專題22 特殊平行四邊形的核心知識(shí)點(diǎn)精講（講義）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.掌握矩形、菱形、正方形的概念和性質(zhì)；
2.了解平行四邊形、矩形、菱形、正方形形之間的關(guān)系；
3.探索并掌握四邊形是矩形、菱形、正方形的條條件
考點(diǎn)1：矩形的性質(zhì)和判定
（1）性質(zhì)：矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，還具有自己獨(dú)特的性質(zhì)：
① 邊的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等．
② 角的性質(zhì)：四個(gè)角都是直角．
③ 對(duì)角線性質(zhì)：對(duì)角線互相平分且相等．
④ 對(duì)稱性：矩形是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形．
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
直角三角形中，角所對(duì)的邊等于斜邊的一半．
點(diǎn)評(píng)：這兩條直角三角形的性質(zhì)在教材上是應(yīng)用矩形的對(duì)角線推得，用三角形知識(shí)也可推得．
考點(diǎn)2：矩形的判定
判定①：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．
判定②：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．
判定③：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．
考點(diǎn)3：菱形的性質(zhì)
（1）菱形的四條邊都相等；
（2）菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。
考點(diǎn)4：菱形的判定定理
（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
（3）四條邊相等的四邊形是菱形。
考點(diǎn)5：菱形的面積
S=ah=mn/2（菱形底邊長(zhǎng)為a，高為h，兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為m和n）
考點(diǎn)6：正方形的性質(zhì)：
1、正方形具有平行四邊形和菱形的所有性質(zhì)。
2、正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等。
3、正方形對(duì)邊平行且相等。
4、正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線平分對(duì)角；
5、正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；6、正方形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形.
考點(diǎn)7：正方形的判定：
1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；
2）對(duì)角線相等的菱形是正方形；
3）一組鄰邊相等的矩形是正方形；
4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；
5）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；
6）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.
正方形的面積公式：面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=12對(duì)角線×對(duì)角線
【題型1：矩形的性質(zhì)和判定】
【典例1】（2023?大慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為線段CD的中點(diǎn)，連接AC，AE，延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)F，連接DF，∠ACF＝90°．
（1）求證：四邊形ACFD是矩形；
（2）若CD＝13，CF＝5，求四邊形ABCE的面積．
【答案】（1）證明過程見解答；
（2）45．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，
∵E為線段CD的中點(diǎn)，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE＝FE，
∴四邊形ACFD是平行四邊形，
∵∠ACF＝90°，
∴四邊形ACFD是矩形；
（2）解：∵四邊形ACFD是矩形，
∴∠CFD＝90°，AC＝DF，
∵CD＝13，CF＝5，
∴DF＝＝＝12，
∵△ADE≌△FCE，
∵△CEF的面積＝△ACF的面積＝5×12＝15，
平行四邊形ABCD的面積＝BC?AC＝5×12＝60，
∴四邊形ABCE的面積＝平行四邊形ABCD的面積﹣△CEF的面積＝60﹣15＝45．
1．（2023?呼和浩特）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC于點(diǎn)M，N．若AM＝1，BN＝2，則BD的長(zhǎng)為（）
A．B．3C．D．
【答案】A
【解答】解：由題意，連接BM，記BD與MN交于點(diǎn)O．
∵線段MN垂直平分BD，
∴BO＝DO，BM＝DM．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠MDO＝∠NBO．
又∠DOM＝∠BON，
∴△DMO≌△BNO（ASA）．
∴DM＝BN＝BM＝2．
在Rt△BAM中，
∴AB＝＝．
∴在Rt△BAD中可得，BD＝＝2．
故選：A．
2．（2023?杭州）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．若∠AOB＝60°，則＝（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABO是等邊三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴BC＝AB，
∴＝，
故選：D．
3．（2023?南通）如圖，四邊形ABCD是矩形，分別以點(diǎn)B，D為圓心，線段BC，DC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E，連接BE，DE，BD．若AB＝4，BC＝8，則∠ABE的正切值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵BE＝BC，DE＝CD，BD＝BD，
∴△CBD≌△EBD（SSS），
∴∠CBD＝∠EBD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8，∠A＝90°，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠EBD，
∴OB＝OD，
設(shè)AO＝x，則OD＝8﹣x，
∴OB＝8﹣x，
由勾股定理得：AB2+AO2＝OB2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴tan∠ABE＝＝．
故選：C．
4．（2023?新疆）如圖，AD和BC相交于點(diǎn)O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，點(diǎn)E、F分別是AO、DO的中點(diǎn)．
（1）求證：OE＝OF；
（2）當(dāng)∠A＝30°時(shí)，求證：四邊形BECF是矩形．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析．
【解答】證明：（1）∵∠ABO＝∠DCO＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
在△AOB與△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴AO＝DO，
∵點(diǎn)E、F分別是AO、DO的中點(diǎn)，
∴，
∴OE＝OF；
（2）∵OB＝OC，OE＝OF，
∴四邊形BECF是平行四邊形，
∵∠A＝30°，
∴，
∵OE＝OF，
∴，
∴∠EBF＝90°，
∴四邊形BECF是矩形．
5．（2022?泰州）如圖，線段DE與AF分別為△ABC的中位線與中線．
（1）求證：AF與DE互相平分；
（2）當(dāng)線段AF與BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ADFE為矩形？請(qǐng)說明理由．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴AD＝AB，
∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∴EF＝AD，
∴四邊形ADFE是平行四邊形，
∴AF與DE互相平分；
（2）解：當(dāng)AF＝BC時(shí)，四邊形ADFE為矩形，
理由：∵線段DE為△ABC的中位線，
∴DE＝BC，
∵AF＝BC，
∴AF＝DE，
由（1）得：四邊形ADFE是平行四邊形，
∴四邊形ADFE為矩形．
【題型2：菱形的性質(zhì)和判定】
【典例2】（2022?廣元）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點(diǎn)，連結(jié)CE．
（1）求證：四邊形AECD為菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．
【答案】（1）見解析過程；
（2）2．
【解答】（1）證明：∵E為AB中點(diǎn)，
∴AB＝2AE＝2BE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝AE，
又∵AE∥CD，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四邊形AECD是菱形；
（2）∵四邊形AECD是菱形，∠D＝120°，
∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，
∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等邊三角形，
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．
1．（2023?麗水）如圖，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，則AC的長(zhǎng)為（）
A．B．1C．D．
【答案】D
【解答】解：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴OA＝OC，∠BAO＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝AB＝，
∴OA＝＝＝，
∴AC＝2OA＝，
故選：D．
2．（2023?西藏）如圖，兩張寬為3的長(zhǎng)方形紙條疊放在一起，已知∠ABC＝60°，則陰影部分的面積是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵兩條紙條寬度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵S?ABCD＝BC?AE＝CD?AF．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四邊形ABCD是菱形，
，在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABC＝60°，AE＝3cm，
∴AB＝（cm），
∴BC＝2cm，
∴四邊形ABCD的面積＝AE?BC＝6cm2．
故選：D．
3．（2023?樂山）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)OE．若AC＝6，BD＝8，則OE＝（）
A．2B．C．3D．4
【答案】B
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OC＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，
∵AC＝6，BD＝8，
∴OC＝3，OB＝4，
∴CB＝＝5，
∵E為邊BC的中點(diǎn)，
∴OE＝BC＝．
故選：B．
4．（2023?溫州）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）的會(huì)徽，圖2由其主體圖案中相鄰兩個(gè)直角三角形組合而成．作菱形CDEF，使點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊OC，OB，BC上，過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H．當(dāng)AB＝BC，∠BOC＝30°，DE＝2時(shí)，EH的長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵四邊形CDEF是菱形，DE＝2，
∴CD＝DE＝CF＝EF＝2，CF∥DE，CD∥EF，
∵∠CBO＝90°，∠BOC＝30°，
∴OD＝2DE＝4，OE＝DE＝2，
∴CO＝CD+DO＝6，
∴BC＝AB＝CD＝3，OB＝BC＝3，
∵∠A＝90°，
∴＝＝3，
∵EF∥CD，
∴∠BEF＝∠BOC＝30°，
∴，
∵EH⊥AB，
∴EH∥OA，
∴△BHE∽△BAO，
∴，
∴，
∴EH＝，
故選：C．
5．（2023?湘西州）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BM∥DN，且分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)M，N，連接MD，BN．
（1）求證：∠DMN＝∠BNM；
（2）若∠BAC＝∠DAC．求證：四邊形BMDN是菱形．
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【解答】證明：（1）連接BD，交AC于點(diǎn)O，如圖：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB＝OD，
∵BM∥DN，
∴∠MBO＝∠NDO，
又∠BOM＝∠DON，
∴△BOM≌△DON（ASA），
∴BM＝DN，
∴四邊形BMDN為平行四邊形，
∴BN∥DM，
∴∠DMN＝∠BNM；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC∥AD，
∴∠BCA＝∠DAC，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴MN⊥BD，
∴平行四邊形BMDN是菱形．
6．（2022?聊城）如圖，△ABC中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：AD＝CF；
（2）連接AF，CD．如果點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，那么當(dāng)AC與BC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是菱形，證明你的結(jié)論．
【答案】（1）證明見解答過程；
（2）當(dāng)AC⊥BC時(shí)，四邊形ADCF是菱形，證明見解答過程．
【解答】（1）證明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，
∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，
∴AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF；
（2）解：當(dāng)AC⊥BC時(shí)，四邊形ADCF是菱形，證明如下：
由（1）知，AD＝CF，
∵AD∥CF，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴CD＝AB＝AD，
∴四邊形ADCF是菱形．
【題型2：正方形的性質(zhì)和判定】
【典例2】（2022?邵陽）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA．
求證：四邊形AECF是正方形．
【答案】證明過程見解答部分．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四邊形AECF是菱形；
∵OE＝OA＝OF，
∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，
∴平行四邊形AECF是矩形，即∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/1/16 6:23:27；用戶：gaga；郵箱：18376708956；學(xué)號(hào)：18907713
1．（2023?常德）如圖1，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為AO，DO上的一點(diǎn)，且EF∥AD，連接AF，DE．若∠FAC＝15°，則∠AED的度數(shù)為（）
A．80°B．90°C．105°D．115°
【答案】C
【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴OA＝OD，∠OBC＝∠OCB＝∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵EF∥BC，
∴∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，
∵OA＝OD，
∴AE＝DF，
在△AEF和△DFE中，
AE＝DF，∠AEF＝∠DFE＝135°，EF＝FE，
∴△AEF≌△DFE（SAS），
∴∠CAF＝∠FDE＝15°，
∴∠ADE＝∠ODA﹣∠FDE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠AED＝180°﹣∠OAD﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
故選：C．
2．（2021?玉林）一個(gè)四邊形順次添加下列條件中的三個(gè)條件便得到正方形：
a．兩組對(duì)邊分別相等
b．一組對(duì)邊平行且相等
c．一組鄰邊相等
d．一個(gè)角是直角
順次添加的條件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
則正確的是（）
A．僅①B．僅③C．①②D．②③
【答案】C
【解答】解：①由a得到兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，添加c即一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，再添加d即一個(gè)角是直角的菱形是正方形，故①正確；
②由b得到一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，添加d即有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，再添加c即一組鄰邊相等的矩形是正方形，故②正確；
③由a得到兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，添加b得到一組對(duì)邊平行且相等的平行四邊形仍是平行四邊形，再添加c即一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，不能得到四邊形是正方形，故③不正確；
故選：C．
3．（2023?丹東）如圖，在正方形ABCD中，AB＝12，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE與BF相交于點(diǎn)G，若BE＝CF＝5，則BG的長(zhǎng)為．
【答案】．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABG＝90°，
∴∠BAE+∠ABG＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴∠BGE＝∠C，
又∵∠EBG＝∠FBC，
∴△EBG∽△FBC，
∴，
∵BC＝AB＝12，CF＝BE＝5，
∴BF＝，
∴，
∴．
故答案為：．
一．選擇題（共9小題）
1．矩形的兩條對(duì)角線的夾角為60度，對(duì)角線長(zhǎng)為15，則矩形的較短邊長(zhǎng)為（）
A．12B．10C．7.5D．5
【答案】C
【解答】解：如圖所示：矩形ABCD，對(duì)角線AC＝BD＝15，∠AOD＝∠BOC＝60°
∵四邊形ABCD是矩形
∴OA＝OD＝OC＝OB＝×15＝7.5（矩形的對(duì)角線互相平分且相等）
又∵∠AOD＝∠BOC＝60°，
∴OA＝OD＝AD＝7.5，
∵∠COD＝120°＞∠AOD＝60°
∴AD＜DC
所以該矩形較短的一邊長(zhǎng)為7.5，
故選：C．
2．如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）
A．24B．18C．12D．9
【答案】A
【解答】解：∵E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴BC＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周長(zhǎng)＝4×6＝24．
故選：A．
3．用邊長(zhǎng)為1的正方形做了一套七巧板，拼成如圖所示的一座橋，則橋中陰影部分的面積為原正方形面積的（）
A．B．C．D．不能確定
【答案】A
【解答】解：讀圖可得，陰影部分的面積為原正方形的面積的一半，則陰影部分的面積為1×1÷2＝；是原正方形的面積的一半；故選：A．
4．下列說法中，不正確的是（）
A．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形
B．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形
C．對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形
D．對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
【答案】A
【解答】解：A、一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故原說法錯(cuò)誤，此選項(xiàng)符合題意；
B、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故原說法正確，此選項(xiàng)不合題意；
C、對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，故原說法正確，此選項(xiàng)不合題意；
D、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；故原說法正確，此選項(xiàng)不合題意；
故選：A．
5．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝3，BC＝4，過點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，
∴矩形ABCD的面積為12，AC＝，
∴AO＝DO＝AC＝，
∵對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，
∴△AOD的面積為3，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，
∴3＝××EO+×EF，
∴5（EO+EF）＝12，
∴EO+EF＝，
故選：C．
6．菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）
A．對(duì)邊相等B．對(duì)角相等
C．對(duì)角線互相平分D．對(duì)角線互相垂直
【答案】D
【解答】解：A、對(duì)邊相等，是菱形和矩形都具有的性質(zhì)，故選項(xiàng)A不符合題意；
B、對(duì)角相等，是矩形和菱形都具有的性質(zhì)，故選項(xiàng)B不符合題意；
C、對(duì)角線互相平分，是矩形和菱形都具有的性質(zhì)，故選項(xiàng)C不符合題意；
D、對(duì)角線互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)，故選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
7．如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，對(duì)角線AC＝6．若過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，則AE的長(zhǎng)為（）
A．4B．2.4C．4.8D．5
【答案】C
【解答】解：連接BD，交AC于O點(diǎn)，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∴AC⊥BD，AO＝AC，BD＝2BO，
∴∠AOB＝90°，
∵AC＝6，
∴AO＝3，
∴BO＝＝4，
∴DB＝8，
∴菱形ABCD的面積是×AC?DB＝×6×8＝24，
∴BC?AE＝24，
∵BC＝AB＝5，
∴AE＝，
故選：C．
8．如圖所示，在正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過O作OE⊥OF，分別交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，則EF的長(zhǎng)為（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，AC⊥BD，
又∵OE⊥OF，
∴∠EOB+∠BOF＝90°＝∠BOF+∠COF，
∴∠EOB＝∠COF，
∴△BEO≌△CFO（ASA），
∴BE＝CF＝3，
又∵AB＝BC，
∴AE＝BF＝4，
∴Rt△BEF中，EF＝＝＝5．
故選：C．
9．如圖，點(diǎn)E、F分別在矩形ABCD的邊AB、BC上，且∠EFD＝90°，若BF＝3，BE＝4，CD＝9，則FC的長(zhǎng)為（）
A．12B．13C．14D．15
【答案】A
【解答】解：∵∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠EFB+∠DFC＝90°＝∠DFC+∠FDC，
∴∠EFB＝∠FDC，
∴△BEF∽△CFD，
∴，
∴，
∴CF＝12，
故選：A．
二．填空題（共4小題）
10．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥BD，交BC于點(diǎn)E，若，CE＝1，則BE的長(zhǎng)為 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∴，
∴，∠EBO＝∠ACB，
∵OE⊥BD，
∴∠BOE＝∠CBA＝90°，
∴△BOE∽△CBA，
∴即，
解得BE＝2或BE＝﹣3（舍去），
故答案為：2．
11．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊DC，CB上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足DE＝CF，AE，DF交于點(diǎn)P，則∠APD的度數(shù)為 90° ；連接CP，線段CP的最小值為 ﹣1 ．
【答案】90°，﹣1．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝90°，
取AD的中點(diǎn)O，連接OP，則OP＝AD＝×2＝1（不變），
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得C、P、O三點(diǎn)共線時(shí)線段CP的值最小，
在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得，CO＝＝＝，
所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．
故答案為：90°，﹣1．
12．如圖，直線l過正方形ABCD的頂點(diǎn)B，點(diǎn)A、點(diǎn)C到直線l的距離分別為1和2，則正方形的邊長(zhǎng)是．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵∠CBF+∠FCB＝90°，
∠CBF+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠FCB，同理∠BAE＝∠FBC，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF（ASA）
∴BE＝CF，
在直角△ABE中，AE＝1，BE＝2，
∴AB＝．
故答案為：．
13．已知：如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE＝2，連接DE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng) 1或7 秒時(shí)，△ABP和△DCE全等．
【答案】1或7．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△ABP和△DCE全等．
∵AB＝CD，∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根據(jù)SAS證得△ABP≌△DCE，
由題意得：BP＝2t＝2，
∴t＝1，
∵AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根據(jù)SAS證得△BAP≌△DCE，
由題意得：AP＝16﹣2t＝2，
解得t＝7．
即當(dāng)t的值為1或7秒時(shí)．△ABP和△DCE全等．
故答案為：1或7．
三．解答題（共3小題）
14．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形AECD是菱形；
（2）若AB＝6，AC＝8，求EF的長(zhǎng)．
【答案】（1）見解答；
（2）．
【解答】（1）證明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵∠BAC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，
∴AE＝CE＝BC，
∴四邊形AECD是菱形；
（2）解：過A作AH⊥BC于點(diǎn)H，如圖所示
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵△ABC的面積＝BC×AH＝AB×AC，
∴AH＝＝，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，四邊形AECD是菱形，
∴CD＝CE，
∵S?AECD＝CE?AH＝CD?EF，
∴EF＝AH＝．
15．如圖所示，O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：OE⊥DC．
（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面積．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴DE∥OC，CE∥OD，
∴四邊形ODEC是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OD＝OC＝OA＝OB，
∴四邊形ODEC是菱形，
∴OE⊥DC，
（2）∵DE＝2，且四邊形ODEC是菱形
∴OD＝OC＝DE＝2＝OA，
∴AC＝4
∵∠AOD＝120，AO＝DO
∴∠DAO＝30°，且∠ADC＝90°
∴CD＝2，AD＝CD＝2
∴S矩形ABCD＝2×2＝4
16．將兩張長(zhǎng)為8，寬為4的矩形紙片如圖疊放．
（1）判斷四邊形AGCH的形狀，并說明理由；
（2）求四邊形AGCH的面積．
【答案】（1）四邊形AGCH是菱形，理由見解析過程；
（2）20．
【解答】解：（1）四邊形AGCH是菱形，理由如下：
∵四邊形ABCD和四邊形AFCE是矩形，
∴∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE，
∴四邊形AGCH是平行四邊形，
∵S平行四邊形AGCH＝GC?AB＝AG?CF，AB＝CF，
∴GC＝AG，
∴平行四邊形AGCH是菱形；
（2）由①可知，GC＝AG，
設(shè)GC＝AG＝x，則BG＝8﹣x，
在Rt△ABG中，AB＝4，
由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴GC＝5，
∴S菱形AGCH＝GC?AB＝5×4＝20．
一．選擇題（共7小題）
1．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB，BC的中點(diǎn)，CE，DF交于點(diǎn)G，連接AG，下列結(jié)論：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正確的結(jié)論是（）
A．①②B．①③C．①②④D．①②③
【答案】D
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴BE＝AB，CF＝BC，
∴BE＝CF，
在△CBE與△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正確；
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故②正確；
∴∠EGD＝90°，
延長(zhǎng)CE交DA的延長(zhǎng)線于H，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴AE＝BE，
∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，
∴△AEH≌△BEC（AAS），
∴BC＝AH＝AD，
∵AG是斜邊的中線，
∴AG＝DH＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠AGE＝∠CDF．故③正確；
∵CF＝BC＝CD，
∴∠CDF≠30°，
∴∠ADG≠60°，
∵AD＝AG，
∴△ADG不是等邊三角形，
∴∠EAG≠30°，故④錯(cuò)誤；
故選：D．
2．已知：如圖，正方形ABCD中，AB＝4，AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)不與線段BC，CD的端點(diǎn)重合）且BE＝CF，連接OE，OF，EF．在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)的過程中，有下列四個(gè)結(jié)論：①△OEF始終是等腰直角三角形；
②△OEF面積的最小值是2；③至少存在一個(gè)△ECF，使得△ECF的周長(zhǎng)是4+2；④四邊形OECF的面積始終是4．所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，AC，BD相交于點(diǎn)O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故①正確；
②∵當(dāng)OE⊥BC時(shí)，OE最小，此時(shí)OE＝OF＝BC＝2，
∴△OEF面積的最小值是×2×2＝2，
故②正確；
③∵BE＝CF，
∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝4，
假設(shè)存在一個(gè)△ECF，使得△ECF的周長(zhǎng)是4+2，
則EF＝2，
由①得△OEF是等腰直角三角形，
∴OE＝＝．
∵OB＝2，OE的最小值是2，
∴存在一個(gè)△ECF，使得△ECF的周長(zhǎng)是4+2．
故③正確；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S四邊形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×4×4＝4，
故④正確；
故選：D．
3．如圖，正方形ABCD和長(zhǎng)方形AEFG的面積相等，且四邊形BEFH也是正方形，歐幾里得在《幾何原本》中利用該圖得到了：BH2＝CH×GH．設(shè)AB＝a，CH＝b．若ab＝5，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)是（）
A．6B．8C．10D．20
【答案】C
【解答】解：∵四邊形ABCD，四邊形BEFH為正方形，AB＝a，CH＝b，
∴BC＝AB＝CD＝a，BE＝BH＝EF＝BC﹣CH＝a﹣b，AE＝AB+BE＝a+a﹣b＝2a﹣b，
∴S正方形ABCD＝AB2＝a2，
S長(zhǎng)方形AEFG＝AE?EF＝（2a﹣b）（a﹣b）＝2a2﹣3ab+b2，
∵正方形ABCD和長(zhǎng)方形AEFG的面積相等，
∴a2＝2a2﹣3ab+b2，
整理得：a2+b2＝3ab，
∴（a+b）2＝5ab，
∵ab＝5，
∴（a+b）2＝5×5，
∴a+b＝5，
∴陰影部分的周長(zhǎng)為：2（CD+CH）＝2（a+b）＝10．
故選：C．
4．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，連接AF，DE，點(diǎn)G，H分別為DE，AF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)為（）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解答】解：連接AG并延長(zhǎng)交CD于M，連接FM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，
∵G為DE的中點(diǎn)，
∴GE＝GD，
在△AGE和MGD中，
，
∴△AGE≌△MGD（AAS），
∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，
∴CM＝CD＝2，
∵點(diǎn)H為AF的中點(diǎn)，
∴GH＝FM，
∵F為BC的中點(diǎn)，
∴CF＝BC＝2，
∴FM＝＝2，
∴GH＝，
故選：C．
5．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，已知BC＝1，CE＝7，點(diǎn)H是AF的中點(diǎn)，則CH的長(zhǎng)是（）
A．5B．3.5C．4D．
【答案】A
【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC＝1，CE＝7，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝7，∠E＝90°，
延長(zhǎng)AD交EF于M，連接AC、CF，
則AM＝BC+CE＝1+7＝8，F(xiàn)M＝EF﹣AB＝7﹣1＝6，∠AMF＝90°，
∵四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形，
∴∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵H為AF的中點(diǎn)，
∴CH＝AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝10，
∴CH＝5，
故選：A．
6．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是（）
A．2B．4C．D．2
【答案】C
【解答】解：如圖：
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P在P1處，CP1＝DP1，
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P在P2處，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
當(dāng)點(diǎn)F在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時(shí)，有DP＝FP．
由中位線定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2，
∴當(dāng)BP⊥P1P2時(shí)，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為AB的中點(diǎn)，
∴△CBE、△ADE、△BCP1為等腰直角三角形，CP1＝1．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值為BP1的長(zhǎng)．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．
∴BP1＝．
∴PB的最小值是．
故選：C．
7．如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，連接OE，下列結(jié)論：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S?ABCD＝AC?CD；④S四邊形OECD＝S△AOD，其中成立的個(gè)數(shù)為（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，
∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB
∴△ABE為等邊三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC，
∴EC＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝30°，故①正確；
∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，故②錯(cuò)誤；
∴S?ABCD＝AB?AC＝AC?CD，故③正確；
∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，
∴E是BC的中點(diǎn)，
∴S△BEO：S△BCD＝1：4，
∴S四邊形OECD：S△BCD＝3：4，
∴S四邊形OECD：S?ABCD＝3：8，
∵S△AOD：S?ABCD＝1：4，
∴S四邊形OECD＝S△AOD，故④正確．
故選：C．
二．填空題（共5小題）
8．如圖，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE＝1cm，連接DE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△PBC和△DCE全等時(shí)，t的值為 2或7 ．
【答案】2或7．
【解答】解：∵△DCE是直角三角形，
∴△PBC為直角三角形，
∴點(diǎn)P只能在AB上或者CD上，
當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，有BP＝CE，
∴BP＝CE＝1，
∴AP＝2，
∴t＝2÷1＝2，
當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，有CP＝CE＝1，
∴t＝（3+3+1）÷1＝7，
故答案為：2或7．
9．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE、EF，G、H分別為AE、EF的中點(diǎn)，連接GH．若GH的最小值為3，則BC的長(zhǎng)為．
【答案】．
【解答】解：連接AF，
∵G，H分別為AE，EF的中點(diǎn)，
∴GH∥AF，且，
要使GH最小，只要AF最小，
當(dāng)AF⊥BC時(shí)，AF最小，
∵GH的最小值為3，
∴AF＝6，
∵∠B＝45°，
∴∠BAF＝45°，
∴BF＝AF＝6，
∴，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴．
故答案為：．
10．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在OD上，DF＝OF，連接EF交OA于點(diǎn)G，若OG＝1，連接CE，S△BEC＝12，則線段CE的長(zhǎng)為 3 ．
【答案】3．
【解答】解：作EM⊥OA于M，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥OA，OD＝OB，OA＝OC，
∴EM∥OB，
∴AM：MO＝AE：EB，
∵AE＝BE，
∴AM＝OM，
∴EM是△ABO的中位線，
∴EM＝，
∵DF＝OF，
∴OF＝OD，
∴EM＝OF，
∵∠MEG＝∠OFG，∠MGE＝∠OGF，
∴△EMG≌△FOG（AAS），
∴MG＝OG＝1，
∴OM＝2OG＝2，
∴OA＝2OM＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∵AE＝BE，
∴△BAC的面積＝2×△BEC的面積＝2×12＝24，
∴AC?OB＝24，
∴OB＝6，
∴EM＝OB＝3，
∵CM＝OM+OC＝2+4＝6，
∴CE＝＝3．
故答案為：3．
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（10，0），（0，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)．若以O(shè)，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為5的菱形時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．
【答案】（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．
【解答】解：∵A（10，0），C（0，4），
∴OC＝AB＝4，BC＝OA＝10，
∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，
∴OD＝5，
①如圖1所示，以O(shè)P為對(duì)角線，點(diǎn)P在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，PD＝OD＝5，
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，則PE＝OC＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：，
∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4），
此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣3，4）；
②如圖2所示，以O(shè)Q為對(duì)角線，點(diǎn)P在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，OP＝OD＝5．
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，則PE＝4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4），
此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8，4）；
③如圖3所示，以O(shè)P為對(duì)角線，點(diǎn)P在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，PD＝OD＝5，
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，則PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：，
∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，4），
此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，4）；
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）；
故答案為：（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．
12．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D在AB邊上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、F，連接EF，則線段EF的最小值等于 4.8 ．
【答案】4.8．
【解答】解：如圖，連接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四邊形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂線段最短可得CD⊥AB時(shí)，線段EF的值最小，
∵S△ABC＝BC?AC＝AB?CD，
∴×8×6＝×10×CD，
解得CD＝4.8，
∴EF＝4.8．
故答案為：4.8．
三．解答題（共5小題）
13．【問題情境】：如圖1，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，將直角三角形ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度（0≤α≤180°）點(diǎn)B、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B′、E′．
【問題解決】：
（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)B′落在了AC上，求此時(shí)CB′的長(zhǎng)；
（2）若α＝90°，如圖3，得到△ADE′（此時(shí)B′與D重合），延長(zhǎng)BE交DE′于點(diǎn)F，
①試判斷四邊形AEFE′的形狀，并說明理由；
②連接CE，求CE的長(zhǎng)；
（3）在直角三角形ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出線段CE′長(zhǎng)度的取值范圍．
【答案】（1）2﹣2；
（2）①正方形，理由見解析；②2；
（3）2≤CE'≤2+2．
【解答】解：（1）∵AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵四邊形ABD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠ABC＝90°，
∴AC＝AB＝2，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB'＝AB＝2，
∴CB′＝AC﹣AB'＝2﹣2；
（2）①四邊形AEFE′是正方形，理由如下：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AE'＝AE，∠EAE'＝α＝90°，∠AE'D＝∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
∴四邊形AEFE′是矩形，
又∵AE'＝AE，
∴四邊形AEFE′是正方形；
②過點(diǎn)C作CG⊥BE于點(diǎn)G，如圖3所示：
則∠BGC＝90°＝∠AEB，
∴∠CBG+∠BCG＝∠CBG+∠ABE＝90°，
∴∠BCG＝∠ABE，
在△BCG和△ABE中，
，
∴△BCG≌△ABE（AAS），
∴CG＝BE＝4，BG＝AE＝2，
∴EG＝BE﹣BG＝4﹣2＝2，
∴CE＝＝＝2；
（3）∵直角三角形ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度（0≤α≤180°）點(diǎn)B、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B′、E′，
∴當(dāng)α＝0°時(shí)，E'與E重合，CE'最短＝2；
當(dāng)E'落在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，AE'＝AE＝2，CE'最長(zhǎng)＝AC+AE'＝2+2，
∴線段CE′長(zhǎng)度的取值范圍是2≤CE'≤2+2．
14．已知：如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)A坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)C橫坐標(biāo)為n，且m2+n2﹣2m﹣8n+17＝0．
（1）分別求出點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖（2），點(diǎn)D為邊AB中點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的直角∠EDF兩邊分別交邊BC于E，交邊AC于F，①求證：DE＝DF；②求證：S四邊形DECF＝S△ABC；
（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)有點(diǎn)G（點(diǎn)G不與點(diǎn)A重合），使得△BCG是以BC為直角邊的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）∵m2+n2﹣2m﹣8n+17＝0．
∴（m﹣1）2+（n﹣4）2＝0，
∴m＝1，n＝4，
∴點(diǎn)A（1，0），CM＝4，
如圖（1），過點(diǎn)C作CM⊥OB，CN⊥OA，
∵CM⊥OB，CN⊥OA，∠AOB＝90°，
∴四邊形OMCN是矩形，
∴∠MCN＝90°＝∠ACB，CM＝ON＝4，CN＝OM，
∴AN＝3，
∴∠BCM＝∠ACN，且AC＝BC，∠BMC＝∠ANC，
∴△BCM≌△ACN（AAS）
∴CM＝CN＝4＝OM，AN＝BM＝3，
∴點(diǎn)B（0，7），點(diǎn)C（4，4）；
（2）①如圖（2），連接CD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB中點(diǎn)，
∴BD＝CD＝AD，∠ABC＝∠BAC＝∠BCD＝∠ACD＝45°，AB⊥CD
∵∠EDF＝90°＝∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDF，且BD＝CD，∠ABC＝∠DCA，
∴△BDE≌△CDF（AAS）
∴DE＝DF，
②∵△BDE≌△CDF，
∴S△BDE＝S△CDF，
∴S△BDE+S△EDC＝S△CDF+S△EDC，
∴S△BDC＝S四邊形EDFC，
∵AD＝BD，
∴S△BDC＝S△ABC，
∴S四邊形DECF＝S△ABC；
（3）如圖（3），
若∠GBC＝90°，BG＝BC時(shí)，且點(diǎn)G在BC下方，過點(diǎn)G作GF⊥OB，過點(diǎn)C作CE⊥OB，
∵∠GBF+∠EBC＝90°，∠GBF+∠BGF＝90°，
∴∠EBC＝∠BGF，且∠BEC＝∠BFG＝90°，BG＝BC，
∴△BGF≌△CBE（AAS）
∴BF＝CE＝4，GF＝BE，
∴OF＝3，
∴點(diǎn)G（﹣3，3），
若∠GBC＝90°，BG＝BC時(shí)，且點(diǎn)G在BC上方，
同理可求點(diǎn)G（3，11），
若∠GCB＝90°，CG＝BC時(shí)，點(diǎn)G在BC上方，
同理可求點(diǎn)G（7，8）
15．綜合與實(shí)踐：
【思考嘗試】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，DF⊥CE于點(diǎn)F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，試猜想四邊形ABCD的形狀，并說明理由；
【實(shí)踐探究】（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，DF⊥CE于點(diǎn)F，AH⊥CE于點(diǎn)H，GD⊥DF交AH于點(diǎn)G，可以用等式表示線段FH，AH，CF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問題；
【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，AH⊥CE于點(diǎn)H，點(diǎn)M在CH上，且AH＝HM，連接AM，BH，可以用等式表示線段CM，BH的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）四邊形ABCD是正方形，
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∵GD⊥DF，
∴∠FDG＝90°，
∴∠ADG＝∠CDF，
又∵AG＝CF，∠G＝∠DFC＝90°，
∴△ADG≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD，
∴四邊形ABCD是正方形；
（2）HF＝AH+CF，
理由：∵DF⊥CE于點(diǎn)F，AH⊥CE于點(diǎn)H，GD⊥DF交AH于點(diǎn)G，
∴四邊形HFDG是矩形，
∴∠G＝∠DFC＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDF，
∴△ADG≌△CDF（AAS），
∴AG＝CF，DG＝DF，
∴矩形HFDG是正方形，
∴HG＝HF＝AH+AG＝AH+CF；
（3）連接AC，如圖，
∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，
∵AH⊥CE，AH＝HM，
∴△AHM是等腰直角三角形，
∴∠HAM＝45°，
∴∠HAB＝∠MAC，
∵，
∴△AHB∽△AMC，
∴，
即BH＝CM．
16．回答問題
（1）【初步探索】如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF＝BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是 ∠BAE+∠FAD＝∠EAF ；
（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF＝BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
（3）【拓展延伸】已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，如圖3，仍然滿足EF＝BE+FD，請(qǐng)直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）結(jié)論：∠BAE+∠FAD＝∠EAF．
理由：如圖1，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE+DF，
∴EF＝DF+DG＝FG，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．
故答案為：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；
（2）仍成立，理由：
如圖2，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，
∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；
（3）結(jié)論：∠EAF＝180°﹣∠DAB．
理由：如圖3，在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得DG＝BE，連接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE＝∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，
即2∠FAE+∠DAB＝360°，
∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．
17．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點(diǎn)，連接DE，CF，DE⊥CF，則的值為 1 ；
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝3，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，連接CE，BD，且CE⊥BD，則的值為；
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)C作DE的垂線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：；
（4）如圖4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝9，將△ABD沿BD翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處得△CBD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，連接DE，CF，DE⊥CF．請(qǐng)問．是定值嗎？若是，直接寫出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）1；
（2）；
（3）見解析；
（4）是定值．
【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠A＝∠FDC＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠DFC＝90°，∠DFC+∠DCF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
在△ADE與△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（ASA），
∴DE＝CF，
∴，
故答案為：1；
（2）解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A＝∠EDC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠ADB+∠CED＝90°，∠CED+∠DCE＝90°，
∴∠ADB＝∠DCE，
∴△ADB∽△DCE，
∴，
故答案為：；
（3）證明：如圖，過點(diǎn)作CH⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于H，
∵∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四邊形ABCH為矩形，
∴CH＝AB，
∵CG⊥EG，
∴∠G＝90°＝∠A＝∠H，
∵∠ADE＝∠GDF，
∵∠GFD＝∠HFC，
∴∠ADE＝∠HCF，
∴△ADE∽△HCF，
∴；
（4）解：是定值，理由如下：
連接AC交BD于H，CF與DE交于G，CF與DB交于P，
∵將△ABD沿BD翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處得△CBD，
∴AC⊥BD，
∴∠BAH+∠CAF＝90°，∠BAH+∠EBD＝90°，∠CHP＝90°，
∴∠CAF＝∠DBE，
∵CF⊥DE，
∴∠PGD＝90°＝∠CHP，
∵∠HPC＝∠GPD，
∴∠ACF＝∠BDE，
∴△ACF∽△BDE，
∴，
∵AB＝3，AD＝9，
由勾股定理得BD＝＝3，
∴，
∴AH＝，
∴AC＝2AH＝，
∴
1．（2023?湘潭）如圖，菱形ABCD中，連接AC，BD，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）
A．20°B．60°C．70°D．80°
【答案】C
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠DCA＝∠1＝20°，
∴∠2＝90°﹣∠DCA＝70°，
故選：C．
2．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，順次連接菱形ABCD各邊中點(diǎn)E、F、G、H，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（）
A．4+2B．6+2C．4+4D．6+4
【答案】C
【解答】解：連接AC、BD交于O，
∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC＝AB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
BO＝OD＝2，
∴BD＝4，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊的中點(diǎn)，
∴EF＝GH＝AC＝2，F(xiàn)G＝EH＝BD＝2，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)為：2+2+2+2＝4+4．
故選：C．
3．（2023?西藏）如圖，矩形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，AD＝3，AB＝4，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，EG⊥AC于點(diǎn)G，則EH+EG的值是（）
A．2.4B．2.5C．3D．4
【答案】A
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OD＝BD，OC＝AC，AC＝BD，
∴OD＝OC，
∵AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，
∴BD＝＝5，
過C作CF⊥BD于F，
∴S△DCB＝CF?BD＝BC?CD，
∴CF＝＝，
連接OE，
∵S△COD＝S△DOE+S△COE，
∴，
∴EH+EG＝CF＝＝2.4，
故選：A．
4．（2023?青島）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AF，DE相交于點(diǎn)M，G為BC上一點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)．若BG＝3，CG＝1，則線段MN的長(zhǎng)度為（）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解答】解：連接DG，EF，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，
∴四邊形AEFD是矩形，
∴M是ED的中點(diǎn)，
在正方形ABCD中，BG＝3，CG＝1，
∴BC＝DC＝4，
在Rt△DGC中，由勾股定理得，
DG＝＝＝，
在三角形EDG中，M是ED的中點(diǎn)，N是EG的中點(diǎn)，
∴MN是三角形EDG的中位線，
∴MN＝DG＝．
故選：B．
5．（2023?臺(tái)灣）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一點(diǎn)P從B點(diǎn)沿著BD往D點(diǎn)移動(dòng)，若過P點(diǎn)作AB的垂線交AB于E點(diǎn)，過P點(diǎn)作AD的垂線交AD于F點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)度最小為多少（）
A．B．C．5D．7
【答案】B
【解答】解：如圖，連接AP、EF，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°．
∴四邊形AEPF為矩形．
∴AP＝EF．
∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值．
∵點(diǎn)P從B點(diǎn)沿著BD往D點(diǎn)移動(dòng)，
∴當(dāng)AP⊥BD時(shí)，AP取最小值．
下面求此時(shí)AP的值，
在Rt△BAD中，
∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8，
∴BD＝＝＝＝10．
∵S△ABD＝＝，
∴AP＝＝＝．
∴EF的長(zhǎng)度最小為：．
故本題選B．
6．（2023?綿陽）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn)，且BG＝3GC，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE，且交AG于點(diǎn)F，則tan∠EDF的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，AB＝4，
∴BC＝CD＝DA＝AB＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AGB，
∵BG＝3CG，
∴BG＝3，
∴在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，
∴AG＝，
∵DE⊥AG，
∴∠DEA＝∠DEF＝∠ABC＝90°，
∴△ADE∽△GAB，
∴AD：GA＝AE：GB＝DE：AB，
∴4：5＝AE：3＝DE：4，
∴AE＝，DE＝，
又∵BF∥DE，
∴∠AFB＝∠DEF＝90°，
又∵AB＝AD，∠DAE＝∠ABF（同角的余角相等），
∴△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE＝，
∴EF＝AF﹣AE＝，
∴tan∠EDF＝，
故選：A．
7．（2023?宜賓）如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，M為對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，連接AM并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)P，若PM＝PC，則AM的長(zhǎng)為（）
A．3（﹣1）B．3（3﹣2）C．6（﹣1）D．6（3﹣2）
【答案】C
【解答】解：以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖：
∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為6，
∴A（0，6），D（6，6），C（6，0），
由B（0，0），D（6，6）可得直線BD解析式為y＝x，
設(shè)M（m，m），
由A（0，6），M（m，m）得直線AM解析式為y＝x+6，
在y＝x+6中，令x＝6得y＝，
∴P（6，），
∵PM＝PC，
∴（m﹣6）2+（m﹣）2＝（）2，
∴m2﹣12m+36+m2﹣2（12m﹣36）+（）2＝（）2，
整理得m2﹣18m+54＝0，
解得m＝9+3（不符合題意，舍去）或m＝9﹣3，
∴M（9﹣3，9﹣3），
∴AM＝＝6（﹣1），
故選：C．
方法2：
∵PM＝PC，
∴∠PMC＝∠PCM，
∴∠DPA＝∠PMC+∠PCM＝2∠PCM＝2∠PAD，
∵∠DPA+∠PAD＝90°，
∴∠APD＝60°，∠PAD＝30°，
∴PD＝＝2，∠CPM＝120°，
∴CP＝CD﹣PD＝6﹣2，
在△PCM中，∠CPM＝120°，PM＝PC，
∴CM＝CP＝6﹣6，
由正方形對(duì)稱性知AM＝CM＝6（﹣1），
方法3：
∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，
∴AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD，
由題意：設(shè)AM＝m，PM＝n，則PC＝n，DP＝6﹣n，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
化簡(jiǎn)得：mn＝6m﹣6n，
由勾股定理可知：AD2+DP2＝AP2，
∴62+（6﹣n）2＝（m+n）2，
化簡(jiǎn)得：m2+2mn+12n＝72，
將mn＝6m﹣6n代入，得：m2+12m﹣12n+12n﹣72＝0，
解得：m1＝6﹣6，m2＝﹣6﹣6（舍去），
∴AM＝6﹣6，
故選：C．
8．（2023?黑龍江）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，試添加一個(gè)條件 AB＝AD（答案不唯一），使得矩形ABCD為正方形．
【答案】AB＝AD（答案不唯一）．
【解答】解：AB＝AD．
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四邊形ABCD是正方形．
或∵四邊形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是正方形，
故答案為：AB＝AD（答案不唯一）．
9．（2023?寧夏）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，連接EB，EC．則圖中陰影部分的面積是 2 ．
【答案】2．
【解答】解：過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝2，AD∥BC，
∴EF＝AB＝2，
∴，
∵，
∴S陰影＝S正方形ABCD﹣S△BCE＝4﹣2＝2，
故答案為：2．
10．（2023?廣西）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別是EF，AF的中點(diǎn)，則MN的最大值為．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：如圖所示，連接AE，
∵M(jìn)，N分別是EF，AF的中點(diǎn)，
∴MN是△AEF的中位線，
∴，
∵四邊形ABCD是正方形，∠B＝90°，
∴，
∴當(dāng)BE最大時(shí)，AE最大，此時(shí)MN最大，
∵點(diǎn)E是BC上的動(dòng)點(diǎn)，
∴當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)，BE最大，即BC的長(zhǎng)度，
∴此時(shí) ，
∴，
∴MN的最大值為．
故答案為：．
11．（2023?揚(yáng)州）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿著EF翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)B′處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3：5，那么線段FC的長(zhǎng)為．
【答案】．
【解答】解：如圖，連接BB'，過點(diǎn)F作FH⊥AD，
∵已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3：5，
∴S四邊形ABFE＝，
設(shè)CF＝x，則DH＝x，BF＝1﹣x，
∴S四邊形ABFE＝，
即，
解得AE＝x﹣，
∴DE＝1﹣AE＝，
∴EH＝ED﹣HD＝，
由折疊的性質(zhì)可得BB'⊥EF，
∴∠1+∠2＝∠BGF＝90°，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
又FH＝BC＝1，∠EHF＝∠C，
∴△EHF≌△B'CB（ASA），
∴EH＝B'C＝，
在Rt△B'FC中，B'F2＝B'C2+CF2，
∴（1﹣x）2＝x2+（）2，
解得x＝．
故答案為：．
12．（2023?岳陽）如圖，點(diǎn)M在?ABCD的邊AD上，BM＝CM，請(qǐng)從以下三個(gè)選項(xiàng)中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為已知條件，使?ABCD為矩形．
（1）你添加的條件是 ①（或②）（填序號(hào)）；
（2）添加條件后，請(qǐng)證明?ABCD為矩形．
【答案】（1）①（或②）；
（2）見解析．
【解答】（1）解：①當(dāng)∠1＝∠2時(shí)，?ABCD為矩形；
②當(dāng)AM＝DM時(shí)，?ABCD為矩形，
故答案為：①（或②）；
（2）選擇①∠1＝∠2，
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠A+∠D＝180°，
在△ABM和DCM中，
，
∴△ABM≌DCM（SAS），
∴∠A＝∠D，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴?ABCD為矩形．
13．（2023?張家界）如圖，已知點(diǎn)A，D，C，B在同一條直線上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．
（1）求證：AE∥BF；
（2）若DF＝FC時(shí)，求證：四邊形DECF是菱形．
【答案】（1）（2）證明見解析．
【解答】證明：（1）∵AD＝BC，
∴AD+CD＝BC+CD，
∴AC＝BD，
∵AE＝BF，CE＝DF，
∴△AEC≌△BFD（SSS），
∴∠A＝∠B，
∴AE∥BF；
（2）∵△AEC≌△BFD（SSS），
∴∠ECA＝∠FDB，
∴EC∥DF，
∵EC＝DF，
∴四邊形DECF是平行四邊形，
∵DF＝FC，
∴四邊形DECF是菱形．
14．（2023?十堰）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，分別以點(diǎn)B，C為圓心，AC，BD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接BP，CP．
（1）試判斷四邊形BPCO的形狀，并說明理由；
（2）請(qǐng)說明當(dāng)?ABCD的對(duì)角線滿足什么條件時(shí)，四邊形BPCO是正方形？
【答案】（1）四邊形BPCO為平行四邊形．理由見解析；
（2）當(dāng)AC⊥BD，AC＝BD時(shí)，四邊形BPCO為正方形．
【解答】解：（1）四邊形BPCO為平行四邊形．
理由：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，
∵以點(diǎn)B，C為圓心，AC，BD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，
∴OB＝CP，BP＝OC，
∴四邊形BPCO為平行四邊形；
（2）當(dāng)AC⊥BD，AC＝BD時(shí)，四邊形BPCO為正方形．
∵AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，
∴OB＝OC，
∵四邊形BPCO為平行四邊形，
∴四邊形BPCO為正方形．
15．（2023?云南）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC、AD上，AE＝AF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面積等于，求平行線AB與DC間的距離．
【答案】（1）證明見解析過程；
（2）．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，
∵AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，
∴，，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BCF＝∠AEB，
∴AE∥FC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AE＝AF，
∴四邊形AECF是菱形；
（2）解：連接AC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝60°，
∵△ABE的面積等于，
∴，
∴AB＝4，
即AB＝AE＝EB＝4，
由（1）知四邊形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠AEB是△AEC的一個(gè)外角，
∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，
即AC⊥AB，
由勾股定理得，
即平行線AB與DC間的距離是．

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