TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc7244" 【題型1 由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值】 PAGEREF _Tc7244 \h 1
\l "_Tc1659" 【題型2 由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過代換求代數(shù)式的值】 PAGEREF _Tc1659 \h 3
\l "_Tc7564" 【題型3 由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過降次求代數(shù)式的值】 PAGEREF _Tc7564 \h 5
\l "_Tc29040" 【題型4 由方程兩根滿足關(guān)系求字母的值】 PAGEREF _Tc29040 \h 8
\l "_Tc7343" 【題型5 不解方程由根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的正負(fù)】 PAGEREF _Tc7343 \h 10
\l "_Tc3999" 【題型6 由方程兩根的不等關(guān)系確定字母系數(shù)的取值范圍】 PAGEREF _Tc3999 \h 12
\l "_Tc23671" 【題型7 構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值】 PAGEREF _Tc23671 \h 15
\l "_Tc14820" 【題型8 已知方程根的情況判斷另一個(gè)方程】 PAGEREF _Tc14820 \h 17
\l "_Tc30442" 【題型9 根與系數(shù)關(guān)系中的新定義問題】 PAGEREF _Tc30442 \h 20
\l "_Tc7267" 【題型10 根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的綜合應(yīng)用】 PAGEREF _Tc7267 \h 24
【知識(shí)點(diǎn) 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系】
若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的兩根為x1，x2，則x1+x2=?ba，x1?x2=ca．
注意它的使用條件為，a≠0，Δ ≥0.
【題型1 由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值】
【例1】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若x1，x2是一元二次方程x2?2x?3=0的兩個(gè)根，則x12+x22+x1x2的值是（ ）
A．?7B．?1C．1D．7
【答案】D
【分析】利用兩根之和為x1+x2=?ba，兩根之積為x1x2=ca，計(jì)算即可．
【詳解】解：∵ x1、x2是一元二次方程x2?2x?3=0的兩個(gè)根，
∴x1+x2=2，x1x2=?3，
∴x12+x22+x1x2=x1+x22?x1x2=4??3=7，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系的公式．
【變式1-1】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知m，n是一元二次方程x2+3x?2=0的兩根，則2m?n?m+3nm2?n2的值是（ ）
A．?3B．?2C．?13D．?12
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出m+n=?3，然后將分式化簡(jiǎn)，代入m+n=?3即可求解．
【詳解】解：∵m，n是一元二次方程x2+3x?2=0的兩根，
∴m+n=?3，
∴2m?n?m+3nm2?n2
=2m+n?m+3nm+nm?n
=2m+2n?m?3nm+nm?n
=m?nm+nm?n
=1m+n
=?13，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）已知a，b是方程x2+6x+4=0的兩個(gè)根，則bba+aab的值 ．
【答案】?14
【分析】由根與系數(shù)關(guān)系知a+b=?6，ab=4，即知a＜0，b＜0，化簡(jiǎn)原式bba+aab=?ab((a+b)2?2abab)，所以原式=?14
故答案為：﹣14．
【詳解】解：∵a，b是方程x2+6x+4=0的兩個(gè)根，
∴a+b=?6，ab=4，
∴a＜0，b＜0，
∴bba+aab=?baab?abab=?ab(ba+ab)=?ab(a2+b2ab)=?ab((a+b)2?2abab)
∴原式=?4×(?6)2?2×44=?2×7=?14
故答案為：﹣14．
【點(diǎn)睛】本題主要考查根與系數(shù)關(guān)系、完全平方公式變形及二次根式的運(yùn)算及化簡(jiǎn)；能夠根據(jù)a,b的關(guān)系式確定其取值范圍，進(jìn)而準(zhǔn)確處理二次根式的運(yùn)算及化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）已知x1、x2是方程x2?7x+8=0的兩根，且x1>x2，則2x1+3x2的值為 ．
【答案】28+217179
【分析】由題意可得x1+x2=7，x2=7?172，然后代入所求式子計(jì)算即可.
【詳解】解：∵x1、x2是方程x2?7x+8=0的兩根，
∴x1+x2=7，x=7±72?4×82=7±172，
∵x1>x2，
∴x2=7?172，
∴2x1+3x2=2x1+x2+2x2=27+2×7?172=214?17=28+217179；
故答案為：28+217179.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的求解、根與系數(shù)的關(guān)系以及二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握一元二次方程的相關(guān)知識(shí)、正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.
【題型2 由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過代換求代數(shù)式的值】
【例2】（2023春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）設(shè)α、β是方程 x2+x+2012=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 α2+2α+β的值為（ ）
A．－2014B．2014C．2013D．－2013
【答案】D
【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，則α2+2α+β可化為α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=-1，再利用整體代入的方法計(jì)算即可．
【詳解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，
∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，
∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，
∵α，β是方程x2+x+2012=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴α+β=-1，
∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．
故選D．
【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1x2=ca．
【變式2-1】（2023春·湖北恩施·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2+3x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a+22+b的值為( )
A．32B．5C．2D．?2
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程的根的定義可得a2+3a=1，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得ab=?1，代入代數(shù)式即可求解．
【詳解】解：∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2+3x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴a2+3a=1，a+b=?3
∴a+22+b =a2+4a+4+b=a2+3a+a+b+4=1?3+4=2，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出a2+3a=1，a+b=?3是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測(cè)）若α、β是一元二次方程x2?3x?9=0的兩個(gè)根，則α2?4α?β的值是 ．
【答案】6
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得α+β=3，由根的定義可得α2?3α=9，代入即可得答案．
【詳解】∵α2?3α=9，α+β=3，
∴α2?4α?β=α2?3α?α?β=α2?3α?α+β=6．
故答案為：6
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系及方程根的概念．
【變式2-3】（2023春·安徽池州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的兩個(gè)根，則α2+2024α+2β2+2024β+2的值為（ ）
A．?2021B．2021C．?2023D．2023
【答案】A
【分析】由α和β是方程x2+2023x+1=0的兩個(gè)根，根據(jù)根于系數(shù)關(guān)系可得，α?β=1，α+β=?2023，由一元二次方程根的定義可得α2+2023α+1=0，β2+2023β+1=0，即可求解；
【詳解】∵ α和β是方程x2+2023x+1=0的兩個(gè)根，
∴α2+2023α+1=0，
β2+2023β+1=0，
α?β=1，α+β=?2023，
∴α2+2024α+2β2+2024β+2
=α2+2023α+1+α+1β2+2023β+1+β+1
=α+1β+1
=α?β+α+β+1
=1?2023+1
=?2021
故選A．
【點(diǎn)睛】該題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，熟記一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系公式是解答該題的關(guān)鍵．
【題型3 由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過降次求代數(shù)式的值】
【例3】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若p、q是方程x2?3x?1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式p3?4p2?2q+5的值為 ．
【答案】?2
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到p2?3p?1=0，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到p+q=3，然后利用整體思想計(jì)算即可．
【詳解】∵若p、q是方程x2?3x?1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴p2?3p?1=0，p+q=3，
∴p2=3p+1，
∴p3?4p2?2q+5
=pp2?3p?1?p2+p?2q+5
=?p2+p?2q+5
=?3p?1+p?2q+5
=?2p?2q+4
=?2p+q+4
=?2×3+4
=?2，
故答案為：?2．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解，利用整體思想降次消元是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·山東日照·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a，b是方程x2?x?3=0的兩個(gè)根，則代數(shù)a2+2b2+a+ab的值為 ．
【答案】8
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及解的定義，得a+b=1，ab=?3，b2?b?3=0，a2?a?3=0，再代入降次求值即可．
【詳解】解：由題意，得a+b=1，ab=?3，b2?b?3=0，a2?a?3=0，
b2=b+3，a2=a+3，
原式=a+3+2b+6+a?3，
=2(a+b)+6，
=2×1+6，
=8．
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，整式的化簡(jiǎn)求值，本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．
【變式3-2】（2023春·浙江溫州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知α、β是方程x2+x?1=0的兩根，則α4β?β3+5的值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得出α+β=?1，αβ=?1，α2=1?α，β2=1?β，再對(duì)所求式子變形整理，求出答案即可．
【詳解】解：∵α、β是方程x2+x?1=0的兩根，
∴α+β=?1，αβ=?1，α2=1?α，β2=1?β，
∴α4β?β3+5
=α3×?1?β3+5
=?α1?α?β1?β+5
=?α+α2?β+β2+5
=?α+1?α?β+1?β+5
=?2α+β+7
=?2×?1+7
=9，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系，若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的兩根為x1，x2，則x1+x2=?ba，x1?x2=ca．
【變式3-3】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知a，b是方程x2?x?1=0的兩根，則代數(shù)式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（ ）
A．19B．20C．14D．15
【答案】D
【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得：a+b=1，再由a與b是方程的兩根可得a2=a+1，b2=b+1，把a(bǔ)3與b3采用降次的方法即可求得結(jié)果的值．
【詳解】∵a與b是方程x2?x?1=0的兩根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵a3=a2·a=(a+1)a=a2+a=a+1+a=2a+1，同理：b3=2b+1
∴2a3+5a+3b3+3b+1
=2(2a+1)+5a+3(2b+1)+3b+1
=9a+9b+6
=9(a+b)+6
=9×1+6
=15
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的概論、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值，靈活進(jìn)行整式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
【題型4 由方程兩根滿足關(guān)系求字母的值】
【例4】（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2?8x+m=0兩根為x1、x2，且x1=3x2，則m的值為（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=8，然后即可確定兩個(gè)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2?8x+m=0兩根為x1、x2，
∴x1+x2=8，
∵x1=3x2，
∴x2=2,x1=6，
∴m=x1x2=12，
故選：C．
【點(diǎn)睛】題目主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握此關(guān)系是解題關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023·上?！ぞ拍昙?jí)校考期中）已知關(guān)于x的方程x2+(2k?1)x+k2?1=0的兩根為x1,x2滿足：x12+x22=16+x1x2，求實(shí)數(shù)k的值
【答案】k=?2
【分析】利用根的判別式求出k的取值范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2=1?2k，x1x2=k2?1，代入x12+x22=16+x1x2，即可求得k的值.
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2+2k?1x+k2?1=0的兩根為x1,x2
∴Δ=b2?4ac=(2k?1)2?4×1×(k2?1)≥0
解得：k≤54
x1+x2=1?2k，x1x2=k2?1
∵x12+x22=16+x1x2
∴x12+x22?x1x2=16
(x1+x2)2?3x1x2=16
代入x1+x2=1?2k，x1x2=k2?1 得：
(1?2k)2?3(k2?1)=16
解得：k1=6,k2=?2
∵k≤54
∴k=?2
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程求解，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.
【變式4-2】（2023春·廣東佛山·九年級(jí)校考階段練習(xí)）方程x2?k2?4x+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則k的值是 ．
【答案】?2
【分析】設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=k2?4=0，解得k=±2，然后分別計(jì)算Δ，最后確定k=?2．
【詳解】解：設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，
∵方程x2?k2?4x+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，，
∴x1+x2=k2?4=0，解得k=±2，
當(dāng)k=2，方程變?yōu)椋簒2+3=0，Δ =?12＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根，所以k=2舍去；
當(dāng)k=?2，方程變?yōu)椋簒2?1=0，Δ =4＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
∴k=?2．
故答案為：?2．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根分別為x1，x2，則x1+x2=?ba； x1?x2=ca．也考查了一元二次方程的根的判別式Δ=b2?4ac：當(dāng)Δ ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ =0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．
【變式4-3】（2023春·安徽馬鞍山·九年級(jí)安徽省馬鞍山市第七中學(xué)校考期末）若m、n是關(guān)于x的方程x2+2k+3x+k2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且1m+1n=?1，則k的值為 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=?2k?3，mn=k2，再根據(jù)1m+1n=?1得到k2?2k?3=0，解方程求出k的值，最后用根的判別式驗(yàn)證是否符合題意即可．
【詳解】解：∵m、n是關(guān)于x的方程x2+2k+3x+k2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴m+n=?2k?3，mn=k2，
∵1m+1n=?1，
∴m+nmn=?1，即m+n=?mn，
∴??2k?3=k2，
∴k2?2k?3=0，
解得k=3或k=?1，
又∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ=2k+32?4k2>0，
∴k>?34，
∴k=3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【題型5 不解方程由根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的正負(fù)】
【例5】（2023春·江蘇南京·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的方程x?2x+1=p2（p為常數(shù)）根的情況，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．有兩個(gè)相異正根 B．有兩個(gè)相異負(fù)根C．有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根D．無實(shí)數(shù)根
【答案】C
【分析】先對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)一元二次方程根的判別式可進(jìn)行求解．
【詳解】解：由題意得：方程可化為x2?x?2?p2=0，
∴Δ=?12?4?2?p2=1+8+4p2=4p2+9>0，
∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
設(shè)該方程的兩個(gè)根為x1,x2，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：x1?x2=?2?p20，x1?x2=12>0，
∴方程的兩根同號(hào)，且兩根都是正數(shù)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩根x1，x2滿足x1+x2=?ba，x1?x2=ac是解題關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·江蘇南通·九年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a、b、c是△ABC的三條邊的長(zhǎng)，那么方程cx2+a+bx+c4=0的根的情況是（ ）
A．沒有實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
【答案】C
【分析】首先根據(jù)根的判別式Δ=b2?4ac，結(jié)合三角形三邊關(guān)系，得出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，判斷出兩根之和和兩根之積的符號(hào)，即可作出判斷．
【詳解】解：在方程cx2+a+bx+c4=0中，
可得：Δ=a+b2?4c?c4=a+b2?c2，
∵a、b、c是△ABC的三條邊的長(zhǎng)，
∴a>0，b>0，c>0．a(chǎn)+b>c，即a+b2>c2，
∴a+b2?c2>0，
∴Δ>0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
又∵兩根的和是?a+bc0，
∴方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程根的判別式、三角形的三邊關(guān)系，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，判斷出方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根．
【變式5-3】（2023·九年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）已知a0，c

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