1.了解多邊形及其頂點、邊、內角、外角、對角線
2.掌握多邊形的內角和與外角和
3.掌握平行四邊形的概念、性質和判定
考點1：多邊形
考點2：平行四邊形性質
平行四邊形的定義：
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形用“?”表示.
平行四邊形的性質
邊：兩組對邊分別平行且相等.即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.
（2）角：對角相等，鄰角互補.即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.
（3）對角線：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD
（4）對稱性：中心對稱但不是軸對稱.
3.平行四邊形中的幾個解題模型
（1）如圖①，AF平分∠BAD，則可利用平行線的性質結合等角對等邊得到△ABF為等腰三角形，即AB=BF.
（2）平行四邊形的一條對角線把其分為兩個全等的三角形，如圖②中△ABD≌△CDB；
兩條對角線把平行四邊形分為兩組全等的三角形，如圖②中△AOD≌△COB,
△AOB≌△COD；
根據(jù)平行四邊形的中心對稱性，可得經過對稱中心O的線段與對角線所組成的居于中心對稱位置的三角形全等，如圖②△AOE≌△COF.圖②中陰影部分的面積為平行四邊形面積的一半.
如圖③，已知點E為AD上一點，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得
S△BEC=S△ABE+S△CDE.
（4） 根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD
考點3：平行四邊形的判定
（1）方法一（定義法）：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
即若AB∥CD，AD∥BC，則四邊形ABCD是□.
（2）方法二：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
即若AB＝CD，AD＝BC，則四邊形ABCD是□.
（3）方法三：有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,則四邊形ABCD是□.
（4）方法四：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
即若OA＝OC，OB＝OD，則四邊形ABCD是□.
（5）方法五：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，則四邊形ABCD是□.
考點4：三角形的中位線
三角形中位線：在△ABC 中，D，E 分別是 AC，AC 的中點，連接 DE.像 DE 這樣，
連接三角形_兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.B
中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一。

【題型1：多邊形的內角和與外角和】
【典例1】（2023?襄陽）五邊形的外角和等于（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
1．（2023?北京）正十二邊形的外角和為（ ）
A．30°B．150°C．360°D．1800°
2．（2023?蘭州）如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中，如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個外角∠1＝（ ）
A．45°B．60°C．110°D．135°
3．（2023?綿陽）蜜蜂的蜂巢美觀有序，從入口處看，蜂巢由許多正六邊形構成，則正六邊形的對稱軸有（ ）
A．4條B．5條C．6條D．9條
【題型2：平行四邊形的性質】
【典例2】（2023?綿陽）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在AC上，且AE＝CF．
（1）求證：BE∥DF；
（2）過點O作OM⊥BD，垂足為O，交DF于點M，若△BFM的周長為12，求四邊形BEDF的周長．
1．（2023?成都）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，則下列結論一定正確的是（ ）
A．AC＝BDB．OA＝OCC．AC⊥BDD．∠ADC＝∠BCD
2．（2023?通遼）如圖，用平移方法說明平行四邊形的面積公式S＝ah時，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，則△ABE的平移距離為（ ）
A．3B．4C．5D．12
3．（2023?涼山州）如圖，?ABCO的頂點O、A、C的坐標分別是（0，0）、（3，0）、（1，2）．則頂點B的坐標是 ．
4．（2023?鹽城）在△ABC中，D，E分別為邊AB，AC的中點，BC＝10cm，則DE的長為 cm．
5．（2023?淄博）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC和AD上的點，連接AE，CF，且AE∥CF．
求證：（1）∠1＝∠2；
（2）△ABE≌△CDF．
6．（2023?杭州）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在對角線BD上，且BE＝EF＝FD，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
（2）若△ABE的面積等于2，求△CFO的面積．
7．（2023?涼山州）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠CAB＝∠ACB，過點B作BE⊥AB交AC于點E．
（1）求證：AC⊥BD；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的長．
【題型3：平行四邊形的判定】
【典例3】（2023?無錫）如圖，△ABC中，點D、E分別為AB、AC的中點，延長DE到點F，使得EF＝DE，連接CF．求證：
（1）△CEF≌△AED；
（2）四邊形DBCF是平行四邊形．
1．（2023?益陽）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，下列結論一定成立的是（ ）
A．OA＝OBB．OA⊥OBC．OA＝OCD．∠OBA＝∠OBC
2．（2023?衡陽）如圖，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A．AD＝BCB．AB∥DCC．AB＝DCD．∠A＝∠C
3．（2023?揚州）如圖，點E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點，連接AF、CE相交于點M，連接AG、CH相交于點N．
（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；
（2）若?AMCN的面積為4，求?ABCD的面積．
【題型4：三角形的中位線】
【典例4】（2023?陜西）如圖，DE是△ABC的中位線，點F在DB上，DF＝2BF．連接EF并延長，與CB的延長線相交于點M．若BC＝6，則線段CM的長為（ ）
A．B．7C．D．8
1．（2023?陜西）如圖，DE是△ABC的中位線，點F在DB上，DF＝2BF．連接EF并延長，與CB的延長線相交于點M．若BC＝6，則線段CM的長為（ ）
A．B．7C．D．8
2.（2022?眉山）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，點D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點，則△DEF的周長為（ ）
A．9B．12C．14D．16
3．（2023?廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點M是邊AC上一動點，點D，E分別是AB，MB的中點，當AM＝2.4時，DE的長是 .若點N在邊BC上，且CN＝AM，點F，G分別是MN，AN的中點，當AM＞2.4時，四邊形DEFG面積S的取值范圍是 ．
一．選擇題（共10小題）
1．五邊形的外角和等于（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
2．如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添加的條件是（ ）
A．AB＝BCB．AC⊥BDC．∠A＝∠CD．AC＝BD
3．如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AE＝BE＝2，EO＝3，則?ABCD的周長為（ ）
A．5B．10C．15D．20
4．如圖，在?ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC邊于點E，則線段BE、EC的長度分別為（ ）
A．1和4B．4和1C．2和3D．3和2
5．如圖，平行四邊形ABCD的周長為16cm，AC，BD相交于點O，EO⊥BD交AD于點E，則△ABE的周長為（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
6．如圖，?ABCD的頂點A（0，4），B（﹣3，0），以點B為圓心，AB長為半徑畫弧，交BC于點E，分別以點A，E為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在∠ABE的內部相交于點F，畫射線BF交AD于點G，則點G的坐標是（ ）
A．（5，4）B．（3，4）C．（4，5）D．（4，3）
7．如圖，在?ABCD中，E為邊BC延長線上一點，連結AE、DE．若△ADE的面積為2，則?ABCD的面積為（ ）
A．5B．4C．3D．2
8．如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且∠OCD＝90°．若E是BC邊的中點，BD＝10，AC＝6，則OE的長為（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
9．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且AB∥CD，添加下列條件后仍不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A．AB＝CDB．AD∥BCC．OA＝OCD．AD＝BC
10．如圖，E是四邊形ABCD的邊BC延長線上的一點，且AB∥CD，則下列條件中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A．∠D＝∠5B．∠3＝∠4C．∠1＝∠2D．∠B＝∠D
二．填空題（共7小題）
11．將正六邊形與正方形按如圖所示擺放，且正六邊形的邊AB與正方形的邊CD在同一條直線上，則∠BOC的度數(shù)是 ．
12．如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝310°，DP，CP分別平分∠EDC，∠BCD，則∠CPD的度數(shù)是 ．
13．如圖，在△ABC中，∠A＝∠B，D是AB上任意一點，DE∥BC，DF∥AC，AC＝4cm，則四邊形DECF的周長是 ．
14．如圖，在?ABCD中，以A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于F．分別以點F，B為圓心，大于BF長為半徑作弧，兩弧交于點G，作射線AG交BC于點E，若BF＝6，AB＝5，則AE的長為 ．
15．四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，矩形ABCD按箭頭方向變形成平行四邊形A'B'C'D'，當變形后圖形面積是原圖形面積的一半時，則∠A'＝ ．
16．如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是 ．
17．如果一個n邊形的內角和等于它的外角和的3倍，則n＝ ．
三．解答題（共2小題）
18．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)是對角線BD上的兩點，且BE＝DF．
（1）求證：△ADF≌△CBE；
（2）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
19．已知：如圖，在四邊形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，延長DE、BF，分別交AB于點H，交CD于點G，若AD∥BC，AE＝CF．
（1）求證：四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的長．
一．選擇題（共10小題）
1．如圖中每個四邊形上所做的標記中，線段上的劃記數(shù)量相同的表示線段相等，角的標記弧線數(shù)量相同的表示角相等，則下列一定為平行四邊形的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
2．如圖，?ABCD中，AB＝3，BE平分∠ABC，交AD于點E，DE＝2，點F，G分別是BE和CE的中點，則FG的長為（ ）
A．3B．2.5C．2D．5
3．如圖1，直線l1∥l2，直線l3分別交直線l1，l2于點A，B．小嘉在圖1的基礎上進行尺規(guī)作圖，得到如圖2，并探究得到下面兩個結論：
①四邊形ABCD是鄰邊不相等的平行四邊形；
②四邊形ABCD是對角線互相垂直的平行四邊形．下列判斷正確的是（ ）
A．①②都正確B．①錯誤，②正確
C．①②都錯誤D．①正確，②錯誤
4．我們知道，三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性．如圖，矩形AOCB的頂點A和C分別在y軸和x軸上，且A（0，4），C（6，0）．向下按壓矩形AOCB，得到如圖所示的平行四邊形，其中∠AOA′＝30°，則平行四邊形 的對角線的交點D的坐標為（ ）
A．（1，）B．（2，）C．（2，）D．（1，）
5．我們知道三角形的內角和為180°，而四邊形可以分成兩個三角形，故它的內角和為2×180°＝360°，五邊形則可以分成3個三角形，它的內角和為3×180°＝540°（如圖），依此類推，則八邊形的內角和為（ ）
A．900°B．1080°C．1260°D．1440°
6．如圖，將三角形紙片ABC沿虛線剪掉兩角得五邊形CDEFG，若DE∥CG，F(xiàn)G∥CD，根據(jù)所標數(shù)據(jù)，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．54°B．64°C．66°D．72°
7．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，點E，F(xiàn)，D分別在邊AC，BC，AB上，EF∥AB，DF∥AC，則四邊形AEFD的周長是（ ）
A．10B．15C．18D．20
8．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是AD的中點，連接OE．若△AOE的面積為5，則平行四邊形ABCD的面積為（ ）
A．10B．20C．40D．80
9．等邊三角形、正方形及正五邊形各一個，按如圖放在同一平面內，則∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．102°B．104°C．106°D．108°
10．如圖，在平行四邊形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點F，CE平分∠BCD，交AD于點E，AB＝7，EF＝3，則BC的長為（ ）
A．11B．12C．13D．14
二．填空題（共5小題）
11．如圖，菱形ABCD的對角線交于點O，點M為AB的中點，連接OM．若AC＝4，BD＝8，則OM的長為 ．
12．如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，其中AH⊥BC，垂足為H，若AB＝5，BC＝8，，則tan∠CDH＝ ．
13．若一個多邊形的每個外角都是24°，則該多邊形的邊數(shù)為 ．
14．刺繡是我國獨特的民間傳統(tǒng)手工藝品之一，至少有二三千年歷史．如圖是用紅色紗線完成的正五角星刺繡作品，則圖中∠OAB的度數(shù)是 度．
15．如圖，五邊形ABCDE是正五邊形．若l1∥l2，則∠1﹣∠2＝ °．
1．（2023?十堰）如圖，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD，然后向左扭動框架，觀察所得四邊形的變化，下面判斷錯誤的是（ ）
A．四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?br>B．對角線BD的長度減小
C．四邊形ABCD的面積不變
D．四邊形ABCD的周長不變
2．（2023?瀘州）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∠ADC的平分線與邊AB相交于點P，E是PD中點，若AD＝4，CD＝6，則EO的長為（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2022?甘肅）大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結構非常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF，若對角線AD的長約為8mm，則正六邊形ABCDEF的邊長為（ ）
A．2mmB．2mmC．2mmD．4mm
4．（2023?重慶）若七邊形的內角中有一個角為100°，則其余六個內角之和為 ．
5．（2023?揚州）如果一個多邊形每一個外角都是60°，那么這個多邊形的邊數(shù)為 ．
6．（2023?福建）如圖，在?ABCD中，O為BD的中點，EF過點O且分別交AB，CD于點E，F(xiàn)．若AE＝10，則CF的長為 ．
7．（2023?株洲）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB 的平分線AE交線段CD于點E，則EC＝ ．
8．（2023?金華）如圖，把兩根鋼條OA，OB的一個端點連在一起，點C，D分別是OA，OB的中點，若CD＝4cm，則該工件內槽寬AB的長為 cm．
9．（2023?濟南）已知：如圖，點O為?ABCD對角線AC的中點，過點O的直線與AD，BC分別相交于點E，F(xiàn)．求證：DE＝BF．
10．（2023?南充）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)在對角線AC上，∠CBE＝∠ADF．
求證：（1）AE＝CF；
（2）BE∥DF．
11．（2023?雅安）如圖，已知E，F(xiàn)是?ABCD對角線AC上兩點，AE＝CF．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若CH⊥AB交AB的延長線于點H，＝3，BC＝，tan∠CAB＝，求?ABCD的面積．
12．（2023?長沙）如圖，在?ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于點E，交AB的延長線于點F．
（1）求證：AD＝AF；
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的長和△ADF的面積．
1.多邊形的相關概念
（1）定義：在平面內，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．
（2）對角線：從n邊形的一個頂點可以引(n－3)條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(n－2)個三角形；n邊形對角線條數(shù)為．
2.多邊形的內角和、外角和
（1） 內角和：n邊形內角和公式為(n－2)·180°
（2）外角和：任意多邊形的外角和為360°.
3.正多邊形
（1）定義：各邊相等，各角也相等的多邊形.
（2）正n邊形的每個內角為，每一個外角為360°/n.
( 3 ) 正n邊形有n條對稱軸.
（4）對于正n邊形，當n為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當n為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

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