TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc25597" 【題型1 構(gòu)建直角三角形求銳角三角函數(shù)值】 PAGEREF _Tc25597 \h 1
\l "_Tc32654" 【題型2 用等角轉(zhuǎn)換法求銳角三角函數(shù)值】 PAGEREF _Tc32654 \h 7
\l "_Tc21021" 【題型3 銳角三角函數(shù)與相似三角形的綜合應用】 PAGEREF _Tc21021 \h 13
\l "_Tc17309" 【題型4 銳角三角函數(shù)與圓的綜合應用】 PAGEREF _Tc17309 \h 18
\l "_Tc26825" 【題型5 解非直角三角形】 PAGEREF _Tc26825 \h 26
\l "_Tc11437" 【題型6 巧設輔助未知數(shù)解直角三角形】 PAGEREF _Tc11437 \h 32
\l "_Tc9593" 【題型7 構(gòu)造直角三角形進行線段或角的計算】 PAGEREF _Tc9593 \h 41
\l "_Tc4507" 【題型8 解直角三角形與圓的綜合應用】 PAGEREF _Tc4507 \h 50
\l "_Tc7632" 【題型9 構(gòu)造直角三角形解決實際問題】 PAGEREF _Tc7632 \h 60
【題型1 構(gòu)建直角三角形求銳角三角函數(shù)值】
【例1】（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠C=90°，E為邊BC上的點，△ADE為等邊三角形，BE=8，CE=2，則tan∠AEB的值為（ ）

A．375B．275C．335D．435
【答案】C
【分析】作EF⊥AB于點F，AH⊥BE于點H，解直角△BEF，得出BF=12BE=4，證明△AEF≌△EDC，得出AF=EC=2，再求出AH=33，HE=5，然后利用正切函數(shù)定義即可求解．
【詳解】如圖，作EF⊥AB于點F，AH⊥BE于點H，

∵∠B=60°，BE=8，
∴∠BEF=90°?∠B=30°，
∴BF=12BE=4．
∵△ADE為等邊三角形，
∴∠AED=60°，AE=DE，
∵∠BAE+∠B+∠AEB=180°，∠DEC+∠AED+∠AEB=180°，
∴∠BAE=∠DEC，
在△AEF與△EDC中，
∠EAF=∠DEC∠AFE=∠CAE=ED，
∴△AEF≌△EDCAAS，
∴AF=EC=2，
∴AB=AF+BF=2+4=6，
∵∠AHB=90°，∠BAH=90°?∠B=30°，
∴BH=12AB=3，AH=3BH=33，
∴HE=BE?BH=8?3=5，
∴tan∠AEH=AHHE=335．
故選：C．
【點睛】此題考查了解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義等知識，準確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023春·湖北襄陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABD中，∠A=90°，若BE=mAC，CD=mAB，連接BC、DE交于點F，則cs∠BFE的值為 ．
【答案】m2+1m2+1
【分析】過C作CG⊥BC，過D作DG⊥AD，如圖所示，先證明△ABC∽△DCG，得到BE=ma=DG，從而判定四邊形BEDG是平行四邊形，進而ED∥BG，得到∠BFE=∠CBG，在Rt△ABC中，BC=a2+b2；在Rt△CDG中，GC=ma2+b2；在Rt△BCG中，BG=BC2+CG2=1+m2a2+b2，即可得到cs∠BFE=cs∠CBG=BCBG=a2+b21+m2a2+b2=m2+1m2+1．
【詳解】解：過C作CG⊥BC，過D作DG⊥AD，如圖所示：
∴DG∥AB，∠BCG=90°，∠CDG=90°，
∵ ∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵∠BCG=90°，
∴∠ACB+∠DCG=90°，
∴∠ABC=∠DCG，
∴△ABC∽△DCG，
∴ABDC=ACDG，
∵ BE=mAC，CD=mAB，
設AC=a,AB=b，則BE=ma,CD=mb，則bmb=aDG，解得DG=ma，
∴BE=ma=DG，
∵BE∥DG，
∴四邊形BEDG是平行四邊形，
∴ ED∥BG，
∴ ∠BFE=∠CBG，
在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=a,AB=b，則BC=a2+b2，
在Rt△CDG中，∠CDG=90°，BE=ma,CD=mb，則GC=ma2+b2，
在Rt△BCG中，∠BCG=90°，則BG=BC2+CG2=1+m2a2+b2 cs∠BFE=cs∠CBG=BCBG=a2+b21+m2a2+b2=m2+1m2+1，
故答案為：m2+1m2+1．
【點睛】本題考查求三角函數(shù)值，涉及相似三角形判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理及余弦函數(shù)定義，準確構(gòu)造輔助線，熟練運用相似三角形判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于點D，過D作DE∥BC交AC于點E，將△DEC沿DE折疊得到△DEF，DF交AC于點G．若AGGE=73，則tanA= ．

【答案】377
【分析】過點G作GM⊥DE于M，證明△DGE∽△CGD，得出DG2=GE×GC，根據(jù)AD∥GM，得AGGE=73=DMME，設GE=3,AG=7，EM=3n，則DM=7n，則EC=DE=10n，在Rt△DGM中，GM2=DG2?DM2，在Rt△GME中，GM2=GE2?EM2，則DG2?DM2=GE2?EM2，解方程求得n=34，則EM=94，GE=3，勾股定理求得GM，根據(jù)正切的定義，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點G作GM⊥DE于M，

∵CD平分∠ACB交AB于點D，DE∥BC
∴∠1=∠2,∠2=∠3
∴∠1=∠3
∴ED=EC
∵折疊，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠4,
又∵∠DGE=∠CGD
∴△DGE∽△CGD
∴DGCG=GEDG
∴DG2=GE×GC
∵∠ABC=90°，DE∥BC，則AD⊥DE，
∴AD∥GM
∴AGGE=DMME，∠MGE=∠A，
∵AGGE=73=DMME
設GE=3,AG=7，EM=3n，則DM=7n，則EC=DE=10n，
∵DG2=GE×GC
∴DG2=3×3+10n=9+30n
在Rt△DGM中，GM2=DG2?DM2
在Rt△GME中，GM2=GE2?EM2
∴DG2?DM2=GE2?EM2
即9+30n?7n2=32?3n2
解得：n=34
∴EM=94，GE=3
則GM=GE2?ME2=32?942=374
∴tanA=tan∠EGM=MEMG=94374=377
故答案為：377．
【點睛】本題考查了求正切，折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·江蘇常州·九年級校考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4，AD是BC邊上的高，將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)到△EFC（點E、F分別與點A、B對應），點F落在線段AD上，連接AE，則cs∠EAF= ．
【答案】21?2310
【分析】過點E作EG⊥AD于點G，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求cs∠FCD=CDCF=12，進而可證△ACE是等邊三角形，可求出AD=21?23，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點E作EG⊥AD于點G，
∵將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)，點B落在線段AD上的點F處，
∴CF=BC=4，CE=EF=AB=5，∠ACB=∠ECF，AC=EC，
∴∠FCD+∠ACF=∠ACE+∠ACF，
∴∠FCD=∠ACE；
∵AB=AC，AD是BC邊上的高，
∴CD=12BC=2，
∴cs∠FCD=CDCF=24=12，
∴∠FCD=60°，
∴DF=CF?sin∠FCD =4×32=23，
∴∠ACE=∠FCD=60°，
∵AC=EC，
∴△ACE是等邊三角形，
∴AE=EF=5，
∴在Rt△ACD中
AD=AC2?CD2 =52?22=21，
∴AF=AD?DF =21?23，
∵AE=EF，EG⊥AD，
∴AG=12AF=21?232，
∴cs∠EAF=AGAE =21?2325 =21?2310．
故答案為：21?2310．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形“三線合一”，等邊三角形的判定及性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)等，掌握相關(guān)性質(zhì)及定理，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【題型2 用等角轉(zhuǎn)換法求銳角三角函數(shù)值】
【例2】（2023秋·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期末）已知點P在△ABC內(nèi)，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱點P為△ABC的自相似點，如圖，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，如果點P為直角△ABC的自相似點，那么tan∠ACP= ．
【答案】512
【分析】先找到Rt△ABC的內(nèi)相似點，再根據(jù)三角函數(shù)的定義計算tan∠ACP即可．
【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴∠CAB0)，先根據(jù)余弦三角函數(shù)得出BE的長，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得BB′的長，從而可得AB′的長，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得A′C=4a，∠A=∠A′，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得B′DCD=AB′A′C，由此即可得出答案．
【詳解】如圖，過點C作CE⊥AB于點E
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，csB=BCAB=35
∴可設BC=3a(a>0)，則AB=5a，AC=AB2?BC2=4a
∴△BCB′是等腰三角形
∴BB′=2BE（等腰三角形的三線合一）
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，B′C=BC=3a,A′C=AC=4a，∠A=∠A′
在Rt△BCE中，csB=BEBC，即BE3a=35
解得BE=9a5
∴BB′=2BE=18a5
∴AB′=AB?BB′=5a?18a5=7a5
在△AB′D和△A′CD中，∠A=∠A′∠ADB′=∠A′DC
∴△AB′D～△A′CD
∴B′DCD=AB′A′C=7a54a=720
故選：B．

【點睛】本題考查了余弦三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，通過作輔助線，運用余弦三角函數(shù)求出BE的長是解題關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，連接CD，則CD長的最大值是（ ）
A．25+34B．25+1C．25+32D．25＋2
【答案】B
【分析】過點A作∠DAP=∠BAC，過點D作AD⊥DP交AP于點P，分別求出PD，PC，在△PDC中，利用三角形的三邊關(guān)系即可求出CD長的最大值．
【詳解】解：如圖，過點A作∠DAP=∠BAC，過點D作AD⊥DP交AP于點P，
∵∠ABC=90°，tan∠BAC=12，
∴tan∠DAP=tan∠BAC=12，
∴DPAD=12，
∵AD=2，
∴DP=1，
∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC，
∴△ADP∽△ABC，
∴APAC=ADAB，
∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC，
∴∠DAB=∠PAC，APAC=ADAB，
∴△ADB∽△APC，
∴ADAP=DBPC，
∵AP=AD2+DP2=22+12=5，
∴PC=AP?DBAD=5×42=25，
∴PD+PC=1+25，PC?PD=25?1，
在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC?PD

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