TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30574" 【題型1 利用相似三角形的性質(zhì)求面積】 PAGEREF _Tc30574 \h 2
\l "_Tc11487" 【題型2 添加條件使兩三角形相似】 PAGEREF _Tc11487 \h 5
\l "_Tc31088" 【題型3 根據(jù)圖形數(shù)據(jù)判斷兩三角形相似】 PAGEREF _Tc31088 \h 8
\l "_Tc19781" 【題型4 坐標(biāo)系中確定坐標(biāo)使兩三角形相似】 PAGEREF _Tc19781 \h 11
\l "_Tc25754" 【題型5 確定相似三角形的對(duì)數(shù)】 PAGEREF _Tc25754 \h 15
\l "_Tc26575" 【題型6 相似三角形的證明】 PAGEREF _Tc26575 \h 18
\l "_Tc15753" 【題型7 找格點(diǎn)中的相似三角形】 PAGEREF _Tc15753 \h 23
\l "_Tc11643" 【題型8 由圖形相似求線段長(zhǎng)度】 PAGEREF _Tc11643 \h 26
【知識(shí)點(diǎn)1 相似三角形的性質(zhì)】
【題型1 利用相似三角形的性質(zhì)求面積】
【例1】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△OAB∽△OCD，且OA:OC=6:5,∠A=α,∠B=β,△OAB與△OCD的面積分別是S1和S2，△OAB與△OCD的周長(zhǎng)分別是C1和C2，則一定成立的等式是（ ）
A．OBCD=65B．αβ=65C．S1S2=65D．C1C2=65
【答案】D
【分析】根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方，一一判斷即可．
【詳解】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC=6：5，
∴C1C2=OAOC=65,S1S2=(OAOC)2=3625，
∴選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
∵無(wú)法確定OAOD,OBCD和∠ A與∠B的比的值，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．
【變式1-1】（2023春·九年級(jí)上海市民辦文綺中學(xué)?？计谥校﹥蓚€(gè)相似三角形的面積之差為3cm2，周長(zhǎng)比是2：3，那么較小的三角形面積是 cm2．
【答案】125
【分析】根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到面積比，設(shè)較小三角形的面積為4S，則較大三角形的面積為9S，列出等量解出S的值即可求出結(jié)果．
【詳解】解：∵兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比是2：3，
∴兩個(gè)三角形的面積比等于4：9，
設(shè)較小的三角形的面積為4S，
則較大的三角形面積為9S，
∴9S-4S=3，
解得S=35
∴較小三角形的面積為4S=125cm2．
故答案為：125
【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的性質(zhì)，相似三角形周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方，熟記相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外校考期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，若ΔABC∽ΔDCE，則ΔDCE的面積是 ．
【答案】253
【分析】根據(jù)圖形得到BC=3，CE=5，?ΔABC=2，再根據(jù)面積比等于相似比平方即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得，
BC=3，CE=5， ?ΔABC=2，
∴BCCE=35，SΔABC=12×3×2=3 ，
∴SΔABC:SΔDCE=(35)2=925，
∴SΔDCE=3×259=253，
故答案為253．
【點(diǎn)睛】本題考查相似比與面積比的換算，解題關(guān)鍵是從圖形得到相似比，熟練掌握面積比是相似比平方．
【變式1-3】（2023春·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC=4cm，AD=33cm，AF=23cm．
（1）求DE的長(zhǎng)；
（2）求平行四邊形ABCD的面積．
【答案】（1）DE=6；（2）93cm2
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式，進(jìn)而即可求解；
（2）根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：（1）∵△ADF∽△DEC，
∴ADDE=AFDC，
∴33DE=234，
∴DE=6；
（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠EAD=∠AEB=90°，
∴在Rt△EAD中，AE2=DE2?AD2=62?332=9，
∴AE=3（cm），
∴S□ABCD=BC·AE=33×3=93cm2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握上述性質(zhì)和定理，是解題的關(guān)鍵．
【知識(shí)點(diǎn)2 相似三角形的判定】
【題型2 添加條件使兩三角形相似】
【例2】（2023春·山東濰坊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，ABCD是正方形，E是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，下列條件中，不能得到△ABP與△ECP相似的是（ ）

A．ABCE=BPCPB．P是BC的中點(diǎn)
C．∠BAP=∠EPCD．AB:BP=3:2
【答案】B
【分析】由四邊形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，又由E是CD的中點(diǎn)，易得CE:AB=1:2，然后分別利用相似三角形的判定定理，判定△ABP與△ECP相似．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=BC，
∵E是CD的中點(diǎn)，
∴CE:CD=1:2，
即CE:AB=1:2，
A、∵∠B=∠C，ABCE=BPCP，
∴△ABP∽△ECP，故A符合題意；
B、∵P是BC中點(diǎn)，
∴BP=PC=BC，
沒(méi)辦法判定△ABP與△ECP中各邊成比例，故B符合題意；
C、∵∠BAP=∠EPC時(shí)，∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCE，
故C不符合題意；
D、∵AB:BP=3:2，AB=BC，
∴BP=2PC，
∴PC:BP=1:2，
∴PC:BP=CE:AB=1:2，
∴△ABP∽△PCE，故D不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定以及正方形的性質(zhì)．注意靈活應(yīng)用判定定理是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·北京石景山·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，標(biāo)記了△ABC與△DEF邊、角的一些數(shù)據(jù)，如果再添加一個(gè)條件使△ABC∽△DEF，那么這個(gè)條件可以是 ．（只填一個(gè)即可）
【答案】∠C=60°或∠B=40°或DF=6
【分析】利用三角形相似的條件即可進(jìn)行解答.
【詳解】由圖可知：∠A=∠D=80°，且∠F=60°，
∴當(dāng)∠C=60°時(shí)，△ABC∽△DEF；
由圖可知：∠A=∠D=80°，且∠F=60°，
∴當(dāng)∠B=40°時(shí)，即可求得∠C=60°，△ABC∽△DEF；
由圖可知：AB=4，AC=3，DE=8，
∴當(dāng)ABDE=ACDF，即DF=6時(shí)，△ABC∽△DEF；
綜上所述：當(dāng)∠C=60°或∠B=40°或DF=6時(shí)，△ABC∽△DEF
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定條件是解題關(guān)鍵
【變式2-2】（2023春·四川雅安·九年級(jí)雅安中學(xué)?？计谥校└鶕?jù)下列各組條件，不能判定△ABC∽△A1B1C1的是（ ）
A．∠B＝∠B1＝60°，∠C＝50°，∠A1＝70°
B．∠C＝∠C1＝90°，AB＝10，AC＝6，A1B1＝5，A1C1＝3
C．∠A＝40°，AB＝2，AC＝3，∠A1＝40°，A1B1＝4，A1C1＝5
D．AB＝12，BC＝15，AC＝24，A1B1＝8，A1C1＝16，B1C1＝10
【答案】C
【分析】?jī)山菍?duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊成比例，夾角相等的兩個(gè)三角形相似；三邊成比例的兩個(gè)三角形相似．根據(jù)定理內(nèi)容依次計(jì)算判定即可．
【詳解】解：A、∵∠B=60°,∠C=50°
∴∵∠A=180°?60°?50°=70°
又∵∠A1＝70°，∠B1＝60°
∴△ABC∽△A1B1C1
所以選項(xiàng)A正確；
B、∵∠C＝∠C1＝90°
∴△ABC和△A1B1C1都是直角三角形
在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6
由勾股定理得：BC2=AB2?AC2=102?62=82
∵BC>0
∴BC=8
在Rt△A1B1C1中，A1B1＝5，A1C1＝3
由勾股定理得：B1C12=A1B12?A1C12=52?32=42
∵B1C1>0
∴B1C1=4
∵ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1=2
∴△ABC∽△A1B1C1
所以選項(xiàng)B正確；
C、∵ABA1B1=24=12,ACA1C1=35
∴不能判定兩個(gè)三角形相似
所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
D、∵ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1=32
∴△ABC∽△A1B1C1
所以選項(xiàng)D正確．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定，根據(jù)定理內(nèi)容解題是關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·河南南陽(yáng)·九年級(jí)南陽(yáng)市第十三中學(xué)校?？计谀┤鐖D，在△ABC中，P為AB上一點(diǎn)，下列四個(gè)條件中：①AC2=AP?AB；②AB?CP=AP?CB；③∠APC=∠ACB﹔④∠ACP=∠B能滿足△APC與△ACB相似的條件是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法對(duì)每個(gè)條件進(jìn)行分析，從而獲得答案．
【詳解】解：①∵AC2=AP?AB，
∴ACAP=ABAC，
又∵∠A=∠A，
∴△APC∽△ACB；
②∵AB?CP=AP?CB，
∴APAB=CPCB，AP是△APC的最短邊，AB是△ACB的最長(zhǎng)邊，AP和AB不是對(duì)應(yīng)邊，不能判定△APC與△ACB相似；
③∵∠APC=∠ACB，∠A=∠A，
∴△APC∽△ACB；
④∠ACP=∠B，∠A=∠A，
∴△APC∽△ACB．
綜上所述，能滿足△APC與△ACB相似的條件是①③④．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定方法，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．
【題型3 根據(jù)圖形數(shù)據(jù)判斷兩三角形相似】
【例3】（2023春·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖中的虛線剪開(kāi)，下列四種剪開(kāi)的方法中，剪下的陰影三角形一定與原三角形相似的是（ ）
A．①②③B．③④C．①②③④D．①②④
【答案】D
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可．
【詳解】解：①陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，故兩三角形相似；
②陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，故兩三角形相似；
③兩三角形雖然滿足23=46，但兩邊所夾的角不一定相等，故兩三角形不一定相似；
④兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例4?16=6?44=12且?jiàn)A角相等，故兩三角形相似．
故正確的有①②④，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知△MNP．下列四個(gè)三角形，與△MNP相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)相似三角形的判定條件分別判斷即可；
【詳解】根據(jù)圖形可知，MN=MP，∠P=∠N=75°，
∴∠M=180°?75°?75°=30°，
∴根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似可得C中的圖形與△MNP相似；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定條件，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023春·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是老師畫(huà)出的△ABC，已標(biāo)出三邊的長(zhǎng)度．下面四位同學(xué)畫(huà)出的三角形與老師畫(huà)出的△ABC不一定相似的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)兩個(gè)三角形相似的判定方法進(jìn)行判定即可．
【詳解】解：A、由有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似即可判定這兩個(gè)三角形相似；
B、由于48=3.46.8，且?jiàn)A角相等，所以這兩個(gè)三角形相似；
C、不能判定相似；
D、由有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似即可判定這兩個(gè)三角形相似；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)三角形相似的判定，掌握相似三角形判定的方法是關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春·河南商丘·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知圖中有兩組三角形，其邊長(zhǎng)和角的度數(shù)已在圖上標(biāo)注，對(duì)于各組中的兩個(gè)三角形而言，下列說(shuō)法正確的是（）
A．都相似B．都不相似
C．只有①相似D．只有②相似
【答案】A
【分析】根據(jù)相似三角形的判定去判斷兩個(gè)三角形是否相似即可．
【詳解】在圖①中：第一個(gè)三角形三個(gè)角分別為：75°，35°，180°－75°－35°＝70°；
第二個(gè)三角形的兩個(gè)角分別為：75°，70°；
故根據(jù)兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形相似，得兩個(gè)三角形相似；
在圖②中：∵AOOD=43，COBO=86=43，
∴AOOD=COBO，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△DOB,
故都相似．
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵．
【題型4 坐標(biāo)系中確定坐標(biāo)使兩三角形相似】
【例4】（2023春·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是（ ）

A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）
【答案】B
【詳解】△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，0）時(shí)，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，則AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，3）時(shí)，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，則AB：BC≠CD：DE，△CDE與△ABC不相似，故本選項(xiàng)符合題意；
C、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，5）時(shí)，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，則AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，2）時(shí)，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，則AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選B．
【變式4-1】（2023春·河南南陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，A、B、C、D都是格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），動(dòng)點(diǎn)E在線段AC上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是1,1，則當(dāng)△ADE與△ABC相似時(shí)，動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是 ．

【答案】(3，3)或(54，54)
【分析】首先根據(jù)圖，可得AD=1，AB=3， AC=62+62=62，然后分別從若△ADE∽△ABC與若△ADE∽△ACB去分析，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得AE的值．
【詳解】解：根據(jù)題意得：AD=1，AB=3， AC=62+62=62，
∵∠A=∠A，
∴若△ADE∽△ABC時(shí)，ADAB＝AEAC，
即：13=AE62，
解得： AE=2，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，1)，
∴E(3，3)；
若△ADE∽△ACB時(shí)，ADAC＝AEAB，
即： 162=AE3，
解得：AE＝24，
∴E(54，54)，
∴當(dāng)△ADE與△ABC相似時(shí)，動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(3，3)或(54，54)，
故答案為：(3，3)或(54，54)．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．
【變式4-2】（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)P，它與A,C兩點(diǎn)形成的三角形與△ABC相似，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．

【答案】3,0或0,2或0,3
【分析】分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，△PAC～△CAB時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P′在y軸上時(shí)，△P′CA∽△BAC或△P″AC～△BCA，分別求解即可．
【詳解】解：如圖，

∵A(1,0),B(2,0),C(0,1)，
∴OA=OC=1,OB=2,AB=OB?OA=1，
∴AC=2，
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，△PAC～△CAB時(shí)，
∴ACAB=APAC，
∴21=PA2，
∴PA=2，
∴OP=3，
∴P(3,0)，
當(dāng)點(diǎn)P′在y軸上時(shí)，△P′CA∽△BAC，
∵AC=CA，
∴AB=CP′=1，
∴OP′=2，
∴P′(0,2)．
當(dāng)△P″AC～△BCA時(shí)，有ABAC=ACCP″，
∴CP″=AC2AB=2,
∴OP″=1+2=3,
∴P″0,3,
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為3,0或0,2或0,3．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)與分類(lèi)討論的射線思考問(wèn)題．
【變式4-3】（2023春·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）平面直角坐標(biāo)系中，直線y=?12x+2和x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，在第二象限內(nèi)找一點(diǎn)P，使△PAO和△AOB相似的三角形個(gè)數(shù)為( )

A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根據(jù)相似三角形的相似條件，畫(huà)出圖形即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：如圖，

①分別過(guò)點(diǎn)O、點(diǎn)A作AB、OB的平行線交于點(diǎn)P1，則△OAP1與△AOB相似（全等），
②作AP2⊥OP1，垂足為P2則△AOP2與△AOB相似．
③作∠AOP3=∠ABO交AP1于P3，則△AOP3與△AOB相似．
④作AP4⊥OP3垂足為P4，則△AOP4與△AOB相似．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活掌握相似三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．
【題型5 確定相似三角形的對(duì)數(shù)】
【例5】（2023·安徽淮南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，把ΔABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到ΔADE，當(dāng)點(diǎn)D剛好落在BC上時(shí)，連結(jié)CE，設(shè)AC,DE，相交于點(diǎn)F，則圖中相似三角形（不含全等）的對(duì)數(shù)有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABC≌△ADE，∠2=∠l，利用三角形內(nèi)角和得到∠3=∠4，則可判斷△AFE∽△DFC；根據(jù)相似的性質(zhì)得AF：DF=EF：FC，而∠AFD=∠EFC，則可判斷△AFD∽△EFC；由于∠BAC=∠DAE，AB=AD，AC=AE，所以∠3=∠5，于是可判斷△ABD∽△AEC．
【詳解】
∵把△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE（D與E重合），
∴△ABC≌△ADE，∠2=∠1，
∴∠3=∠4，
∴△AFE∽△DFC，
∴AF：DF=EF：FC，
又∵∠AFD=∠EFC，
∴△AFD∽△EFC，
∵把△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE（D與E重合），
∴∠BAC=∠DAE，AB=AD，AC=AE，
∴∠3=∠5，
∴△ABD∽△AEC，
綜上，共有3對(duì)相似三角形，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023春·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，E為矩形ABCD的CD邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE交AD于G ， AF⊥BE于F ， 圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是（ ）

A．5B．7C．8D．10
【答案】D
【詳解】試題解析：∵矩形ABCD
∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE=90°
∴△EDG∽△ECB∽△BAG
∵AF⊥BE
∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE=90°
∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA
∴△GAF∽△GBA∽△ABF
∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA
∴共有10對(duì)
故選D．
【變式5-2】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AB與CD相交于點(diǎn)O，且∠OAD=∠OCB，延長(zhǎng)AD、CB交于點(diǎn)P，那么圖中的相似三角形的對(duì)數(shù)為 ．
【答案】3
【詳解】分析：圖中有4對(duì)相似三角形，利用相似三角形的判定方法一一證明即可．
詳解：
∵在△ABP與△CDP中，∠BAP=∠DCP，∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP，
∴∠ABP=∠CDP，AP：CP=BP：DP，
∴∠ADO=∠CBO，
又∵∠OAD=∠OCB，
∴△OAD∽△OCB，
∴OAOC=ODOB,
∴OAOD=OCOB，
∵∠AOC=∠DOB，
∴△AOC∽△DOB，
∵在△PAC與△PBD中，∠P=∠P，AP：BP=CP：DP
∴△PAC∽△PBD，
綜上所述，圖中的相似三角形有4對(duì)：△ABP∽△CDP，△OAD∽△OCB，△PAC∽△PBD，△AOC∽△DOB．
故答案是：4．
點(diǎn)睛：考查了相似三角形的判定．①有兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似；②有兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個(gè)三角形相似；③三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，則兩個(gè)三角形相似．
【變式5-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF=3FD．則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是（ ）
A．1B． 2C．3D．)4
【答案】C
【詳解】FD=k,CF=3k,DE=AE=2k
在RtΔBCF 中，CF=3k,BC=4k,BF=5k
在RtΔDEF 中，DF=k,DE=2k,EF=5k
在RtΔABE 中，AE=2k,AB=4k,BE=25k
在RtΔBEF 中，EF=5k,BE=25k,BF=5k
根據(jù)相似三角形的判定，RtΔDEF～RtΔABE～RtΔEBF,故選C.
【題型6 相似三角形的證明】
【例6】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知∠B=∠E=90°，AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25．
(1)求CE的長(zhǎng)；
(2)求證：△ABC∽△DEF．
【答案】(1)CE=15
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）利用勾股定理求出EF，再用EF?CF即可求出CE的長(zhǎng)；
（2）先求出BC的長(zhǎng)，得到ABDE=BCEF，再根據(jù)∠B=∠E=90°，即可得證．
【詳解】（1）解：∵DE=15,DF=25,∠E=90°，
∴EF=DF2?DE2=20，
∴CE=EF?CF=15；
（2）證明：∵BF=3，CF=5，
∴BC=BF+CF=8，
∵ABDE=615=25，BCEF=820=25，
∴ABDE=BCEF，
∵∠B=∠E=90°，
∴△ABC∽△DEF．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定．熟練掌握勾股定理，相似三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連接DE，BD2=BC·BE.
證明：△BCD∽△BDE.

【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠DBE=∠CBD，由BD2=BC?BE可得BCBD=BDBE，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得△BCD∽△BDE.
【詳解】∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE=∠CBD，
∵BD2=BC?BE，
∴BCBD=BDBE，
∴△BCD∽△BDE.
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且相對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；正確找出對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角是解題關(guān)鍵.
【變式6-2】（2013·廣西河池·中考真題）請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全坐標(biāo)系及缺失的部分，并在橫線上寫(xiě)恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容．圖中各點(diǎn)坐標(biāo)如下：A1，0，B6，0，C1，3，D6，2．線段AB上有一點(diǎn)M，使△ACM∽△BDM，且相似比不等于1．求出點(diǎn)M的坐標(biāo)并證明你的結(jié)論．

解：M（ ， ）
證明：∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠CAM=∠DBM= 度．
∵CA=AM=3，DB=BM=2，
∴∠ACM=∠AMC（ ），∠BDM=∠BMD（同理），
∴ ∠ACM=12(180°? )＝45°． ∠BDM＝45°（同理）．
∴∠ACM＝∠BDM．
在△ACM與△BDM中，∠ACNM=∠BDM_______________，
∴△ACM∽△BDM（如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似）．
【答案】詳見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)題意補(bǔ)圖，應(yīng)用相似三角形的判定證明即可．
【詳解】解：補(bǔ)全坐標(biāo)系及缺失的部分如下：

M4,0
證明：∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠CAM=∠DBM=90度．
∵CA=AM=3，DB=BM=2，
∴∠ACM=∠AMC（ 等邊對(duì)等角 ），∠BDM=∠BMD（同理），
∴∠ACM=12180°?90°=45°． ∠BDM=45°(同理)．
∴∠ACM=∠BDM．
在△ACM與△BDM中，∠ACM=∠BDM∠CAM=∠DBM，
∴△ACM∽△BDM（如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似）．
【點(diǎn)睛】此題考查了坐標(biāo)與圖形，相似三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法．同時(shí)還要注意解題的完整性．
【變式6-3】（2023·河南平頂山·統(tǒng)考一模）三角形的布洛卡點(diǎn)（Brcardpint）是法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意．1875年，布洛卡點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者法國(guó)軍官布洛卡（Brcard1845-1922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．如圖1，若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=∠α，則點(diǎn)P是△ABC的布洛卡點(diǎn)，∠α是布洛卡角．
（1）如圖2，點(diǎn)P為等邊三角形ABC的布洛卡點(diǎn)，則布洛卡角的度數(shù)是______；PA、PB、PC的數(shù)量關(guān)系是______；
（2）如圖3，點(diǎn)P為等腰直角三角形ABC（其中∠BAC=90°）的布洛卡點(diǎn)，且∠1=∠2=∠3．
①請(qǐng)找出圖中的一對(duì)相似三角形，并給出證明；
②若△ABC的面積為52，求△PBC的面積．
【答案】（1）30°，PA=PB=PC；（2）①△ABP∽△BCP，證明見(jiàn)解析；（3）S△PBC=1．
【分析】（1）根據(jù)題意理清布洛卡點(diǎn)、布洛卡角的概念，利用概念來(lái)解答；
（2）①找△ABP∽△BCP，證明過(guò)程利用等腰直角三角形的性質(zhì)及布洛卡角的概念，通過(guò)找出三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等來(lái)證明；
②把三角形△ABC面積看作三個(gè)三角形面積之和來(lái)表示，除所求三角形面積之外的兩個(gè)，其中一個(gè)根據(jù)條件可以利用勾股定理求出面積，另一個(gè)可以利用所求三角形面積來(lái)表示，建立等式即可求解．
【詳解】解：（1）由題意知：∠BAP=∠CBP=∠ACP，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠BCA=∠CAB，AB=BC=AC,
∴△APB≌△BPC，
∴AP=BP，
∴∠PAB=∠PBA，
∴∠PBA=∠PBC,∠PBA+∠PBC=60°，
∴∠PBC=30°，
同理可證得出：
∠BAP=∠CBP=∠ACP=30°，
∠ABP=∠BCP=∠CBP=30°，
PA=PB=PC
故答案是：30°，PA=PB=PC．
（2）①△ABP∽△BCP
證明：∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠ABC=∠ACB=45°，
即∠ABP+∠2=∠3+∠BCP=45°，
∵∠2=∠3，∴∠ABP=∠BCP，
又∵∠1=∠2，
∴△ABP∽△BCP.
（3）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴S△ABC=12AB?AC=12AC2=52，∴AC=5.
∵△PAB∽△PBC，
∴BPCP=APBP=ABBC=22，
∴AP=22BP，CP=2BP，S△PAB=12S△PBC，
∴CP=2AP.
∵∠APB=∠BPC=180°?(∠1+∠ABP)=180°?(∠2+∠ABP)=135°，
∴∠APC=360°?∠APB?∠BPC=90°.
在Rt△APC中，∵CP=2AP，AC=5，
由勾股定理得AP=1，CP=2，
∴S△APC=12CP?AP=1，
∴S△ABC=S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△PBC+1+12S△PBC=52
∴S△PBC=1．
【點(diǎn)睛】本題考查了新概念問(wèn)題、等邊三角形、直角三角形、三角形全等的判定定理和性質(zhì)、相似三角形的判定定理和性質(zhì)、勾股定理，涉及知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，題目較難，解題的關(guān)鍵是：通過(guò)閱讀材料，弄明白題中的新定義或新概念，然后利用概念及靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解答．
【題型7 找格點(diǎn)中的相似三角形】
【例7】（2023春·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，則圖中的三角形中與△ABC相似的是（ ）

A．△FBEB．△BEDC．△DFED．△ABE
【答案】B
【分析】直接利用相似三角形的判定方法結(jié)合正方形的性質(zhì)分析得出答案．
【詳解】解：由題意可得：∠BDE=90°+45°=135°，∠BCA=90°+45°=135°，
BD=1，DE=2，BC=2，AC=2，
∵ BDAC=12=22，DEBC=22，
∴ BDAC=DEBC，
又∵∠BDE=∠BCA，
∴△BDE∽△ACB．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定，正確得出對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023春·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)校考期中）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是 ．

【答案】A
【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB,AC,BC的長(zhǎng)，求出三邊之比，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：AB=32+12=10,BC=2,AC=2,
∴AC:BC:AB=2:2:10,
A．三邊之比為1:2:5=2:2:10,圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似．
B．三邊之比為2:5:3,圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似．
C．三邊之比為1:5:8=2:10:16,圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似．
D．三邊之比為2:5:13=2:52:132,圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似．
故答案為：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）新定義：由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形稱為格點(diǎn)三角形．如圖，已知△ABC是6×6的網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)三角形，那么該網(wǎng)格中所有與△ABC相似且有一個(gè)公共角的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】取AB,BC,AC的中點(diǎn)D,F,E，再取網(wǎng)格點(diǎn)M、N，連接格點(diǎn)DE,DF,EF,MN，結(jié)合中位線的性質(zhì)可證明△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，△CEF∽△CAB，再根據(jù)BN=32，BM=4，BA=42，BC=6，可得BNBM=BCBA，結(jié)合∠ABC=∠MBN，有△ABC∽△MBN，即可獲得答案．
【詳解】解：如圖，取AB,BC,AC的中點(diǎn)D,F,E，再取網(wǎng)格點(diǎn)M、N，連接格點(diǎn)DE,DF,EF,MN，

則DE∥BC，且DE=12BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC．
同理可證：△BDF∽△BAC，△CEF∽△CAB．
∵BN=32，BM=4，BA=42，BC=6，
∴BNBM=324=32×24×2=BCBA，
∴BNBM=BCBA，∠ABC=∠MBN，
∴△ABC∽△MBN，
綜上，滿足條件的三角形有4個(gè)，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了中位線的性質(zhì)、相似三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定條件是解答本題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：我們知道，凸四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似（不全等），我們就把這個(gè)凸四邊形叫做“自相似四邊形”． 如圖，點(diǎn)A、B、C是正方網(wǎng)格中的格點(diǎn)，在網(wǎng)格中確定格點(diǎn)D，使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是“自相似四邊形”，符合條件的格點(diǎn)D的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)題目中“自相似四邊形”的定義，在網(wǎng)格中找到符合條件的點(diǎn)D即可．
【詳解】解：如圖1，由ABD1A=ACD1C=BCAC=105，得△ABC∽△D1AC，故D1為所求點(diǎn)；
如圖2，由ABD2A=BCAB=ACD2B=2，得△ABC∽△D2AB，故D2為所求點(diǎn)；
如圖3，由BCAB=CD3BD3=BD3AD3=2，得△BCD3∽△ABD3，故D3為所求點(diǎn)；
如圖4，由ABD4C=BCCA=ACD4A=105，得△ABC∽△D4CA，故D4為所求點(diǎn)；
如圖5，由ABBC=BCCD5=ACBD5=22，得△ABC∽△BCD5，故D5為所求點(diǎn)；
∴符合條件的格點(diǎn)D的個(gè)數(shù)有5個(gè)．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題是新定義題，主要考查了網(wǎng)格中的勾股定理、判定兩個(gè)格點(diǎn)三角形相似，熟練掌握三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似是解答此題的關(guān)鍵．
【題型8 由圖形相似求線段長(zhǎng)度】
【例8】（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)為O，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在AD的延長(zhǎng)線上，連接EF，EO，F(xiàn)O，∠EOF=90°．試探究：

(1)如圖1，若EF垂直平分AO，AB=8，AD=4，則AE的長(zhǎng)為 ；
(2)如圖2，若BE=3，F(xiàn)D=1，則EF的長(zhǎng)為 ．
【答案】(1)52
(2)10
【分析】（1）設(shè)EF與AO交于點(diǎn)H，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得∠ABC=90°，AO=OC=12AC；根據(jù)EF垂直平分AO，則AE=EO=12AO，∠AHE=90°；根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，得△EAH～△CAB，推出AEAC=AHAB，解出AE，即可；
（2）延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)G，連接FG，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得AB∥CD，AO=CO，根據(jù)平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，得△AOE≌△COG，推出AE=CG，OE=OG，再根據(jù)∠EOF=90°，OE=OG，得FO是EG的垂直平分線，則EF=GF，根據(jù)勾股定理求出FG，即可．
【詳解】（1）設(shè)EF與AO交于點(diǎn)H，
∵四邊形ABCD是矩形，AC是對(duì)角線，
∴BC=AD=4，∠ABC=90°，OA=12AC，
∵AB=8，
∴AC2=AB2+BC2=82+42=45，
∴OA=25，
∵EF垂直平分AO，
∴AH=OH=5，∠AHE=∠ABC=90°，
∵∠EAH=∠CAB，
∴△EAH～△CAB，
∴AEAC=AHAB=AE45=58，
∴AE=52，
故答案為：52；

（2）延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)G，連接FG，
∵四邊形ABCD是矩形
∴AO=CO，AB∥CD，AB=CD，
∴∠OAE=∠OCG，
∵∠AOE=∠COG，
∴△AOE≌△COG，
∴AE=CG，OE=OG，
∵AB=CD，
∴BE=DG=3，
∵∠EOF=90°，OE=OG，
∴FO是EG的垂直平分線，
∴EF=GF，
∵∠GDF=90°，
∴GF=DG2+DF2=10，
∴EF=10，
故答案為：10．

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．
【變式8-1】（2023·陜西榆林·?？既＃┤鐖D，在等邊△ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上，∠ADE=60°，若AD=4,BDCE=32，則DE的長(zhǎng)度為（ ）

A．1B．43C．2D．83
【答案】D
【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∴∠ADB+∠BAD=180°?∠B=120°．
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=180°?∠ADE=120°，
∴∠ADB+∠BAD=∠ADB+∠EDC，
∴∠BAD=∠EDC，
∴△BAD∽△CDE，
∴ BDCE=ADDE，
∴ 4DE=32，
∴DE=83．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．
【變式8-2】（2023春·四川南充·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在矩形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE交AB于點(diǎn)F．

(1)如圖1，當(dāng)DE=DA時(shí)，求證：AF=EF；
(2)如圖2，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中DEEF的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)如圖3，若點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，連接DF交AC于點(diǎn)G，將△GEF沿EF翻折得到△HEF，連接DH交EF于點(diǎn)K，當(dāng)AD=2，CD=23時(shí)，求KH的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析；
(2)DEEF的值不變；
(3)KH=9112．
【分析】（1）連接DF，證明Rt△DAF≌Rt△DEFHL，由全等三角形的性質(zhì)得出AF=EF；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，證明△EAM∽△CAD，得出比例線段AMAD=EMCD①，證明△DME∽△FNE，得出比例線段DEEF=EMEN②，由①②可得DEEF=DCAD，則可得出結(jié)論；
（3）連接GH交EF于點(diǎn)I，由勾股定理求出DF的長(zhǎng)，證明△AGF∽△CGD，由相似三角形的性質(zhì)得出DGGF=DCAF=2，則GFDF=13，由折疊的性質(zhì)可知GI=IH，GH⊥EF，證明△GFI∽△DFE，由相似三角形的性質(zhì)得出GIDE=FIEF=GFDF=13，證明△DEK∽△HIK，由相似三角形的性質(zhì)得出KIEK=IHDE=13，由勾股定理可求出答案．
【詳解】（1）證明：如圖，連接DF，在矩形ABCD中，∠DAF=90°，

又∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∵AD=DE，DF=DF，
∴Rt△DAF≌Rt△DEFHL，
∴AF=EF；
（2）解：DEEF的值不變；
如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，

∴四邊形ANEM是矩形，
∴EN=AM，
∵∠EAM=∠CAD，∠EMA=∠CDA．
∴△EAM∽△CAD，
∴ AMAD=EMCD，即EMEN=CDAD①，
∵∠DEF=∠MEN=90°，
∴∠DEM=∠FEN，
又∵∠DME=∠ENF=90°，
∴△DME∽△FNE，
∴ DEEF=EMEN②，
由①②可得DEEF=DCAD，
∵AD與DC的值不變，
∴ DEEF的值不變；
（3）解：連接GH交EF于點(diǎn)I，

∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，
∴AF=3，
在Rt△DAF中，DF=DA2+AF2=22+(3)2=7，
由（2）知DEEF=DCAD=232=3，
∴DE=3EF，
在Rt△DEF中，EF=72，DE=212，
又∵AB∥CD，
∴△AGF∽△CGD，
∴ DGGF=DCAF=2，
∴ GFDF=13，
由折疊的性質(zhì)可知GI=IH，GH⊥EF，
又∵DE⊥EF，
∴GH∥DE，
∴△GFI∽△DFE，
∴ GIDE=FIEF=GFDF=13，
∴EI=23EF=73，GI=IH=216，
又∵GH∥DE，
∴△DEK∽△HIK，
∴ KIEK=IHDE=13，
∴KI=14EI=712，
∴HK=IH2+KI2=9112．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2023春·廣東深圳·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一點(diǎn)，AE=5，ED⊥AB，垂足為D，求AD的長(zhǎng)．
（2）類(lèi)比探究：如圖2，△ABC中，AC=14，BC=6，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，∠EDB=∠ACB=60°，DE=2，求AD的長(zhǎng)．
（3）拓展延伸：如圖3，△ABC中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別在線段AB，AC上，∠EDB=∠ACB=60°，延長(zhǎng)DE，BC交于點(diǎn)F，AD=4，DE=5，EF=6， 求BD=______．
【答案】(1) AD=4；(2) AD=83；(3) BD=559
【分析】(1)證明△ADE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ADAC=AEAB，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算，求出AD；
(2)在AC上截取CH=CB，連接BH，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CH=BH=BC=6，∠CHB=60°，證明△ADE∽△AHB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；
(3)過(guò)點(diǎn)B作BM⊥DE于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，設(shè)DM=a，用a表示出FM、BM，證明△AEN∽△FMB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．
【詳解】(1) ∵∠ADE=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB，
∵AB=10，AC=8，AE=5，
∴AD8=510，
解得：AD=4．
(2)如圖2，在AC上截取CH=CB，連接BH，
∵∠ACB=60°，
∴△BCH為等邊三角形，
∴CH=BH=BC=6，∠CHB=60°，
∴AH=AC?CH=8，∠AHB=120°，
∵∠EDB=60°，
∴∠ADE=120°，∠ADE=∠AHB，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AHB，DEBH=ADAH，即26=AD8，
解得：AD=83．
(3)如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥DE于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，
∴∠BMD=∠BME=∠ANE=90°，
∵∠EDN=60°，
∴∠DEN=30°，
∴DN=12DE=52，
則EN=DE2?DN2=523，
∴AN=AD+DN=4+52=132，
設(shè)DM=a，
∵∠BDM=60°，∠DMB=30°，
∴∠MBD=30°，BD=2a，
∴BM=BD2?DM2=3a，
∵DE=5，EF=6，
∴MF=DE+EF?DM=11?a，
∵∠BCA=∠F+∠FEC，∠BDE=∠A+∠AED，∠AED=∠FEC，
∠BCA=∠BDE，
∴∠A=∠F，
∴△AEN∽△FMB，
∴NEBM=ANMF，即5233a=13211?a，
解得：a=5518，
∴BD=2a=559．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線、熟記三角形相似的判定定理是解題的關(guān)鍵．①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等．
如圖，，則有
．
②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．
如圖，，則有
（為相似比）．
③相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線，高線和對(duì)應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比．
如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有
④相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．
如圖，∽，則有
．
⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方．
如圖，∽，則有
判定定理
判定定理1：
如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．
簡(jiǎn)稱為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．
如圖，如果，，則
．
判定定理2：
如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．
簡(jiǎn)稱為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．
如圖，如果，則
．
判定定理3：
如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，并且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．
簡(jiǎn)稱為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，，則．

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