TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11333" 【題型1 反比例函數(shù)圖象的對稱性】 PAGEREF _Tc11333 \h 1
\l "_Tc28605" 【題型2 反比例函數(shù)概念、性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 PAGEREF _Tc28605 \h 6
\l "_Tc1991" 【題型3 兩種函數(shù)圖象的共存問題】 PAGEREF _Tc1991 \h 8
\l "_Tc11269" 【題型4 利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)解方程或不等式】 PAGEREF _Tc11269 \h 11
\l "_Tc32549" 【題型5 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用】 PAGEREF _Tc32549 \h 18
\l "_Tc30566" 【題型6 反比例函數(shù)與幾何圖形的面積的綜合】 PAGEREF _Tc30566 \h 24
\l "_Tc26162" 【題型7 反比例函數(shù)的圖象與幾何變換問題】 PAGEREF _Tc26162 \h 32
\l "_Tc19921" 【題型8 與反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)有關(guān)的閱讀理解題】 PAGEREF _Tc19921 \h 42
\l "_Tc2780" 【題型9 反比例函數(shù)中的存在性問題】 PAGEREF _Tc2780 \h 50
\l "_Tc2103" 【題型10 反比例函數(shù)中的規(guī)律問題】 PAGEREF _Tc2103 \h 62
【知識點(diǎn) 反比例函數(shù)圖象的對稱性】
（1）中心對稱，對稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)
（2）軸對稱：對稱軸為直線和直線
【題型1 反比例函數(shù)圖象的對稱性】
【例1】（2023春·杭州九年級期末測試）如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點(diǎn)O，且正方形的一組對邊與x軸平行，若正方形的邊長是2，則圖中陰影部分的面積等于 ．

【答案】1
【分析】設(shè)反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx，由題意可得：P點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,1)，根據(jù)正方形與反比例函數(shù)中心對稱的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx，
由題意可得：P點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,1)，
故圖中陰影部分的面積為：1×1=1．
故答案為：1．

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，k的幾何意義，中心對稱的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A3a,?a是反比例函數(shù)y=kx的圖象與⊙O的一個(gè)交點(diǎn)，圖中陰影部分的面積為4π，則反比例函數(shù)的解析式為 ．
【答案】y=?43x
【分析】首先根據(jù)圓的對稱性以及反比例函數(shù)的對稱性可得：14πr2=4π，即可求得圓的半徑，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可得a2=4，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：設(shè)圓的半徑是r，根據(jù)圓的對稱性以及反比例函數(shù)的對稱性可得：14πr2=4π，
解得：r=4．
∵點(diǎn)A3a,?a是反比例函y=kx的圖象與⊙O的一個(gè)交點(diǎn)．
∴?3a2=k且?3a2+?a2=r，
∴a2=4．
∴k=?3×4=?43，
則反比例函數(shù)的解析式是：y=?43x．
故答案為：y=?43x．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，勾股定理，求反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握和運(yùn)用反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·福建漳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線y=kxk≠0經(jīng)過點(diǎn)A1,2，B2,m．直線AO，BO分別交該雙曲線另一支于點(diǎn)C，D，順次連接AB，BC，CD，DA．求證：四邊形ABCD是矩形．
【答案】見解析
【分析】將點(diǎn)A代入y=kxk≠0中求出k，再將點(diǎn)B代入y=2x中，求出點(diǎn)B坐標(biāo)，求出OA，OB的長，根據(jù)對稱性得到OA=OB=OC=OD，即可證明結(jié)論．
【詳解】解：將A1,2代入y=kxk≠0中，得：
k=2，
∴y=2x，將B2,m代入y=2x中，
∴m=22=1，即B2,1，
∴OA=12+22=5，OB=12+22=5，
∴OA=OB，
由反比例函數(shù)對稱性可得：OA=OC，OB=OD，
即OA=OB=OC=OD，
∴四邊形ABCD是矩形．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)，對稱性，矩形的判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是求出OA和OB的長，熟練運(yùn)用矩形的判定定理．
【變式1-3】（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）如圖，過原點(diǎn)的直線交反比例函數(shù)y=ax圖象于P、Q點(diǎn)，過點(diǎn)Р分別作x軸，y軸的垂線，交反比例函數(shù)y=bxx>0的圖象于A、B點(diǎn)，已知b?a=3，則圖中陰影部分的面積為 ；且當(dāng)S△APB=3時(shí)，b的值為 ．
【答案】 6 92
【分析】連接OA，OB，延長BP交x軸于點(diǎn)C，易求S△BOP＝S△BOC－S△COP＝12b－12a＝32，
由P，Q關(guān)于與原點(diǎn)成中心對稱，得OP=OQ，利用等底同高的三角形的面積相等可得S△BPO＝S△BQO，易求S△BPQ＝2S△BOP＝3，同理可得：S△APQ＝2S△AOP＝3所以S陰影=6．設(shè)點(diǎn)C（m，0）m＞0．則P（m，am），A（m，bm），B（bma,am），即可求得AP＝3m,BP=3ma，利用三角形面積公式得到12AP·BP=12×3m×3ma=3，，解得a＝1．5，進(jìn)一步求得b=92．
【詳解】
連接PQ，OA，OB，延長BP交x軸于點(diǎn)C，
設(shè)點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)為m，m＞0.則P（m，am），B（m，bm）
∴OC=m，PC=am，BC=bm
∴S△POC=12OC×PC＝12a，S△BOC＝12ＯＣ×ＢＣ＝12b
∴S△BOP＝S△BOC－S△COP＝12b－12a＝32
∵P、Q關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，
∴OP=OQ
∴S△BPO＝S△BQO
∴S△BPQ＝2S△BOP＝3
同理可得：S△APQ＝2S△AOP＝3
所以S陰影＝S△POP+S△POA=3+3=6
設(shè)點(diǎn)C（m，0）m＞0．
則P（m，am），A（m，bm），B（bma，am），
∴AP＝bm?am=3m，BP=bma?m=b?ama=3ma，
∵S△APB＝3，
∴12AP·BP=12×3m×3ma=3，
∴a＝32，
∵b?a＝3，∴b＝92，
故答案為：6，92．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)，三角形的面積．利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．
【題型2 反比例函數(shù)概念、性質(zhì)的綜合應(yīng)用】
【例2】（2023春·湖南張家界·九年級統(tǒng)考期中）已知反比例函數(shù)y＝（2m+1）xm2?5的圖象在第一、三象限，求m的值．
【答案】2
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義可知m2﹣5＝﹣1，又根據(jù)圖象所在象限可得2m+1＞0，解不等式即可求得m的取值范圍．
【詳解】解：∵y=2m+1xm2?5是反比例函數(shù)
∴m2﹣5＝﹣1，
解得：m＝2 或m＝﹣2，
∵反比例函數(shù)y=2m+1xm2?5的圖象在第一、三象限，
又 2m+1＞0，解得：m＞?12，
∴m＝2．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的定義與圖象性質(zhì)，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法，掌握反比例函數(shù)的定義以及圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·湖南衡陽·九年級校聯(lián)考期中）已知y是x的反比例函數(shù)，且函數(shù)圖象過點(diǎn)A?3,8．
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)x取何值時(shí)，y=23．
【答案】(1)y=?24x
(2)x=?36
【分析】（1）設(shè)該反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=kxk≠0，將點(diǎn)A代入表達(dá)式即可求解；
（2）將y=23代入（1）所求表達(dá)式即可求解；
【詳解】（1）解：設(shè)該反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=kxk≠0；
將A?3,8代入y=kx得，
8=k?3，解得k=?24：
∴y=?24x．
（2）將y=23代入y=?24x中，
23=?24x，解得：x=?36．
【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)，掌握反比例函數(shù)相關(guān)知識并正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）若反比例函數(shù)y=(2m?1)xm2?2的圖象在第二、四象限，則m的值是 ．
【答案】?1
【分析】讓未知數(shù)的指數(shù)為-1，系數(shù)小于0列式求值即可．
【詳解】∵是反比例函數(shù)，
∴m2-2=-1，
解得m=1或-1，
∵圖象在第二、四象限，
∴2m-1＜0，
解得m＜0.5，
∴m=-1，
故答案為-1．
【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)的定義及性質(zhì)：一般形式為y＝kx（k≠0）或y=kx-1（k≠0）；圖象在二、四象限，比例系數(shù)小于0．
【變式2-3】（2023春·江蘇南通·九年級南通田家炳中學(xué)?？计谥校┓幢群瘮?shù)y1=(m+1)x3?m2的圖象如圖所示．
（1）求m的值；
（2）當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y的取值范圍是 ；
（3）當(dāng)直線y2＝﹣x與雙曲線y1=(m+1)x3?m2交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊）時(shí)，結(jié)合圖象，求出在什么范圍時(shí)y2＞y1？
【答案】（1）-2；（2）y＞1或y＜0；（3）x＜﹣1或0＜x＜1
【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的定義以及性質(zhì)，即可得到m的值；
（2）直接根據(jù)反比例函數(shù)的圖象進(jìn)行解答即可．
（3）解析式聯(lián)立求得A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)A、B的坐標(biāo)，然后觀察函數(shù)圖象求解．
【詳解】解：（1）反比函數(shù)y1=(m+1)x3?m2在二四象限，
∴m+10)圖像向下運(yùn)動而增大，
當(dāng)S△MAE=S△ACE時(shí)，12m2m+8?116m+2=6，即m2?7m?8=0，根據(jù)十字相乘法對m2?7m?8因式分解得到m?8m+1=0，
∵m>0，1>0
∴m+1>0，
∴根據(jù)兩個(gè)數(shù)（式）相乘結(jié)果為0，若其中一個(gè)不等于0，則另一個(gè)數(shù)（式）必定為0，則m?8=0，解得m=8；
∴M8,2，
∴若S△MAE>S△ACE，則m的取值范圍為m>8；
②若點(diǎn)M在直線DE左側(cè)，?隨著點(diǎn)M沿著y=16x(x>0)圖像向上運(yùn)動而增大，
當(dāng)S△MAE=S△ACE時(shí)，121?m2m+816m+2=6，即m2+5m?8=0，配方得到m2+5m?8=m+522?574，則m+522=574，直接開平方得m=?52?572或m=?52+572，
∵m>0，
∴m=?52?572舍棄，取m=?52+572
∴若S△MAE>S△ACE，則m的取值范圍為02）；②圖見解析，y=4x；③AB；④是為定值，定值為?4
【分析】（1）直接根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義可以判斷點(diǎn)C是不是“美好點(diǎn)”，根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義得到2×4+b=4b，進(jìn)行計(jì)算即可得到b的值；
（2）①根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義求出m的值，得到E的坐標(biāo)，將點(diǎn)E代入反比例函數(shù)解析式，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；②先由①得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式，令直線EF與x軸交于點(diǎn)G，當(dāng)y=0時(shí)，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，最后根據(jù)S△EOF=S△FOG?S△EOG進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）①根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義可得2x+y=xy，化簡整理即可得到答案；②描點(diǎn)連線即可得到圖象，由圖象觀察可知，該圖像可由y=4x平移得到；③先畫出草圖，再根據(jù)圖象逐一判斷即可得到答案；④將y=4x?2+2代入2?x?y?2進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：（1）∵2+3×2=10≠2×3=6，
∴點(diǎn)C2，3不是“美好點(diǎn)”，
∵點(diǎn)D4，b是第一象限內(nèi)的一個(gè)“美好點(diǎn)”，
∴2×4+b=4b，
解得：b=4，
故答案為：不是，4；
（2）①∵ Em，6m>0是“美好點(diǎn)”，
∴2×m+6=6m，
解得：m=3，
∴E3，6，
將E3，6代入雙曲線y=kx，
得k=18，
故答案為：18；
②∵ F2，n在雙曲線y=kx上，
∴n=182=9，
∴F2，9，
設(shè)直線EF的解析式為：y=ax+b，
∴2a+b=93a+b=6，
解得a=?3b=15，
∴直線EF的解析式為：y=?3x+15，
令直線EF與x軸交于點(diǎn)G，
當(dāng)y=0時(shí)，?3x+15=0，
解得：x=5，
∴G5，0，
畫出圖如圖所示：

∴S△EOF=S△FOG?S△EOG=12×5×9?12×5×6=152；
（3）①∵點(diǎn)Px，y是第一象限內(nèi)的“美好點(diǎn)”，
∴2x+y=xy，
化簡得：y=2xx?2=4x?2+2，
∵第一象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正，
∴x>02xx?2>0x?2≠0，
解得：x>2，
∴ y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：y=4x?2+2（x>2）；
②畫出草圖如圖所示：

該圖像可由y=4x向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度得到，
故答案為：y=4x；
③由圖象可得：
A.圖象與經(jīng)過點(diǎn)2，2且平行于坐標(biāo)軸的直線沒有交點(diǎn)，故A正確，符合題意；
B.由圖象可知y隨著x的增大而減小，故B正確，符合題意；
C.y隨著x的增大而增大，該選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
D.當(dāng)x=10時(shí)，y=52，所以圖像經(jīng)過點(diǎn)10，52，故該選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意
故選：AB；
④∵ y=4x?2+2，
∴2?xy?2=2?x4x?2+2?2=?4，
∴對于圖像上任意一點(diǎn)x，y，代數(shù)式2?x?y?2是為定值，定值為?4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，理解“美好點(diǎn)”的定義，是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023春·湖北荊州·九年級統(tǒng)考期末）九年級某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進(jìn)一步研究了函數(shù)y=2?xx的圖象與性質(zhì)，其探究過程如下：
(1)繪制函數(shù)圖象，如圖．列表：下表是x與y的幾組對應(yīng)值，其中m＝________；
描點(diǎn)：根據(jù)表中各組對應(yīng)值（x，y），在平面直角坐標(biāo)系中描出了各點(diǎn)；
連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫出了部分圖象．請你把圖象補(bǔ)充完整；
(2)觀察圖象并分析表格，回答下列問題；
①當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而________；（填“增大”或“減小”）
②函數(shù)y=2?xx的圖象是由函數(shù)y=2x的圖象向________平移________個(gè)單位長度而得到；
③函數(shù)y=2?xx的圖象關(guān)于點(diǎn)________成中心對稱；（填點(diǎn)的坐標(biāo)）
(3)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)是函數(shù)y=2?xx的圖象上的兩點(diǎn)，且x1+x2=0，試求y1+y2+3的值
【答案】(1)0，圖見解析
(2)①減??；②下；1；③0,?1
(3)1
【分析】（1）將x=2代入解析式求出函數(shù)值即可；將圖中的點(diǎn)用平滑的曲線進(jìn)行連接即可；
（2）根據(jù)圖象進(jìn)行解答即可；
（3）將點(diǎn)代入解析式，結(jié)合x1+x2=0進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)x=2時(shí)：y=2?22=0，
∴m=0；
如圖：
（2）解：如圖
①當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而減??；
②y=2?xx=2x?1，
∴函數(shù)y=2?xx的圖象是由函數(shù)y=2x的圖象向下平移1個(gè)單位長度而得到；
③∵y=2x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴y=2?xx的圖象關(guān)于0,?1對稱；
（3）把A（x1,y1）,B（x2,y2）代入函數(shù)y=2?xx得：
y1=2?x1x1=2x1?1， y2=2?x2x2=2x2?1
∵x1+x2=0，
∴y1+y2+3=2x1?1+2x2?1+3=2(x1+x2)x1x2+1=1．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象的平移和性質(zhì)．根據(jù)列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得到函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，將函數(shù)y=kxx>0的圖像T1向左平移4個(gè)單位得到函數(shù)y=kx+4x>?4的圖像T2，T2與y軸交于點(diǎn)A0,a．
(1)若a=3，求k的值
(2)如圖2，B為x軸正半軸上一點(diǎn)，以AB為邊，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，線段BC與T2相交于點(diǎn)E
①求正方形ABCD的面積；
②直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【答案】(1)k＝12
(2)①正方形ABCD的面積為8；②E?1+17，17?3
【分析】（1）先計(jì)算點(diǎn)A平移前的坐標(biāo)為（4，3），這點(diǎn)在圖象T1上，代入函數(shù)y＝kx(x＞0)中可得k的值；
（2）①先根據(jù)點(diǎn)A（0，a）可得k＝4a，如圖2，過點(diǎn)D作FM⊥y軸于M，過點(diǎn)C作CF⊥FM于F，證明△DMA≌△AOB（AAS），表示點(diǎn)D和C的坐標(biāo)，可解答；
②利用待定系數(shù)法可得BC的解析式，與平移后的函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立方程，解方程可得點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：當(dāng)a＝3時(shí)，A（0，3）
∴點(diǎn)A平移前的點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，3）
∴k＝4×3＝12．
（2）解：①把點(diǎn)A（0，a）代入y＝kx＋4中得：a＝k4，
∴k＝4a，
過點(diǎn)D作FM⊥y軸于M，過點(diǎn)C作CF⊥FM于F，如圖所示：
∴∠DMA＝90°，
∴∠DAM＋∠ADM＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAM＋∠BAO＝90°，
∴∠MDA＝∠BAO，
∴△DMA≌△AOB（AAS），
∴DM＝OA＝a，
當(dāng)x＝a時(shí)，y=4aa=4，
∴AM＝4?a，
同理得：△AMD≌△DFC（AAS），
∴DF＝AM＝4?a，CF＝DM＝a，
∴C（4，4?a），
∴4（4?a）＝4a，
∴a＝2，
∴正方形ABCD的面積＝AD2＝a2＋（4?a）2＝4＋4＝8；
②由①得：B（2，0），C（4，2），
設(shè)BC的解析式為：y＝mx＋b，
則2m＋b＝04m＋b＝2，解得：m＝1b＝?2，
∴BC的解析式為：y＝x?2，
∴x?2＝8x＋4，
解得：x=?1±17，
∵點(diǎn)E在第一象限，
∴x=?1+17，
∴E?1+17，17?3．
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，平移的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)等知識，作輔助線，構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵，還體現(xiàn)了方程思想，難度適中．
【變式7-3】（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學(xué)?？计谀┰诔踔须A段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達(dá)式——利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)——運(yùn)用函數(shù)解決問題”的學(xué)習(xí)過程，在畫函數(shù)圖象時(shí)，我們可以通過列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，也可以利用平移、對稱、旋轉(zhuǎn)等圖形變換的方法畫出函數(shù)圖象，同時(shí)，我們也學(xué)習(xí)了絕對值的意義：a=aa≥0?aa

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