1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì)．
2.探索并掌握三角形相似的性質(zhì)及條件，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決簡單的實際問題．
3.掌握圖形位似的概念，能用位似的性質(zhì)將一個圖形放大或縮?。?br>4.掌握用坐標表示圖形的位置與變換，在給定的坐標系中，會根據(jù)坐標描出點的位置或由點的位置寫出
它的坐標，靈活運用不同方式確定物體的位置。
考點1：比例線段
1. 比例線段的相關(guān)概念
如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項.
在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.
若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項，線段a，d叫做比例外項，線段b，c叫做比例內(nèi)項.
如果作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項.
2.比例的基本性質(zhì)：①a：b=c：dad=bc ②a：b=b：c.
3.黃金分割
把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=AB≈0.618AB.
考點2：相似圖形
1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.
也就是說：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似圖形).
2.相似多邊形：對應角相等，對應邊的比相等的兩個多邊形叫做相似多邊形.
3.相似多邊形的性質(zhì)：
相似多邊形的對應角相等，對應邊成的比相等.
相似多邊形的周長的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.
4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.
5.相似三角形的性質(zhì)：
(1)相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.
(2)相似三角形對應邊上的高的比相等，對應邊上的中線的比相等，對應角的角平分線的比相等，都等于相似比.
(3)相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.
6.相似三角形的判定：
(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；
(2)如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；
(3)如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似；
(4)如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.
(5)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊的比對應相 等，那么這兩個三角形相似.
考點3：位似圖形
1.位似圖形的定義
兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，不經(jīng)過交點的對應邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫位似中心.
2.位似圖形的分類
(1)外位似：位似中心在連接兩個對應點的線段之外.
(2)內(nèi)位似：位似中心在連接兩個對應點的線段上.
3.位似圖形的性質(zhì)
位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上；
位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于相似比；
位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應線段平行.
4.作位似圖形的步驟
第一步：在原圖上找若干個關(guān)鍵點，并任取一點作為位似中心；
第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點連線；
第三步：在連線上取關(guān)鍵點的對應點，使之滿足放縮比例；
第四步：順次連接截取點.
【注意】在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.
【題型1：相似三角形的相關(guān)計算】
【典例1】（2023?雅安）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD上一點，CF交BD于點E，CF的延長線交BA的延長線于點G，EF＝1，EC＝3，則GF的長為（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴，
∵EF＝1，EC＝3，
∴，
即，
∴，
∵AB∥CD，
∴△DFC∽△AFG，
∴，
∵EF＝1，EC＝3，
∴CF＝4，
∴，
∴GF＝8，
故選：C
1．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，過點D作DE∥BC，交AC于點E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝＝＝．
故選：A．
2．（2023?內(nèi)江）如圖，在△ABC中，點D、E為邊AB的三等分點，點F、G在邊BC上，AC∥DG∥EF，點H為AF與DG的交點．若AC＝12，則DH的長為（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】C
【解答】解：∵點D、E為邊AB的三等分點，
∴AD＝DE＝EB，
∴AB＝3BE，AE＝2AD，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC＝BE：AB，
∵AC＝12，AB＝3BE，
∴EF：12＝BE：3BE，
∴EF＝4，
∵DG∥EF，
∴△ADH∽△AEF，
∴DH：EF＝AD：AE，
∵EF＝4，AE＝2AD，
∴DH：4＝AD：2AD，
∴DH＝2．
故選：C．
3．（2023?東營）如圖，△ABC為等邊三角形，點D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長為（ ）
A．1.8B．2.4C．3D．3.2
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠CAD+∠ADC＝120°，
∵∠ADE＝60°．
∴∠BDE+∠ADC＝120°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴，
∵BD＝4DC，
∴設DC＝x，
則BD＝4x，
∴BC＝AC＝5x，
∴，
∴AD＝3，
故選：C．
4．（2023?綿陽）黃金分割由于其美學性質(zhì)，受到攝影愛好者和藝術(shù)家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形ABCD的底邊BC取中點E，以E為圓心，線段DE為半徑作圓，其與底邊BC的延長線交于點F，這樣就把正方形ABCD延伸為矩形ABFG，稱其為黃金矩形．若CF＝4a，則AB＝（ ）
A．（﹣1）aB．（﹣2）aC．（+1）aD．（+2）a
【答案】D
【解答】解：設AB＝x，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝x，
∵矩形ABFG是黃金矩形，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝（2+2）a，
經(jīng)檢驗：x＝（2+2）a是原方程的根，
∴AB＝（2+2）a，
故選：D．
5．（2023?哈爾濱）如圖，AC，BD相交于點O，AB∥DC，M是AB的中點，MN∥AC，交BD于點N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，則MN的長為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解答】解：∵AB∥DC，
∴△CDO∽△ABO，
∴，
∵DO：OB＝1：2，
∴＝，
∴OC＝OA，
∵AC＝OA+OC＝12，
∴OA+OA＝12，
∴OA＝8，
∵MN∥AC，M是AB的中點，
∴MN為△AOB的中位線，
∴MN＝OA＝＝4．
故選：B．
【題型2：相似三角形的實際應用】
【典例2】（2022?廣西）古希臘數(shù)學家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度．如圖，木桿EF長2米，它的影長FD是4米，同一時刻測得OA是268米，則金字塔的高度BO是 134 米．
【答案】134
【解答】解：據(jù)相同時刻的物高與影長成比例，
設金字塔的高度BO為x米，則可列比例為，，
解得：x＝134，
經(jīng)檢驗，x＝134是原方程的解，
∴BO＝134．
故答案為：134．
1．（2023?南充）如圖，數(shù)學活動課上，為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（ ）
A．6.4mB．8mC．9.6mD．12.5m
【答案】B
【解答】解：如圖：
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
即，
∴DE＝8（m），
故選：B．
2．（2023?達州）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為 （80﹣160） cm．（結(jié)果保留根號）
【答案】（80﹣160）．
【解答】解：∵點C是靠近點B的黃金分割點，AB＝80cm，
∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，
∵點D是靠近點A的黃金分割點，AB＝80cm，
∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，
∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，
∴支撐點C，D之間的距離為（80﹣160）cm，
故答案為：（80﹣160）．
3．（2023?濰坊）在《數(shù)書九章》（宋?秦九韶）中記載了一個測量塔高的問題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點F遠眺塔頂B，視線恰好經(jīng)過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為 18.2 米．
【答案】18.2．
【解答】解：過點F作FG⊥CD，垂足為G，延長FG交AB于點H，
由題意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，
∴∠DGF＝∠BHF＝90°，
∵CD＝7米，
∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），
∵∠DFG＝∠BFH，
∴△FDG∽△FBH，
∴＝，
∴＝，
∴BH＝16.8，
∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），
∴塔的高度為18.2米，
故答案為：18.2．
【題型3：位似】
【典例3】（2023?朝陽）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，2），B（4，1），以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點A的對應點A′的坐標是（ ）
A．（1，1）B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4）D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
【答案】D
【解答】解：∵以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，點A的坐標為（2，2），
∴點A的對應點A′的坐標為（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），
故選：D．
1．（2023?浙江）如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點C′的坐標是（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（6，4）D．（5，4）
【答案】C
【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′位似，△A′B′C′與△ABC的相似比為2：1，
∴△ABC與△A′B′C′位似比為1：2，
∵點C的坐標為（3，2），
∴點C′的坐標為（3×2，2×2），即（6，4），
故選：C．
2．（2023?長春）如圖，△ABC和△A'B'C'是以點O為位似中心的位似圖形，點A在線段OA′上．若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A'B'C'的周長之比為 1：3 ．
【答案】1：3．
【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，
∴OA：OA′＝1：3，
∵△ABC和△A′B′C′是以點O為位似中心的位似圖形，
∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，
∴△ABC與△A′B′C′的周長比為1：3，
故答案為：1：3．
3．（2023?煙臺）如圖，在直角坐標系中，每個網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點均在格點上，其中正方形PA1A2A3的頂點坐標分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點A100的坐標為（ ）
A．（31，34）B．（31，﹣34）C．（32，35）D．（32，0）
【答案】A
【解答】解：由題意可知：點A1（﹣2，1），點A4（﹣1，2），點A7（0，3），
∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝0+1，2＝1+1，3＝2+1，
∴頂點A100的坐標為（33﹣2，33+1），即（31，34），
故選：A．
一．選擇題（共10小題）
1．已知，則的值是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∴＝﹣1＝﹣1＝．
故選：D．
2．如圖，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（ ）
A．75°B．105°C．60°D．45°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，∠ABC＝45°，
∴∠ADE＝∠ABC＝45°．
在△ADE中，
∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°，∠A＝60°，
即∠AED+45°+60°＝180°，
∴∠AED＝75°．
故選：A．
3．如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段BC＝4cm，則線段AC的長是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
【答案】C
【解答】解：過點A作平行橫線的垂線，交點B所在的平行橫線于D，交點C所在的平行橫線于E，
則＝，即＝，
解得：AB＝2，
∴AC＝2+4＝6（cm）．
故選：C．
4．下列各組中的四條線段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm，6cmD．3cm，4cm，6cm，9cm
【答案】C
【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四條線段不成比例，不符合題意；
B、∵2×5≠3×4，∴四條線段不成比例，不符合題意；
C、∵2×6＝3×4，∴四條線段成比例，符合題意；
D、∵3×9≠4×6，∴四條線段成比例，不符合題意；
故選：C．
5．美是一種感覺，當人體下半身長與身高的比值越接近0.618時，越給人一種美感．如圖，某女士身高165cm，下半身長x與身高l的比值是0.60，為盡可能達到美的效果，她應穿的高跟鞋的高度大約為（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【答案】C
【解答】解：根據(jù)已知條件得下半身長是165×0.60＝99cm，
設需要穿的高跟鞋是ycm，則根據(jù)黃金分割的定義得：
＝0.618，
解得：y≈8cm．
故選：C．
6．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，則下列比例式中正確的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【答案】D
【解答】解：A、因為DF∥AC，所以＝，故A選項錯誤；
B、由DF∥AC得＝，由DE∥BC得＝，則＝，故B選項錯誤；
C、由DF∥AC得＝，故C選項錯誤；
D、由DF∥AC得＝，由DE∥BC得＝，則＝，故D選項正確．
故選：D．
7．如圖，直線l1∥l2∥l3，分別交直線m、n于點A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，則EF的長為（ ）
A．6B．9C．10D．25
【答案】B
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，DE＝15，
∴＝＝，即＝，
解得，EF＝9，
故選：B．
8．△ABO三個頂點的坐標分別為A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原點O為位似中心，把這個三角形縮小為原來的，可以得到△A'B'O，則點A′的坐標是（ ）
A．（1，2）B．（1，2）或（﹣1，﹣2）
C．（2，1）或（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
【答案】B
【解答】解：以原點O為位似中心，把△ABO縮小為原來的，得到△A'B'O，點A的坐標為（2，4），
則點A'的坐標為（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]，即（1，2）或（﹣1，﹣2），
故選：B．
9．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊DC上，DE：EC＝3：1，連接AE交BD于點F，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為（ ）
A．3：4B．3：1C．9：1D．9：16
【答案】D
【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：DC＝3：4，
∴DE：AB＝3：4，
∴S△DFE：S△BFA＝9：16，
故答案為：D．
10．小明用地理中所學的等高線的知識在某地進行野外考察，他根據(jù)當?shù)氐匦萎嫵隽恕暗雀呔€示意圖”，如圖所示（注：若某地在等高線上，則其海拔就是其所在等高線的數(shù)值；若不在等高線上，則其海拔在相鄰兩條等高線的數(shù)值范圍內(nèi)），若A，B，C三點均在相應的等高線上，且三點在同一直線上，則的值為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解答】解；∵點A，B，C三點均在相應的等高線上，且三點在同一直線上，
∴＝＝，
故選：B．
二．填空題（共5小題）
11．如果兩個相似三角形的周長比為2：3，那么它們的對應高的比為 2：3 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵兩個相似三角形的周長比為2：3，
∴這兩個相似三角形的相似比為2：3，
∴它們的對應高的比為：2：3，
故答案為：2：3．
12．如圖，利用標桿BE測量建筑物的高度．若標桿BE的高為1.2m，測得AB＝1.6m，BC＝12.4m，則樓高CD為 10.5 m．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴CD＝10.5（米）．
故答案為10.5．
13．如圖，在某校的2022年新年晚會中，舞臺AB的長為20米，主持人站在點C處自然得體，已知點C是線段AB上靠近點B的黃金分割點，則此時主持人與點A的距離為 （10﹣10） 米．
【答案】（10﹣10）．
【解答】解：∵點C是線段AB上靠近點B的黃金分割點，AB＝20米，
∴AC＝AB＝×20＝（10﹣10）（米），
故答案為：（10﹣10）．
14．《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學專著，書中記載了這樣一個問題：“今有勾五步，股十二步．問勾中容方幾何．”其大意是：如圖，Rt△ABC的兩條直角邊的長分別為5和12，則它的內(nèi)接正方形CDEF的邊長為 ．
【答案】．
【解答】解：設正方形CDEF邊長為x，則CD＝DE＝x，
由Rt△ABC的兩條直角邊的長分別為5和12可知AC＝5，AD＝5﹣x，BC＝12，
∵正方形CDEF，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ACB，
又∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
解得x＝．
故答案為：．
15．如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D為格點，連接AB、CD相交于點E，則AE的長為 ．
【答案】．
【解答】解：根據(jù)題意可知：AB＝3，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，
∴△AEC∽△BED，
∴＝，
∴＝，
解得AE＝．
故答案為：．
三．解答題（共5小題）
16．在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．
（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；
（2）以點O為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2，使△A2B2C2與△A1B1C1的相似比為2：1；
（3）設點P（a，b）為△ABC內(nèi)一點，則依上述兩次變換后點P在△A2B2C2內(nèi)的對應點P2的坐標是 （2a，﹣2b） ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；
（2）如圖，△A2B2C2為所作；
（3）點P的對應點P2的坐標是（2a，﹣2b）．
故答案為（2a，﹣2b）．
17．如圖，在△ABC中，D為BC上一點，∠BAD＝∠C．
（1）求證：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的長．
【答案】（1）證明見解析過程；
（2）9．
【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA；
（2）∵△ABD∽△CBA，
∴，
∵AB＝6，BD＝3，
∴，
∴BC＝12，
∴CD＝BC﹣BD＝12﹣3＝9．
18．如圖，矩形ABCD中，M為BC上一點，EM⊥AM交AD的延長線于點E．
（1）求證：△ABM∽△EMA；
（2）若AB＝4，BM＝3，求ME的長．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠EAM＝∠AMB．
∵EM⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∵∠B＝∠AME，∠AMB＝∠EAM，
∴△ABM∽△EMA；
（2）解：∵AB＝4，BM＝3，
∴，
∵△ABM∽△EMA，
∴，即，
∴．
19．某數(shù)學興趣小組要完成一個項目學習，測量凌霄塔的高度AB．如圖，塔前有一棵高4米的小樹CD，發(fā)現(xiàn)水平地面上點E、樹頂C和塔頂A恰好在一條直線上，測得BD＝57米，D、E之間有一個花圃距離無法測量；然后，在E處放置一平面鏡，沿BE后退，退到G處恰好在平面鏡中看到樹頂C的像，EG＝2.4米，測量者眼睛到地面的距離FG為1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，F(xiàn)G⊥BG，點B、D、E、G在同一水平線上．請你求出凌霄塔的高度AB．（平面鏡的大小厚度忽略不計）
【答案】凌霄塔的高度AB為42米，見解析．
【解答】解：∵CD⊥BG，F(xiàn)G⊥BG，
∴∠CDE＝∠FGE＝90°，
∵∠CED＝∠FEG，
∴△CDE∽△FGE，
∴，
∵CD＝4，F(xiàn)G＝1.6，EG＝2.4，
∴，
解得：DE＝6，
∵BD＝57，
∴BE＝BD+DE＝57+6＝63，
∵AB⊥BG，CD⊥BG，
∴∠ABE＝∠CDE＝90°，
∵∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
即，
解得：AB＝42，
∴凌霄塔的高度AB為42米．
20．如圖，已知AD，BC相交于點E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延長DC到點G，使CG＝CD，連接AG．
（1）求證：四邊形ABCG是平行四邊形；
（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的長．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：∵△AEB∽△DEC，
∴∠B＝∠BCD，
∴AB∥CD，
即AB∥CG，
∵CD＝2AB，CG＝CD，
∴AB＝CG，
∴四邊形ABCG是平行四邊形；
（2）解：∵四邊形ABCG是平行四邊形，AE＝2，CG＝3，
∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3，
∵∠GAD＝90°，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
BE＝，
即BE＝＝，
∵△AEB∽△DEC，
∴＝＝，
∴CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝3，
∴AG＝BC＝3．
一．選擇題（共10小題）
1．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別是BC，AC上的點，∠ADE＝60°，AB＝4，CD＝1，AE＝（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【解答】方法一：∵AB＝4＝BC，CD＝1，
∴BD＝BC﹣CD＝3，
∵∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠CDE，
∴∠CDE＝∠BAD，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝，即＝，
∴CE＝，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣＝；
故選：D；
方法二：過點A作AF⊥BC于點F，如圖，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BF＝CF＝BC＝2，AF＝AB＝2，
∵CD＝1，
∴DF＝1，
∴AD＝＝，
∵∠ADE＝∠ACD＝60°，∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴＝，即＝，
解得：AE＝，
故選：D．
2．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，∠ADE＝60°，若AD＝4，＝，則DE的長度為（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．
∴∠ADB+∠BAD＝180°﹣∠B＝120°．
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE＝120°，
∴∠ADB+∠BAD＝∠ADB+∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC，
∴△BAD∽△CDE，
∴，
∴，
∴DE＝．
故選：D．
3．如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點G，若AE＝3ED，DF＝CF，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：延長BE交CD的延長線于點M．
∵AE＝3DE，設DE＝a，則AE＝3a，AD＝AB＝CD＝BC＝4a，DF＝2a，
∵CM∥AB，
∴＝＝，
∴DM＝a，
∴FM＝DF+DM＝a，
∴＝＝＝．
故選：C．
4．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為線段BC上一點，以AD為一邊構(gòu)造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列說法正確的是（ ）
①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．
A．僅有①②B．僅有①②③C．僅有②③④D．①②③④
【答案】D
【解答】解：①∵∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝135°﹣∠BDA，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠BDA＝135°﹣∠BDA，
∴∠BAD＝∠EDC，
故①正確；
②∵∠ADE＝∠ACB，∠CAD＝∠OAD，
∴△ADO∽△ACD．
故②正確；
③∵∠ABD＝∠AEO，∠BAD＝∠EAO，
∴△BAD∽△EAO，
∴．
故③正確；
④如圖，過點D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M，N，
在Rt△AED中，DE2＝AD2+AE2，AD＝AE，
∴DE2＝2AD2，
同理，在Rt△BMD中，BD2＝2MD2；在Rt△DCN中，CD2＝2DN2．
∵∠DMA＝∠MAN＝∠DNA＝90°，
∴四邊形AMDN是矩形，
∴DN＝AM，
在Rt△AMD中，AD2＝AM2+MD2，
∴2AD2＝2AM2+2MD2，
∴2AD2＝BD2+CD2．
故④正確．
故選：D．
5．凸透鏡成像的原理如圖所示，AD∥l∥BC．若物體到焦點的距離與焦點到凸透鏡中心線DB的距離之比為5：4，則物體被縮小到原來的（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵BC∥l，CG⊥l，BO⊥l，
∴四邊形OBCG為矩形，
∴OB＝CG，
∵AH⊥HO，BO⊥HO，
∴△AHF1∽△BOF1，
∴＝＝，
∴＝，
∴物體被縮小到原來的．
故選：A．
6．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E，F(xiàn)，連接BD、DP，BD與CF相交于點H，給出下列結(jié)論：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解答】解：∵△BPC是等邊三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正確；
∵△BPC是等邊三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠PEF＝∠PFE＝60°，
∴△PEF是等邊三角形，
∴PE＝PF，
∴CP+PF＝CP+PE，
∴CF＝BE，
在Rt△ABE中，
∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝30°，
∴BE＝2AE，
∴CF＝2AE，故②正確；
∴∠PDE＝15°，
∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EBD＝∠EDP，
∵∠DEP＝∠DEB，
∴△BDE∽△DPE，
∴∠EPD＝∠BDE＝45°，
∵∠BPC＝∠EPF＝60°，
∴∠FPD＝105°，
∵∠BHP＝∠BCH+∠HBC＝105°，
∴∠DPF＝∠BHP，
又∵∠PDF＝∠DBP＝15°，
∴△BHP∽△DPF，故④正確；
∴，
∴＝，
∵∠DCF＝30°，
∴DC＝DF，
∴＝，
∴＝＝，故③錯誤，
故選：B．
7．如圖，在邊長為5的正方形ABCD中，點E在AD邊上，AE＝2，CE交BD于點F，則DF的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝5，∠BCD＝90°，AD∥BC，
∴△DBC是等腰直角三角形，
∴BD＝＝5，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴DE：BC＝DF：BF，
∵AE＝2，
∴DE＝AD﹣AE＝3，
∴3：5＝DF：（5﹣DF），
∴FD＝．
故選：C．
8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，點D是AC的中點，AE與BD交于點O，則的值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解答】解：過C作CN∥AB交AE延長線于N，過E作EM∥BD交AC于M，
∴∠BAE＝∠N，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠N＝∠CAE，
∴CN＝CA＝5，
∵AB∥CN，
∴△ABE∽△NCE，
∴BE：EC＝AB：CN＝4：5，
∵EM∥BD，
∴DM：MC＝BE：EC＝4：5，
∴DC：DM＝9：4，
∵D是AC的中點，
∴AD＝CD，
∴AD：DM＝9：4，
∵OD∥EM，
∴＝＝．
故選：B．
9．如圖，有一塊直角邊AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的鐵片，現(xiàn)要把它加工成一個正方形（加工中的損耗忽略不計），則正方形的邊長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：如圖，過點B作BP⊥AC，垂足為P，BP交DE于Q．
∵S△ABC＝?AB?BC＝?AC?BP，
∴BP＝＝＝．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝．
設DE＝x，則有：＝，
解得x＝，
故選：D．
10．如圖1，在△ABC中，∠B＝36°，動點P從點A出發(fā)，沿折線A→B→C勻速運動至點C停止．點P的運動速度為1cm/s，設點P的運動時間為t（s），AP的長度為y（cm），y與t的函數(shù)圖象如圖2所示．當AP恰好平分∠BAC時，BP的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：如圖1，作∠BAC的平分線AP交BC于點P，由題意中的函數(shù)圖象知AB＝BC＝4，
∵∠B＝36°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C＝72°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，
∴AP＝BP，∠APC＝∠B+∠BAP＝72°＝∠C，
∴AP＝AC＝BP，
∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△APC∽△BAC，
∴，
∴AP?AC＝AB?PC，
∴AP2＝AB?PC＝4（4﹣AP），
解得：或（舍），
∴，
故選：D．
二．填空題（共6小題）
11．如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，點D、E分別是AC、AB邊上的動點，折疊△ADE得到△A′DE，且點A′落在BC邊上，若△A′DC恰好與△ABC相似，AD的長為 2.4或 ．
【答案】2.4或．
【解答】解：設AD＝x，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣x，
∵折疊△ADE得到△A′DE，
∴A′D＝AD＝x，
當△A′DC∽△BAC時，
∴A′D：AB＝CD：AC，
∴x：4＝（6﹣x）：6，
∴x＝2.4；
當△A′DC∽△ABC時，
∴A′D：AB＝DC：BC，
∴x：4＝（6﹣x）：5，
∴x＝，
∴AD長是2.4或．
故答案為：2.4或．
12．如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點D在BC上，DE交AC于點F，若DF＝2，EF＝4，則CD的長是 ．
【答案】．
【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AD＝AE＝DE＝DF+EF＝2+4＝6，∠ABD＝∠DCF＝60°，
∵∠BAD+∠ABD＝∠ADC＝∠ADF+∠CDF，∠ABD＝∠ADF＝60°，
∴∠BAD＝∠CDF，
∴△ABD∽△DCF，
∴＝＝，
∴＝3，
設CD＝x，則AB＝3x，BD＝2x，
∴＝＝＝，
∴CF＝x，則AF＝AC﹣CF＝AB﹣CF＝3x﹣x＝x，
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴∠ADF＝∠ACD，∠DAF＝∠CAD，
∴△ADF∽△ACD，
∴＝，
即＝，
AF＝，
∴AF＝＝x，
解得：x＝．
故答案為：．
13．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝1，CD＝4，則AD的長為 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，BD＝1，CD＝4，
∴AD2＝CD?BD＝4，
∴AD＝2，
故答案為：2．
14．如圖，一張矩形紙片ABCD中，（m為常數(shù)），將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點A落在BC邊上的點H處，點D的對應點為點M，CD與HM交于點P．當點H落在BC的中點時，且，則m＝ ．
【答案】．
【解答】解：∵＝，
設CP＝t，則CD＝AB＝4t，
∵點H是BC的中點，
∴CH＝BH＝；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠CHP+∠CPH＝90°，
∵∠MHE＝∠A＝90°，
∴∠CHP+∠BHE＝90°，
∴∠CPH＝∠BHE，
∴△CHP∽△BEH，
∴，
即，
∴BC2＝4BE?t①，
∵AE＝AB﹣BE，AE＝EH，CD＝AB＝4t，
∴AE＝EH＝4t﹣BE，
在Rt△BEH中，EH2＝BE2+BH2，
∴（4t﹣BE）2＝②，
聯(lián)立①②并解得：BE＝t，BC＝t，
∴m＝＝＝，
故答案為：．
15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，AE平分∠BAC交BC于點E，連接CD交AE于點F．若AC＝5，BC＝12，則EF的長是 ．
【答案】．
【解答】解：過點E作EG⊥AB，垂足為G，過點D作DH∥BC，交AE于點H，
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵AE平分∠BAC，
∴EC＝EG，
∵△ABC的面積＝△ACE的面積+△ABE的面積，
∴AC?BC＝AC?CE+AB?EG，
∴AC?BC＝AC?CE+AB?EG，
∴5×12＝5CE+13EG，
∴CE＝CG＝，
∴BE＝BC﹣CE＝，
在Rt△ACE中，AE＝＝＝，
∵D是AB的中點，DH∥BC，
∴AH＝HE＝AE＝，
∴DH是△ABE的中位線，
∴DH＝BE＝，
∵DH∥CE，
∴∠DHF＝∠CEF，∠HDF＝∠ECF，
∴△DHF∽△CEF，
∴＝＝＝，
∴EF＝EH＝×＝，
故答案為：．
16．如圖，在平面直角坐標系中，已知A（1，0），B（2，0），C（0，1），在坐標軸上有一點P，它與A、C兩點形成的三角形與△ABC相似，則P點的坐標是 （3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0） ．
【答案】（3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0）．
【解答】解：如圖，
∵A（1，0），B（2，0），C（0，1），
∴OA＝OC＝1，OB＝2，AB＝OB﹣OA＝1，
∴AC＝，
當點P在x軸上時，△PAC∽△CAB時，
∴＝，
∴＝，
∴PA＝2，
∴OP＝3，
∴P（3，0），
當點P′在y軸上時，△P′CA∽△BAC，
∵AC＝CA，
∴AB＝CP′＝1，
∴OP′＝2，
∴P′（0，2）．
根據(jù)對稱性可知．P（0，3）也符合題意．
P與B重合，也符合題意，此時P（2，0）．
綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0）．
三．解答題（共3小題）
17．如圖，點P在△ABC的外部，連結(jié)AP、BP，在△ABC的外部分別作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，連結(jié)PQ．
（1）求證：AC?AP＝AB?AQ；
（2）判斷∠PQA與∠ACB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）證明過程見解答；
（2）∠PQA＝∠ACB，理由見解答．
【解答】（1）證明：∵∠1＝∠BAC，
∴∠1+∠PAC＝∠BAC+∠PAC，
∴∠CAQ＝∠BAP，
∵∠2＝∠ABP，
∴△CAQ∽△BAP，
∴＝，
∴AC?AP＝AB?AQ．
（2）解：∠PQA＝∠ACB，
理由：∵AC?AP＝AB?AQ，
∴＝，
∵∠1＝∠BAC，
∴△APQ∽△ABC，
∴∠PQA＝∠ACB．
18．如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，AD與BE相交于點O，且AB＝AD，AE2＝OE?BE．
（1）求證：①∠EAD＝∠ABE；②BE＝EC；
（2）若BD：CD＝4：3，CE＝8，求線段AE的長．
【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）．
【解答】（1）①證明：∵AE2＝OE?BE，
∴，
∵∠AEO＝∠BEA，
∴△AEO∽△BEA，
∴∠EAD＝∠ABE；
②證明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB．
∵∠ABD＝∠ABE+∠CBE，∠ADB＝∠EAD+∠C，
由①知：∠EAD＝∠ABE，
∴∠CBE＝∠C，
∴BE＝EC；
（2）解：過點A作AF⊥BD于點F，交BE于點G，連接GD，如圖，
∵AB＝AD，AF⊥BD，
∴BF＝FD，
即AF為BD的垂直平分線，
∴GB＝GD，
∴∠GBC＝∠GDB，
由（1）②知：∠CBE＝∠C，
∴∠GDB＝∠C，
∴GD∥EC，
∴△BGD∽△BEC，
∴．
∵BD：CD＝4：3，
∴，
∴，
∴GD＝．
∵BD：CD＝4：3，BF＝FD，
∴FD：DC＝2：3，
∴．
∵GD∥EC，
△FGD∽△FAC，
∴，
∴，
∴AC＝．
∴AE＝AC﹣EC＝﹣8＝．
19．某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：
【觀察與猜想】
（1）如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB、AD上的兩點，連接DE，CF，DE⊥CF，求證△AED≌△DFC．
【類比探究】
（2）如圖②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，點E是邊AD上一點，連接CE，BD，且CE⊥BD，求的值．
【拓展延伸】
（3）如圖③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在BC邊上，連結(jié)AD，過點C作CE⊥AD于點E，CE的延長線交AB邊于點F．若AC＝3，BC＝4，，求CD的值．
【答案】（1）見解析；
（2）；
（3）．
【解答】（1）證明：如圖1，設DF與CF的交點為G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，
∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS）；
（2）解：如圖2，設DB與CE交于點G，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠CDG+∠ECD＝90°，
∠ADB+∠CDG＝90°，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵∠CDE＝∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴；
（3）解：如圖，過點A作GA∥BC，延長CF交AG于點G，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
∵，
∴，
∵GA∥BC，
∴△AFG∽△BFC，∠GAC＝∠ACB＝90°，
∴＝，
∴，
∵CE⊥AD，∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
又∵∠CAE+∠ADC＝90°，
∴∠ACG＝∠ADC，
∴△ACG∽△CDA，
∴，
∴CD＝＝．
20．（2023?武漢）問題提出 如圖（1），E是菱形ABCD邊BC上一點，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α （α≥90°），AF交CD于點G，探究∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．
問題探究 （1）先將問題特殊化，如圖（2），當α＝90°時，直接寫出∠GCF的大小；
（2）再探究一般情形，如圖（1），求∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．
問題拓展 將圖（1）特殊化，如圖（3），當α＝120°時，若，求的值．
【答案】問題探究（1）45°；
（2）∠GCF＝α﹣90°；
問題拓展：．
【解答】解：問題探究（1）如圖（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，
∵BJ＝BE，
∴AJ＝EC，
∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠CEF＝∠EAJ，
∵EA＝EF，
∴△EAJ≌△FEC（SAS），
∴∠AJE＝∠ECF，
∵∠BJE＝45°，
∴∠AJE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠ECD＝135°﹣90°＝45°；
（2）結(jié)論：∠GCF＝α﹣90°；
理由：在AB上截取AN，使AN＝EC，連接NE．
∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，
∠ABC＝∠AEF，
∴∠EAN＝∠FEC．
∵AE＝EF，
∴△ANE≌△ECF（SAS）．
∴∠ANE＝∠ECF．
∵AB＝BC，
∴BN＝BE．
∵∠EBN＝α，
∴，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠BCD＝∠ANE﹣∠BCD＝；
問題拓展：過點A作CD的垂線交CD的延長線于點P，設菱形的邊長為3m．
，
∴DG＝m，CG＝2m．
在Rt△ADP中，∠ADC＝∠ABC＝120°，
∴∠ADP＝60°，
∴ m，，
∴α＝120°，
由（2）知，，
∵∠AGP＝∠FGC，
∴△APG∽△FCG．
∴，
∴＝，
∴，
由（2）知，，
∴．
∴．
1．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AB的中點．若點E在邊AC上，且，則AE的長為（ ）
A．1B．2C．1或D．1或2
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°，
∵點D是AB的中點，
∴AD＝，
∵，
∴DE＝1，
如圖，當∠ADE＝90°時，
∵∠ADE＝∠ABC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AE＝2，
如圖，當∠ADE≠90°時，取AC的中點H，連接DH，
∵點D是AB中點，點H是AC的中點，
∴DH∥BC，DH＝BC＝1，
∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，
∴∠DEH＝60°，
∴∠ADE＝∠A＝30°，
∴AE＝DE＝1，
故選：D．
2．（2023?濟南）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點D，再分別以B，D為圓心，以大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點E，連接DE．以下結(jié)論不正確的是（ ）
A．∠BCE＝36°B．BC＝AE
C．D．
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，
由題意得：CP平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，
∴∠A＝∠ACE＝36°，
∴AE＝CE，
∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，
∴∠B＝∠CEB＝72°，
∴CB＝CE，
∴AE＝CE＝CB，
∵△BCE是頂角為36°的等腰三角形，
∴△BCE是黃金三角形，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝＝，
故A、B、D不符合題意，C符合題意；
故選：C．
3．（2023?阜新）如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為2：3，則△ABC和△DEF的面積比是 4：9 ．
【答案】4：9．
【解答】解：∵△ABC與△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，位似比為2：3，
∴△ABC∽△DEF，相似比為2：3，
∴△ABC與△DEF的面積之比為22：32＝4：9．
故答案為：4：9．
4．（2023?樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段AB上一點，連結(jié)AC、DE交于點F．若，則＝ ．
【答案】．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵，
∴設AE＝2a，則BE＝3a，
∴AB＝CD＝5a，
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝，
∴＝，
故答案為：．
5．（2023?北京）如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，
∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝，
故答案為：．
6.（2023?大慶）在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點A對應的點記為點M，若點M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是 △MCB ．
【答案】△MCB．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折疊的性質(zhì)可知，∠BMN＝∠A＝90°，
∴∠DMN+∠CMB＝90°，
∴∠DNM＝∠CMB，
∴△NDM∽△MCB，
故答案為：△MCB．
7．（2023?遼寧）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點B作BE∥AC，交DA的延長線于點E，連接OE，交AB于點F，則四邊形BCOF的面積與△AEF的面積的比值為 ．
【答案】．
【解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
又∵BE∥AC，
∴四邊形AEBC是平行四邊形，
∴AC＝BE，
∴BE＝2?OA，
∴△OAF∽△EBF，
∴＝＝，
∴S△EBF＝4S△OAF，
＝＝2，
∴S△AEF＝2S△AOF，
同理S△EBF＝2S△OBF，
S△OBC＝S△OAB，
設S△OAF＝x，
則S△EBF＝4x，S△AEF＝2x，S△OBF＝2x，
S△AOB＝S△BOC＝S△AOF+S△BOF＝x+2x＝3x，
S四邊形BCOF＝S△BOC+S△BOF＝3x+2x＝5x，
∴＝＝，
故答案為：．
8．（2022?東營）如圖，在△ABC中，點F、G在BC上，點E、H分別在AB、AC上，四邊形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的長為 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：設AD交EH于點R，
∵矩形EFGH的邊FG在BC上，
∴EH∥BC，∠EFC＝90°，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC于點D，
∴∠ARE＝∠ADB＝90°，
∴AR⊥EH，
∴＝，
∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，
∴RD＝EF＝EH，
∵BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，
∴＝，
解得EH＝，
∴EH的長為，
故答案為：．
9．（2023?湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．
（1）證明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長．
【答案】（1）證明見解析；
（2）3.6．
【解答】（1）證明：∵AD是斜邊BC上的高，
∴∠BDA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠BAC，
又∵∠B為公共角，
∴△ABD∽△CBA；
（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，
∴，
∴，
∴BD＝3.6．
10．（2023?攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學興趣小組決定采用我國古代數(shù)學家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標桿EF和GH，兩標桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)．從標桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點，A、F、D在一直線上；從標桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點，A、H、C三點也在一直線上，且B、E、D、G、C在同一直線上，請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．
【答案】該古建筑AB的高度為36m．
【解答】解：設BD＝x m，則BC＝BD+DG+CG＝x+46﹣2+4＝（x+48）m，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB∥EF，
∴△ABD∽△FED，
∴，即，
同理可證△ABC∽△HGC，
∴，即，
∴，
解得x＝48，
經(jīng)檢驗，x＝48是原方程的解，
∴＝，
∴AB＝36m，
∴該古建筑AB的高度為36m．
11．（2023?上海）如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．
（1）求證：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF?CE．
【答案】證明過程見解答．
【解答】證明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACF＝∠DAC
∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，
∴△ACF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE；
（2）∵△ACF≌△DAE，
∴∠AFC＝∠DEA，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴△ABF∽△CDE，
∴＝，
∴AF?DE＝BF?CE，
∵AF＝DE，
∴AF2＝BF?CE．
12．（2023?菏澤）（1）如圖1，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點G．求證：△ADE∽△DCF．
【問題解決】
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF，延長BC到點H，使CH＝DE，連接DH．求證：∠ADF＝∠H．
【類比遷移】
（3）如圖3，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的長．
【答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析；
（3）3．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF+∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵點H在BC的延長線上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H；
（3）解：如圖3，延長BC至點G，使CG＝DE＝8，連接DG，
∵四邊形ABCD是菱形，

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