫出∠GCF的大??；
（2）再探究一般情形，如圖（1），求∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．
問(wèn)題拓展 將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)α＝120°時(shí)，若，求的值．
【答案】問(wèn)題探究（1）45°；
（2）∠GCF＝α﹣90°；
問(wèn)題拓展：．
【解答】解：?jiǎn)栴}探究（1）如圖（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，
∵BJ＝BE，
∴AJ＝EC，
∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠CEF＝∠EAJ，
∵EA＝EF，
∴△EAJ≌△FEC（SAS），
∴∠AJE＝∠ECF，
∵∠BJE＝45°，
∴∠AJE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠ECD＝135°﹣90°＝45°；
（2）結(jié)論：∠GCF＝α﹣90°；
理由：在AB上截取AN，使AN＝EC，連接NE．
∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，
∠ABC＝∠AEF，
∴∠EAN＝∠FEC．
∵AE＝EF，
∴△ANE≌△ECF（SAS）．
∴∠ANE＝∠ECF．
∵AB＝BC，
∴BN＝BE．
∵∠EBN＝α，
∴，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠BCD＝∠ANE﹣∠BCD＝；
問(wèn)題拓展：過(guò)點(diǎn)A作CD的垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為3m．
，
∴DG＝m，CG＝2m．
在Rt△ADP中，∠ADC＝∠ABC＝120°，
∴∠ADP＝60°，
∴ m，，
∴α＝120°，
由（2）知，，
∵∠AGP＝∠FGC，
∴△APG∽△FCG．
∴，
∴＝，
∴，
由（2）知，，
∴．
∴．
1．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AB的中點(diǎn)．若點(diǎn)E在邊AC上，且，則AE的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．2C．1或D．1或2
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴AD＝，
∵，
∴DE＝1，
如圖，當(dāng)∠ADE＝90°時(shí)，
∵∠ADE＝∠ABC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AE＝2，
如圖，當(dāng)∠ADE≠90°時(shí)，取AC的中點(diǎn)H，連接DH，
∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，
∴DH∥BC，DH＝BC＝1，
∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，
∴∠DEH＝60°，
∴∠ADE＝∠A＝30°，
∴AE＝DE＝1，
故選：D．
2．（2023?濟(jì)南）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點(diǎn)C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點(diǎn)D，再分別以B，D為圓心，以大于BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線CP交AB于點(diǎn)E，連接DE．以下結(jié)論不正確的是（ ）
A．∠BCE＝36°B．BC＝AE
C．D．
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，
由題意得：CP平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，
∴∠A＝∠ACE＝36°，
∴AE＝CE，
∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，
∴∠B＝∠CEB＝72°，
∴CB＝CE，
∴AE＝CE＝CB，
∵△BCE是頂角為36°的等腰三角形，
∴△BCE是黃金三角形，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝＝，
故A、B、D不符合題意，C符合題意；
故選：C．
3．（2023?阜新）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為2：3，則△ABC和△DEF的面積比是 4：9 ．
【答案】4：9．
【解答】解：∵△ABC與△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，位似比為2：3，
∴△ABC∽△DEF，相似比為2：3，
∴△ABC與△DEF的面積之比為22：32＝4：9．
故答案為：4：9．
4．（2023?樂(lè)山）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段AB上一點(diǎn)，連結(jié)AC、DE交于點(diǎn)F．若，則＝ ．
【答案】．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵，
∴設(shè)AE＝2a，則BE＝3a，
∴AB＝CD＝5a，
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝，
∴＝，
故答案為：．
5．（2023?北京）如圖，直線AD，BC交于點(diǎn)O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，
∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝，
故答案為：．
6.（2023?大慶）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是 △MCB ．
【答案】△MCB．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折疊的性質(zhì)可知，∠BMN＝∠A＝90°，
∴∠DMN+∠CMB＝90°，
∴∠DNM＝∠CMB，
∴△NDM∽△MCB，
故答案為：△MCB．
7．（2023?遼寧）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE，交AB于點(diǎn)F，則四邊形BCOF的面積與△AEF的面積的比值為 ．
【答案】．
【解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
又∵BE∥AC，
∴四邊形AEBC是平行四邊形，
∴AC＝BE，
∴BE＝2?OA，
∴△OAF∽△EBF，
∴＝＝，
∴S△EBF＝4S△OAF，
＝＝2，
∴S△AEF＝2S△AOF，
同理S△EBF＝2S△OBF，
S△OBC＝S△OAB，
設(shè)S△OAF＝x，
則S△EBF＝4x，S△AEF＝2x，S△OBF＝2x，
S△AOB＝S△BOC＝S△AOF+S△BOF＝x+2x＝3x，
S四邊形BCOF＝S△BOC+S△BOF＝3x+2x＝5x，
∴＝＝，
故答案為：．
8．（2022?東營(yíng)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)F、G在BC上，點(diǎn)E、H分別在AB、AC上，四邊形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的長(zhǎng)為 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：設(shè)AD交EH于點(diǎn)R，
∵矩形EFGH的邊FG在BC上，
∴EH∥BC，∠EFC＝90°，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠ARE＝∠ADB＝90°，
∴AR⊥EH，
∴＝，
∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，
∴RD＝EF＝EH，
∵BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，
∴＝，
解得EH＝，
∴EH的長(zhǎng)為，
故答案為：．
9．（2023?湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．
（1）證明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見解析；
（2）3.6．
【解答】（1）證明：∵AD是斜邊BC上的高，
∴∠BDA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠BAC，
又∵∠B為公共角，
∴△ABD∽△CBA；
（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，
∴，
∴，
∴BD＝3.6．
10．（2023?攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國(guó)佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的原理，來(lái)測(cè)量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點(diǎn)，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點(diǎn)，A、F、D在一直線上；從標(biāo)桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點(diǎn)，A、H、C三點(diǎn)也在一直線上，且B、E、D、G、C在同一直線上，請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．
【答案】該古建筑AB的高度為36m．
【解答】解：設(shè)BD＝x m，則BC＝BD+DG+CG＝x+46﹣2+4＝（x+48）m，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB∥EF，
∴△ABD∽△FED，
∴，即，
同理可證△ABC∽△HGC，
∴，即，
∴，
解得x＝48，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝48是原方程的解，
∴＝，
∴AB＝36m，
∴該古建筑AB的高度為36m．
11．（2023?上海）如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點(diǎn)F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．
（1）求證：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF?CE．
【答案】證明過(guò)程見解答．
【解答】證明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACF＝∠DAC
∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，
∴△ACF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE；
（2）∵△ACF≌△DAE，
∴∠AFC＝∠DEA，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴△ABF∽△CDE，
∴＝，
∴AF?DE＝BF?CE，
∵AF＝DE，
∴AF2＝BF?CE．
12．（2023?菏澤）（1）如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點(diǎn)G．求證：△ADE∽△DCF．
【問(wèn)題解決】
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)H，使CH＝DE，連接DH．求證：∠ADF＝∠H．
【類比遷移】
（3）如圖3，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析；
（3）3．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF+∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵點(diǎn)H在BC的延長(zhǎng)線上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H；
（3）解：如圖3，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使CG＝DE＝8，連接DG，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等邊三角形，
∴FG＝DF＝11，
∵CF+CG＝FG，
∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，
即CF的長(zhǎng)為3．

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