1.通過復(fù)習(xí)進(jìn)一步理解銳角三角形函數(shù)的概念，能熟練應(yīng)用sinA，csA，tanA表示直角三角形中兩邊的比，熟記特殊角30°，45°，60°的三角函數(shù)值；
2.理解直角三角形中邊角之間的關(guān)系，會運用勾股定理，銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識來解某些簡單的實際問題，從而進(jìn)一步把數(shù)和形結(jié)合起來，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識；
3.會用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識來解決某些簡單的實際問題。
考點1：銳角三角函數(shù)的概念
如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對的邊BC記為a，叫做∠A的對邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對的邊AC記為b，叫做∠B的對邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊．

銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；
銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作csA，即；
銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即.
同理；；．
考點2：特殊角的三角函數(shù)值
利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：
考點3：解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.
設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：
①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).
②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.
③邊角之間的關(guān)系：
，，，
，，.
④，h為斜邊上的高.
注意：
(1)直角三角形中有一個元素為定值(直角為90°)，是已知值.
(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).
(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.
考點4：解直角三角形的應(yīng)用
（1）坡度坡角
在用直角三角形知識解決實際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：
(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.
坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.
（2）仰角俯角問題
仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

（3）方位角問題
方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

(2)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.
【題型1：銳角三角函數(shù)的概念】
【典例1】（2022?荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過點O作OP∥AB交AC的延長線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（ ）
A．B．C．D．3
【變式1-1】（2021?云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，則AB的長是（ ）
A．B．C．60D．80
【變式1-2】（2023?陜西）如圖，在6×7的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．若點A，B，C都在格點上，則sinB的值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2022?宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點F，則cs∠ADF的值為（ ）
A．B．C．D．
【題型2：特殊角的三角函數(shù)】
【典例2】（2022?天津）tan45°的值等于（ ）
A．2B．1C．D．
【變式2-1】（2022?廣東）sin30°＝ ．
【變式2-2】（2022?荊門）計算：+cs60°﹣（﹣2022）0＝ ．
【變式2-3】（2022?達(dá)州）計算：（﹣1）2022+|﹣2|﹣（）0﹣2tan45°．
【題型3：解直角三角形】
【典例3】（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝ ．
【變式3-1】（2023?牡丹江）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數(shù)恰為2cm，若按相同的方式將22.5°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)為 cm．
【變式3-2】（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則sin∠ABC＝ ．
【變式3-3】（2022?樂山）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，點D是AC上一點，連結(jié)BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，則CD的長為（ ）
A．2B．3C．D．2
【題型4：解直角三角形的應(yīng)用】
【典例4】（2022?紹興）圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)桿垂直的長尺（稱為“圭”），當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖2是一個根據(jù)某市地理位置設(shè)計的圭表平面示意圖，表AC垂直圭BC，已知該市冬至正午太陽高度角（即∠ABC）為37°，夏至正午太陽高度角（即∠ADC）為84°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為4米．
（1）求∠BAD的度數(shù)．
（2）求表AC的長（最后結(jié)果精確到0.1米）．
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
【變式4-1】（2023?鹽城）如圖1，位于市區(qū)的“鐵軍”雕塑“大銅馬”是鹽城市標(biāo)志性文化名片，如圖2，線段AB表示“鐵軍”雕塑的高，點B，C，D在同一條直線上，且∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，CD＝17.5m，則線段AB的長約為 m．（計算結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）
【變式4-2】（2023?貴州）貴州旅游資源豐富．某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗，擬在如圖①景區(qū)內(nèi)修建觀光索道．設(shè)計示意圖如圖②所示，以山腳A為起點，沿途修建AB、CD兩段長度相等的觀光索道，最終到達(dá)山頂D處，中途設(shè)計了一段與AF平行的觀光平臺BC為50m．索道AB與AF的夾角為15°，CD與水平線夾角為45°，A、B兩處的水平距離AE為576m，DF⊥AF，垂足為點F．（圖中所有點都在同一平面內(nèi)，點A、E、F在同一水平線上）
（1）求索道AB的長（結(jié)果精確到1m）；
（2）求水平距離AF的長（結(jié)果精確到1m）．
（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.25，cs15°≈0.96，tan15°≈0.26，）
【變式4-3】（2023?成都）為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動室墻外安裝遮陽篷，便于社區(qū)居民休憩．
如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽篷AB長為5米，與水平面的夾角為16°，且靠墻端離地高BC為4米，當(dāng)太陽光線AD與地面CE的夾角為45°時，求陰影CD的長．（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin16°≈0.28，cs16°≈0.96，tan16°≈0.29）
一．選擇題（共10小題）
1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
2．2sin45°的值為（ ）
A．B．1C．D．
3．如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OA交于點B，再以B為圓心，BO長為半徑畫弧，兩弧交于點C，畫射線OC，則sin∠AOC的值為（ ）
A．B．C．D．
4．為測樓房BC的高，在距樓房30米的A處，測得樓頂B的仰角為α，則樓房BC的高為（ ）
A．30tanα米B．米C．30sinα米D．米
5．如圖，AD是△ABC的高，若BD＝2CD＝6，sin，則邊AB的長為（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若AB＝10，CD＝8，則∠OCE的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于點D，E，連接CD，若，BC＝8，則△ABC的面積為（ ）
A．5B．8C．10?D．16
8．某路燈示意圖如圖所示，它是軸對稱圖形．若∠ACB＝130°，AC＝BC＝1.2m，CD與地面垂直且CD＝3m，則燈頂A到地面的高度為（ ）
A．3+1.2cs25°B．3+1.2sin25°
C．D．
9．某地區(qū)準(zhǔn)備修建一座高AB＝6m的過街天橋，已知天橋的坡面AC與地面BC的夾角∠ACB的余弦值為，則坡面AC的長度為（ ）
A．8B．9C．10D．12
10．如圖，某建筑物的頂部有一塊標(biāo)識牌CD，小明在斜坡上B處測得標(biāo)識牌頂部C的仰角為45°，沿斜坡走下來在地面A處測得標(biāo)識牌底部D的仰角為60°，已知斜坡AB的坡角為30°，AB＝AE＝10米．則標(biāo)識牌CD的高度是（ ）米．
A．15﹣5B．20﹣10C．10﹣5D．5﹣5
二．填空題（共5小題）
11．cs30°＝ ．
12．如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，則sinA＝ ．
13．在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形網(wǎng)格的邊長為1，△ABC的三個頂點均在格點上．則tan∠A的值為 ．
14．圖1是某種路燈的實物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，MN為立柱的一部分，燈臂AC，支架BC與立柱MN分別交于A，B兩點，燈臂AC與支架BC交于點C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，則支架BC的長為 cm．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
15．某倉儲中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，頂部A處的高AC為4米，B、C在同一水平面上．則斜坡AB的水平寬度BC為 米．
三．解答題（共5小題）
16．計算：3tan30°+tan45°﹣2sin60°．
17．為保證車輛行駛安全，現(xiàn)在公路旁設(shè)立一檢測點A觀測行駛的汽車是否超速．如圖，檢測點A到公路的距離是24米，在公路上取兩點B、C，使得∠ACB＝30°，∠ABC＝120°．
（1）求BC的長（結(jié)果保留根號）；
（2）已知該路段限速為45千米/小時，若測得某汽車從B到C用時2秒，這輛汽車是否超速？說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.7，≈1.4）
18．小琪要測量某建筑物的高度．如圖，小琪在點A處測得該建筑物的最高點C的仰角為31°，再往該建筑物方向前進(jìn)30m至點B處測得最高點C的仰角為45°．根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，計算該建筑物的高度CD（結(jié)果取整數(shù)）．
參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60．
19．如圖，一氣球到達(dá)離地面高度為12米的A處時，儀器顯示正前方一高樓頂部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°．氣球要豎直上升到與樓頂同一水平高度，應(yīng)至少再上升多少米？（結(jié)果精確到0.1米）
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
20．貴州省遵義市鳳凰樓，位于鳳凰山主峰，該樓為一幢七層六角型仿古景觀建筑，游客登上樓頂后，可以將遵義城區(qū)風(fēng)景一覽無余，是當(dāng)?shù)刈R別性很高的地標(biāo)建筑．在一次綜合實踐活動中，某小組對鳳凰樓的樓高進(jìn)行了如下測量．如圖，將測角儀放在樓前平壩C處測得該樓頂端B的仰角為60°，沿平壩向后退50m（CD＝50m）到D處有一棵樹，將測角儀放在距地面2m（DE＝2m）的樹枝上的E處，測得B的仰角為30°．請你幫助該小組計算鳳凰樓的高度AB．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：
一．選擇題（共10小題）
1．如圖，一把梯子AB斜靠在墻上，端點A離地面的高度AC長為1m時，∠ABC＝45°．當(dāng)梯子底端點B水平向左移動到點B'，端點A沿墻豎直向上移動到點A'，設(shè)∠A'B'C＝α，則AA'的長可以表示為（ ）m．
A．B．C．D．
2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，經(jīng)過點B且半徑為5的⊙O與AB交于D，與CB的延長線交于E，則線段DE的長為（ ）
A．6.4B．7C．7.2D．8
3．如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時，頂部已經(jīng)蕩然無存，但底部未受損．已知該金字塔的下底面是一個邊長為140m的正方形，且每一個側(cè)面與地面成60°角，則金字塔原來高度為（ ）
A．140mB．C．D．
4．在綜合實踐課上，某班同學(xué)測量校園內(nèi)一棵樹的高度．如圖，測量儀在A處測得樹頂D的仰角為45°，在C處測得樹頂D的仰角為37°（點A、B、C在同一條水平主線上），已知測量儀的高度AE＝CF＝1.65米，AC＝28米，則樹BD的高度是（ ）【參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75】
A．12米B．12.65米C．13米D．13.65米
5．如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點O，則cs∠AOD＝（ ）
A．B．C．D．
6．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方田》章給出計算弧田面積所用公式為：弧田面積＝（弦×矢+矢2），弧田（如圖）是由圓弧和其所對的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長AB，“矢”等于半徑長與圓心O到弦的距離之差．在如圖所示的弧田中，“弦”為8，“矢”為3，則cs∠OAB＝（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，D是AC上一點，∠CBD＝∠A，則sin∠CDB的值為（ ）
A．B．C．D．3
8．小明喜歡構(gòu)建幾何圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決代數(shù)問題．在計算tan22.5°時，如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝22.5°，所以，＝，類比小明的方法，計算tan15°的值為（ ）
A．B．C．D．
9．如圖，大壩的橫截面是梯形ABCD，AD∥BC，壩頂寬AD＝4m，壩高AE＝6m，斜坡AB的坡度，斜坡DC的坡角∠C＝45°，那么壩底BC的長度是（ ）m．
A．6B．（6+4）C．10D．（6+10）
10．如圖，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，連接DE，若＝，則sinA的值為（ ）
A．B．C．D．
二．填空題（共5小題）
11．如圖，矩形ABCD是供一輛機(jī)動車停放的車位示意圖，已知BC＝2m，CD＝5.4m，∠DCF＝30°，則車位所占的寬度EF為 米．（，結(jié)果精確到0.1）
12．如圖是一個水壩的橫截面示意圖（AD∥BC），迎水坡AB的坡比i＝1：3，坡面長AB＝30米，背水坡CD的坡角∠BCD＝45°，則背水坡坡面CD長是 米．（注：坡比是斜坡的鉛直高度與水平寬度的比）
13．如圖，小林同學(xué)為了測量某世界名樓的高度，他站在G處仰望樓頂C，仰角為45°，走到點F處仰望樓頂C，仰角為60°，眼睛D、B離同一水平地面EG的高度為1.6米，F(xiàn)G＝20米，則樓頂C離地面的高度CE約是 米（取1.732，取1.414，按四舍五入法將結(jié)果精確到0.1）．
14．如圖，在由10個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則sin（α+β）＝ ．
15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，點D、點E、點F分別是AC，AB，BC邊的中點，連接DE、EF，得到△AED，它的面積記作S；點D1、點E1、點F1分別是EF，EB，F(xiàn)B邊的中點，連接D1E1、E1F1，得到△EE1D1，它的面積記作S1，照此規(guī)律作下去，則S2023＝ ．
三．解答題（共3小題）
16．如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一座網(wǎng)絡(luò)信號塔BC，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°，然后他們沿著坡度為1：2.4的斜坡AP攀行了26米到達(dá)坡頂，在坡頂A處又測得該塔的塔頂B的仰角為76°．
求：（1）坡頂A到地面PO的距離；
（2）網(wǎng)絡(luò)信號塔BC的高度（結(jié)果精確到0.1米）．
（參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.01）
17．一架無人機(jī)沿水平方向飛行進(jìn)行測繪工作，在點P處測得正前方水平地面上某建筑物AB的頂端A的俯角為24°．無人機(jī)保持飛行方向不變，繼續(xù)飛行48米到達(dá)點Q處，此時測得該建筑物底端B的俯角為66°．已知建筑物AB的高度為36米，求無人機(jī)飛行時距離地面的高度．
（參考數(shù)據(jù)：sin24°≈，cs24°≈，tan24°，sin66，cs66，tan66°）
18．如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個觀測站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點P處，從A處測得漁船在北偏西60°的方向，從B處測得漁船在其東北方向，且測得B，P兩點之間的距離為20海里．
（1）求觀測站A，B之間的距離（結(jié)果保留根號）；
（2）漁船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點C處等待補給，此時，從B測得漁船在北偏西15°的方向．在漁船到達(dá)C處的同時，一艘補給船從點B出發(fā)，以每小時20海里的速度前往C處，請問補給船能否在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處？（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）
1．（2022?濱州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則sinA的值為 ．
2．（2022?揚州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，若b2＝ac，則sinA的值為 ． ．
3．（2022?齊齊哈爾）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，則BC＝ ．
4．（2022?河池）如圖，把邊長為1：2的矩形ABCD沿長邊BC，AD的中點E，F(xiàn)對折，得到四邊形ABEF，點G，H分別在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG與BH交于點O，N為AF的中點，連接ON，作OM⊥ON交AB于點M，連接MN，則tan∠AMN＝ ．
5．（2023?棗莊）如圖所示，桔槔是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細(xì)長的杠桿，末端懸掛一重物，前端懸掛水桶．當(dāng)人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提升至所需處，若已知：杠桿AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以繞著點O自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時∠AOM＝45°，此時點B到水平地面EF的距離為 米．（結(jié)果保留根號）
6.（2022?金華）計算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．
7．（2022?長春）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．點D是AC的中點，過點D作DE⊥AC交BC于點E．延長ED至點F，使得DF＝DE，連結(jié)AE、AF、CF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若＝，則tan∠BCF的值為 ．
8．（2022?東營）勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”．已知主塔AB垂直于橋面BC于點B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）．
9．（2023?青海）為了方便觀測動物的活動情況，某濕地公園要鋪設(shè)一段道路．計劃從圖中A，C兩處分別向B處鋪設(shè)，現(xiàn)測得AB＝1000m，∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，求B，C兩點間的距離．（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25）
10．（2022?湘西州）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于點E，O為AC上一點，經(jīng)過點A、E的⊙O分別交AB、AC于點D、F，連接OD交AE于點M．
（1）求證：BC是⊙O的切線．
（2）若CF＝2，sinC＝，求AE的長．
銳角
30°
45°
1
60°

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